浙江省温州市2009学年第二学期高二期末四校联考数学理科试卷2010

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温州市2009学年第二学期高二年级期末四校联考

（数学理科试卷）（考试时间：120分钟 总分：150分）

命题人:苍南中学 陈珍艳 审题人:苍南中学 戴寿旺 一、选择题（本题共10个小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．复数z?2?i，则它的共轭复数z在复平面内对应的点位于 A．第一象限 2．已知直线l：?A．

B．第二象限

C．第三象限

（ ）

D．第四象限

?x?1 (t为参数)的倾斜角是（ ）

y?1?t??????? B．?? C． ?? D． 64323．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ） A．若m∥α，n∥α，则m∥n； B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β； C．若m∥α，m∥β，则α∥β； D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n . 4．下列命题正确的是（ ）

A．若p?q为假，则p,q均为假命题；

2

B．“x?2”是“x－3x＋2?0”的充分不必要条件；

C．对命题p:?x?R,使得x＋x＋1?0,则?p为?x?R,均有x＋x＋1?0；

2

2

D．命题“若x－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为“若x＝1,则x－3x＋2?0”.

2

2

x2y2??1的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是( ） 5．以双曲线

916A．x＋y＋10x＋16＝0 B．x＋y－10x＋16＝0 C．x＋y－10x＋9＝0 D．x＋y＋10x＋9＝0

6．用数学归纳法证明（n?1)(n?2)?(n?n)?2n?1?3?(2n?1)（n?N*）时，从“n?k到

2

2

2

2

2

2

2

2

n?k?1”左边需增乘的代数式（ ）

A．2k?1 B．2(2k?1) C．

2k?12k?3 D． k?1k?17．设集合A＝?x||x?a|?1,x?R?,B??x||x?b|?2,x?R?.若A?B，则实数a，b必满 足 ( )

A．|a?b|?3 B.|a?b|?3

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C．|a?b|?3 D.|a?b|?3

8.已知函数f?x??Asin(?x??)的导函数 f?(x)在一个周期内的图象如图所示， 则函数f(x)的

解析式可以是 ( ) A.y?sin(2x??6) B.y?sin(2x?6?3)

C.y?2sin(2x??) D.y?2sin(2x??3)

x2y29. 已知F1(?c,0),F2(c,0)为椭圆2?2?1的两个焦点，

ab2（第8题图）

P为椭圆上一点且PF1?PF2?c，则此椭圆离心率e的取值范围是 ( ) A．[332211,1) B．[,] C．[,] D．(0,] 33223210．如图，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：编号为1，2，3，4，5，6的

横纵坐标分别对应数列?an?(n?N*)的前12项，如下表所示，

按如此规律下去，则a2010＋a2011＋a2012＝( ） A．1003 B．1005 C．1508 D．2011

二、填空题：(本题共7小题，每小题4分，共28分)

x?2cos?,(θ为参数)化为普通方程为 . 11．曲线???y?sin?12. 不等式|x＋1|＋|x－2|?4的解集为 . 13．函数y?5x?4?125?x的最大值是 . 214．过抛物线y?8x的焦点的弦AB以?4,a?为中点，则|AB|＝ .

15．直线θ＝－

??被曲线ρ＝2cos(θ+)所截得的弦的弦长为 . 44D C

16．如图，已知等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB，

3二面角C?AB?D的余弦值为，M分别是AC的中点，

3E 则EM，DE所成角的余弦值等于 ．

17．将边长为1m的正三角形薄铁皮沿一条平行于某边的直线剪成两块，

M A 第16题

B 《中学数学信息网》系列资料 WWW.ZXSX.COM 版权所有@《中学数学信息网》

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2(梯形的周长）其中一块是梯形.s?,则s的最小值是 梯形的面积三、解答题：本大题共5大题,共72分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 18.（本题满分14分） 设x?0,y?0,z?0,且x＋y＋z＝1.

2

2

2

（Ⅰ）求证：xy＋yz＋xz≤1; （Ⅱ）求(

yzxzxy２

)的最小值. ??xyz19．（本题满分14分）（Ⅰ）求极坐标方程?sin2??2?cos??0表示的曲线的焦点坐标； （Ⅱ）设直线l：??x?2?3t, (t为参数)与题（Ⅰ）中的曲线交于A、B两点，若P(2，3)，

?y?3?4t 求PA?PB的值.

?20．（本题满分14分） 如图，在三棱锥P?ABC中，AC?BC?2，?ACB?90，

P

AP?BP?AB，PC?AC．

（Ⅰ）求证：PC?AB；

（Ⅱ）求二面角B?AP?C的大小； （Ⅲ）求点C到平面APB的距离． 21．（本小题满分15分）

已知函数f(x)?ax?（Ⅰ）当a＝

2D

A

C

B

x?lnx（其中a为常数，e为自然对数的底数）． e1时，判断函数f(x)的单调性并写出其单调区间；； 2（Ⅱ）当a?0时，求证：f(x)?0没有实数解．

222. （本小题满分15分）如图，A??1,0?,B?1,0?，过曲线C1:y?x?1x?1上一点M的切

??线l，与曲线C2:y??m1?x?2??x?1?也相切于点N.记点M的横坐标为t?t?1?.

（Ⅰ）当t＝２时，求实数m的值和点N的坐标； （Ⅱ）当实数m取何值时，?MAB??NAB？

并求此时MN所在直线的方程.

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温州市2009学年第二学期高二年级期末四校联考

（数学理科答案）

一、选择题:（本题共10个小题，每小题5分，共50分）

答案 DCC

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 二、填空题答案（本题共7小题，每小题4分，共28分）

35x2?y2?1 12、{x|x?-,或x?} 13、13 11、

224 14、12 15、2 16、

3323 17、 63 三、解答题：本大题共5大题,共72分.在规定框内解答，应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 18.解：（1）因为x+y≥2xy; y+z≥2yz; x+z≥2xz; 所以x+y+z≥xy+yz+xz; 故xy+yz+xz≤1，

当且仅当x=y=z时取等号；---------------------6分

2

2

22

2

2

2

2

2

y2z2x2y2y2z2x2z2x2z2x2y2222

（2）因为2?2≥2z；2?2≥2y；2?2≥2x

xzxyyzy2z2x2z2x2y2222

所以2?2+2≥x+y+z=1；

zxyyzxzxy2y2z2x2z2x2y2222

?? 而（）=2?2+2+2（x+y+z）≥3

zxyzxy 所以（

yzxzxy２

??）≥3，当且仅当x=y=z时取等号； xyzyzxzxy２3??时，（）的最小值为３.------------14分 xyz3 故当x=y=z=

19、解:（1）解(1)由??(?sin2??2?cos?)?(?sin?)2?2??cos??0

得y2?2x ------------（4分）

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焦点(,0) ------------（6分） (2)设A，B两点对应的参数分别为t1, t2，(t1,t2?R)

123?x?2?t,??5将?代入y2?2x ------------（9分） ?y?3?4t?5?16218t?t?5?0 ------------ (11分)255

125?t1t2?

16125即PA?PB=t1t2? ------------（14分）

16得20．解法一：

（Ⅰ）取AB中点D，连结PD，CD．

?AP?BP，?PD?AB．?AC?BC，?CD?AB．

?PD?CD?D，?AB?平面PCD．

?PC?平面PCD，?PC?AB．-------------------------------------------------3分

（Ⅱ）?AC?BC，AP?BP，

P

?△APC≌△BPC．

又PC?AC，?PC?BC．

A

?又?ACB?90，即AC?BC，且AC?PC?C，

D

B

C ?BC?平面PAC．

取AP中点E．连结BE，CE．

?AB?BP，?BE?AP．

P E A

B

C ?EC是BE在平面PAC内的射影，?CE?AP． ??BEC是二面角B?AP?C的平面角．

?在△BCE中，?BCE?90，BC?2，BE?3AB?6， 2?sin?BEC?BC6?． BE3《中学数学信息网》系列资料 WWW.ZXSX.COM 版权所有@《中学数学信息网》

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?二面角B?AP?C的大小为arcsin（Ⅲ）由（Ⅰ）知AB?平面PCD，

6．--------------------------------------------9分 3?平面APB?平面PCD．

过C作CH?PD，垂足为H．

P

H D

?平面APB?平面PCD?PD，?CH?平面APB．

?CH的长即为点C到平面APB的距离．

由（Ⅰ）知PC?AB，又PC?AC，且AB?AC?A，

A

C B

?PC?平面ABC．?CD?平面ABC，?PC?CD．

在Rt△PCD中，CD?13AB?2，PD?PB?6， 22?PC?PD2?CD2?2．CH?PC?CD23． ?PD3?点C到平面APB的距离为解法二：

23．------------------------------------------------------------14分 3（Ⅰ）?AC?BC，AP?BP，

?△APC≌△BPC．又PC?AC，?PC?BC．

?AC?BC?C，?PC?平面ABC．?AB?平面ABC，?PC?AB．-----------3分

（Ⅱ）如图，以C为原点建立空间直角坐标系C?xyz．

z 0，，0)A(0，2，，0)B(2，0，0)． 则C(0，0，t)．?PB?AB?22， 设P(0，?t?2，P(0，0，2)．取AP中点E，连结BE，CE．

E y A P H x B C ?AC?PC，AB?BP，?CE?AP，BE?AP．

??BEC是二面角B?AP?C的平面角．

?????????E(011)，，，EC?(0，?1，?1)，EB?(2，?1，?1)，

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cos?BEC?EC?EBECEB?22?6?3． 33．---------------------------------------------------9分 3?二面角B?AP?C的大小为arccos（Ⅲ）?AC?BC?PC，

?C在平面APB内的射影为正△APB的中心H，且CH的长为点C到平面APB的距离．

如（Ⅱ）建立空间直角坐标系C?xyz．

????23?????????222??BH?2HE，?点H的坐标为?，，?．?CH?．

3?333??点C到平面APB的距离为23．-----------------------------------------------------------14分 3221．（本小题满分15分）已知函数f(x)?ax?底数）． （Ⅰ）当a＝

x?lnx（其中a为常数，e为自然对数的e1时，判断函数f(x)的单调性并写出其单调区间；； 2（Ⅱ）当a?0时，求证：f(x)?0没有实数解． 解：（Ⅰ）因为x >0，

11111ex2?x?e当a＝时，f'(x)?2ax??=x??=，

2exexex?1?1?4e2令f'(x)?0，所以x?，

2e?1?1?4e2令f'(x)?0，所以0?x?；

2e?1?1?4e2所以函数f(x)的单调增区间为； （，??）2e?1?1?4e2单调减区间为（0，）.-------------------------------------7分

2e （Ⅱ）解一: 令g(x)?ax?1lnx(x?0),h(x)?(x?0) ex《中学数学信息网》系列资料 WWW.ZXSX.COM 版权所有@《中学数学信息网》

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当a?0时，g(x)?1----------------------------------------------------------10分 eh'(x)?1?lnx(x?0) 2x令h'(x)?0,则x?(0,e)

所以h(x)在(0,e)上为增函数，在(e,+?）上为减函数，

1---------------------------------------------------------------13分 e1lnx 所以x >0时,g(x)>h(x)恒成立，即ax??

ex1lnx 即ax??

exx2 f(x)?ax??lnx> 0恒成立，

e所以h(x)max=h(e)=

所以f (x)=0无解.----------------------------------------------------------------------15分 解二: 设f (x)的极小值点为x0，则f(x0)?ax0?2x0?lnx0， e令g(x0)=

x011?lnx0,则g'(x0)= ?，---------------------------------10分 eex0当x0 > e 时，g'(x0)> 0, 当x0 < e 时，g'(x0)< 0, 所以g(x0)min= g(e)=0, 即

x0?lnx0>0,------------------------------------------13分 e故f(x0)?ax0?2x0?lnx0>0恒成立. e所以f (x)=0无解.----------------------------------------------------------------------15分

22、解：（１）切线l:y-3＝4(x-2)，即y＝4x-5------------------------------------------2分

代入y??m1?x?2?，

2化简并整理得(m?16)x?40x?25?m?0 （*） 由??0，

得m?0,或m＝9.-----------------------------------------------------------------------4分

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5，与已知xN?1矛盾；------------------5分 449若m＝9，代入（*）式得xN＝满足条件，且yN＝－，

5549综上，m＝9，点N的坐标为(，－).-------------------------------------------6分

55若m?0，代入（*）式得ｘＮ＝

2(２)切线l:y?t?1?2t?x?t?，即y?2tx?t2?1，----------------------------8分

??代入y??m1?x?2?，

2化简并整理得m?4t222?（*） ?x2?4t?t2?1?x??t2?1??m?0，

22222???由??16t?t?1??4?m?4t?m??t?1??4mm??t?1???0

????????2得m?0或m?t?1.-------------------------------------------------------------10分

?2?2t2?1?1，与已知xN?1矛盾； 若m?0，代入（*）式得xN?2t2若m?t?1，代入（*）式得xN???22t??0,1?满足条件， t2?1且yN?2txN?t?1??2?t2?1?t2?12，

22??t?1??2t2?。-------------------12分 ,?2因此，m??t?1?，点N的坐标为?2?t?1t?1???2 因为kAMt2?1??t?1，kAN?t?1??t2?1?2t2?1???t?1?2， 2t?1t2?1若?MAB??NAB，则kAM??kAN，即t?2，此时m?9，

故当实数m?9时，?MAB??NAB。 --------------------14分 此时kAM?1,kAN??1，?MAB??NAB?45， 易得M?2,3?，N?,??，

此时MN所在直线的方程为y?4x?5.----------------------------------------------15分

??4?59?5?《中学数学信息网》系列资料 WWW.ZXSX.COM 版权所有@《中学数学信息网》

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