材料力学答案

第二章 轴向拉压应力与材料的力学性能

2-1 试画图示各杆的轴力图。

题2-1图

解：各杆的轴力图如图2-1所示。

图2-1

2-2试画图示各杆的轴力图，并指出轴力的最大值。图a与b所示分布载荷均沿杆轴

均匀分布，集度为q。

(a)解：由图2-2a(1)可知，

轴力图如图2-2a(2)所示，

题2-2图

FN(x)?2qa?qx

1

FN,max?2qa

(b)解：由图2-2b(2)可知，

轴力图如图2-2b(2)所示，

图2-2a

FR?qa FN(x1)?FR?qa

FN(x2)?FR?q(x2?a)?2qa?qx2

FN,max?qa

图2-2b

2-3 图示轴向受拉等截面杆，横截面面积A=500mm，载荷F=50kN。试求图示斜截

2

面m-m上的正应力与切应力，以及杆内的最大正应力与最大切应力。

题2-3图

解：该拉杆横截面上的正应力为

F50?103Nζ???1.00?108Pa?100MPa －62A500?10m斜截面m-m的方位角α??50?，故有

2

ζ??ζcos2α?100MPa?cos2(?50?)?41.3MPa

ζηα?sin2α?50MPa?sin(?100?)??49.2MPa

2杆内的最大正应力与最大切应力分别为

ζmax?ζ?100MPa

ηmax?ζ?50MPa 22-5 某材料的应力-应变曲线如图所示，图中还同时画出了低应变区的详图。试确定

材料的弹性模量E、比例极限?p、屈服极限?s、强度极限?b与伸长率?，并判断该材料属于何种类型（塑性或脆性材料）。

题2-5

解：由题图可以近似确定所求各量。

该材料属于塑性材料。

Δζ220?106PaE???220?109Pa?220GPa

Δε0.001ζp?220MPa, ζs?240MPa

ζb?440MPa, δ?29.7%

2-7 一圆截面杆，材料的应力-应变曲线如题2-6图所示。若杆径d =10mm，杆长

l =200mm，杆端承受轴向拉力F = 20kN作用，试计算拉力作用时与卸去后杆的轴向变形。

3

题2-6图

F4?20?103N解： ζ???2.55?108Pa?255MPa 22Aπ?0.010m查上述ζ?ε曲线，知此时的轴向应变为 ε?0.0039?0.39% 轴向变形为

拉力卸去后，有

故残留轴向变形为

Δl?lε?(0.200m)?0.0039?7.8?10?4m?0.78mm

εe?0.00364， εp?0.00026

Δl?lεp?(0.200m)?0.00026?5.2?10?5m?0.052mm

2-9 图示含圆孔板件，承受轴向载荷F作用。已知载荷F =32kN，板宽b =100mm，

板厚??15mm，孔径d =20mm。试求板件横截面上的最大拉应力（考虑应力集中）。

题2-9图

解：根据

查应力集中因数曲线,得

根据 得

d/b?0.020m/(0.100m)?0.2

K?2.42

ζF， K?max

(b?d)δζnζn? 4

ζmaxKF2.42?32?103N?Kζn??＝6.45?107Pa?64.5MPa 2(b?d)δ(0.100－0.020)?0.015m2-10 图示板件，承受轴向载荷F作用。已知载荷F=36kN，板宽b=90mm，b=60mm，

1

2

板厚?=10mm，孔径d =10mm，圆角半径R =12mm。试求板件横截面上的最大拉应力（考虑应力集中）。

题2-10图

解：1.在圆孔处

根据

查圆孔应力集中因数曲线，得 故有

d0.010m??0.1111 b10.090mK1?2.6

ζmaxK1F2.6?36?103N8?K1ζn1???1.17?10Pa?117MPa 2(b1－d)δ(0.090－0.010)?0.010m2．在圆角处

根据

Db10.090m???1.5 db20.060mRR0.012m???0.2 db20.060m查圆角应力集中因数曲线，得 故有

3. 结论

K2?1.74

ζmax?K2ζn2K2F1.74?36?103N8???1.04?10Pa?104MPa b2δ0.060?0.010m2ζmax?117MPa（在圆孔边缘处）

图示桁架，承受铅垂载荷F作用。设各杆的横截面面积均为A，许用应力均为

2-14

[?]，试确定载荷F的许用值[F]。

5

2.求变形和位移 由图3-11b得 及

3.求θ的最佳值 由dΔBy/dθ?0，得 由此得

图3-11

Δl1?FN1l1Fl2Fl2Flctanθ ?， Δl2＝N22?2EA1EA1sin2θEA2EA2Δl1Δl2Fl22ctan2θΔBy???(?)

sinθtanθEA1sin2θsinθA2?2(2cos2θsinθ?cosθsin2θ)2ctanθ?csc2θ??0 22A1A2sin2θsinθ2A1cos3θ?A2(1?3cos2θ)?0

将A1与A2的已知数据代入并化简，得

cos3θ?12.09375cos2θ?4.03125?0

解此三次方程，舍去增根，得

由此得θ的最佳值为

cosθ?0.564967 θopt?55.6?

3-12 图示桁架，承受载荷F作用。设各杆的长度为l，横截面面积均为A，材料的

应力应变关系为?n=B?，其中n与B为由试验测定的已知常数。试求节点C的铅垂位移。

21

解：两杆的轴力均为

轴向变形则均为

于是得节点C的铅垂位移为

题3-12图

FN?F 2cos?nFl? ?l??l?l?????2Acos??BB?lFnl ΔCy??cos?2nAnBcosn?1??n3-13 图示结构，梁BD为刚体，杆1、杆2与杆3的横截面面积与材料均相同。在

梁的中点C承受集中载荷F作用。已知载荷F = 20kN，各杆的横截面面积均为A=100mm2，弹性模量E = 200GPa，梁长l = 1 000mm。试计算该点的水平与铅垂位移。

题3-13图

解：1.求各杆轴力 由?Fx?0，得

由?Fy?0，得

2．求各杆变形

FN2?0

FN1?FN3?F?10kN 2 22

Δl2?0

FN1l10?103?1.000-4 Δl1??m?5.0?10m?0.50mm?Δl3 9?6EA200?10?100?103．求中点C的位移 由图3-13易知，

图3-13

Δx?Δl1?0.50mm(?)， Δy?Δl1?0.50mm(?)

3-14 图a所示桁架，承受载荷F作用。设各杆各截面的拉压刚度均为EA，试求节

点B与C间的相对位移?B/C。

题3-14图

解：1. 内力与变形分析

利用截面法，求得各杆的轴力分别为

FN1?FN2?FN3?FN4?F （拉力） 2FN5?F （压力）

于是得各杆得变形分别为

?l1??l2??l3??l4?Fl (伸长) 2EA 23

?l5? 2. 位移分析

F?2l2Fl? (缩短) EAEA如图b所示，过d与g分别作杆2与杆3的平行线，并分别与节点C的铅垂线相交于e与h，然后，在de与gh延长线取线段?l3与?l2，并在其端点m与n分别作垂线，得交点C’，即为节点C的新位置。

可以看出，

?l5?2FlFl?2?2Fl ΔB/C?2?Ci?iC'??2??2?l3??2?????2?EA?2??2EA2EA???3-15 如图所示桁架，设各杆各截面的拉压刚度均为EA，试用能量法求载荷作用点

沿载荷作用方向的位移。

题3-15图

(a)解：各杆编号示如图3-15a，各杆轴力依次为

该桁架的应变能为

2FN112212F2l22?1iliVε???(F?l?2?Fl)?()

2EA2EA2242EA4i?13FN1?221F， FN2??F， FN3?F 222

依据能量守恒定律，

图3-15

FΔ?Vε 2 24

最后得

2F2l22?1(22?1)Fl (?) Δ??()?F2EA44EA(b)解：各杆编号示如图b 列表计算如下：

i 1 2 3 4 5 FNi li 2FNili F 0 F F ?2F l l l l 2l F2l 0 F2l F2l 22F2l (3?22)F2l ?于是，

依据能量守恒定律， 可得

2FN(3?22)F2liliVε???

2EA2EAi?15FΔ?Vε 2Δ?(3?22)Fl (?)

EA3-16 图示桁架，承受载荷F作用。设各杆各截面的拉压刚度均为EA，试用能量法

求节点B与C间的相对位移?B/C。

题3-16图

解：依据题意，列表计算如下：

i 1 2 FNi 2F/2 2F/2 li l l 2FNili F2l/2 F2l/2 25

3 4 5 2F/2 2F/2 ?F l l 2l F2l/2 F2l/2 2F2l (2?2)F2l ?

由表中结果可得

依据 得

2FN(2?2)F2lili Vε???2EAi?12EA5W?V?

ΔB/C?(2?2)Fl (??)

EA3-17 图示变宽度平板，承受轴向载荷F作用。已知板的厚度为?，长度为l，左、右

端的宽度分别为b1与b2，弹性模量为E，试用能量法计算板的轴向变形。

题3-17图

解：对于变截面拉压板件，应变能的表达式为

22lFNFNV???dx??dx

02EA(x)02E?b(x)l(a)

由图可知，若自左向右取坐标x，则该截面的宽度为

b(x)?b1?b2?b1x l将上式代入式（a）,并考虑到FN?F,于是得

b1F2F2l Vε??dx?ln2

02E?b?b2Eδ(b2?b1)b1δ?b1?21x??l??设板的轴向变形为?l，则根据能量守恒定律可知，

l 或

FΔl?Vε 2bFΔlF2l?ln2 22Eδ(b2?b1)b1 26

由此得

Δl?bFlln2

Eδ(b2?b1)b13-19 图示各杆，承受集中载荷F或均布载荷q作用。各杆各截面的的拉压刚度均

为EA，试求支反力与最大轴力。

题3-19图 (a)解：杆的受力如图3-19a(1)所示，平衡方程为

?Fx?0, F?F?FAx?FBx?0

一个平衡方程，两个未知支反力，故为一度静不定。

AC，CD与DB段的轴力分别为 由于杆的总长不变，故补充方程为

图3-19a

FN1?FAx, FN2?FAx?F, FN3?FAx?2F

?l?得

FAxa?FAx?F?a?FAx?2F?a???0 EAEAEAFAx?F?0

由此得

FAx?F FBx?2F?FAx?F

杆的轴力图如3-19a(2)所示，最大轴力为

27

FN,max?F

(b)解：杆的受力如图3-19b(1)所示，平衡方程为

?Fx?0, qa?FAx?FBx?0

一个平衡方程，两个未知支反力，故为一度静不定。

AC与CB段的轴力分别为 由于杆的总长不变，故补充方程为

图3-19b

FN1?FAx, FN2?FAx?qx

FAxa1a?FAx?qx?dx?0 ?l???0EAEA得

qa2?1??2FAxa???0 EA?2?由此得

FAx?qa 43qa 4FBx?qa?FAx?杆的轴力图如3-19b(2)所示，最大轴力为

FN?max3qa 43-20

图示结构，杆1与杆2的横截面面积相同，弹性模量均为E，梁BC为刚体，

载荷F=20kN，许用拉应力[?t]=160MPa, 许用压应力[?c]=110MPa，试确定各杆的横截面面积。

28

题3-20图

解：容易看出，在载荷F作用下，杆2伸长，杆1缩短，且轴向变形相同，故FN2为拉力， FN1为压力，且大小相同，即

FN2?FN1

以刚性梁BC为研究对象，铰支点为矩心，由平衡方程

?M?0, FN2?a?FN1?a?F?2a?0

由上述二方程，解得

FN2?FN1?F

根据强度条件，

FN120?103NA1???1.818?10?4m2 6[?c]110?10PaFN220?103NA2???1.25?10?4m2 6[?t]160?10Pa取

A1?A2?182mm2

3-21 图示桁架，承受铅垂载荷F作用。设各杆各截面的拉压刚度相同，试求各杆轴

力。

题3-21图

(a)解：此为一度静不定桁架。

设FN,AB以压为正，其余各段轴力以拉力为正。先取杆AB为研究对象，由?Fy?0，得

FN,BC?FN,AB?F

(a)

后取节点A为研究对象，由?Fx?0和?Fy?0依次得到

29

及

FN,AD?FN,AG

(b)

2FN,ADcos45??FN,AB

在节点A处有变形协调关系（节点A铅垂向下）

(c)

物理关系为

ΔlBC?ΔlAB?ΔlAD?2ΔlAD ?cos45FN,AD2lEA(d)

ΔlBC?FN,BClEA， ΔlAB?FN,ABlEA， ΔlAD??ΔlAG

(e)

将式(e)代入式(d)，化简后得

联解方程(a)， (c)和(d)?，得

FN,BC?FN,AB?2FN,AD

(d)?

2?122?2， FN,AB?， FN,AD?FN,AG?F（拉）F（压）F（拉）

222(b)解：此为一度静不定问题。 FN,BC?考虑小轮A的平衡，由?Fy?0，得 由此得

FN1sin45??F?0

FN1?2F

在F作用下，小轮A沿刚性墙面向下有一微小位移，在小变形条件下，Δl2?0，故有

FN2?0

FN1的水平分量由刚性墙面提供的约束反力来平衡。

3-22 图示桁架，杆1、杆2与杆3分别用铸铁、铜和钢制成，许用应力分别为

[?1]=40MPa，[?2]=60MPa，[?3]=120MPa，弹性模量分别为E1=160GPa，E2=100GPa，E3=200GPa。若载荷F=160kN，A1= A2= 2A3，试确定各杆的横截面面积。

30

Δ?2FN1l2FN43lFN3l ??EAEA3EA(e)

联立求解补充方程(e)、平衡方程(a)与(b)，最后得 即

FN3?(9?23)EA(33?2)EAΔ, FN4?Δ

23l23lFN,BC?FN,GD?FN,GE?(9?23)EAΔ （拉）

23l(33?2)EAFN,CD?FN,CE?Δ （压）

23l3-27

图a所示钢螺栓，其外套一长度为l的套管。已知螺栓与套管的横截面面积分

别为Ab与At，弹性模量分别为Eb与Et，螺栓的螺距为p。现将螺母旋紧1/5圈，试求螺栓与套管所受之力。螺帽与螺母的变形忽略不计。

题3-27图

解：首先设想套管未套上，而将螺母由距螺帽l处旋转1/5圈，即旋进?=p/5的距离。然后，再将套管套上。由于螺帽与螺母间的距离小于套管的长度，故套合后的螺栓将受拉，而套管则受压。

设螺栓所受拉力为FNb，伸长为?lb，套管所受压力为FNt，缩短为?lt，则由图b与c可知，平衡方程为

而变形协调方程则为

利用胡克定律，得补充方程为

FNb?FNt?0

(a)

?lb??lt??

FNblFNtl??? AbEbAtEt(b)

最后，联立求解平衡方程（a）与补充方程（b），得螺栓与套管所受之力即预紧力为

?AbEbFN0?FNb?FNt?

l?1?k?式中，

36

k?AbEb AtEt3-28 图示组合杆，由直径为30mm的钢杆套以外径为50mm、内径为30mm的铜管

组成，二者由两个直径为10mm的铆钉连接在一起。铆接后，温度升高40℃，试计算铆钉剪切面上的切应力。钢与铜的弹性模量分别为Es = 200GPa与Ec=100GPa，线膨胀系数分别为

?ls=12.5×10-6℃-1与?lc=16×10-6℃-1。

题3-28图

解：设温度升高?T时钢杆和铜管自由伸长量分别为δTs和δTc，由于二者被铆钉连在一起，变形要一致，即变形协调条件为

或写成

δTs?Δls?δTc?Δlc

Δls?Δlc?δTc?δTs

这里，伸长量Δls和缩短量Δlc均设为正值。

引入物理关系，得

FNslFNcl??(αlc?αls)lΔT EsAsEcAc将静力平衡条件FNs?FNc?F代入上式，得

F?EsAsEcAc(αlc?αls)ΔT

EsAs?EcAc注意到每个铆钉有两个剪切面，故其切应力为 由此得

η?FSFEsAsEcAc(αlc?αls)ΔT ??A2A2A(EsAs?EcAc)

200?109?0.0302?100?109(0.0502?0.0302)(16?12.5)?10?6?40N?? 2?0.0102[200?109?0.0302?100?109(0.0502?0.0302)]m2 ?5.93?107Pa?59.3MPa3-29图示结构，杆1与杆2各截面的拉压刚度均为EA，梁BD为刚体，试在下列两

37

种情况下，画变形图，建立补充方程。

(1) 若杆2的实际尺寸比设计尺寸稍短，误差为?；

(2) 若杆1的温度升高?T，材料的热膨胀系数为?l。

题3-29图

(1)解：如图3-29(1)a所示，当杆2未与刚性杆BD连接时，下端点位于D??，即DD????。 当杆2与刚性杆BD连接后，下端点铅垂位移至D?，同时，杆1的下端点则铅垂位移至C?。过C?作直线C’e垂直于杆1的轴线，显然Ce?Δl1，即代表杆1的弹性变形，同时，D?D???Δl2，即代表杆2的弹性变形。与上述变形相应，杆1受压，杆2受拉，刚性杆BD的受力如图3-29(1)b所示。

图3-29(1)

可以看出，

DD??2CC?

即变形协调条件为

??Δl2?2?2Δl1

而补充方程则为

??或

F2l4F1l??0 EAEAEA??0 l (2)解：如图3-29(2)a所示，当杆1未与刚性杆BD连接时，由于其温度升高，下端点位

F2?4F1?于C??，即CC????l2lΔT。当杆1与刚性杆BD连接后，下端点C铅垂位移至C?，而杆2的下端点D则铅垂位移至D?。过C?作直线C’e垂直于直线CC??，显然，eC???Δl1即代表杆1

38

的弹性变形，同时，DD??Δl2，代表杆2的弹性变形。与上述变形相应，杆1受压，杆2受拉，刚性杆BD的受力如图3-29(2)b所示。

图3-29(2)

可以看出，

DD??2CC?

故变形协调条件为

Δl2?2?2?l2lΔT?Δl1

而补充方程则为

???F2lF1?2l???22??2lΔT??l? EAEA??或

F2?4F1?4EA?lΔT?0

3-30 图示桁架，三杆的横截面面积、弹性模量与许用应力均相同，并分别为A，E

与[?]，试确定该桁架的许用载荷[F]。为了提高许用载荷之值，现将杆3的设计长度l变为

l?Δ。试问当?为何值时许用载荷最大，其值[F]max为何。

题3-30图

解:此为一度静不定问题。

节点C处的受力及变形示如图3-30a和b。

39

图3-30

由图a得平衡方程为

FN1?FN2， 2FN1cos30??FN3?F

由图b得变形协调条件为

(a)

依据胡克定律,有

Δl1?Δl3cos30?

(b)

FNili (i?1,2,3) EA将式(c)代入式(b)，化简后得补充方程为

4 FN3?FN1

3将方程(b’)与方程(a)联解，得

34 FN1?FN2?F， FN3?F?FN1

4?334?33

Δli?(c)

(b’)

由此得

ζmax?FN34F??[ζ] A(4?33)A(4?33)[?]A(4?33)[?]A , [F]?44为了提高[F]值，可将杆3做长?，由图b得变形协调条件为

F?

Δl3?Δ?Δl1

cos30?式中，?l3与?l1均为受载后的伸长，依题意，有了?后，应使三根杆同时达到[ζ]，即 由此得

[ζ]4[ζ]l?Δ?l E3E[ζ]l[ζ]l4 Δ?(?1)?3E3E此时，各杆的强度均充分发挥出来，故有

[F]max?2([?]Acos30?)?[?]A?(1?3)[?]A

40

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