江西省南昌一中、南昌十中2013届高三第四次联考数学(文)试题
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2012年南昌一中、南昌十中第四次联考
数学试卷(文)
命题人:吴建民 审题人: 梁伟
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,有且只有一项符合题目要求。把答案填写在答题卡上 1.设集合P?{x|x?x?2?0},Q?{y|y? A.{x|?1?x?2} B.{x|x?2}
212x?1,x?P},则P?Q?( ) 2C. {y|?1?y?2}
D.{?1}
2.已知命题p:“?x??0,1?,a?ex”,命题q: “?x?R,x2?4x?a?0”,若命题p,q均是真命题,则实数a的取值范围是 ( )
A.[4,??) B.[1,4] C.[e,4] D.(??,1] 3.要得到函数y?sinx的图象,只需将函数y?cos?x??????的图象( ) ???个单位 ??C.向左平移个单位
?A.向右平移
?个单位 ??D.向左平移个单位
?B.向右平移
4. 设数列?an?是等差数列,且a2?a3?a4?15,则这个数列的前5项和S5=( ) A. 10 B. 15 C. 20 D. 25
5.设l,则下列命题正确的是( ) ?是一个平面,m是两条不同的直线,A.若l?m,m??,则l?? B.若l??,l//m,则m?? C.若l//?,m??,则l//m D.若l//?,m//?,则l//m
6.利用如图所示程序框图在直角坐标平面上打印一系列点,则打印 的 点落在坐标轴上的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3
??7.与向量a=(3,1),b=(1,?( ) A.(3)的夹角相等且模为2的向量为
1?31?3,) 22
B。(1?31?3,) 221?31?31?31?3,),(?,?) 2222C.(1?31?31?31?3,),(?,?) 2222D。(www.doc88.com/hanqi2844
?1,(x?M)(其中M是实数集R的非空真子
0,(x?M)?fA?B(x)?1集),在实数集R上有两个非空真子集A、B满足A?B??,则函数F(x)?的值
fA(x)?fB(x)?18.函数fM(x)的定义域为R,且定义如下:fM(x)??域为 ( ) B.1? 9.函数y?ln|A
.
?0?
?C.?0,1 D.?
?1|与y???x2?1在同一平面直角坐标系内的大致图象为 ( ) x
10.定义在(—?,0)?(0,+?)上的函数f(x),如果对于任意给定的等比数列{an},{f(an))仍是等比数列,则称f(x)为“保等比数列函数”.现有定义在(—?,0)?(0,+?)上的如下函
x数:①f(x)=x2:②f(x)?2;③;④f(x)?ln|x|.则其中是“保等比数列函数”的f(x)的序
号为( ) A.①② B.③④ C.①③ 二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分。
11.某个几何体的三视图如下,单位:cm则此几何体的体积为____.
4D.②④
22正视图4侧视图2俯视图
x?1??3e,x?312. 已知f(x)??则f(f(3))的值为 . 2?log(x?6),x?3,?3????????13.在△ABC中,已知A?60,AB?AC?1,则△ABC的面积为 。
??x?y?10?14. 已知x和y是实数,且满足约束条件?x?y?2,则z?2x?3y的最小值是 .
?2x?7?www.doc88.com/hanqi2844
(x?1)2?sinx15.已知函数f(x)?,其导函数记为f'(x),则 2x?1 f(2012)?f'(2012)?f(?2012)?f'(?2012)? .
三、解答题:共6小题,共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16. (本小题满分12分) 已知函数f(x)?sinxcosx?3cos2x. (Ⅰ)求f(x)的最小正周期; (Ⅱ)求f(x)在区间[?
17. (本小题满分12分) 已知?ABC的角A、B、C所对的边分别是a,b,c,
??,]上的最大值和最小值. 62?????设向量m?(a,b), n?(sinB,sinA), p?(b?2,a?2) ???(Ⅰ)若m∥n,求证:?ABC为等腰三角形;
?????(Ⅱ)若m⊥p,边长c?2,C?,求?ABC的面积.
3
18. (本小题满分12分)
已知 p:f(x)?1?x,且|f(a)|?2; 3
q:集合A?{x|x2?(a?2)x?1?0,x?R},且A??.
若p∨q为真命题,p∧q为假命题,求实数a的取值范围.
19. (本小题满分12分)
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如图:在三棱锥D-ABC中,已知?BCD是正三角形,AB?平面BCD,AB?BC?a,E为BC的中点,F在棱AC上,且AF?3FC (1)求三棱锥D-ABC的表面积; (2)求证AC⊥平面DEF;
(3)若M为BD的中点,问AC上是否存在一点N,使MN∥平面DEF?若存在,说明点N的位置;若不存在,试说明理由. D
M
B A E N
F
C
20. (本小题满分13分) 在数列?an?中,已知a1?1an?11,?,bn?2?3log1an(n?N*). 4an44(Ⅰ)求数列?an?的通项公式; (Ⅱ)求证:数列?bn?是等差数列;
(Ⅲ)设数列?cn?满足cn?an?bn,求?cn?的前n项和Sn.
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21. (本小题满分14分)
已知函数f(x)?(ax?x)e,其中e是自然数的底数,a?R. (1)当a?0时,解不等式f(x)?0;
(2)当a?0时,求正整数k的值,使方程f(x)?x?2在[k,k+1]上有解; (3)若f(x)在[-1,1]上是单调增函数,求a的取值范围.
2x
2012年南昌一中、南昌十中第四次联考数学试卷(文)
参考答案
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,有且只有一项符合题目要求。把答案填写在答题卡上
1 B 2 C 3 A 4 D 5 B 6 B 7 C 8 B 9 C 10 C 二、填空题:(本大题共5小题,每小题5分,共25分)
11.----------------40/3---------------------- ; 12.---------------------3-------------------------;
13.----------------3 ---------------------; 14.----------------- --23/2------------------------; 2
15.--------2-- -------------------。
三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤(共6题,共75分)
16. (本小题满分12分)
已知函数f(x)?sinxcosx?3cos2x. (Ⅰ)求f(x)的最小正周期; (Ⅱ)求f(x)在区间[???,]上的最大值和最小值. 62
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解:(Ⅰ)?f(x)?sinxcosx?3cos2x ?13?2sinxcosx?(co2sx?1) 22?133 sin2x?cos2x?222?sin(2x??3)?3 22???. ???????6分 2???4?(Ⅱ)∵??x?,0?2x??,
6233∴函数f(x)的最小正周期T?∴?3??sin(2x?)?1, ???????9分 23∴0?sin(2x??3)?332?3?1??, 2222?3,最小值为0. ?????12分 2∴ f(x)在区间[???,]上的最大值为6217. (本小题满分12分)
???已知?ABC的角A、B、C所对的边分别是a,b,c,设向量m?(a,b), n?(sinB,sinA), ??p?(b?2,a?2)
???(Ⅰ)若m∥n,求证:?ABC为等腰三角形;
?????(Ⅱ)若m⊥p,边长c?2,C?,求?ABC的面积.
3???证明:(Ⅰ) ∵m∥n, ∴asinA?bsinB,由正弦定理可知,
ab?b?,其中R是?ABC外接圆的半径, 2R2R∴a?b.
因此,?ABC为等腰三角形. ???????6分 a?
????(Ⅱ)由题意可知,m?p?0,即a(b?2)?b(a?2)?0,?a?b?ab.
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由余弦定理可知,4?a2?b2?ab?(a?b)2?3ab,即(ab)2?3ab?4?0
?ab?4,(ab?1舍去)
11?∴S?absinC??4?sin?3. ???????12分
22318.(本小题满分12分)已知 p:f(x)?1?x,且|f(a)|?2; 3
q:集合A?{x|x2?(a?2)x?1?0,x?R},且A??.
若p∨q为真命题,p∧q为假命题,求实数a的取值范围. 解答:若|f(a)|?|1?a|?2成立,则?6?1?a?6, 3即当?5?a?7时p是真命题; ????????4分 若A??,则方程x2?(a?2)x?1?0有实数根, 由??(a?2)2?4?0,解得a??4,或a?0,
即当a??4,或a?0时q是真命题; ????????8分 由于p∨q为真命题,p∧q为假命题,∴p与q一真一假,
故知所求a的取值范围是(??,?5]?(?4,0)?[7,??). ????????12分
D
19. (本小题满分12分)
如图:在三棱锥D-ABC中,已知?BCD是正三角形,AB?平面BCD,AB?BC?a,E为BC的中点,F在棱AC上,且AF?3FC M (1)求三棱锥D-ABC的表面积; (2)求证AC⊥平面DEF;
B (3)若M为BD的中点,问AC上是否存在一点N,使MN∥平面DEF?若存在,说明点N的位置;若不存在,试说
E 明理由.
F 解:(1)∵AB⊥平面BCD,∴AB⊥BC,AB⊥BD. C ∵△BCD是正三角形,且AB=BC=a,∴AD=AC=2a. 71设G为CD的中点,则CG=a,AG=a.
22A
N
∴S?ABC?S?ABD?327212a,S?ACD?a. a,S?BCD?4424?3?72a.……………..4分 4三棱锥D-ABC的表面积为S?ACD?www.doc88.com/hanqi2844
(2)取AC的中点H,∵AB=BC,∴BH⊥AC. ∵AF=3FC,∴F为CH的中点.
∵E为BC的中点,∴EF∥BH.则EF⊥AC. ∵△BCD是正三角形,∴DE⊥BC. ∵AB⊥平面BCD,∴AB⊥DE.
∵AB∩BC=B,∴DE⊥平面ABC.∴DE⊥AC. ∵DE∩EF=E,∴AC⊥平面DEF. …..8分
3(3)存在这样的点N,当CN=CA时,MN∥平面DEF.
8D
M
G O E C F
H
B N
A
连CM,设CM∩DE=O,连OF.由条件知,O为△BCD的重心,CO=∴当CF=
2CM. 32313CN时,MN∥OF.∴CN=?CA?CA 3248……….12分
20. (本小题满分13分)在数列?an?中,已知a1?(Ⅰ)求数列?an?的通项公式; (Ⅱ)求证:数列?bn?是等差数列;
1an?11,?,bn?2?3log1an(n?N*). 4an44(Ⅲ)设数列?cn?满足cn?an?bn,求?cn?的前n项和Sn. 解:(Ⅰ)∵
an?11? an411,公比为的等比数列, 44∴数列{an}是首项为
1∴an?()n(n?N*).????????????????????????????3分
4(Ⅱ)∵bn?3log1an?2?????????????????????????? 4分
4∴bn?3log1()n?2?3n?2.??????????????????????? 5分
214∴b1?1,公差d=3
∴数列{bn}是首项b1?1,公差d?3的等差数列.????????????????7分 1(Ⅲ)由(Ⅰ)知,an?()n,bn?3n?2(n?N*)
41∴cn?(3n?2)?()n,(n?N*).????????????????????????8分
411111∴Sn?1??4?()2?7?()3???(3n?5)?()n?1?(3n?2)?()n, ①
44444www.doc88.com/hanqi2844
111111于是Sn?1?()2?4?()3?7?()4???(3n?5)?()n?(3n?2)?()n?1 ②
444444??????????????????????????????????? 9分 311111两式①-②相减得Sn??3[()2?()3???()n]?(3n?2)?()n?1
44444411=?(3n?2)?()n?1.???????????????????????????11分 24∴ Sn?212n?81n?1??()(n?N*).?????????????????????13分. 3342x21. (本小题满分14分)已知函数f(x)?(ax?x)e,其中e是自然数的底数,a?R. (1)当a?0时,解不等式f(x)?0;
(2)当a?0时,求正整数k的值,使方程f(x)?x?2在[k,k+1]上有解; (3)若f(x)在[-1,1]上是单调增函数,求a的取值范围. 解 ⑴因为ex?0,所以不等式f(x)?0即为ax2?x?0, 1又因为a?0,所以不等式可化为x(x?)?0,
a1所以不等式f(x)?0的解集为(0,?).??????????4分
a⑵当a?0时, 方程即为xex?x?2,由于ex?0,所以x?0不是方程的解,
22所以原方程等价于ex??1?0,令h(x)?ex??1,
xx因为h?(x)?ex?2?0对于x??0,???恒成立, x2所以h(x)在?0,???内是单调增函数,???????????6分又h(1)?e?3?0,
h(2)?e2?2?0, ,
2? , 所以方程f(x)?x?2有且只有1个实数根, 在区间?1,所以整数k的值为 1.?????????????????9分 ⑶f?(x)?(2ax?1)ex?(ax2?x)ex?[ax2?(2a?1)x?1]ex,
1]上恒成立,当且仅当x??1时 ① 当a?0时,f?(x)?(x?1)ex,f?(x)≥0在[?1,取等号,故a?0符合要求;?????????????????????11分 ②当a?0时,令g(x)?ax2?(2a?1)x?1,因为??(2a?1)2?4a?4a2?1?0,
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所以g(x)?0有两个不相等的实数根x1,x2,不妨设x1?x2, 因此f(x)有极大值又有极小值.
若a?0,因为g(?1)?g(0)??a?0,所以f(x)在(?1,1)内有极值点,
1?上不单调.?????????????????????12分 故f(x)在??1,若a?0,可知x1?0?x2,
因为g(x)的图象开口向下,要使f(x)在[?1,1]上单调,因为g(0)?1?0,
?g(1)≥0,?3a?2≥0,2必须满足?即?所以?≤a?0.--------------------------13分
3?g(?1)≥0.??a≥0.2综上可知,a的取值范围是[?,0].???????????????14分
3
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