中考--压轴--等腰三角形（附详细解析）

2012中考数学压轴题函数等腰三角形问题(一)

例1 如图1，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC的中点．P(0,m)是

线段OC上一动点（C点除外），直线PM交AB的延长线于点D．

（1）求点D的坐标（用含m的代数式表示）； （2）当△APD是等腰三角形时，求m的值；

（3）设过P、M、B三点的抛物线与x轴正半轴交于点E，过点O作直线ME的垂线，垂足为H（如图2）．当点P从O向C运动时，点H也随之运动．请直接写出点H所经过的路长（不必写解答过程）．

思路点拨

图1 图2

1．用含m的代数式表示表示△APD的三边长，为解等腰三角形做好准备． 2．探求△APD是等腰三角形，分三种情况列方程求解．

3．猜想点H的运动轨迹是一个难题．不变的是直角，会不会找到不变的线段长呢？Rt△OHM的斜边长OM是定值，以OM为直径的圆过点H、C．

满分解答

（1）因为PC//DB，所以点D的坐标为(2，4－m)．

（2）在△APD中，AD2?(4?m)2CPBD?PMDM?MCMB?1．因此PM＝DM，CP＝BD＝2－m．所以AD＝4－m．于是得到

，AP2?m2?4，PD2?32?(2PM)?4?4(2?m)22．

①当AP＝AD时，(4?m)2?m2?4．解得m②当PA＝PD时，m2?4（如图3）．

43??4?4(2?m)2．解得m?（如图4）或m23?4（不合题意，舍去）． （不合题意，舍去）．

③当DA＝DP时，(4?m)2?4?4(2?m)2．解得m（如图5）或m4323?2综上所述，当△APD为等腰三角形时，m的值为，或．

23

图3 图4 图5

（3）点H所经过的路径长为54?．

考点伸展

第（2）题解等腰三角形的问题，其中①、②用几何说理的方法，计算更简单： ①如图3，当AP＝AD时，AM垂直平分PD，那么△PCM∽△MBA．所以PCCM?MBBA?12．因此PC．解得m?12，m?32．

②如图4，当PA＝PD时，P在AD的垂直平分线上．所以DA＝2PO．因此4?m第（2）题的思路是这样的：

?2m?43．

如图6，在Rt△OHM中，斜边OM为定值，因此以OM为直径的⊙G经过点H，也就是说点H在圆弧上运动．运动过的圆心角怎么确定呢？如图7，P与O重合时，是点H运动的起点，∠COH＝45°，∠CGH＝90°．

图6 图7

例2 如图，已知一次函数y＝－x＋7与正比例函数y?（1）求点A和点B的坐标；

43x的图象交于点A，且与x轴交于点B．

（2）过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l//y轴．动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O—C—A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒．

①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？

②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．

思路点拨

1．把图1复制若干个，在每一个图形中解决一个问题．

2．求△APR的面积等于8，按照点P的位置分两种情况讨论．事实上，P在CA上运动时，高是定值4，最大面积为6，因此不存在面积为8的可能．

3．讨论等腰三角形APQ，按照点P的位置分两种情况讨论，点P的每一种位置又要讨论三种情况．

满分解答

?y??x?7,（1）解方程组?4?y?x,?3? 得??x?3,?y?4. 所以点A的坐标是(3，4)．

令y??x?7?0，得x?7．所以点B的坐标是(7，0)． （2）①如图2，当P在OC上运动时，0≤t＜4．由S△APR?S梯形CORA?S△ACP?S△POR?8，得

1112（3+7?t)?4??4?(4?t)??t(7?t)?8．整理，得t?8t?12?0．解得222t＝2或t＝6（舍去）．如图3，当P在

CA上运动时，△APR的最大面积为6．

因此，当t＝2时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8．

图2 图3 图4

②我们先讨论P在OC上运动时的情形，0≤t＜4．

如图1，在△AOB中，∠B＝45°，∠AOB＞45°，OB＝7，AB＞∠B．

如图4，点P由O向C运动的过程中，OP＝BR＝RQ，所以PQ//x轴．

因此∠AQP＝45°保持不变，∠PAQ越来越大，所以只存在∠APQ＝∠AQP的情况． 此时点A在PQ的垂直平分线上，OR＝2CA＝6．所以BR＝1，t＝1． 我们再来讨论P在CA上运动时的情形，4≤t＜7． 在△APQ中，

cos?A?35?42，所以OB＞AB．因此∠OAB＞∠AOB

为定值，AP?7?t，AQ?OA?OQ?OA?53OR?53t?203．

如图5，当AP＝AQ时，解方程7?t?53t?203，得t?418．

如图6，当QP＝QA时，点Q在PA的垂直平分线上，AP＝2(OR－OP)．解方程7?t?2[(7?t)?(t?4)]，得t1?5．

如7，当PA＝PQ

时，那么cos?A?2AQAP．因此AQ?2AP?cos?A．解方程5t?3203?2(7?t)?35，得t?22643．

综上所述，t＝1或41或5或226时，△APQ是等腰三角形．

843

图5 图6 图7

考点伸展当P在CA上，QP＝QA时，也可以用AP?2AQ?cos?A来求解．

2012中考数学压轴题函数等腰三角形问题(二)

例3 如图，在直角坐标平面内有点A(6, 0)，B(0, 8)，C(－4, 0)，点M、N分别为线段AC和射线AB上的动点，

点M以2个单位长度/秒的速度自C向A方向作匀速运动，点N以5个单位长度/秒的速度自A向B方向作匀速运动，MN交OB于点P．

(1)求证：MN∶NP为定值；

(2)若△BNP与△MNA相似，求CM的长； (3)若△BNP是等腰三角形，求CM的长．

思路点拨

1．第（1）题求证MN∶NP的值要根据点N的位置分两种情况．这个结论为后面的计算提供了方便． 2．第（2）题探求相似的两个三角形有一组邻补角，通过说理知道这两个三角形是直角三角形时才可能相似． 3．第（3）题探求等腰三角形，要两级（两层）分类，先按照点N的位置分类，再按照顶角的顶点分类．注意当N在AB的延长线上时，钝角等腰三角形只有一种情况．

4．探求等腰三角形BNP，N在AB上时，∠B是确定的，把夹∠B的两边的长先表示出来，再分类计算．

满分解答

(1)如图2，图3，作NQ⊥x轴，垂足为Q．设点M、N的运动时间为t秒． 在Rt△ANQ中，AN＝5t，NQ＝4t ，AQ＝3t．

在图2中，QO＝6－3t，MQ＝10－5t，所以MN∶NP＝MQ∶QO＝5∶3． 在图3中，QO＝3t－6，MQ＝5t－10，所以MN∶NP＝MQ∶QO＝5∶3．

(2)因为△BNP与△MNA有一组邻补角，因此这两个三角形要么是一个锐角三角形和一个钝角三角形，要么是两个直角三角形．只有当这两个三角形都是直角三角形时才可能相似．

如图4，△BNP∽△MNA，在Rt△AMN中，

ANAM?35，所以

5t10?2t?35．解得t?3031．此时CM?6031．

图2 图3 图4

(3)如图5，图6，图7中，

OPQNMPMNOP4t2585?，即

?．所以OP?t．

①当N在AB上时，在△BNP中，∠B是确定的，BP?8?8585t，BN?10?5t．

2017(Ⅰ)如图5，当BP＝BN时，解方程8?t?10?5t，得t?1017．此时CM?．

(Ⅱ)如图6，当NB＝NP时，BE?45BN．解方程

551?8?4t??，得．此时CM． 8?t?10?5t????422?5?5(Ⅲ)当PB＝PN时，BN?2145BP．解方程

12?10?5t??4?8?8?t?，得t的值为负数，因此不存在PB＝PN?5?5?的情况．

②如图7，当点N在线段AB的延长线上时，∠B是钝角，只存在BP＝BN的可能，此时BN?5t?10．解方程8?85t?5t?10，得t?3011．此时CM?6011．

图5 图6 图7

考点伸展

如图6，当NB＝NP时，△NMA是等腰三角形，BN?2145BP，这样计算简便一些．

例4 如图，在矩形ABCD中，AB＝m（m是大于0的常数），BC＝8，E为线段BC上的动点（不与B、C重合）．连

结DE，作EF⊥DE，EF与射线BA交于点F，设CE＝x，BF＝y．

（1）求y关于x的函数关系式；

（2）若m＝8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？ （3）若y?12m，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？

思路点拨

1．证明△DCE∽△EBF，根据相似三角形的对应边成比例可以得到y关于x的函数关系式． 2．第（2）题的本质是先代入，再配方求二次函数的最值．

3．第（3）题头绪复杂，计算简单，分三段表达．一段是说理，如果△DEF为等腰三角形，那么得到x＝y；一段是计算，化简消去m，得到关于x的一元二次方程，解出x的值；第三段是把前两段结合，代入求出对应的m的值．

满分解答

(1)因为∠EDC与∠FEB都是∠DEC的余角，所以∠EDC＝∠FEB．又因为∠C＝∠B＝90°，所以△DCE∽△EBF．因此

DCCE?EBBF，即

mx?8?xy182．整理，得y关于x的函数关系为y??1mx?28mx．

(2)如图2，当m＝8时，y??(3) 若y12mx?x??8m218(x?4)?2．因此当x＝4时，y取得最大值为2．

2?，那么

12m??1mx?x．整理，得x?8x?12?0．解得x＝2或x＝6．要使△DEF为等腰三

12m2角形，只存在ED＝EF的情况．因为△DCE∽△EBF，所以CE＝BF，即x＝y．将x＝y ＝2代入y＝6（如图3）；将x＝y ＝6代入y?12m?，得m

，得m＝2（如图4）．

图2 图3 图4

考点伸展

本题中蕴涵着一般性与特殊性的辩证关系，例如： 由第（1）题得到y??1mx?28mx??1m(x?8x)??21m(x?4)?216m，

那么不论m为何值，当x＝4时，y都取得最大值．对应的几何意义是，不论AB边为多长，当E是BC的中点时，BF都取得最大值．第（2）题m＝8是第（1）题一般性结论的一个特殊性．

再如，不论m为小于8的任何值，△DEF都可以成为等腰三角形，这是因为方程

x??1mx?28mx总有一个根x?8?m的．第（3）题是这个一般性结论的一个特殊性．

2012中考数学压轴题函数相似等腰三角形问题(三)

例5 已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，

OA＝2，OC＝3，过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D，连接DC，过点D作DE⊥DC，交OA于点E．

（1）求过点E、D、C的抛物线的解析式；

（2）将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与y轴的正半轴交于点F，另一边与线段OC交于点G．如果DF与（1）中的抛物线交于另一点M，点M的横坐标为，那么EF＝2GO是否成立？若成立，请给予证明；

56若不成立，请说明理由；

（3）对于（2）中的点G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q，使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的△PCG是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在成立，请说明理由．

思路点拨

1．用待定系数法求抛物线的解析式，这个解析式在第（2）、（3）题的计算中要用到． 2．过点M作MN⊥AB，根据对应线段成比例可以求FA的长． 3．将∠EDC绕点D旋转的过程中，△DCG与△DEF保持全等．

4．第（3）题反客为主，分三种情况讨论△PCG为等腰三角形，根据点P的位置确定点Q的位置，再计算点Q的坐标．

满分解答

（1）由于OD平分∠AOC，所以点D的坐标为（2，2），因此BC＝AD＝1． 由于△BCD≌△ADE，所以BD＝AE＝1，因此点E的坐标为（0，1）．

?c?1,5??bx?c，那么?4a?2b?c?2, 解得a??，

6?9a?3b?c?0.?56x?2设过E、D、C三点的抛物线的解析式为y?ax2b?136c?1．因此过E、D、C三点的抛物线的解析式为y??136x?1．

（2）把x?65代入y??56x?2136x?1，求得y?125．所以点M的坐标为?,?612??． 55??12如图2，过点M作MN⊥AB，垂足为N，那么

MNFA?DNDA，即5?2?2?265．解得FA?1．

FA因为∠EDC绕点D旋转的过程中，△DCG≌△DEF，所以CG＝EF＝2．因此GO＝1，EF＝2GO．

??5613?x?1?． 6?（3）在第（2）中，GC＝2．设点Q的坐标为?x,?x?2①如图3，当CP＝CG＝2时，点P与点B（3，2）重合，△PCG是等腰直角三角形．此时yQ?xQ?xG，因此?56x?213?127?x?1?x?1。由此得到点Q的坐标为?,?． 6?55?图2

②如图4，当GP＝GC＝2时，点P的坐标为（1，2）．此时点Q的横坐标为1，点Q的坐标为?1,?13??． 6??③如图5，当PG＝PC时，点P在GC的垂直平分线上，点P、Q与点D重合．此时点Q的坐标为（2，2）．

图3 图4 图5

考点伸展

在第（2）题情景下，∠EDC绕点D旋转的过程中，FG的长怎样变化？ 设AF的长为m，那么FG?(2?m)?(2?m)22?2m?8．

2点F由E开始沿射线EA运动的过程中，FG先是越来越小，F与A重合时，FG达到最小值22；F经过点A以后，FG越来越大，当C与O重合时，FG达到最大值4．

例6 在平面直角坐标系内，O为原点，点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，4），直线CM//x轴（如图

1所示）．点B与点A关于原点对称，直线y＝x＋b（b为常数）经过点B，且与直线CM相交于点D，联结OD．

（1）求b的值和点D的坐标；

（2）设点P在x轴的正半轴上，若△POD是等腰三角形，求点P的坐标； （3）在（2）的条件下，如果以PD为半径的圆与圆O外切，求圆O的半径．

思路点拨

1．第（1）题情景简单，内容丰富，考查了对称点的坐标特征、待定系数法、代入求值、数形结合． 2．分三种情况讨论等腰三角形POD的存在性，三个等腰三角形的求解各具特殊性．

3．圆O与圆P的半径、圆心距都是随点P而改变，但是两圆外切，圆心距等于半径和的性质不变．

满分解答

（1）因为点A的坐标为（1，0），点B与点A关于原点对称，所以点B的坐标为（－1，0）．将B（－1，0）代入y＝x＋b，得b＝1．将y＝4代入y＝x＋1，得x＝3．所以点D的坐标为（3，4）．

（2）因为D（3，4），所以OD＝5，cos?DOP?35．

OEOP3552256cos?DOP?①如图2，当PD＝PO时，作PE⊥OD于E．在Rt△OPE中，?OE?，，所以OO?．此

时点P的坐标为(256,0)．

②如图3，当OP＝OD＝5时，点P的坐标为(5,0)．

③如图4，当DO＝DP时，点D在OP的垂直平分线上，此时点P的坐标为(6,0)．

图2 图3 图4

（3）圆P的半径rP?PD，两圆的圆心距为OP．当两圆外切时，圆O的半径rO?OP?PD． ①如图2，当PD＝PO时，rO?0，此时圆O不存在．

②如图3，当OP＝OD＝5时，作DH⊥OP于H．在Rt△DHP中，DH＝4，HP＝2，所以DP?25．此时

rO?OP?PD?5?25．

③如图4，当DO＝DP时，rO?OP?PD?6?5?1．

考点伸展

如图5，在本题情景下，如果圆P与圆C外切，那么点P的变化范围是什么？ 如图6，当圆P经过点C时，点P在CD的垂直平分线上，点P的坐标为(,0)．

2323因此当点P在x轴上点(,0)的右边时，圆P与圆C外切．

图5 图6

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