【备考2014】2013高考数学 (真题+模拟新题分类汇编) 解析几何 理

- 1 - 解析几何

H1 直线的倾斜角与斜率、直线的方程

20．H1，H5，H8[20132新课标全国卷Ⅱ] 平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)右焦点的直线x ＋y －3＝0交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12

. (1)求M 的方程；

(2)C ，D 为M 上两点，若四边形ACBD 的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD 面积的最大值．

20．解：(1)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，P(x 0，y 0)，则

x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22

b 2＝1. y 2－y 1x 2－x 1

＝－1. 由此可得b 2（x 2＋x 1）a 2（y 2＋y 1）＝－y 2－y 1x 2－x 1

＝1. 因为x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，y 0x 0＝12

， 所以a 2＝2b 2.

又由题意知，M 的右焦点为(3，0)，故a 2－b 2＝3.

因此a 2＝6，b 2＝3.

所以M 的方程为x 26＋y 23＝1. (2)由?????x ＋y －3＝0，

x 26＋y 23

＝1， 解得?????x ＝4 33，y ＝－33

或???x ＝0，

y ＝ 3. 因此|AB|＝4 63

. 由题意可设直线CD 的方程为y ＝x ＋n －5 33

由?????y ＝x ＋n ，

x 26＋y 23

＝1得3x 2＋4nx ＋2n 2－6＝0， 于是x 3，4＝－2n±2（9－n 2）3

.

- 2 - 因为直线CD 的斜率为1，所以|CD|＝2|x 4－x 3|＝43

9－n 2. 由已知，四边形ACBD 的面积S ＝12|CD|2|AB|＝8 69

9－n 2. 当n ＝0时，S 取得最大值，最大值为8 63

. 所以四边形ACBD 面积的最大值为8 63

. 9．E5，H1[20132新课标全国卷Ⅱ] 已知a>0，x ，y 满足约束条件?????x≥1，x ＋y≤3，y≥a（x －3）.

若z

＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝( )

A.14

B.12

C ．1

D ．

2 9．B [解析] 直线y ＝a(x －3)过定点(3，0) .画出可行域如图，易得A(1，－2a)，B(3，0)，C(1，2). 作出直线y ＝－2x ，平移易知直线过A 点时直线在y 轴上的截距最小，即2＋(－2a)＝1 a ＝12

.答案为B.

H2 两直线的位置关系与点到直线的距离

8．H2[20132湖南卷] 在等腰直角三角形ABC 中，AB ＝AC ＝4，点P 是边AB 上异于A ，B 的一点，光线从点P 出发，经BC ，CA 反射后又回到点P(如图1－1所示)，若光线QR 经过△ABC 的重心，则AP 等于(

) 图1－1

- 3 - A ．2 B ．1

C.83

D.43

8．D [解析] 不妨设AP ＝m(0≤m≤4)，建立坐标系，设AB 为x 轴，AC 为y 轴，则A(0，

0)，B(4，0)，C(0，4)，Q(x Q ，y Q )，R(0，y R )，P(m ，0)，可知△ABC 的重心为G ? ??

??43，43，根据反射性质，可知P 关于y 轴的对称点P 1(－m ，0)在直线QR 上，P 关于x ＋y ＝4的对称点P 2(4，

4－m)在直线RQ 上，则QR 的方程为y －04－m ＝x ＋m 4＋m ，将G ? ??

??43，43代入可得3m 2－4m ＝0，即m ＝43或m ＝0(舍)，选D.

12．H2，E1[20132新课标全国卷Ⅱ] 已知点A(－1，0)，B(1，0)，C(0，1)，直线y ＝ax ＋b(a ＞0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是( )

A ．(0，1) B.? ????1－

22，12 C.? ?

?

??1－22，13 D.??????13，12 12．B [解析] 方法一：易得△ABC 面积为1，利用极限位置和特值法．当a ＝0时，易得b ＝1－22；当a ＝13时，易得b ＝13；当a ＝1时，易得b ＝2－1>13

.故选B. 方法二：(直接法)?

????x ＋y ＝1，y ＝ax ＋b y ＝a ＋b a ＋1 ，y ＝ax ＋b 与x 轴交于? ????－b a ，0，结合图形与a>0 ，123a ＋b a ＋13? ????1＋b a ＝12 (a ＋b)2＝a(a ＋1)>0 a ＝b 21－2b

. ∵a>0，∴b 21－2b >0 b<12，当a ＝0时，极限位置易得b ＝1－22

，故答案为B. 7．H2，H4[20132重庆卷] 已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝

9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为( )

A ．5 2－4 B. 17－1

C ．6－2 2 D.17

7．A [解析] 如图，作圆C 1关于x 轴的对称圆C′1：(x －2)2＋(y ＋3)2＝1，则|PM|＋|PN|

＝|PN|＋|PM′|.由图可知当C 2，N ，P ，M′，C′1在同一直线上时，|PM|＋|PN|＝|PN|＋|PM′|取得最小值，即为|C′1C 2|－1－3＝5 2－4，故选

A. 图1－3

- 4 - H3 圆的方程

20．H3，H10，H8，H5[20132新课标全国卷Ⅰ] 已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －

1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C.

(1)求C 的方程；

(2)l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB|.

20．解：由已知得圆M 的圆心为M(－1，0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N(1，0)，半径r 2＝3.

设圆P 的圆心为P(x ，y)，半径为R.

(1)因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以

|PM|＋|PN|＝(R ＋r 1)＋(r 2－R)＝r 1＋r 2＝4.

由椭圆的定义可知，曲线C 是以M, N 为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭

圆(左顶点除外)，其方程为x 24＋y 23

＝1(x≠－2)． (2)对于曲线C 上任意一点P(x ，y)，由于|PM|－|PN|＝2R －2≤2，所以R≤2，

当且仅当圆P 的圆心为(2，0)时，R ＝2，所以当圆P 的半径最长时，其方程为(x －2)2＋

y 2＝4.

若l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得|AB|＝2 3.

若l 的倾斜角不为90°，由r 1≠R 知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ， 则|QP||QM|＝R r 1，可求得Q(－4，0)，所以可设l ：y ＝k(x ＋4)．由l 与圆M 相切得|3k|1＋k

2＝1，解得k ＝±24.当k ＝24时，将y ＝24x ＋2代入x 24＋y 2

3

＝1， 并整理得7x 2＋8x －8＝0.解得x 1，2＝－4±6 27

. 所以|AB|＝1＋k 2|x 2－x 1|＝187. 当k ＝－24时，由图形的对称性可知|AB|＝187. 综上，|AB|＝2 3或|AB|＝187

. 21．F2、F3、H3、H5，H8[20132重庆卷] 如图1－9所示，椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，离心率e ＝

22

，过左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于A ，A′两点，|AA′|＝4. (1)求该椭圆的标准方程；

(2)取垂直于x 轴的直线与椭圆相交于不同的两点P ，P′，过P ，P′作圆心为Q 的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q 外，若P Q⊥P′Q，求圆Q 的标准方程．

- 5 -

图1－9

21．解：(1)由题意知点A(－c ，2)在椭圆上，则（－c ）2

a 2

＋22

b 2＝1，从而e 2

＋4b 2＝1. 由e ＝22得b 2＝41－e 2＝8，从而a 2

＝b 2

1－e 2＝16.

故该椭圆的标准方程为x 2

16＋y

2

8

＝1.

(2)由椭圆的对称性，可设Q(x 0，0)．又设M(x ，y)是椭圆上任意一点，则|QM|2

＝(x －x 0)

2

＋y 2

＝x 2

－2x 0x ＋x 20

＋8? ??

??1－x 2

16 ＝12

(x －2x 0)2－x 2

0＋8(x∈[－4，4])． 设P(x 1，y 1)，由题意，P 是椭圆上到Q 的距离最小的点，因此，上式当x ＝x 1时取得最小

值．又因x 1∈(－4，4)，所以上式当x ＝2x 0时取得最小值，从而x 1＝2x 0，且|QP|2＝8－x 2

0.

因为PQ⊥P′Q，且P′(x 1，－y 1)，所以QP →2QP →

′＝(x 1－x 0，y 1)2(x 1－x 0，－y 1)＝0， 即(x 1－x 0)2

－y 2

1

＝0.由椭圆方程及x 1＝2x 0得14x 21－8? ?

?

??1－x 2

116＝0，

解得x 1＝±4 63，x 0＝x 12＝±2 63，从而|QP|2＝8－x 2

0＝163.

故这样的圆有两个，其标准方程分别为

? ????x ＋2 632＋y 2＝163，?

????x －2 632＋y 2＝16

3.

H4 直线与圆、圆与圆的位置关系

9．H4[20132江西卷] 过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2

相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于( )

A.

33 B ．－33 C ．±

3

3

D ．－ 3 9．B [解析] AB ：y ＝k(x －2)，k<0，圆心到直线的距离d ＝|－k 2|

k 2

＋1<1，得－1

＝2

1－k 2

1＋k 2，

S △AOB ＝1

2

|AB|d ＝2（1－k 2）k

2

（1＋k 2）

2，－1

3

时，S △AOB 最大．故选B. 9．H4[20132山东卷] 过点(3，1)作圆(x －1)2＋y 2

＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( )

- 6 - A ．2x ＋y －3＝0 B ．2x －y －3＝0

C ．4x －y －3＝0

D ．4x ＋y －3＝0

9．A [解析] 方法一：设点P(3，1)，圆心为C ，设过点P 的圆C 的切线方程为y －1＝

k ()x －3，由题意得|2k －1|1＋k 2＝1，解之得k ＝0或43，即切线方程为y ＝1或4x －3y －9＝0.联立?????y ＝1，()x －12＋y 2＝1，

得一切点为()1，1，又∵k PC ＝1－03－1＝12，∴k AB ＝－1k PC ＝－2，即弦AB 所在直线方程为y －1＝－2()x －1，整理得2x ＋y －3＝0.

方法二：设点P(3，1)，圆心为C ，以PC 为直径的圆的方程为()x －3()x －1＋y ()y －1＝

0，整理得x 2－4x ＋y 2－y ＋3＝0，联立?????x 2－4x ＋y 2－y ＋3＝0①，()x －12

＋y 2＝1②，

①，②两式相减得2x ＋y －3＝0.

11．H7，H4[20132新课标全国卷Ⅱ] 设抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，点M 在C 上，

|MF|＝5.若以MF 为直径的圆过点(0，2)，则C 的方程为( )

A ．y 2＝4x 或y 2＝8x

B ．y 2＝2x 或y 2＝8x

C ．y 2＝4x 或y 2＝16x

D ．y 2＝2x 或y 2＝16x 11．C [解析] 抛物线焦点为F p 2，0 ，由抛物线的定义，设M5－p 2

，2p5－p 2，设N 点坐标为(0，2)．

因为圆过点N(0，2)，故NF⊥NM 2－p 232p5－p 2－25－p 2＝－1，① 设p5－p 2

＝t ，则①式可化为t 2－4 2t ＋8＝0 t ＝2 2 p 2－10p ＋16＝0 p ＝2或p ＝

8 .

图1－5

21．H4，H5[20132浙江卷] 如图1－5所示，点P(0，－1)是椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b

2＝1(a>b>0)的一个顶点，C 1的长轴是圆C 2：x 2＋y 2＝4的直径．l 1，l 2是过点P 且互相垂直的两条直线，其中l 1交圆C 2于A ，B 两点，l 2交椭圆C 1于另一点D.

(1)求椭圆C 1的方程；

(2)求△ABD 面积取得最大值时直线l 1的方程．

- 7 - 21．解：(1)由题意得?

????b ＝1，a ＝2， 所以椭圆C 的方程为x 24

＋y 2＝1. (2)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，D(x 0，y 0)．由题意知直线l 1的斜率存在，不妨设其为k ，则直线l 1的方程为y ＝kx －1.

又圆C 2：x 2＋y 2＝4，故点O 到直线l 1的距离d ＝1k 2＋1

， 所以|AB|＝2 4－d 2＝2 4k 2

＋3k 2＋1. 又l 2⊥l 1，故直线l 2的方程为x ＋ky ＋k ＝0.

由?

????x ＋ky ＋k ＝0，x 2＋4y 2＝4. 消去y ，整理得(4＋k 2)x 2＋8kx ＝0. 故x 0＝－8k 4＋k

2， 所以|PD|＝8 k 2＋14＋k

2. 设△ABD 的面积为S ，则S ＝122|AB|2|PD|＝8 4k 2＋34＋k

2， 所以S ＝

324k 2＋3＋13

4k 2＋3≤3224k 2＋32134k 2＋3

＝16 1313，当且仅当k ＝±102时取等号．

所以所求直线l 1的方程为y ＝±

102

x －1. 7．H2，H4[20132重庆卷] 已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝

9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为( ) A ．5 2－4 B. 17－1

C ．6－2 2 D.17

7．A [解析] 如图，作圆C 1关于x 轴的对称圆C′1：(x －2)2＋(y ＋3)2＝1，则|PM|＋|PN|

＝|PN|＋|PM′|.由图可知当C 2，N ，P ，M′，C′1在同一直线上时，|PM|＋|PN|＝|PN|＋|PM′|取得最小值，即为|C′1C 2|－1－3＝

- 8 - 图1－3

H5 椭圆及其几何性质

20．H3，H10，H8，H5[20132新课标全国卷Ⅰ] 已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －

1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C.

(1)求C 的方程；

(2)l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB|.

20．解：由已知得圆M 的圆心为M(－1，0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N(1，0)，半径r 2＝3.

设圆P 的圆心为P(x ，y)，半径为R.

(1)因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以

|PM|＋|PN|＝(R ＋r 1)＋(r 2－R)＝r 1＋r 2＝4.

由椭圆的定义可知，曲线C 是以M, N 为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭

圆(左顶点除外)，其方程为x 24＋y 23

＝1(x≠－2)． (2)对于曲线C 上任意一点P(x ，y)，由于|PM|－|PN|＝2R －2≤2，所以R≤2，

当且仅当圆P 的圆心为(2，0)时，R ＝2，所以当圆P 的半径最长时，其方程为(x －2)2＋

y 2＝4.

若l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得|AB|＝2 3.

若l 的倾斜角不为90°，由r 1≠R 知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ， 则|QP||QM|＝R r 1，可求得Q(－4，0)，所以可设l ：y ＝k(x ＋4)．由l 与圆M 相切得|3k|1＋k

2＝1，解得k ＝±24.当k ＝24时，将y ＝24x ＋2代入x 24＋y 2

3

＝1， 并整理得7x 2＋8x －8＝0.解得x 1，2＝－4±6 27

. 所以|AB|＝1＋k 2|x 2－x 1|＝187. 当k ＝－24时，由图形的对称性可知|AB|＝187. 综上，|AB|＝2 3或|AB|＝187

. 10．H5[20132新课标全国卷Ⅰ] 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F(3，0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点，若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )

A.x 245＋y 236＝1

B.x 236＋y 227

＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1

- 9 -

10．D [解析] 由题意知k AB ＝1

2，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则?

???

?x 21a 2＋y 2

1

b

2＝1，x 22a 2＋y 2

2

b 2＝1

（x 1＋x 2）（x 1－x 2）a 2＋（y 1＋y 2）（y 1－y 2）

b

2

＝0. 由AB 的中点是(1，－1)知?

????x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－2，

∴b 2a 2＝y 1－y 2x 1－x 2＝12，联立a 2－b 2＝9，解得a 2＝18，b 2＝9，故椭圆E 的方程为x 218＋y 2

9＝1. 18．H5、H8、H9[20132安徽卷] 设椭圆E ：x 2

a 2＋y 2

1－a

2＝1的焦点在x 轴上．

(1)若椭圆E 的焦距为1，求椭圆E 的方程；

(2)设F 1，F 2分别是椭圆E 的左、右焦点，P 为椭圆E 上第一象限内的点，直线F 2P 交y 轴于点Q ，并且F 1P ⊥F 1Q.证明：当a 变化时，点P 在某定直线上．

18．解：(1)因为焦距为1，所以2a 2－1＝14，解得a 2

＝58.

故椭圆E 的方程为8x 2

5＋8y

2

3

＝1.

(2)设P(x 0，y 0)，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，其中c ＝2a 2

－1.由题设知x 0≠c ，

则直线F 1P 的斜率kF 1P ＝y 0

x 0＋c ，

直线F 2P 的斜率kF 2P ＝y 0

x 0－c ，

故直线F 2P 的方程为y ＝

y 0

x 0－c

(x －c)． x ＝0时，y ＝cy 0c －x 0，即点Q 的坐标为0，cy 0

c －x 0.

因此，直线F 1Q 的斜率为kF 1Q ＝y 0

c －x 0

.

由于F 1P ⊥F 1Q ，所以kF 1P 2kF 1Q ＝y 0x 0＋c 2y 0

c －x 0

＝－1.

化简得y 2

0＝x 2

0－(2a 2

－1)．①

将①代入椭圆E 的方程，由于点P(x 0，y 0)在第一象限，解得x 0＝a 2，y 0＝1－a 2

，即点P 在定直线x ＋y ＝1上．

14．H5，H8[20132福建卷] 椭圆Γ：x 2

a 2＋y

2

b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦

距为2c.若直线y ＝3(x ＋c)与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于__________．

- 10 - 14.3－1 [解析] 如图，△MF 1F 2中，∵∠MF 1F 2＝60°，∴∠MF 2F 1＝30°，∠F 1MF 2＝90°，

又|F 1F 2|＝2c ，∴|MF 1|＝c ，|MF 2|＝3c ，∴2a＝|MF 1|＋|MF 2|＝c ＋3c ，得e ＝c a ＝23＋1

＝3－1.

12．H5[20132江苏卷] 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a>0，b>0)，右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B.设原点到直线BF 的距离为d 1，F 到l 的距离为d 2.若d 2＝6d 1，则椭圆C 的离心率为________．

12.33 [解析] 由题意知F(c ，0)，l ：x ＝a 2c ，不妨设B(0，b)，则直线BF ：x c ＋y b

＝1，即bx ＋cy －bc ＝0.

于是d 1＝|－bc|b 2＋c

2＝bc a ， d 2＝a 2c －c ＝a 2－c 2c ＝b 2c . 由d 2＝6d 1，得? ????b 2c 2＝6? ??

??bc a 2

， 化简得6c 4＋a 2c 2－a 4＝0，

即6e 4＋e 2－1＝0，

解得e 2＝13或e 2＝－12

(舍去)， 故e ＝

33，故椭圆C 的离心率为33.

20. 图1－7

H5，H8[20132江西卷] 如图1－7所示，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)经过点P ? ??

??1，32，离心率e ＝12

，直线l 的方程为x ＝4. (1)求椭圆C 的方程；

(2)AB 是经过右焦点F 的任一弦(不经过点P)，设直线AB 与直线l 相交于点M ，记PA ，PB ，PM 的斜率分别为k 1，k 2，k 3.问：是否存在常数λ，使得k 1＋k 2＝λk 3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．

解：(1)由P ? ????1，32在椭圆上得1a 2＋94b 2＝1，① 依题设知a ＝2c ，则b 2＝3c 2

，②

②代入①解得c 2＝1，a 2＝4，b 2＝3. 故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.

- 11 - (2)方法一：由题意可设AB 的斜率为k ，则

直线AB 的方程为y ＝k(x －1)，③

代入椭圆方程3x 2＋4y 2＝12并整理，得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4(k 2－3)＝0.

设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则有

x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4（k 2－3）4k 2＋3

，④ 在方程③中令x ＝4得，M 的坐标为(4，3k)．

从而k 1＝y 1－32x 1－1，k 2＝y 2－32x 2－1，k 3＝3k －324－1＝k －12

， 注意到A ，F ，B 共线，则有k ＝k AF ＝k BF ，即有y 1x 1－1＝y 2x 2－1＝k ，所以k 1＋k 2＝y 1－32x 1－1＋y 2－32x 2－1

＝y 1x 1－1＋y 2x 2－1－32? ??

??1x 1－1＋1x 2－1 ＝2k －322x 1＋x 2－2x 1x 2－（x 1＋x 2）＋1

，⑤ ④代入⑤得k 1＋k 2＝2k －3228k 24k ＋3－24（k 2－3）4k 2＋3－8k 24k 2＋3

＋1＝2k －1. 又k 3＝k －12

，所以k 1＋k 2＝2k 3，故存在常数λ＝2符合题意． 方法二：设B(x 0，y 0)(x 0≠1)，则直线FB 的方程为：y ＝y 0x 0－1

(x －1)． 令x ＝4，求得M ? ??

??4，3y 0x 0－1. 从而直线PM 的斜率为k 3＝2y 0－x 0＋12（x 0－1）

， 联立?

????y ＝y 0x 0－1（x －1），x 24＋y 23＝1，得A ? ????5x 0－82x 0－5，3y 02x 0－5， 则直线PA 的斜率为k 1＝2y 0－2x 0＋52（x 0－1），直线PB 的斜率为k 2＝2y 0－32（x 0－1）

， 所以k 1＋k 2＝2y 0－2x 0＋52（x 0－1）＋2y 0－32（x 0－1）＝2y 0－x 0＋1x 0－1

＝2k 3， 故存在常数λ＝2符合题意．

19．H5，H10[20132北京卷] 已知A ，B ，C 是椭圆W ：x 24

＋y 2＝1上的三个点，O 是坐标原点．

(1)当点B 是W 的右顶点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积；

(2)当点B 不是W 的顶点时，判断四边形OABC 是否可能为菱形，并说明理由．

- 12 - 19．解：(1)椭圆W ：x 24

＋y 2＝1的右顶点B 的坐标为(2，0)． 因为四边形OABC 为菱形，所以AC 与OB 相互垂直平分．

所以可设A(1，m)，代入椭圆方程得14＋m 2＝1，即m ＝±32

. 所以菱形OABC 的面积是

12|OB|2|AC|＝12

3232|m|＝ 3. (2)假设四边形OABC 为菱形．

因为点B 不是W 的顶点，且直线AC 不过原点，所以可设AC 的方程为y ＝kx ＋m(k≠0，m≠0)． 由?????x 2＋4y 2＝4，y ＝kx ＋m 消y 并整理得 (1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2

－4＝0.

设A(x 1，y 1)，C(x 2，y 2)，则

x 1＋x 22＝－4km 1＋4k 2，y 1＋y 22＝k2x 1＋x 22＋m ＝m 1＋4k 2. 所以AC 的中点为M ? ??

??－4km

1＋4k 2，m

1＋4k 2. 因为M 为AC 和OB 的交点，所以直线OB 的斜率为－14k

. 因为k2? ??

??－14k ≠－1，所以AC 与OB 不垂直． 所以四边形OABC 不是菱形，与假设矛盾．

所以当点B 不是W 的顶点时，四边形OABC 不可能是菱形．

15．H5[20132辽宁卷] 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a>b>0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，联结AF ，BF.若|AB|＝10，|AF|＝6，cos ∠ABF ＝45

，则C 的离心率e ＝________． 15.57

[解析] 设椭圆的右焦点为Q ，在三角形ABF 中利用余弦定理可以得到|BF|＝8，利用椭圆的对称性可以得到|AQ|＝8，则△FAQ 为直角三角形，然后利用椭圆的定义可以得到2a

＝14，2c ＝10，得e ＝57

. 15．H5[20132全国卷] 记不等式组?????x≥0，x ＋3y≥4，3x ＋y≤4

所表示的平面区域为D.若直线y ＝a(x ＋

1)与D 有公共点，则a 的取值范围是________． 15.????

??12，4 [解析] 已知不等式组表示的平面区域如图1－2中的三角形ABC 及其内部，直线y ＝a(x ＋1)是过点(－1，0)斜率为a 的直线，该直线与区域D 有公共点时，a 的最小值

为MA 的斜率，最大值为MB 的斜率，其中点A(1，1)，B(0，4)，故MA 的斜率等于1－01－（－1）

- 13 - ＝12，MB 的斜率等于4－00－（－1）＝4，故实数a 的取值范围是????

??12，4

. 8．H5、H8[20132全国卷] 椭圆C ：x 4＋y 3

＝1的左、右顶点分别为A 1，A 2，点P 在C 上且直线PA 2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA 1斜率的取值范围是( ) A.??????12，34 B.????

??38，34 C.??????12，1 D.????

??34，1 8．B [解析] 椭圆的左、右顶点分别为(－2，0)，(2，0)，设P(x 0，y 0)，则kPA 1kPA 2＝y 0x 0＋22y 0x 0－2＝y 20x 20－4，而x 204＋y 203＝1，即y 20＝34(4－x 20)，所以kPA 1kPA 2＝－34，所以kPA 1＝－34kPA 2∈????

??38，34. 22．H5[20132山东卷] 椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，离心率为32

，过F 1且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1. (1)求椭圆C 的方程；

(2)点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，联结PF 1，PF 2，设∠F 1PF 2的角平分线PM 交C 的长轴于点M(m ，0)，求m 的取值范围；

(3)在(2)的条件下，过点P 作斜率为k 的直线l ，使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点，

设直线PF 1，PF 2的斜率分别为k 1，k 2，若k≠0，试证明1kk 1＋1kk 2

为定值，并求出这个定值． 22．解：(1)由于c 2＝a 2－b 2，将x ＝－c 代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1，得y ＝±b 2a .由题意知 2b 2a ＝1，即a ＝2b 2.

又e ＝c a ＝32

， 所以a ＝2，b ＝1.

所以椭圆C 的方程为x 24

＋y 2＝1. (2)方法一：设P(x 0，y 0)(y 0≠0)．

又F 1(－3，0)，F 2(3，0)，

所以直线PF 1，PF 2的方程分别为

lPF 1：y 0x －(x 0＋3)y ＋3y 0＝0，

lPF 2：y 0x －(x 0－3)y －3y 0＝0.

- 14 - 由题意知||my 0＋3y 0y 20＋（x 0＋3）2＝||

my 0－3y 0y 2

0＋（x 0－3）2.

由于点P 在椭圆上，所以x 2

4＋y 2

0＝1， 所以|m ＋3|

? ????32x 0＋22＝|m －3|? ??

??32x 0－22

. 因为－3

可得m ＋332x 0＋2＝3

－m 2－3

2x 0

.

所以m ＝34x 0.

因此－32

2.

方法二： 设P(x 0，y 0)．当0≤x 0＜2时， ①当x 0＝3时，直线PF 2的斜率不存在，易知P 3，12或P ? ????

3，－1

2.

若P ? ????3，1

2，则直线PF 1的方程为x －4 3y ＋3＝0. 由题意得|m ＋3|7＝3－m ， 因为－3

所以m ＝3 3

4.

若P ? ????3，－1

2，同理可得m ＝3 3

4.

②当x 0≠3时，

设直线PF 1，PF 2的方程分别为y ＝k 1(x ＋3)，y ＝k 2(x －3)． 由题意知|mk 1＋3k 1|1＋k 21＝|mk 2－3k 2|

1＋k 22，

所以（m ＋3）2

（m －3）2＝1＋1

k 2

1

1＋1k 22

.

因为x 2

4＋y 2

0＝1，

并且k 1＝y 0x 0＋3，k 2＝y 0

x 0－3

，

- 15 - 所以（m ＋3）2（m －3）2＝4（x 0＋3）2＋4－x 2

4（x 0－3）2＋4－x 20

＝3x 2

0＋8 3x 0＋16

3x 20－8 3x 0＋16

＝（3x 0＋4）2

（3x 0－4）2，

即|m ＋3|

|m －3|＝|3x 0＋4|

|3x 0

－4|.

因为－3

3x 0

4－3x 0

.

整理得m ＝3x 0

4，

故0≤m＜32且m≠3 34.

综合①②可得0≤m＜3

2.

当－2

2

综上所述，m 的取值范围是? ????－32，3

2.

(3)设P(x 0，y 0)(y 0≠0)，则直线l 的方程为y －y 0＝k(x －x 0)．

联立?????

x 24＋y 2＝1，y －y 0＝k （x －x 0），

整理得(1＋4k 2)x 2＋8(ky 0－k 2x 0)x ＋4(y 20－2kx 0y 0＋k 2x 2

0－1)＝0. 由题意Δ＝0，

即(4－x 20)k 2＋2x 0y 0k ＋1－y 2

0＝0.

又x 2

4＋y 2

0＝1，

所以16y 20k 2＋8x 0y 0k ＋x 2

0＝0，

故k ＝－x 0

4y 0

.

由(2)知1k 1＋1k 2＝x 0＋3y 0＋x 0－3y 0＝2x 0y 0

，

所以1kk 1＋1kk 2＝1k ? ????1k 1＋1k 2＝? ????－4y

x 022x 0

y 0

＝－8，

因此1

kk 1＋1kk 2

为定值，这个定值为－8.

- 16 - 20．H5，H8[20132四川卷] 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a>b>0)的两个焦点分别为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，且椭圆C 经过点P ? ??

??43，13. (1)求椭圆C 的离心率；

(2)设过点A(0，2)的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，点Q 是线段MN 上的点，且2|AQ|2＝1|AM|2＋1

|AN|2，求点Q 的轨迹方程． 20．解：(1)由椭圆定义知，|PF 1|＋|PF 2|＝

? ????43＋12＋? ????132＋? ????43－12＋? ????132

＝2 2. 所以a ＝2，

又由已知，c ＝1，

所以椭圆C 的离心率e ＝c a ＝12＝22

. (2)由(1)知，椭圆C 的方程为x 22

＋y 2＝1. 设点Q 的坐标为(x ，y)．

①当直线l 与x 轴垂直时，直线l 与椭圆C 交于(0，1)，(0，－1)两点，此时点Q 的坐

标为?

????0，2－3 55. ②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋2.

因为M ，N 在直线l 上，可设点M ，N 的坐标分别为(x 1，kx 1＋2)，(x 2，kx 2＋2)，则|AM|

2＝(1＋k 2)x 21，|AN|2＝(1＋k 2)x 22.

又|AQ|2＝x 2＋(y －2)2＝(1＋k 2)x 2.

由2|AQ|2＝1|AM|2＋1

|AN|2，得 2（1＋k 2）x 2＝1（1＋k 2）x 21＋1（1＋k 2）x 22

， 即2x 2＝1x 21＋1x 22＝（x 1＋x 2）2

－2x 1x 2x 21x 22

.① 将y ＝kx ＋2代入x 22

＋y 2＝1中，得 (2k 2＋1)x 2＋8kx ＋6＝0.②

由Δ＝(8k)2－43(2k 2＋1)36>0，得k 2>32. 由②可知，x 1＋x 2＝－8k 2k 2＋1，x 1x 2＝62k 2＋1

， 代入①中并化简，得

x 2＝1810k 2－3

.③

- 17 - 因为点Q 在直线y ＝kx ＋2上，所以k ＝y －2x

，代入③中并化简，得10(y －2)2－3x 2＝18. 由③及k 2>32，可知0

， 即x∈? ?

???－62，0∪?

????0，62. 又?

????0，2－3 55满足10(y －2)2－3x 2＝18， 故点Q 的轨迹方程为10(y －2)2－3x 2＝18，

x ∈? ??

??－62，62. 18．H5，H8[20132天津卷] 设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左焦点为F ，离心率为33

，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为4 33

. (1)求椭圆的方程；

(2)设A ，B 分别为椭圆的左、右顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点，若AC →2DB →＋AD →2CB →＝8，求k 的值．

18．解：(1)设F(－c ，0)，由c a ＝33

，知a ＝3c.过点F 且与x 轴垂直的直线为x ＝－c ， 代入椭圆的方程有（－c ）2a 2＋y 2b 2＝1，解得y ＝±6b 3.于是2 6b 3＝4 33

，解得b ＝ 2. 又a 2－c 2＝b 2，从而a ＝3，c ＝1，

所以所求椭圆的方程为x 23＋y 22

＝1. (2)设点C(x 1，y 1)，D(x 2，y 2)，由F(－1，0)得直线CD 的方程为y ＝k(x ＋1)．

由方程组?????y ＝k （x ＋1），x 23＋y 22

＝1，消去y ，整理得(2＋3k 2)x 2＋6k 2x ＋3k 2－6＝0， 可得x 1＋x 2＝－6k 22＋3k 2，x 1x 2＝3k 2－62＋3k 2. 因为A(－3，0)，B(3，0)，

所以AC →2DB →＋AD →2CB →＝(x 1＋3，y 1)2(3－x 2，－y 2)＋(x 2＋3，y 2)2(3－x 1，－y 1) ＝6－2x 1x 2－2y 1y 2

＝6－2x 1x 2－2k 2(x 1＋1)(x 2＋1)

＝6－(2＋2k 2)x 1x 2－2k 2(x 1＋x 2)－2k 2

＝6＋2k 2

＋122＋3k 2. 由已知得6＋2k 2＋122＋3k

2＝8，解得k ＝± 2. 20．H1，H5，H8[20132新课标全国卷Ⅱ] 平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a

- 18 - ＞b ＞0)右焦点的直线x ＋y －3＝0交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12

. (1)求M 的方程；

(2)C ，D 为M 上两点，若四边形ACBD 的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD 面积的最大值．

20．解：(1)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，P(x 0，y 0)，则

x 21a 2＋y 21

b 2＝1，x 22a 2＋y 2

2

b 2＝1.

y 2－y 1

x 2－x 1

＝－1.

由此可得b 2

（x 2＋x 1）

a 2（y 2＋y 1）＝－y 2－y 1

x 2－x 1

＝1.

因为x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，y 0x 0＝12

，

所以a 2＝2b 2.

又由题意知，M 的右焦点为(3，0)，故a 2－b 2＝3.

因此a 2＝6，b 2＝3.

所以M 的方程为x 26＋y

23＝1.

(2)由?????x ＋y －3＝0，

x 26＋y 23＝1，

解得?????x ＝4 3

3，y ＝－33

或??

?x ＝0，

y ＝ 3.

因此|AB|＝4 6

3.

由题意可设直线CD 的方程为y ＝x ＋n －5 3

3

设C(x 3，y 3)，D(x 4，y 4)．

由?????y ＝x ＋n ，

x 26＋y 23＝1得3x 2＋4nx ＋2n 2

－6＝

0，

于是x 3，4＝－2n±2（9－n 2）

3.

因为直线CD 的斜率为1，所以|CD|＝2|x 4－x 3|＝439－n 2

.

由已知，四边形ACBD 的面积S ＝12|CD|2|AB|＝8 699－n 2

. 当n ＝0时，S 取得最大值，最大值为8 6

3.

- 19 - 所以四边形ACBD 面积的最大值为8 63

. 图1－5

21．H4，H5[20132浙江卷] 如图1－5所示，点P(0，－1)是椭圆C 1：x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a>b>0)的一个顶点，C 1的长轴是圆C 2：x 2＋y 2＝4的直径．l 1，l 2是过点P 且互相垂直的两条直线，其中l 1交圆C 2于A ，B 两点，l 2交椭圆C 1于另一点D.

(1)求椭圆C 1的方程；

(2)求△AB D 面积取得最大值时直线l 1的方程．

21．解：(1)由题意得?????b ＝1，a ＝2， 所以椭圆C 的方程为x 24

＋y 2＝1. (2)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，D(x 0，y 0)．由题意知直线l 1的斜率存在，不妨设其为k ，则直线l 1的方程为y ＝kx －1.

又圆C 2：x 2＋y 2＝4，故点O 到直线l 1的距离d ＝1k 2＋1

， 所以|AB|＝2 4－d 2＝2 4k 2

＋3k 2＋1. 又l 2⊥l 1，故直线l 2的方程为x ＋ky ＋k ＝0.

由?

????x ＋ky ＋k ＝0，x 2＋4y 2＝4. 消去y ，整理得(4＋k 2)x 2＋8kx ＝0. 故x 0＝－8k 4＋k

2， 所以|PD|＝8 k 2＋14＋k

2. 设△ABD 的面积为S ，则S ＝122|AB|2|PD|＝8 4k 2＋34＋k

2， 所以S ＝

324k 2＋3＋13

4k 2＋3≤3224k 2＋32134k 2＋3

＝16 1313，当且仅当k ＝±102时取等号．

所以所求直线l 1的方程为y ＝±102

x －1.

- 20 - 图1－2

9．H5，H6[20132浙江卷] 如图1－2，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24

＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( ) A. 2 B. 3 C.32 D.62

9．D [解析] 设双曲线实半轴长为a ，焦半距为c ，|AF 1|＝m ，|AF 2|＝n ，由题意知c ＝3，?????m ＋n ＝4，m 2＋n 2＝（2c ）2＝12，2mn ＝(m ＋n)2－(m 2＋n 2)＝4，(m －n)2＝m 2＋n 2－2mn ＝8，2a ＝m －n ＝2 2，a ＝2，则双曲线的离心率e ＝c a ＝32＝62

，选择D. 21．F2、F3、H3、H5，H8[20132重庆卷] 如图1－9所示，椭圆的中心为原点O ，长轴在

x 轴上，离心率e ＝

22

，过左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于A ，A′两点，|AA′|＝4. (1)求该椭圆的标准方程；

(2)取垂直于x 轴的直线与椭圆相交于不同的两点P ，P′，过P ，P′作圆心为Q 的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q 外，若PQ⊥P′Q，求圆Q 的标准方程．

图1－9

21．解：(1)由题意知点A(－c ，2)在椭圆上，则（－c ）2a 2＋22

b 2＝1，从而e 2＋4b

2＝1. 由e ＝22得b 2＝41－e 2＝8，从而a 2＝b 21－e

2＝16. 故该椭圆的标准方程为x 216＋y 28

＝1. (2)由椭圆的对称性，可设Q(x 0，0)．又设M(x ，y)是椭圆上任意一点，则|QM|2＝(x －x 0)2＋y 2＝x 2－2x 0x ＋x 2

0＋8? ????1－x 216 ＝12

(x －2x 0)2－x 20＋8(x∈[－4，4])． 设P(x 1，y 1)，由题意，P 是椭圆上到Q 的距离最小的点，因此，上式当x ＝x 1时取得最小

值．又因x 1∈(－4，4)，所以上式当x ＝2x 0时取得最小值，从而x 1＝2x 0，且|QP|2＝8－x 20.

因为PQ⊥P′Q，且P′(x 1，－y 1)，所以QP →2QP →′＝(x 1－x 0，y 1)2(x 1－x 0，－y 1)＝0，

- 21 -

即(x 1－x 0)2

－y 2

1

＝0.由椭圆方程及x 1＝2x 0得14x 21－8? ?

?

??1－x 2

116＝0，

解得x 1＝±4 63，x 0＝x 12＝±2 63，从而|QP|2＝8－x 2

0＝163.

故这样的圆有两个，其标准方程分别为

? ????x ＋2 632＋y 2＝163，?

????x －2 632＋y 2＝16

3.

H6 双曲线及其几何性质

4．H6[20132新课标全国卷Ⅰ] 已知双曲线C ：x 2

a 2－y 2

b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为5

2

，

则C 的渐近线方程为( )

A ．y ＝±14x

B ．y ＝±1

3x

C ．y ＝±1

2

x D ．y ＝±x

4．C [解析] 离心率c a ＝52，所以b

a ＝

c 2－a

2

a

2

＝? ??

??c a 2

－1＝12.由双曲线方程知焦点在x 轴上，故渐近线方程为y ＝±1

2

x.

6．H6[20132北京卷] 若双曲线x 2

a 2－y

2

b 2＝1的离心率为3，则其渐近线方程为( )

A ．y ＝±2x

B ．y ＝±2x

C ．y ＝±12x

D ．y ＝±2

2

x

6．B [解析] 由离心率为3，可知c ＝3a ，∴c 2

＝3a 2

，∴b 2

＝2a 2

，∴b＝2a ，∴双曲

线的渐近线方程为y ＝±b

a

x ＝±2x.

3．H6[20132福建卷] 双曲线x 2

4－y 2

＝1的顶点到其渐近线的距离等于( )

A.25

B.45

C.2 55

D.4 55

3．C [解析] 取一顶点(2，0)，一条渐近线x ＋2y ＝0，d ＝

2

12＋22

＝2

5 5，故选C. 7．H6[20132广东卷] 已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F(3，0)，离心率等于3

2，

则C 的方程是( )

A.x 24－y 25

＝1 B.x 24－y

25＝1

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/gqyq.html