线性系统的能控性判据分析

线性系统的能控性判据分析

摘要：能控性是线性系统的一个基本结构特征，它的出现对于系统控制和系统估计问题的研究具有重要意义。本文主要讨论线性系统的能控性判据。其中，能控性的判据分析有很多种方法，最常用的及时约旦标准型方法。

一：问题的提出

设计一个线性系统，我们总是希望所施加的控制u(t)能完全控制系统的运动状态，而不希望出现失控现象。因此，判断一个系统能控性问题就显得尤为重要。能控性是从状态的控制能力方面来揭示了控制系统的一个基本属性。现代控制理论的许多基本问题，如最优控制和最优估计，都是以能控性为存在条件的。 1. 能控性定义 能控性的直观讨论

从状态空间的角度进行讨论：输入和输出构成系统外部变量,状态为系统内部变量。能控性主要看其状态是否可由输入影响。每一个状态变量的运动都可由输入来影响和控制,由任意的始点到达原点,为能控,反之为不完全能控。具体来说就是指外加控制作用u(t) 对受控系统的状态变量x(t)和输出变量y(t)的支配能力，它回答了u(t)能否使x(t)和y(t)作任意转移的问题。 二：问题的解决

我们利用线性系统的能控性判据来判断其能控性。

设线性定常系统状态方程为：

??Ax?Bu,xx为n维状态向量x(0)?x0,t?0(1),u为p维输入向量,A,B为n?n,n?p常阵.能控性判据：

1.格拉姆矩阵判据

线性定常系统（1）为完全能控的充分必要条件是，存在时刻 t 1 ? 0 ，使如下定义的格拉姆（Gram）矩阵

2.秩判据

Wc[0,t]??t0e?AtBBeT?AtTdt为非奇异其中，该判据的证明用到了范数理论中的矩阵范数，在此不再赘述。

线性定常系统（1）为完全控的充分必要条件是

rank[B?AB???An?1B]?nn?1其中n为矩阵A的维数,Qc?[B?AB???AB]称为系统的能控性判别阵.

3.PBH秩判据

线性定常系统（1）为完全能控的充分必要条件是，对矩阵A的所有特征值

或等价地表为?i(i?1,2,?,n)

均成立rank[?iI?A,B]?nrank[sI?A,B]?ni?1,2,?,n?s??也即(sI?A)和B是左互质的.4. PBH特征向量判据

线性定常系统（1）为完全能控的充分必要条件是A不能有与B的所有列

相正交的非零左特征向量。也即对A的任一特征值，使同时满足

5.约当规范形判据

?A??i?,TT?B?0的特征向量??0.T线性定常系统完全能控的充分必要条件是：

(1)当矩阵A的特征值λ1, λ2, … λn为两两相异时，有系统的对角规范形

??1????x??????x?Bu???l??2?其中 B 不包含元素全为零的行。

(2)当矩阵A的特征值为λ1(σ1重), λ2(σ2重), … λn(σn重),且(σ1＋ σ2＋…＋ σl)＝n时，有约当规范形 ??x?u??A??Bx

其中：

?n?nA?J1?????J2?????Jl????B1??????B2?B(n?p)????????Bl??

?Ji1?Ji???????iiJi2?????Ji??i?Bi(?i?p)???Bi1????Bi2??????????Bi?i????i??Jik?r?r??

1?i1?ikik??1???i?

(ri1?ri2???ri?i)??i

~Bik(k?1,2,?,?i)~?bi1??~??bi2?????~???bi?i??的最后一行所组成的矩阵

对i=1,2,…,l 均为线性无关

例1. 给定一个线性时不变系统的状态方程为 100??1 0??3?11???? 11?1?100-1 1????

?0?2 1?02011? x????x????0?0???0002?1?1?U

?0 -1?

?0 2? 00011???? 00011?1 0?????

试判断其能控性。 解：（1）计算特征值。Det(sI-A)=(s-2)5 s

可以求得其特征值λ1 =2, λ2 =0

（2） 计算重特征值λ1 =2,的几何重数α1. 由

0???11?1?10 ???111100 ???0000?1?1?

(2I?A)??? Rank(2I-A)=4 000011?? ?00001?1???

0000?11????

（3）对重特征值λ1 =2计算Rank(2I-A)m =6-vm 中的vm ，其中取 m=0,1..对

此，由（2I-A）0 =I,Rank(2I-A) 0=6,可知v0=0,由此可以求得v1=2，v2=4，v3=5

（4）确定矩阵A的属于特征值λ1 =2的广义特征向量组，首先列出下表：

v3-v2=1 (3)V11= V11 v2-v1=2 V(2)12= V12 (2)V11= -（2I-A）V11 v1-v0=1 V(1)12=-（2I-A）V12 V(1)11 =(2I-A)2 V12 T

由满足(2I-A)3V11 =0，(2I-A)2V11≠0定出一个独立型列向量V11 =[0 0 1 0 0 0].由此，可导出各个导出型列向量为：

V(1)11 =(2I-A)2 V11=[2 2 0 0 0 0]T ， V(2)11= -（2I-A）V11 =[1 -1 0 0 0 0]T V(3)11= V11=[0 0 1 0 0 0]T,

再之，由满足{V12，V12(2)}线性无关，（2I-A）2V12 =0，（2I-A）V12≠0

可以定出一个独立型列向量V12 =[0 0 1 -1 1 1]T .。由此，可导出各个导出型列向

量为V(1)12 =(2I-A) V12=[0 0 2 -2 0 0]T ，V(2)12= V12=[0 0 1 -1 1 1]T

（5）确定矩阵A的属于特征值λ2=0的特征向量。由（λ2 I-A）V2=AV2=0

求得其一个特征向量为V2= V12=[0 0 0 0 1 -1]T

-1

（6）组成变换阵Q并计算Q.对此有

10000?1/4000?2?1/4??? 2?100001/2?1/2000??? ?001210??00110Q?? ?逆矩阵 P??000?2?10?00?1/2?1/4??0

?000011??00001/2 ???0001?1???0?0001/2 ??0（7）导出其状态方程的约当标准型，对此有，

1/4??0?210000?

????1?1/2021000 ?????0Q?X?PAQX?PBU= ??0?0 ??0?.??0?0???1/4?1/2???1/2??00002000200120000

对应于λ1=2和λ2=0的各约当小块的末行，找出B矩阵的相应行，组成如下矩阵 0??2b??? 线性无关 ，根据约旦标准型判据，系统完全能控。 1/21??

三 总结：

本文用到了矩阵论中的很多知识，其中秩判据用到了矩阵论中求秩的方法，应用最多的约旦规范性判据包括了矩阵论中的求特征值，特征向量和求矩阵的约旦规范型等知识。

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/gqv3.html