清北学堂2015年寒假数学联赛模拟（李建泉）

清北学堂2015年寒假数学联赛模拟（李建泉命制）

?的中点分别为M,N，对角线1.已知梯形ABCD内接于?O，且AD//BC，?AD,BCAC,BD交于点E，过点E作CD的垂线，与?ABE的外接圆交于点F，设?ABE的内心

为I，过M,N分别作BD,AC的垂线，垂足分别为P,Q，证明FI?PQ。

证明：因为?FAE??FAB??BAE??FEB??BDC?90?，所以EF为?ABE的

1因为BM?a?b?c?，

2是?ABE的角平分线，EM是?AEB的外角平分线，所以M是?ABE中?B内的旁心。

直径。设?ABE的内切圆半径为r， BE?a,AE?b,AB?c,p?同理可得N是?ABE中?A内的旁心，于是有BP?AQ?p。因为

?FAQ??FBP?90?，所以FQ2?FP2??FA2?AQ2???FB2?BP2??FA2?FB2

??EF2?b2???EF2?a2??a2?b2。

设?ABE的内切圆与BE,AE分别切于点X,Y，则

YQ?AQ?AY?p??p?a??a,XP?BP?BX?p??p?b??b?IYQ??IXP?90?，所以

。又因为

IQ2?IP2??IY2?YQ2???IX2?XP2???r2?a2???r2?b2??a2?b2，于是

F2Q?2F?P2，从而可得?IQFI?IPQP。

2.已知n为正整数，a1,a2,?,an为正实数，设Si?n?nSi?2??i??4n?ai。

i?1?i?1?2?n,?，证明?a?i?1,2,jj?1innSi2证明 设bi??i?1,2,?,n?，下面先证明?bi?2?aibi。

ii?1i?1对于i?2,3,?,n，有

2aibi?bi2?2?ibi??i?1?bi?1?bi?bi2??2i?1?bi2?2?i?1?bi?1bi

??2i?1?bi2??i?1??bi?12?bi2??ibi2??i?1?bi?12，

1

于是有

??2ab?b??b???2ab?b??b???ii2i21ii2i21i?1i?2i?2nnnn222ib?i?1b?nb0，即???i?i1n??bi?1n2i?2?aibi。

i?1?n2??n??n2??n2? 由柯西不等式可得??bi???2?aibi??4??ai???bi?，于是有

?i?1??i?1??i?1??i?1?nn?nSi??n?2bi?4?ai，从而可得??????bi??n?bi?4n?ai2。 ?i?1i?1i?1i?1?i?1i??i?1?n2n222223.求证对于任意正整数n?2和正整数a1,a2,?,an，若S1Si?i?1,2,?,n?，则对于任意正整数i，均有S1Si，其中Si?解

设

?a?i?1,2,??。

ijj?1nf?x???x?a1??x?a2???x?an??xn?bn?1xn?1???b1x?b0，则

b0,b?1,是有

n?,为整数，ba1,a2,?,an是首项系数为1的n次整系数多项式f?x?的n个根。于

a1n?bn?1a1n?1???b1a1?b0?f?a1??0，?1? a2n?bn?1a2n?1???b1a2?b0?f?a2??0，?2?? ann?bn?1ann?1???b1an?b0?f?an??0。?n?

?1??a1??2??a2????n??an，可得Sn?1?bn?1Sn???b1S2?b0S1?0，于是有

S1Sn?1。

假设S1Sj?j?l,l?1,?,l?n?1,l?2?，由?1??a1??2??a2????n??an，可得

lllSn?l?bn?1Sn?l?1???b1Sl?1?b0Sl?0，于是有S1Sn?l，从而可得S1Si?i?1,2,?,?。

4.将n枚硬币排成一排，开始时所有硬币均正面朝上，甲、乙两人交替进行操作，每次操作规则如下：选择相邻的5枚硬币，且这5枚硬币中的最后一枚硬币正面朝上，然后翻转这5枚硬币，使得正面朝上的硬币变为背面朝上，背面朝上的硬币变为正面朝上，谁首先不能进行操作，则他就输掉了比赛，对于?1?n?2015；?2?n?2014，若甲先操作，问谁有取胜策略？

解：将这n枚硬币从左到右编号为1,2,?,n，并赋值正面朝上的硬币为1，背面朝上的

2

硬币为0。设编号为i的硬币的值为ai，考虑二进制的非负整数m?anan?1?a1，每操作一次，m的值变小，因此操作一定会停止，即甲、乙一定能分出胜负。

?1?甲有取胜策略。设集合S1??1,2,?,2015?，T1??k?S1,5k?，则T1?403。每

操作一次，恰有一枚编号在T1中的硬币被翻转。操作前，正面朝上且编号在T1中的硬币有奇数枚，甲选择编号在T1中的一枚正面朝上的硬币作为相邻的5枚硬币中的最后一枚，对这

5枚硬币操作一次后，正面朝上且编号在T1中的硬币有偶数枚；乙再操作一次后，正面朝上

且编号在T1中的硬币有奇数枚，且只要乙能操作，甲也还可以进行操作。由于操作次数是有限的，因此甲一定获胜。

?2?乙有取胜策略。设集合S2??1,2,?,2014?，T2??k?S2,5k?，则T2?402。

每操作一次，恰有一枚编号在T2中的硬币被翻转。操作前，正面朝上且编号在T2中的硬币有偶数枚，甲操作一次后，正面朝上且编号在T2中的硬币有奇数枚，乙选择编号在T2中的一枚正面朝上的硬币作为相邻的5枚硬币中的最后一枚，对这5枚硬币操作一次后，正面朝上且编号在T2中的硬币有偶数枚；只要甲能操作，乙也还可以进行操作。由于操作次数是有限的，因此乙一定获胜。

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