南京大学2005年数学分析考研试题及解答

1、 求lim(n??1n2?2n2??n?1n2).

n解 解法1 利用几何平均与算术平均不等式，及n!?n2，

1?2??nnnnn?n12?n?(n!)2?(n2)2?n4，

nlim1?2??nn??n???.

解法2 利用Stolz定理， 原式?lim1?2??n?1n

n?? ?limnn??(n?1)?n ?ln?i?mn???.

2 、求limlnn!.

n??nlnn解 利用Stolz定理， 原式?limln(n?1)(n?1)ln(n?1)?nlnn

n???limln(n?1)

n??ln(1?11n)n??n?limln(n?1)1

n??ln(1?n)n?1?lnn?lim1n??

ln(1?1n)n?1ln(n?1)?lnnln(n?1)?1.

3 求lim1nn???0x(1?x)xdx.

解 0??10xn(1?x)xdx??1n02xdx?1n?1，lim1nxn???0x(1?x)dx?0.

1

x??1?1?x,1?x4 设g(x)??2，求limn??n?x?x?2,x??1n?i?1g(x?i(1?x)n).

解 原式??121?x0g(x?y)dy，

n??n??3?445、当

?p?1时，证明：?3?44?|sinxx?sinxp|dx??1pp22(n?1)?)?1.

证明

??n??n??|sinxx?sinxp3?|dx???444|sinn(??up(n??u)?sin(n??u)sinu|du

3? ??43?4??4|(n??u)??(pndu，

1)suin|当?u?时，

|(n??u)?(?1)sinu|?(n???)?1?(n?1)?pnppp?1，

sinu?sin?4?12，

于是

sinu|(n??u)?(?1)sinu|pn?11pp2(n?1)??1，

故有

??

n??3?44n??|sinxx?sinxp|dx??1pp22(n?1)??1. 南京大学2005年数学分析考研试题

一 、求下列极限

kn1 设常数a?1，试求极限lim?n??k?1ann?(a?1)k?1。

2 limln(x?e)?2sinx1?2x?cosxx。

x?03 设a?1，0?x1?a，xn?1?a?x?(sinx)e1?enx2nxa?xn(n?1,2,?)，求limxn。

n??2二 设f(x)?lim，试讨论f(x)的连续性、一致连续性及其可微性。

n?? 2

?三 设f(x)??n?1(x?1nn研究f(x)的存在域，并讨论f(x)在定义域内的连续性和可微性。 )，

四 、1、 设In??1?1n1?xxn1dx，计算limnIn；

n?? 2、 计算曲面积分

I???Sxdydz?ydzdx?zdxdy，

222其中S为曲面x2?y2?z2?a(x?y?z)的外侧。 五、 设a?0,b?0,c?0，M(a,b,c)为曲面S:x?y?z?1上的任一点，

求曲面S上点M的切平面?三个截距之积u的最大值。 六、 设f(x)?C1[0,1]，试证明：

1limn[?f(t)dt?n??01n?1?nk?0kf(1)?f(0). f()]?n2

南京大学2005年数学分析考研试题解答

kn一、 1、 解 解法1

?n?(a?1)kk?1ann?1??nak?11kn11?(a?1)1nk，

11?(a?1)kn1nk?1?O(1nk)，

故 lim?n??k?1xann?(a?1k)1lna?1?11lim[a?O?n?nnk( )]n??k?1k?1nn1kn??10adx?(a?1).

解法2

k11?(a?1)nna1?nk?11knn??n?(a?1)kk?1ann?1??nak?11kn，

nknlimn???k?11na??10adx?x1lna(a?1)，

3

lim11?(a?1)1nnn???k?11nknan?limn???k?11nkan??10adx?x1lna(a?1).

kn所以lim?n??k?1ann?(a?1)k?1?1lna(a?1).

2 解

1limln(x?e)?2sinx1?2x?cosxxx?0?limx?ex?0x(1?e)?2cosx1??sinxx2?21?0?4.

1?2x 3 解 显然有0?xn?a，

xn?1?a?a?xn?2xna?a?xn2?xn，

{xn}单调递减且有界，设limxn?A，则有0?A?a，

n??A?a?2a?A，a?A?a?A，

2222a?A?a?2aA?A，

A?0，A?2a?1?a（舍去），故limxn?0。

n??二 解 当x?0时，f(x)?x； 当x?0时，f(x)?0；

2当x?0时，f(x)?sinx，

x?0?x,f(x)??， 2sinx,x?0?显然f(x)在(??,??)上连续，在(??,??)上一致连续，

f(x)在x?0处不可导，在x?0处均可导。

三 解 设un(x)?(x??1n)，limnnn??|un(x)|?|x|，

当|x|?1时，?un(x)收敛，

n?1 4

?当|x|?1时，?un(x)发散，

n?1?当|x|?1时，?un(x)发散，

n?1所以f(x)的定义域为(?1,1)，对任意?1?a?b?1，

???un?1n于是f(x)在[a,b]上连续可微，(x)在[a,b]上一致收敛，?un?(x)在[a,b]上一致收敛，

n?1故f(x)在(?1,1)内连续可微。 四 、解 解法1

In??1?1n1?xxn1?x?tn21dx??1?(1?21n)nt1?1n1(t?1)2n?12tdt

(t?1)n2 ?1?n211?(?1n2n)2t22t?1dt

limnIn?2?n??1?et22t?1dt

?2?1?e2[1?111(?dt)] 2t?1t?1 ?2(1?e?t?12)?(lnt?11?e) 22?1ln 2?1?1)2?ln. (21) ?2(1?e?1?e?12)?ln1?e?12?)?1??e? ?2(12ln?(e?1 解法2 In??1?1n1?xxnx?1?1nu1dx??101?(1?1?unun)n1ndu，

limnIn?n???11?(1?lim1?unun)n0n??du

??101?edu

u 5

1?e?tu2??1?e2t?2tt?1t22du

?2??2?1?e2t?1[1?12du

11t?11?e22t?1(?)]dt

?2(1?e?t?12)?(lnt?11?e) 22?1 ln2?1 ?2(1?e?1?e?12)?ln1?e?1??2(1?e?2)?1?2ln(1?e?1)?2ln(2?1).

2 解 曲面S的方程可化为

(x?a2)?(y?2a2)?(z?2a23)?(232a)，

2V?{(x,y,z):(x?a2)?(y?2a2)?(z?2a2)?(22a)}，

2利用高斯公式

I???xS2dydz?ydzdx?zdxdy?22???(2a?2y?2z)dzdydz

V ?(????[2xVaa)?2y(?22a)?z2(?2?)a3dz]dy dzdz ?3a???dzdy

V ?3a?43?(32a)

3 ?33?a24.

11?11五 解 n?(,,)，切平面方程为

2abc1a1b1c(x?a)?(y?b)?(z?c)?0，

1a

x?1by?1cz?1，

6

切平面在x轴，y轴，z轴上的截距分别为a,b,c，u??c????3a3bc，

由于a?b?c?1，127aba?b?3c?1?1?， ??????327???所以u的最大值为。

六、定理1、 设f在[A,B]上连续，在(A,B)内可导，则存在??(A,B)，使得

?证明 令F(x)?BAf(x)dx?(B?A)f(A)?f?(?)2(B?A)

2?xAf(t)dt，利用泰勒公式，存在??(A,B)，使得

F??(?)22F(B)?F(A)?F?(A)(B?A)?(B?A)，

2即得 ?f(x)dx?(B?A)f(A)?ABf?(?)2(B?A)．

定理2、 设f(x)?C1[a,b]，记

b?n??af(x)dx?b?ann?k?1f(a?(k?1)b?an)，(n?1,2,?)，

则有

limn??n?n?12(b?a)[f(b)?f(a)]．

b?anb?an证明 存在?k?(a?(k?1)，a?k)，使得

?a?kb?anb?anf(x)dx?b?anf(a?(k?1)b?ana?(k?1)f?(?k)b?a2()，(k?1,2,?,n)， )?2n从而 n?n?b?a2n?k?1f?(?k)b?an，存在??(a,b),使得?n?b?a2b?a2f?(?)b?an，

于是

limn??n?n?b?a2?baf?(x)dx?[f(b)?f(a)].

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