浙江省温州市2009学年第二学期高二期末四校联考数学理科试卷2010
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温州市2009学年第二学期高二年级期末四校联考
(数学理科试卷)(考试时间:120分钟 总分:150分)
命题人:苍南中学 陈珍艳 审题人:苍南中学 戴寿旺 一、选择题(本题共10个小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。) 1.复数z?2?i,则它的共轭复数z在复平面内对应的点位于 A.第一象限 2.已知直线l:?A.
B.第二象限
C.第三象限
( )
D.第四象限
?x?1 (t为参数)的倾斜角是( )
y?1?t??????? B.?? C. ?? D. 64323.已知m,n是两条不同直线,α,β,γ是三个不同平面,下列命题中正确的是( ) A.若m∥α,n∥α,则m∥n; B.若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β; C.若m∥α,m∥β,则α∥β; D.若m⊥α,n⊥α,则m∥n . 4.下列命题正确的是( )
A.若p?q为假,则p,q均为假命题;
2
B.“x?2”是“x-3x+2?0”的充分不必要条件;
C.对命题p:?x?R,使得x+x+1?0,则?p为?x?R,均有x+x+1?0;
2
2
D.命题“若x-3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x=1,则x-3x+2?0”.
2
2
x2y2??1的右焦点为圆心,且与其渐近线相切的圆的方程是( ) 5.以双曲线
916A.x+y+10x+16=0 B.x+y-10x+16=0 C.x+y-10x+9=0 D.x+y+10x+9=0
6.用数学归纳法证明(n?1)(n?2)?(n?n)?2n?1?3?(2n?1)(n?N*)时,从“n?k到
2
2
2
2
2
2
2
2
n?k?1”左边需增乘的代数式( )
A.2k?1 B.2(2k?1) C.
2k?12k?3 D. k?1k?17.设集合A=?x||x?a|?1,x?R?,B??x||x?b|?2,x?R?.若A?B,则实数a,b必满 足 ( )
A.|a?b|?3 B.|a?b|?3
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C.|a?b|?3 D.|a?b|?3
8.已知函数f?x??Asin(?x??)的导函数 f?(x)在一个周期内的图象如图所示, 则函数f(x)的
解析式可以是 ( ) A.y?sin(2x??6) B.y?sin(2x?6?3)
C.y?2sin(2x??) D.y?2sin(2x??3)
x2y29. 已知F1(?c,0),F2(c,0)为椭圆2?2?1的两个焦点,
ab2(第8题图)
P为椭圆上一点且PF1?PF2?c,则此椭圆离心率e的取值范围是 ( ) A.[332211,1) B.[,] C.[,] D.(0,] 33223210.如图,坐标纸上的每个单元格的边长为1,由下往上的六个点:编号为1,2,3,4,5,6的
横纵坐标分别对应数列?an?(n?N*)的前12项,如下表所示,
按如此规律下去,则a2010+a2011+a2012=( ) A.1003 B.1005 C.1508 D.2011
二、填空题:(本题共7小题,每小题4分,共28分)
x?2cos?,(θ为参数)化为普通方程为 . 11.曲线???y?sin?12. 不等式|x+1|+|x-2|?4的解集为 . 13.函数y?5x?4?125?x的最大值是 . 214.过抛物线y?8x的焦点的弦AB以?4,a?为中点,则|AB|= .
15.直线θ=-
??被曲线ρ=2cos(θ+)所截得的弦的弦长为 . 44D C
16.如图,已知等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB,
3二面角C?AB?D的余弦值为,M分别是AC的中点,
3E 则EM,DE所成角的余弦值等于 .
17.将边长为1m的正三角形薄铁皮沿一条平行于某边的直线剪成两块,
M A 第16题
B 《中学数学信息网》系列资料 WWW.ZXSX.COM 版权所有@《中学数学信息网》
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2(梯形的周长)其中一块是梯形.s?,则s的最小值是 梯形的面积三、解答题:本大题共5大题,共72分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 18.(本题满分14分) 设x?0,y?0,z?0,且x+y+z=1.
2
2
2
(Ⅰ)求证:xy+yz+xz≤1; (Ⅱ)求(
yzxzxy2
)的最小值. ??xyz19.(本题满分14分)(Ⅰ)求极坐标方程?sin2??2?cos??0表示的曲线的焦点坐标; (Ⅱ)设直线l:??x?2?3t, (t为参数)与题(Ⅰ)中的曲线交于A、B两点,若P(2,3),
?y?3?4t 求PA?PB的值.
?20.(本题满分14分) 如图,在三棱锥P?ABC中,AC?BC?2,?ACB?90,
P
AP?BP?AB,PC?AC.
(Ⅰ)求证:PC?AB;
(Ⅱ)求二面角B?AP?C的大小; (Ⅲ)求点C到平面APB的距离. 21.(本小题满分15分)
已知函数f(x)?ax?(Ⅰ)当a=
2D
A
C
B
x?lnx(其中a为常数,e为自然对数的底数). e1时,判断函数f(x)的单调性并写出其单调区间;; 2(Ⅱ)当a?0时,求证:f(x)?0没有实数解.
222. (本小题满分15分)如图,A??1,0?,B?1,0?,过曲线C1:y?x?1x?1上一点M的切
??线l,与曲线C2:y??m1?x?2??x?1?也相切于点N.记点M的横坐标为t?t?1?.
(Ⅰ)当t=2时,求实数m的值和点N的坐标; (Ⅱ)当实数m取何值时,?MAB??NAB?
并求此时MN所在直线的方程.
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温州市2009学年第二学期高二年级期末四校联考
(数学理科答案)
一、选择题:(本题共10个小题,每小题5分,共50分)
答案 DCC
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 二、填空题答案(本题共7小题,每小题4分,共28分)
35x2?y2?1 12、{x|x?-,或x?} 13、13 11、
224 14、12 15、2 16、
3323 17、 63 三、解答题:本大题共5大题,共72分.在规定框内解答,应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 18.解:(1)因为x+y≥2xy; y+z≥2yz; x+z≥2xz; 所以x+y+z≥xy+yz+xz; 故xy+yz+xz≤1,
当且仅当x=y=z时取等号;---------------------6分
2
2
22
2
2
2
2
2
y2z2x2y2y2z2x2z2x2z2x2y2222
(2)因为2?2≥2z;2?2≥2y;2?2≥2x
xzxyyzy2z2x2z2x2y2222
所以2?2+2≥x+y+z=1;
zxyyzxzxy2y2z2x2z2x2y2222
?? 而()=2?2+2+2(x+y+z)≥3
zxyzxy 所以(
yzxzxy2
??)≥3,当且仅当x=y=z时取等号; xyzyzxzxy23??时,()的最小值为3.------------14分 xyz3 故当x=y=z=
19、解:(1)解(1)由??(?sin2??2?cos?)?(?sin?)2?2??cos??0
得y2?2x ------------(4分)
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焦点(,0) ------------(6分) (2)设A,B两点对应的参数分别为t1, t2,(t1,t2?R)
123?x?2?t,??5将?代入y2?2x ------------(9分) ?y?3?4t?5?16218t?t?5?0 ------------ (11分)255
125?t1t2?
16125即PA?PB=t1t2? ------------(14分)
16得20.解法一:
(Ⅰ)取AB中点D,连结PD,CD.
?AP?BP,?PD?AB.?AC?BC,?CD?AB.
?PD?CD?D,?AB?平面PCD.
?PC?平面PCD,?PC?AB.-------------------------------------------------3分
(Ⅱ)?AC?BC,AP?BP,
P
?△APC≌△BPC.
又PC?AC,?PC?BC.
A
?又?ACB?90,即AC?BC,且AC?PC?C,
D
B
C ?BC?平面PAC.
取AP中点E.连结BE,CE.
?AB?BP,?BE?AP.
P E A
B
C ?EC是BE在平面PAC内的射影,?CE?AP. ??BEC是二面角B?AP?C的平面角.
?在△BCE中,?BCE?90,BC?2,BE?3AB?6, 2?sin?BEC?BC6?. BE3《中学数学信息网》系列资料 WWW.ZXSX.COM 版权所有@《中学数学信息网》
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?二面角B?AP?C的大小为arcsin(Ⅲ)由(Ⅰ)知AB?平面PCD,
6.--------------------------------------------9分 3?平面APB?平面PCD.
过C作CH?PD,垂足为H.
P
H D
?平面APB?平面PCD?PD,?CH?平面APB.
?CH的长即为点C到平面APB的距离.
由(Ⅰ)知PC?AB,又PC?AC,且AB?AC?A,
A
C B
?PC?平面ABC.?CD?平面ABC,?PC?CD.
在Rt△PCD中,CD?13AB?2,PD?PB?6, 22?PC?PD2?CD2?2.CH?PC?CD23. ?PD3?点C到平面APB的距离为解法二:
23.------------------------------------------------------------14分 3(Ⅰ)?AC?BC,AP?BP,
?△APC≌△BPC.又PC?AC,?PC?BC.
?AC?BC?C,?PC?平面ABC.?AB?平面ABC,?PC?AB.-----------3分
(Ⅱ)如图,以C为原点建立空间直角坐标系C?xyz.
z 0,,0)A(0,2,,0)B(2,0,0). 则C(0,0,t).?PB?AB?22, 设P(0,?t?2,P(0,0,2).取AP中点E,连结BE,CE.
E y A P H x B C ?AC?PC,AB?BP,?CE?AP,BE?AP.
??BEC是二面角B?AP?C的平面角.
?????????E(011),,,EC?(0,?1,?1),EB?(2,?1,?1),
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cos?BEC?EC?EBECEB?22?6?3. 33.---------------------------------------------------9分 3?二面角B?AP?C的大小为arccos(Ⅲ)?AC?BC?PC,
?C在平面APB内的射影为正△APB的中心H,且CH的长为点C到平面APB的距离.
如(Ⅱ)建立空间直角坐标系C?xyz.
????23?????????222??BH?2HE,?点H的坐标为?,,?.?CH?.
3?333??点C到平面APB的距离为23.-----------------------------------------------------------14分 3221.(本小题满分15分)已知函数f(x)?ax?底数). (Ⅰ)当a=
x?lnx(其中a为常数,e为自然对数的e1时,判断函数f(x)的单调性并写出其单调区间;; 2(Ⅱ)当a?0时,求证:f(x)?0没有实数解. 解:(Ⅰ)因为x >0,
11111ex2?x?e当a=时,f'(x)?2ax??=x??=,
2exexex?1?1?4e2令f'(x)?0,所以x?,
2e?1?1?4e2令f'(x)?0,所以0?x?;
2e?1?1?4e2所以函数f(x)的单调增区间为; (,??)2e?1?1?4e2单调减区间为(0,).-------------------------------------7分
2e (Ⅱ)解一: 令g(x)?ax?1lnx(x?0),h(x)?(x?0) ex《中学数学信息网》系列资料 WWW.ZXSX.COM 版权所有@《中学数学信息网》
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当a?0时,g(x)?1----------------------------------------------------------10分 eh'(x)?1?lnx(x?0) 2x令h'(x)?0,则x?(0,e)
所以h(x)在(0,e)上为增函数,在(e,+?)上为减函数,
1---------------------------------------------------------------13分 e1lnx 所以x >0时,g(x)>h(x)恒成立,即ax??
ex1lnx 即ax??
exx2 f(x)?ax??lnx> 0恒成立,
e所以h(x)max=h(e)=
所以f (x)=0无解.----------------------------------------------------------------------15分 解二: 设f (x)的极小值点为x0,则f(x0)?ax0?2x0?lnx0, e令g(x0)=
x011?lnx0,则g'(x0)= ?,---------------------------------10分 eex0当x0 > e 时,g'(x0)> 0, 当x0 < e 时,g'(x0)< 0, 所以g(x0)min= g(e)=0, 即
x0?lnx0>0,------------------------------------------13分 e故f(x0)?ax0?2x0?lnx0>0恒成立. e所以f (x)=0无解.----------------------------------------------------------------------15分
22、解:(1)切线l:y-3=4(x-2),即y=4x-5------------------------------------------2分
代入y??m1?x?2?,
2化简并整理得(m?16)x?40x?25?m?0 (*) 由??0,
得m?0,或m=9.-----------------------------------------------------------------------4分
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5,与已知xN?1矛盾;------------------5分 449若m=9,代入(*)式得xN=满足条件,且yN=-,
5549综上,m=9,点N的坐标为(,-).-------------------------------------------6分
55若m?0,代入(*)式得xN=
2(2)切线l:y?t?1?2t?x?t?,即y?2tx?t2?1,----------------------------8分
??代入y??m1?x?2?,
2化简并整理得m?4t222?(*) ?x2?4t?t2?1?x??t2?1??m?0,
22222???由??16t?t?1??4?m?4t?m??t?1??4mm??t?1???0
????????2得m?0或m?t?1.-------------------------------------------------------------10分
?2?2t2?1?1,与已知xN?1矛盾; 若m?0,代入(*)式得xN?2t2若m?t?1,代入(*)式得xN???22t??0,1?满足条件, t2?1且yN?2txN?t?1??2?t2?1?t2?12,
22??t?1??2t2?。-------------------12分 ,?2因此,m??t?1?,点N的坐标为?2?t?1t?1???2 因为kAMt2?1??t?1,kAN?t?1??t2?1?2t2?1???t?1?2, 2t?1t2?1若?MAB??NAB,则kAM??kAN,即t?2,此时m?9,
故当实数m?9时,?MAB??NAB。 --------------------14分 此时kAM?1,kAN??1,?MAB??NAB?45, 易得M?2,3?,N?,??,
此时MN所在直线的方程为y?4x?5.----------------------------------------------15分
??4?59?5?《中学数学信息网》系列资料 WWW.ZXSX.COM 版权所有@《中学数学信息网》
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