选修3-1 第六章 专题突破 静电场中的图象问题

专题突破静电场中的图象问题

电场中粒子运动的v－t图象

根据v－t图象的速度变化、斜率变化(即加速度大小的变化),确定电荷所受电场力的方向与电场力的大小变化情况,进而确定电场强度的方向、电势的高低及电势能的变化.

【例1】(2018·4月浙江选考)一带电粒子仅在电场力作用下从A点开始以－v0做直线运动,其v－t图象如图1所示.粒子在t0时刻运动到B点,3t0时刻运动到C 点,以下判断正确的是()

图1

A.A、B、C三点的电势关系为φB>φA>φC

B. A、B、C三点的场强大小关系为E C>E B>E A

C.粒子从A点经B点运动到C点,电势能先增加后减少

D.粒子从A点经B点运动到C点,电场力先做正功后做负功

解析带电粒子的带电性质不确定,无法判断电势的高低,A项错误；根据图象可知带电粒子的动能先减小后增大,由能量转化关系可知,动能转化为电势能,所以电势能先增大后减小,电场力先做负功再做正功,选项C正确,D错误；v－t图象的斜率表示加速度的大小,也可间接地反映电场力和电场强度的大小,图线的斜率先增大后减小,且方向没有改变,所以电场强度应该是E B最大,选项B错误.

答案 C

电场中的E－x图象

1.几种常见的E－x图象

(1)点电荷的E－x图象

正点电荷及负点电荷的电场强度E随坐标x变化关系的图象大致如图2所示.(E 方向向右为正)

图2

(2)两个等量异种点电荷的E－x图象

①两电荷连线上的E－x图象如图3甲所示.

②两电荷连线的中垂线上的E－y图象如图3乙所示.

甲乙

图3

(3)两个等量同种点电荷的E－x图象

①两电荷连线上的E－x图象如图4甲所示.

②两电荷连线的中垂线上的E－y图象如图4乙所示.

甲乙

图4

2.E－x图象特点

(1)反映了电场强度随位移变化的规律.

(2)E>0表示场强沿x轴正方向；E<0表示场强沿x轴负方向.

(3)图线与x轴围成的“面积”表示电势差,“面积”大小表示电势差大小,两点的电势高低根据电场方向判定.

【例2】(多选)x轴上O点右侧各点的电场方向与x轴方向一致,O点左侧各点的电场方向与x轴方向相反,若规定向右的方向为正方向,x轴上各点的电场强度E 随x变化的图象如图5所示,该图象关于O点对称,x1和－x1为x轴上的两点.下列说法正确的是()

图5

A.O点的电势最低

B.x1和－x1两点的电势相等

C.电子在x1处的电势能大于在－x1处的电势能

D.电子从x1处由静止释放后,若向O点运动,则到达O点时速度最大

解析作出电场线,根据顺着电场线电势降低,则O点电势最高,故A错误；从图线看出,电场强度关于原点O对称,则x轴上关于O点对称位置的电势相等,电子在x1和－x1两点处的电势能相等,故B正确,C错误；电子从x1处由静止释放后,若向O点运动,到达O点时电场力做功最多,故动能最大,速度最大,故D正确.

答案BD

电场中的φ－x图象

1.几种常见的φ－x图象

(1)点电荷的φ－x图象(取无限远处电势为零)

①正点电荷的φ－x图象如图6甲所示.

②负点电荷的φ－x图象如图6乙所示.

甲乙

图6

(2)两个等量异种点电荷连线上的φ－x图象,如图7所示.

图7

(3)两个等量同种点电荷的φ－x图象

①两正点电荷连线上的φ－x图象如图8甲所示.

②两正点电荷连线的中垂线上的φ－y图象如图8乙所示.

甲乙

图8

2.φ－x图象特点及应用

(1)电场强度的大小等于φ－x图线的斜率大小,电场强度为零处,φ－x图线存在极值,其切线的斜率为零.

(2)在φ－x图象中可以直接判断各点电势的高低,并可根据电势高低关系确定电场强度的方向.

(3)在φ－x图象中分析电荷移动时电势能的变化,可用W AB＝qU AB,进而分析W AB 的正负,然后作出判断.

【例3】(2018·江苏南京、盐城高三第一次模拟)(多选)电荷量为Q1和Q2 的两点电荷分别固定在x轴上的O、C两点,规定无穷远处电势为零,x轴上各点电势随x的变化关系如图9所示.则()

图9

A.Q1的电荷量小于Q2的电荷量

B.G点处电场强度的方向沿x轴负方向

C.将一带负电的试探电荷自G点静止释放,仅在电场力作用下一定能到达D点

D.将一带负电的试探电荷从D 点移到J 点,电场力先做正功后做负功 解析 图象斜率大小表示场强大小,由图可知在H 点的场强为零,即Q 1和Q 2两电

荷在H 点的合场强为零,由公式E ＝kQ r 2可知,Q 1的电荷量大于Q 2的电荷量,故A 项

错误；由图知B 点的电势为零,由于沿着电场线方向电势降低,所以在B 点左边场强方向沿x 轴正方向,在C 点右边场强方向沿x 轴负方向,故B 项正确；由在G 点场强方向沿x 轴负方向,负电荷所受电场力方向向右,所以负电荷沿x 轴向右运动,故C 项错误；由图象可知从D 点到J 点电势先升高再降低,负电荷的电势能先减小后增大,电场力先做正功后做负功,故D 项正确.

答案 BD

E p －x 图象

1.反映了电势能随位移变化的规律；

2.图线的切线斜率大小等于电场力大小；

3.进一步判断场强、动能、加速度等随位移的变化情况.

【例4】 (2018·苏锡常镇四市一调)一带电粒子在电场中仅受静电力作用,做初速度为零的直线运动.取该直线为x 轴,起始点O 为坐标原点,其电势能E p 与位移x 的关系如图10所示.下列图象中合理的是( )

图10

解析 由于粒子只受电场力作用,因此由F 电＝????

??ΔE p Δx 可知,E p －x 图象的斜率大小即为粒子所受电场力大小,从图象可知,图象的斜率随位移的增大而越来越小,因

此粒子运动后所受的电场力随位移的增大而越来越小,因此电场强度越来越小,选项A错误；由于只受电场力作用,因此动能与电势能的和是定值,但从选项B和题图可以看出,不同位置的电势能与动能的和不是定值,选项B错误；粒子受到的电场力随位移的增大而越来越小,因此加速度随位移的增大而越来越小,相等位移内速度增加的越来越小,v－x图线应为曲线,故选项C错误,D正确.

答案D

科学思维的培养——带电粒子在交变电场中的运动

1.常见的交变电场

常见的产生交变电场的电压波形有方形波、锯齿波、正弦波等.

2.常见的试题有三种类型

(1)粒子做单向直线运动(一般用牛顿运动定律求解).

(2)粒子做往返运动(一般分段研究).

(3)粒子做偏转运动(一般根据交变电场特点分段研究).

3.解答带电粒子在交变电场中运动的思路

(1)注重全面分析(分析受力特点和运动规律),抓住粒子的运动具有周期性和在空间上具有对称性的特征,求解粒子运动过程中的速度、位移、做功或确定与物理过程相关的边界条件.

(2)分析时从两条思路出发:一是力和运动的关系,根据牛顿第二定律及运动学规律分析；二是功能关系.

(3)注意对称性和周期性变化关系的应用.

【典例1】制备纳米薄膜装置的工作电极可简化为真空中间距为d的两平行极板,如图11甲所示.加在极板A、B间的电压U AB做周期性变化,其正向电压为U0,反向电压为－kU0(k＞1),电压变化的周期为2τ,如图乙所示.在t＝0时,极板B附近的一个电子,质量为m、电荷量为e,受电场作用由静止开始运动.若整个运动过程

中,电子未碰到极板A,且不考虑重力作用.若k＝5

4,电子在0～2τ时间内不能到达极

板A,求d应满足的条件.

图11

解析电子在0～τ时间内做匀加速运动

加速度的大小a1＝eU0

md

位移x1＝1

2a1τ

2

在τ～2τ时间内先做匀减速运动,后反向做匀加速运动

加速度的大小a2＝keU0

md

初速度的大小v1＝a1τ

匀减速运动阶段的位移x2＝v21

2a2

由题知d＞x1＋x2,解得d＞9eU0τ2

10m.

答案d＞9eU0τ2 10m

【典例2】(2018·徐州、宿迁、连云港、淮安高三模拟)如图12甲所示,极板A、B间电压为U0,极板C、D间距为d,荧光屏到C、D板右端的距离等于C、D板的板长.A板O处的放射源连续无初速度地释放质量为m、电荷量为＋q的粒子,经电场加速后,沿极板C、D的中心线射向荧光屏(荧光屏足够大且与中心线垂直),当C、D板间未加电压时,粒子通过两板间的时间为t0；当C、D板间加上图乙所示电压(图中电压U1已知)时,粒子均能从C、D板间飞出,不计粒子的重力及相互间的作用.求:

图12

(1)C、D板的长度L；

(2)粒子从C、D板间飞出时垂直于极板方向偏移的最大距离；

(3)粒子打在荧光屏上区域的长度.

解析(1)粒子在A、B板间有qU0＝1

2m v

2

在C、D板间有L＝v0t0

解得L＝t02qU0

m.

(2)粒子从nt0(n＝0,2,4,…)时刻进入C、D板间,偏移距离最大,粒子做类平抛运动

偏移距离y＝1

2at 2

加速度a＝qU1

md

得y＝qU1t20

2md.

(3)粒子在C、D板间偏转距离最大时打在荧光屏上距中心线最远

出C、D板时的偏转角tan θ＝v y v

,v y＝at0

打在荧光屏上距中心线的最远距离

s＝y＋L tan θ

荧光屏上区域长度Δs＝s＝3qU1t20

2md.

答案(1)t02qU0

m(2)

qU1t20

2md(3)

3qU1t20

2md

1.(2018·江苏省泰州中学高三上学期摸底考试)如图13甲所示,直线上固定两个正点电荷A与B,其中B带＋Q的电荷量,C、D两点将A、B连线三等分,现有一个带负电的粒子从C点开始以某一初速度向右运动,不计粒子所受的重力,并且已知该粒子在C、D间运动的速度v与时间t的关系图象如图乙所示,则A点电荷的电荷量可能是()

图13

A.＋5Q

B.＋3Q

C.＋2Q

D.＋Q

解析由v－t图象可知该粒子在两正电荷A、B的作用下做加速度逐渐减小的减速运动,故点电荷A对该粒子的库仑引力大于点电荷B对该粒子的库仑引力,根据

库仑定律,在D点,有k Q A q

4r2＞k Qq

r2,得Q A＞4Q,故选项A正确,B、C、D错误.

答案 A

2.(2018·江苏南通高三第一次调研)(多选)真空中有一半径为r0的均匀带电金属球,以球心为原点建立x轴,轴上各点的电势φ分布如图14所示,r1、r2分别是＋x轴上A、B两点到球心的距离.下列说法中正确的有()

图14

A.0～r0范围内电场强度处处为零

B.A点电场强度小于B点电场强度

C.A点电场强度的方向由A指向B

D.正电荷从A点移到B点过程中电场力做正功

解析根据E＝Δφ

Δx

可知,φ－x图象的斜率表示电场强度的大小,由图可知在0～r0

范围内斜率为0,故在0～r0范围内电场强度处处为零,故A项正确；根据场强公

式E＝kQ

r2,得A点的电场强度大于B点的电场强度,故B项错误；A到B电势降低,所以A点的电场强度方向由A指向B,故C项正确；正电荷沿直线从A移到B的过程中,电场力方向由A指向B,所以电场力做正功,故D项正确.

答案ACD

3.(2019·镇江一模)(多选)一个带电粒子在电场中仅在静电力作用下做直线运动,取该直线为x轴,初始位置O为坐标原点,其电势能E p与坐标x的关系如图15所示,则下列关于直线上各点的场强E、粒子运动的速度v、动能E k、加速度a与x 的关系图象中,合理的是()

图15

解析电势能变化看电场力做功,有ΔE p＝EqΔx,由E p－x图象的斜率为定值,说明电场为匀强电场,选项A正确；粒子所受电场力为恒力,加速度为定值,做匀变速运动,选项B、D错误；根据动能定理知动能变化看合力做功,电场力为恒力,动能随位移均匀变化,选项C正确.

答案AC

4.两个带正电,所带电荷量都为q的点电荷放在x轴上,相距为L,能正确反映两电荷连线上场强E与x关系的是以下选项中的哪一个图()

解析由等量同种点电荷的电场强度的分布情况可知,在两电荷连线中点处电场

强度最小,为零,从两点电荷向连线中点电场强度逐渐减小,关于连线中点对称的两点场强大小相等,但方向相反,因此选项A正确.

答案 A

活页作业

(时间:35分钟)

一、单项选择题

1.(2018·苏州质检)电场中某三条等势线如图1中实线a、b、c所示.一电子仅在电场力作用下沿直线从P运动到Q,已知电势φa>φb>φc,这一过程电子运动的

v－t图象可能是下图中的()

图1

解析结合φa>φb>φc,由题图等势线的特点可确定此电场为非匀强电场,且Q点处电场强度小于P点处电场强度,电子仅在电场力作用下沿直线从P运动到Q,将做加速度越来越小的加速运动,选项A正确.

答案 A

2.两电荷量分别为q1和q2的点电荷固定在x轴上的O、M两点,两电荷连线上各点电势φ随x变化的关系如图2所示,其中C为ND段电势最低的点,则下列说法正确的是()

图2

A.q1、q2为等量异种电荷

B.N、C两点间场强方向沿x轴负方向

C.N、D两点间的电场强度大小沿x轴正方向先减小后增大

D.将一正点电荷从N点移到D点,电势能先增大后减小

解析根据q1左侧和q2右侧电势随距离增大而降低可判断两者均为正电荷,A错误；N、C间的电场方向沿x轴正方向,C点场强为0,B错误；根据N→D间图线的斜率大小先减小后增大可知,场强先减小到零后反向增大,C正确；正电荷从N 移到D,由E p＝qφ知,电势能先减小后增大,D错误.

答案 C

3.(2018·江苏徐州高三第一次质检)带电球体的半径为R,以球心为原点O建立坐标轴x,轴上各点电势φ随x变化如图3所示,下列说法正确的是()

图3

A.球体带负电荷

B.球内电场强度最大

C.A、B两点电场强度相同

D.正电荷在B点的电势能比C点的大

解析从球出发向两侧电势降低,而电场线从正电荷出发,沿着电场线电势降低,故球带正电荷,故A项错误；球是等势体,内部任意两点间的电势差为零,故场强为零,故B项错误；A点与B点的电场强度大小相等,但方向相反,故不同,故C项错误；从B到C,电势降低,故正电荷电势能减小,故D项正确.

答案 D

4.(2018·盐城中学模拟)在空间中存在着沿x轴的静电场,其电场强度E随位置坐标x变化规律如图4所示,A、B、C为x轴上的点,取x轴正方向为电场强度的正方向.下列说法中正确的是()

图4

A.AC段中B点的电势最低

B.一带正电的粒子从A点运动到B点电势能增加

C.U AB>U BC

D.一负电荷仅在电场力作用下从A点运动到C点动能先减小后增大

解析顺着电场线方向,电势逐渐降低,所以B点电势不是最低,故选项A错误；一带正电的粒子从A点运动到B点,电场力做正功,电势能减少,故选项B错误；由图象可知与坐标轴围成的面积表示电势差,即U AB>U BC,故选项C正确；负电荷仅在电场力的作用下从A点运动到C点,电场力做负功,动能一直减小,故选项D错误.

答案 C

5.在真空中的x轴上的原点处和x＝6a处分别固定一个点电荷M、N,在x＝2a处由静止释放一个正点电荷P,假设点电荷P只受电场力作用沿x轴方向运动,得到点电荷P速度大小与其在x轴上的位置关系如图5所示,则下列说法正确的是()

图5

A.点电荷M、N一定都是负电荷

B.点电荷P的电势能一定是先增大后减小

C.点电荷M、N所带电荷量的绝对值之比为2∶1

D.x＝4a处的电场强度一定为零

解析根据题图可知,点电荷的速度先增大后减小,说明电场力对点电荷P先做正

功,后做负功,则M 、N 一定都是正电荷,且点电荷P 的电势能一定是先减小后增大,所以选项A 、B 错误；由于在x ＝4a 处速度最大,说明点电荷M 、N 在此处产生的合场强为0,则有

kQ M （4a ）2＝kQ N （2a ）

2,所以Q M ∶Q N ＝4∶1,选项C 错误,D 正确. 答案 D

二、多项选择题

6.如图6甲,直线MN 表示某电场中一条电场线,a 、b 是线上的两点,将一带负电荷的粒子从a 点处由静止释放,粒子从a 运动到b 过程中的v －t 图线如图乙所示,设a 、b 两点的电势分别为φa 、φb ,场强大小分别为E a 、E b ,粒子在a 、b 两点的电势能分别为W a 、W b ,不计重力,则有( )

图6

A.φa ＞φb

B.E a ＞E b

C.E a ＜E b

D.W a ＞W b

解析 由图乙可知,粒子做加速度减小,速度增大的直线运动,故可知从a 到b 电场强度减小,粒子动能增大,电势能减小,电场力方向由a 指向b ,电场线方向由b 指向a ,b 点电势高于a 点电势,故选项B 、D 正确.

答案 BD

7.(2018·如皋市第二次质检)如图7甲所示,平行金属板中央有一个静止的电子(不计重力),两板间距离足够大,当两板间加上如图乙所示的电压后,在下图中反映电子速度v 、位移x 和加速度a 三个物理量随时间t 的变化规律可能正确的是( )

图7

解析分析电子一个周期内的运动情况:0～T

4

时间内,电子从静止开始向B板做匀

加速直线运动,T

4～T

2

时间内沿原方向做匀减速直线运动,T

2

时刻速度为零,T

2

～3

4T时

间内向A板做匀加速直线运动,3

4T～T时间内做匀减速直线运动.根据匀变速直线运动速度－时间图象是倾斜的直线可知,A图符合电子的运动情况,故A项正确,C 项错误；电子做匀变速直线运动时x－t图象应是抛物线,故B项错误；根据电子的运动情况:匀加速运动和匀减速运动交替进行,而匀变速运动的加速度大小不变,a－t图象应平行于横轴,故D项正确.

答案AD

8.(2017·江苏单科)在x轴上有两个点电荷q1、q2,其静电场的电势φ在x轴上分布如图8所示.下列说法正确的有()

图8

A.q1和q2带有异种电荷

B.x1处的电场强度为零

C.负电荷从x1移到x2,电势能减小

D.负电荷从x1移到x2,受到的电场力增大

解析由x1处电势为零可知,两点电荷q1和q2带有异种电荷,选项A正确；在φ

－x图象中,图象切线的斜率表示电场强度,则x1处的电场强度不为零,选项B错误；且有x1到x2电场强度逐渐减小,负电荷受到的电场力逐渐减小,选项D错误；由E p＝φq可知,负电荷在电势高处的电势能小,负电荷从x1移到x2,电势能减小,选项C正确.

答案AC

9.(2018·江苏盐城中学模拟)两个点电荷Q1和Q2固定在x轴上O、D两点,两者之间连线上各点电势高低如图9中曲线所示(OB＞BD),取无穷远处电势为零,由图可知()

图9

A.B点电场强度为零

B.Q1为负电荷,Q2为正电荷

C.Q1电荷量一定大于Q2电荷量

D.将电子沿x轴从A点移到C点,电场力一直做正功

解析因为φ－x图线的斜率等于电场强度大小,所以B点电场强度不为零,选项A 错误；因B点左侧电势为负,右侧电势为正,故可知Q1为负电荷,Q2为正电荷,选项B正确；因电势为零的位置离D点较近,故Q1电荷量一定大于Q2电荷量,选项C 正确；将电子沿x轴从A点移到C点,电势一直升高,电势能减少,则电场力一直做正功,选项D正确.

答案BCD

10.(2018·通州中学模拟)空间中存在沿x轴正方向的电场,x轴上各点的电场强度随x的变化情况如图10所示.下列说法中正确的是()

图10

A.x1、x2两处的电势相同

B.电子在x1处的电势能小于在x2处的电势能

C.x＝0处与x1处两点之间的电势差为U＝E0x1 2

D.电子沿x轴从x1处运动到x2处,电场力一直做负功

解析沿电场方向电势降低,因为电场方向指向x轴正方向,故x轴相当于一条电场线,故φx1>φx2,选项A错误；电子受到的电场力方向和电场方向相反,故从x1到x2电场力做负功,电势能增大,电子在x1处的电势能小于在x2处的电势能,选项B、D正确；因为从0到x1处的电场强度是均匀增大的,所以从0到x1处的电场强度

平均值为E0

2,根据公式E＝U

d

可得从0到x1处的电势差为U＝E0x1

2,选项C正确.

答案BCD

11.(2018·江苏如皋教学质量调研)一带负电的粒子只在电场力作用下沿x轴正方向运动,其电势能E P随位移x变化的关系如图11所示,其中0～x2段是对称的曲线,x2～x3段是直线,则下列说法正确的是()

图11

A.x1处电场强度为零

B.x1、x2、x3处电势φ1、φ2、φ3的关系为φ1＞φ2＞φ3

C.粒子在x2～x3段速度v随x均匀减小

D.x2～x3段是匀强电场

解析根据电势能与电势的关系E p＝qφ,场强与电势的关系E＝Δφ

Δx,得E＝

1q ×ΔE p Δx ,由数学知识可知E p －x 图象切线的斜率等于ΔE p Δx ,x 1处切线斜率为零,电场强度为零,故A 项正确； 由图可知,x 1、x 2、x 3处电势φ1、φ2、φ3的关系为φ1＞φ2＞φ3,故B 项正确；根据电势能与电势的关系E p ＝qφ,粒子在x 2～x 3段电势能增加,速度v 随x 并不是均匀减小,故C 项错误；x 2～x 3段是直线,场强不变,是匀强电场,故D 项正确.

答案 ABD

12.(2018·河北唐山模拟)粗糙绝缘的水平桌面上,有两块竖直平行相对而立的金属板A 、B .板间桌面上静止着带正电的物块,如图12甲所示,当两金属板加图乙所示的交变电压时,设直到t 1时刻物块才开始运动,(最大静摩擦力与滑动摩擦力可认为相等),则( )

图12

A.在0～t 1时间内,物块受到逐渐增大的摩擦力,方向水平向左

B.在t 1～t 3时间内,物块受到的摩擦力先逐渐增大,后逐渐减小

C.t 3时刻物块的速度最大

D.t 4时刻物块的速度最大

解析 在0～t 1时间内,电场力小于最大静摩擦力,物块静止,静摩擦力与电场力大

小相等,即F f ＝qE ＝q U d ,随电压增大,静摩擦力增大,正电荷所受电场力与电场同向,

均向右,所以摩擦力方向水平向左,选项A 正确；在t 1～t 3时间内,电场力大于最大静摩擦力,物块一直加速运动,摩擦力为滑动摩擦力,由于正压力大小等于物块的重力,所以摩擦力不变,选项B 错误；t 3到t 4阶段,电场力小于摩擦力,但物块仍在运动且为减速运动,故t 3时刻速度最大,选项C 正确,D 错误.

答案 AC

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