对数与对数运算、对数函数教案(含答案)
更新时间:2024-04-04 07:08:01 阅读量: 综合文库 文档下载
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对数与对数运算
一、
复习
1.对数的定义 logaN?b 其中 a?(0,1)?(1,??)与 N?(0,??) 2.指数式与对数式的互化 ab?N?logaN?b (a?0且a?1)
3.重要公式:
⑴负数与零没有对数; ⑵loga1?0,logaa?1 ⑶对数恒等式alogaN?N am?an?am?n(m,n?R)4.指数运算法则 (a)?amnmn(m,n?R) (ab)n?an?bn(n?R)二、新授内容
1.积、商、幂的对数运算法则:
如果 a > 0,a ? 1,M > 0, N > 0 有:
loga(MN)?logaM?logaN(1)Mloga?logaM?logaN(2)
NlogaMn?nlog(3)aM(n?R)证明⑴:设logaM=p, logaN=q. 由对数的定义可以得:M=a,N=a. ∴MN= aa=aN.
证明⑵:设logaM=p,logaN=q. 由对数的定义可以得M=a,N=a .
p
qp
qp?qp
q ∴logaMN=logaap?q ∴logaMN=p+q, 即证得logaMN=logaM + logaMMMMap?p?q ∴loga?p?q 即证得loga?logaM?logaN. ∴?q?ap?q ∴logaNNNNa证明⑶:设logaM=P 由对数定义可以得M=a,
np∴M=a ∴logaM=np, 即证得logaM=nlogaM.
nnnp
说明:上述证明是运用转化的思想,先通过假设,将对数式化成指数式,并利用幂的运算性质进行恒等变形;然后再根据对数定义将指数式化成对数式. ①简易语言表达:“积的对数 = 对数的和”……
②有时逆向运用公式:如log105?log102?log1010?1. ③真数的取值范围必须是(0,??):
log2(?3)(?5)?log2(?3)?log2(?5) 是否成立? 不成立
1 / 9
log10(?10)2?2log10(?10)是否成立? 不成立 ④对公式容易错误记忆,要特别注意:
loga(MN)?logaM?logaN,loga(M?N)?logaM?logaN.
2.范例:
例1. 用logax,logay,logaz表示下列各式: (1)loga?xyz?=
x2y(2)loga?z
(3)logax3y3z?(4)logaxy3z=
例2. 计算 (1)log525
(1)解:log525= log55=2 (按照范例,求解(2)、(3)(4)题) (2)log0.51= (3)log2(4?2)= (4)lg5100= 例3.计算:
(1)(lg5)?lg2?lg50;
(1)解: (lg5)?lg2?lg50=(lg5)?lg2?(lg5?1)=(lg5)?lg2?lg5?lg2 =lg5(lg5?lg2)?lg2=lg5?lg2=1; (按照范例,求解(2)、(3)题) (2)lg20?log10025; (3) lg14?2lg
2 / 9
22227527?lg7?lg18. 3例4.20世纪30年代,里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度,就是使用测震仪衡量地震能量的等级,地震能量越大,测震仪记录的地震曲线的振幅就越大.这就是我们常说的里氏震级M,其计算公式为 M=lgA-lgA0.
其中,A是被测地震的最大振幅,A0是“标准地震”的振幅(使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差).
(1)假设在一次地震中,一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20,此时标准地震的振幅是0.001,计算这次地震的震级(精确到0.1);
(2)5级地震给人的震感已比较明显,计算7.6级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍(精确到1).
解:(1)M=lg20-lg0.001= lg
204
=lg20000= lg2+ lg10≈4.3 0.001 因此,这是一次约为里氏4.3级的地震. (2)由M=lgA-lgA0可得 M=lg
AA <=> =10M <=> A= A0 · 10M A0A0 当M=7.6时,地震的最大振幅为A1= A0·107.6 ;当M=5时,地震的最大振幅为 5
A2= A0 · 10,所以,两次地震的最大振幅之比是
A1A0?107.67.6-52.61010 = ==≈ 398 5A2A0?10 答:7.6级地震的最大振幅大约是5级地震的最大振幅的398倍。 三、思考题:你能根据对数的定义推导出换底公式logab?logcb(a>0,且a≠1;c>0,且c≠1;b>0)吗? logca运用换底公式化简下列各式:
(1)logac·logca
(2)log23·log34·log45·log52
(3)(log43+log83)(log32+log92)
3 / 9
对数与对数运算练习题
一.选择题
1-
1.23=化为对数式为( )
8A.log12=-3
8
B.log1(-3)=2
8
1
C.log2=-3
82.log63+log62等于( )
1
D.log2(-3)= 8
A.6 B.5 C.1 D.log65 3.如果lgx=lga+2lgb-3lgc,则x等于( ) A.a+2b-3c ab2
C.3 c
B.a+b2-c3 2abD. 3c
4.已知a=log32,那么log38-2log36用a表示为( ) A.a-2
B.5a-2 D.3a-a2-1
C.3a-(1+a)2 5.
A.2+5 C.2+
5 2
的值等于( )
B.25 D.1+
5 2
6.Log22的值为( ) A.-2 1C.-
2
B.2 1D. 2
7.在b=log(a-2)(5-a)中,实数a的取值范围是( ) A.a>5或a<2 C.2
1
8.方程2log3x=的解是( )
41
A.x=
9C.x=3
B.x=x 3
B.2<a<3或3<a<5 D.3<a<4
D.x=9
9.若log2(log3x)=log3(log4y)=log4(log2z)=0,则x+y+z的值为( ) A.9 C.7
10.若102x=25,则x等于( )
11A.lg B.lg5 C.2lg5 D.2lg
55
4 / 9
B.8 D.6
11.计算log89·log932的结果为( )
513A.4 B. C. D. 34512.已知logax=2,logbx=1,logcx=4(a,b,c,x>0且≠1),则logx(abc)=( ) 4277
A. B. C. D. 7724二.填空题
1. 2log510+log50.25=____.
2.方程log3(2x-1)=1的解为x=_______. 3.若lg(lnx)=0,则x=_ ______. 4.方程9x-6·3x-7=0的解是_______
5.若log34·log48·log8m=log416,则m=________.
6.已知loga2=m,loga3=n,则loga18=_______.(用m,n表示) 7.log6[log4(log381)]=_______.
8.使对数式log(x-1)(3-x)有意义的x的取值范围是_______ 三.计算题 1.计算:
lg3+2lg2-1(1)2log210+log20.04 (2)
lg1.2
11
(3)log6-2log63+log627 (4)log2(3+2)+log2(2-3);
123
2.已知log34·log48·log8m=log416,求m的值.
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