高等数学期末复习题3

一、填空题

1． 已知cos 20()sin x

F x t t dt =?，则()F x '= .

2()cos sin(cos )(sin )F x x x x '=-

2． 3sin 0lim(12)x x x →-= .

31236s i n 2s i n 00lim(12)lim(12)x x x x x x x x e -?--→→-=-=

3. 已知 sin x y x =，则y '= .

s i n l n s i n s i n s i n c o s l n c o s l n x x x x x y e x x x x x x x ????'=+=+ ? ?????

4.已知(),+,x f e x x '=-∞<<∞且其中x -∞<<+∞,又知(1)0f =,则()f x = （ ）

()ln ()ln x x f e x u e x u f u u ''=?=?=?=

()()ln ln f u f u du u du u u u C '∴===-+??

(1)1ln1101()ln 1f C C f x x x x ?=-+=?=∴

=-+ 5． 曲线2ln(1)y x =+的凹区间是 .凸区间是 。

222

2222222(1)222(1)ln(1)1(1)(1)x x x x x y x y y x x x +-?-'''=+?=?==+++

已知sin ,

0(),

01sin 1,0x x x f x k x x x x ?<??==???+>?

在 0x =处连续，求k 的值 00sin lim ()lim 1x x x f x x --→→== 001lim ()lim sin 11x x f x x x ++→→??=+= ??? 1k ∴=

求极限运算

1．

13

343x x x '→→-=-- 2． 111111111ln(2)12lim lim lim 11ln(2)(1)ln(2)ln(2)2

111lim lim 2(2)ln(2)12ln(2)12L x x x L x x x x x x x x x x x x x x x x x x x '→-→-→-'→-→--??+--+-== ?+++++?

?++---===-++++++++++

3．

20011lim 2L x x x '→→= 4． 000011111lim lim lim lim e 1(1)12x x x L L x x x x x x x x x x x e x e e x x e e xe e e xe ''→→→→---??-==== ?---+++?

? 5．求极限

2222111sin 11ln cos cos sin 1lim lim lim 011arccot cos 1L x x x x x x x x x x x x x '→+∞→+∞→+∞????-- ????????? ?+==-= ? ?-+??

求下列函数的导数或微分：

1．21ln x y x += 2433

1(1l n )2122l n 12l n x x x x x x y x x x -+--+'===- 2．cos x y x =

()cos ln cos ln cos cos cos sin ln sin ln x x x x x x x y e e x x x x x x x ????''==-+=-+ ? ????

? 3. 1e y y x =+，求y ' 1y

y y

y e y e xe y y xe '''=+?=- 4．42

52sin 2x y x x π=+--，求d y 3345ln54cos2(45ln54cos2)x x y x x d y x x d x '=-++?=-

5．()cos sin y x x x =+，求d y

c o s s i n (s i n c o s )(c o s

s i n s i n y x x x x x d y x x x x x x d x '=++-+?=+-+ 6．设函数()y y x =由方程33ln()cos x y x y x +=+确定，求

d y

d x 332231ln()cos (3)3sin cos x y x y x x y x y x y x x y

''+=+?+=-++ 352322

1()cos 33sin sin 3d y x x y x y x x y x

y x x y d x +---'∴==-+ 计算下列积分：

1．

00000111sin 3cos3cos3cos3333111sin 3393x x d x xd x x x xd x

x π

ππππππ=-=-+=+=??? 2．

()d ln ln(12ln )12ln 12l 12n x d x x C x x x ==++++??

3．

2222e d 222x x x x x x x x x x de x e e xd x x e xe e C -------=-=-+=---+???

4． 23d 65x x x x +-+? 23(5)(1)3126515

x A B A x B x x A B x x x x +=+?-+-=+?=-=-+-- 22312(5)d ln 65151x x x d x C x x x x x +--??∴=+=+ ?-+---??

?? 5．

()222222222121111d arctan (1)11x x x x d x d x x C x x x x x x x +++??==-=-++ ?+++??

??? 6.

211111ln 2(2)2222d x x d x d x C x x x x x x x ??==-=+ ?++++???

?? 7． 1ln e 1211001ln 13d (1ln )ln (1)22x u e x x x d x u du u u x =+??=+=+=+= ?????? 8．

1

111100000e d 11x x x x x x x xde xe e d x e e e e ==-=-=-+=???

9．

221

111222*********sin d sin 0211112(arctan )21242x x x x x x xd x d x d x x x x x x ππ---????+=+=+- ? ?+++??????=-=-=- ??????? 10．

222

222223442222sin sin 11601133x x x x x d x d x x d x x x x ----??+=+=+= ?++?????

求下列各曲线所围成的平面图形的面积：

1． 曲线x y 1=

与直线2,==x x y 21,11y y x x x x ==?=?= 2

2

211113ln ln 222A x d x x x x ????=-=-=- ? ?????? 2． 曲线2x y =与两直线x y x y 2,==

2

21201y x x x x x y x ?=?=?==?=?

22122022y x x x x x y x ?=?=?==?=? 2

11

22223010111177(2)(2)323236

A x x d x x x d x x x x ??=-+-=+-=+-= ????? 3． 曲线23,x y x y ==与直线2=x

23212301y x x x x x y x

?=??=?==?=?? 22

324311111117()(161)(81)4

34312A x x d x x x ??=-=-=---= ???? 4．求由曲线243y x x =-+- 及其在点(0,3)-与(3,0)的切线所围成的图形的面积。

解 ：2402y x x ?'=-+=?=，在点(0,3)-，43443y y x y x '=?+=?=- 在点(3,0)，642(3)26y y x y x '=-+?=--?=-+

43343266926

2y x x x x x y x =-??-=-+?==?=-+? 33

2

2230233323223322303202(4343)(2643)119(69)39334

A x x x d x x x x d x x d x x x d x x x x x =-+-++-++-+??=+-+=

+-+= ???????

求由曲线x y sin =与它在2π=

x 处的切线以及直线π=x 所围成的图形绕x 轴旋转而成的

旋转体的体积.

解： 222222221cos 211sin sin 22222224x V xd x d x x x ππππππππππππππ-??=??-=-=--= ????? 证明不等式： 当0x >时，3

arctan 3

x x x >- 证：令3

()arctan (0,)3x F x x x x =-+∈+∞

2244

2222

111()1(0,)()0111x x x x F x x x F x x x x --++''=-+==∴?∈+∞>+++ (0,)()x F x ∴?∈+∞

0()(0)0x F x F ∴?>>= 3

a r c t a n 3

x x x ∴>- ▍

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