立体几何中的转化策略

立体几何解题中的转化策略数学必修2第一、二章专题复习

邢台市一中

刘聚林

立体几何解题中的转化策略

大平行关系的转化

策 略 空 间 平 面

位置关系之间的转化

垂直关系的转化 垂直与平行关系的转化 角 度 线线角、 线线角、线面角和二面角 长 度、表面积与体积 直观图与三视图

数量关系之间的转化

空间图形与平面图形之间的转化

直观图与展开图

立体几何解题中的转化策略

题型一： 题型一：位置关系的相互转化 大策略： 大策略：空间 小策略： 小策略： ① 平行转化：线线平行 平行转化： 垂直转化： ② 垂直转化：线线垂直 ③ 平行关系 垂直关系 线面平行 线面垂直 面面平行 面面垂直 平面

立体几何解题中的转化策略

题型一：位置关系的相互转化

练习1 练习1:如图， 如图，在长方体 ABCD A1 B1C1 D1 中， AA1 = AD = a ,

AB = 2a , E 、 F 分别为 C1 D1 、 A1 D1 的中点. D 1 的中点.(Ⅰ)求证： DE ⊥ 平面 BCE ; 求证： (Ⅱ)求证： AF // 平面 BDE . 求证：D A F A1

E B1

C1

C B

立体几何解题中的转化策略

题型一：位置关系的相互转化

练习1 练习1:如图， 如图，在长方体 ABCD A1 B1C1 D1 中， AA1 = AD = a ,

AB = 2a , E 、 F 分别为 C1 D1 、 A1 D1 的中点. D 1 的中点.(Ⅰ)求证： DE ⊥ 平面 BCE ; 求证： (Ⅱ)求证： AF // 平面 BDE . 求证：D F A1

E B1

C1

C B

2a

2a

A

2a

平面中的数量关系隐藏着三角形特征！ 平面中的数量关系隐藏着三角形特征！

立体几何解题中的转化策略

题型一：位置关系的相互转化

练习1 练习1:如图， 如图，在长方体 ABCD A1 B1C1 D1 中， AA1 = AD = a ,

AB = 2a , E 、 F 分别为 C1 D1 、 A1 D1 的中点. D 1 的中点.(Ⅰ)求证： DE ⊥ 平面 BCE ; 求证： (Ⅱ)求证： AF // 平面 BDE . 求证：D A F A1

E B1

C1

C

O

B

策略一：线面平行转化成线线平行(空间转化平面) 策略二：线面平行转化成面面平行(空间转化空间)

转化需要辅助线的添加！ 转化需要辅助线的添加！

立体几何作辅助线的 一般思路和常用方法做立体几何题， 做立体几何题，性质定理是打开解题思 路的关键，也是引入辅助线的基础， 路的关键，也是引入辅助线的基础，它可告 诉我们应该如何作辅助线，其中最常用的是 诉我们应该如何作辅助线， 线面平行和面面垂直性质定理。 线面平行和面面垂直性质定理。

立体几何解题中的转化策略

题型一：位置关系的相互转化

例1:是等边三角形， 在三棱柱 ABC A1 B1C1 中， AA1 ⊥ 底面 A1 B1C1 ,且 ABC 是等边三角形， 在侧面三条对角线 求证： 在侧面三条对角线 AB1 , BC1 , CA1 中， AB1 ⊥ BC

1 ,求证： AB1 ⊥ CA1策略一： 策略一：线线垂直转化成线面垂直A B C

策略二：垂直与平行的相互转化 策略二：A1

FC1

EB1

立体几何解题中的转化策略

题型一：位置关系的相互转化

例1:是等边三角形， 在三棱柱 ABC A1 B1C1 中， AA1 ⊥ 底面 A1 B1C1 ,且 ABC 是等边三角形， 在侧面三条对角线 求证： 在侧面三条对角线 AB1 , BC1 , CA1 中， AB1 ⊥ BC1 ,求证： AB1 ⊥ CA1策略一： 策略一：线线垂直转化成线面垂直A B C

策略二：垂直与平行的相互转化 策略二：A1

FC1

策略三： 策略三：线面垂直转化成线线垂直

EB1

立体几何解题中的转化策略

题型二： 题型二：数量关系的相互转化 大策略： 大策略：空间 平面，逐步“降维” 平面，逐步“降维”

小策略： 小策略：① 空间距离最终转化成点线距离 异面直线所成的角、线面角、 ② 异面直线所成的角、线面角、面面角最终 转化为平面上两相交直线所成的角 转化为平面上两相交直线所成的角

立体几何解题中的转化策略

题型二：数量关系的相互转化

练习 3 在棱长为 a 的正方体 ABCD- A1B1C1 D1 中， D1 到 B1C 的距离为_________, A 到 A1C 的距离为__________.D1 A1 B1 C1

D A B

C

立体几何解题中的转化策略

题型二：数量关系的相互转化

练习 4:长方体 ABCD—A1B1C1D1 中，AA1=AB=2,AD=1, — , , 的中点， 点 E、F、G 分别是 DD1、AB、CC1 的中点， 、 、 、 所成的角是________ 则异面直线 A1E 与 GF 所成的角是D1 A1 E D A F B B1 G C1

C

立体几何解题中的转化策略

题型二：数量关系的相互转化

练习 4:长方体 ABCD—A1B1C1D1 中，AA1=AB=2,AD=1, — , , 的中点， 点 E、F、G 分别是 DD1、AB、CC1 的中点， 、 、 、 所成的角是________ 则异面直线 A1E 与 GF 所成的角是D1 A1 E D A F B B1 G C1

C

立体几何解题中的转化策略

题型三： 题型三：平面图形与空间图形的相互转化 大策略：发挥空间想象，平面、 大策略：发挥空间想象，平面、空间相互转化 关注转化中“ 关注转化中“变”与“不变”的动态几 不变” 何 小策略： 三视图需恢复直观图， 小策略：① 三视图需恢复直观图，直观图需想象平面图 在翻折、展开中抓住“ 不变” ② 在翻折、展开中抓住“变”与“不变”

立体几何解题中的转化策略

题型三：平面图形与空间图形的相互转化

练习 5:2007 宁夏海南卷 已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸 已知某个几何体的三视图如下， ,可得这个几何体的体积是 (单位：cm) 可得这个几何体的体积是( B 单位：cm) 可得这个几何体的体积是( , A. )20 20 正视图 10 10 20 俯视图 20 侧视图

4000 3 cm 33

B.

8000 3 cm 33

C. 2000cm

D. 4000cm

立体几何解题中的转化策略

练习6 练习

(2007广东卷)已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形， 2007广东卷)已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形， 广东卷 正视图(或称主视图)是一个底边长为8 高为4的等腰三角形， 正视图(或称主视图)是一个底边长为8,高为4的等腰三角形， 侧视图(或称左视图)是一个底边长为6 高为4的等腰三角形. 侧视图(或称左视图)是一个底边长为6,高为4的等腰三角形. (1)求该几何体的体积 (2)求该几何体的侧面积

6

8

立体几何解题中的转化策略综合题型) 例 2(综合题型)

题型三：平面图形与空间图形的相互转化

折起， 如图， 如图，在矩形ABCD 中， AB = 10 , BC = 6 ,沿对角线BD 把 ABD 折起，使 A 移到

A1 点，过点 A1 作 AO ⊥ 平面 BCD ,垂足O 恰好在 CD上 1(1)求证： BC ⊥ AD ; 求证： 1 (2)求证：平面 ABC ⊥ 平面 ABD ; 求证： 1 1 的体积. (3)求三棱锥 A 1 BCD 的体积.A1

D

O

C

A

B

关注翻折过程的“变”与“不 变”!

立体几何解题中的转化策略例2

题型三：平面图形与空间图形的相互转化

如图， 折起， 如图，在矩形ABCD 中， AB = 10 , BC = 6 ,沿对角线BD 把 ABD 折起，使 A 移到

A1 点，过点 A1 作 AO ⊥ 平面 BCD ,垂足O 恰好在 CD上 1(1)求证： BC ⊥ AD ; 求证： 1 (2)求证：平面 ABC ⊥ 平面 ABD ; 求证： 1 1 的体积. (3)求三棱锥 A BCD 的体积. 1D A1

O

C

A

B

关注翻折过程的“变”与“不 变”!

立体几何解题中的转化策略综合题型) 例 2(综合题型)

题型三：平面图形与空间图形的相互转化

如图， 折起， 如图，在矩形ABCD 中， AB = 10 , BC = 6 ,沿对角线BD 把 ABD 折起，使 A 移到

A1 点，过点 A1 作 AO ⊥ 平面 BCD ,垂足O 恰好在 CD上 1(1)求证： BC ⊥ AD ; 求证： 1 求证： (2)求证：平面 ABC ⊥ 平面 ABD ; 1 1 的体积. (3)求三棱锥 A BCD 的体积. 1A1

D

O

C

A

B

关注翻折过程的“变”与“不 变”!

立体几何解题中的转化策略 例3(综合题型): 一个多面体的直观图及三视图如图所示：

BC (其中 M , N 分别是 AF 、 的中点)

正视图

侧视图

俯视图

立体几何解题中的转化策略 例3(综合题型): 一个多面体的直观图及三视图如图所示：

BC (其中 M , N 分别是 AF 、 的中点)(1)求该多面体的表面积与体积； 解： 1 2 2

S = 2× × 2 + 2× 2 + 2× 2 2 2 = 12 + 4 2

1 2 V = ×2 ×2 = 4 2策略：空间几何体的相互转化 可考虑将该多面体补图成正方体

ADE BCF AB = AD = AE = 2直三棱柱

DE = CF = 2 2

AD ⊥ AE

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/gra1.html