2011届高三一轮复习数学精品资料：第四章 三角函数

第四章 三角函数

§4.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数

基础自测

1.A={小于90°（ ）

A.{小于90°的角} C.{第一象限的角} 答案 D

2.将表的分针( )

????A.3 B.6 C.-3 D.-6

的角}，B={第一象限的角}，则

B.{0°～90°的角} D.以上都不对

10

A∩B等于

拨慢分钟，则分针转过的角的弧度数是

答案 C

3.已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则扇形的中心角的弧度数是

( )

A.1 B.4 C.1或4 D.2或4 答案 C

4.已知角?终边上一点P的坐标是（2sin2,-2cos2)，则sin?等于 （ ）

A.sin2 B.-sin2 C.cos2 D. -cos2 答案 D

2x5??45.是第二象限角，P（x，）为其终边上一点，且cos=,则sin?的值是

（ ）

261010A.4 B.4 C.4 D.-4

答案 A

例1 若?是第二象限的

??2?,2 ,3的终边所在位置.

角，试分别确定

解 ∵?是第二象限的角，

∴k2360°+90°＜?＜k2360°+180°（k∈Z）.

（1）∵2k2360°+180°＜2?＜2k2360°+360°（k∈Z）， ∴2?是第三或第四象限的角，或角的终边在y轴的非正半轴上.

?（2）∵k2180°+45°＜2 ＜k2180°+90°（k∈Z），

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当k=2n（n∈Z）时，

?n2360°+45°＜2＜n2360°+90°；

当k=2n+1（n∈Z）时，

?n2360°+225°＜2＜n2360°+270°. ?∴2是第一或第三象限的角.

?（3）∵k2120°+30°＜3＜k2120°+60°（k∈Z），

当k=3n（n∈Z）时，

?n2360°+30°＜3＜n2360°+60°；

当k=3n+1（n∈Z）时，

?n2360°+150°＜3＜n2360°+180°；

当k=3n+2（n∈Z）时，

?n2360°+270°＜3＜n2360°+300°. ?∴3是第一或第二或第四象限的角.

例2 （1）一个半径为r的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的长，那么扇形的圆心角是多少弧度？是多少度？扇 形的面积是多少？

（2）一扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角?等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 解 （1）设扇形的圆心角是?rad，因为扇形的弧长是r?, 所以扇形的周长是2r+r?. 依题意，得2r+r?=?r,

?180?????????∴=-2=(-2)3≈1.142357.30°≈65.44°≈65°26′,

?11∴扇形的面积为S=2r2?=2（?-2）r2.

（2）设扇形的半径为r，弧长为l，则l+2r=20, 即l=20-2r (0＜r＜10) ①

1扇形的面积S=2lr，将①代入，得 1S=2(20-2r)r=-r2+10r=-(r-5)2+25,

所以当且仅当r=5时，S有最大值25.此时

ll=20-235=10,?=r=2.

所以当?=2 rad时，扇形的面积取最大值.

例3 （12分）已知角?的终边在直线3x+4y=0上，求sin?,cos?,tan?的值.

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解 ∵角?的终边在直线3x+4y=0上， ∴在角?的终边上任取一点P(4t,-3t) (t≠0), 2分 则x=4t,y=-3t, r=

x2?y2?(4t)2?(?3t)2?5

|t|,

4分

当t＞0时，r=5t,

y?3t3x4t4?????5,cos?=r5t5, sin?=r5ty?3t3???4; tan?=x4t

8分

y?3t3???r?5t5, 当t＜0时，r=-5t,sin=x4t4???5, cos?=r?5ty?3t3???4. tan?=x4t

10分

?433?5,cos?=5,tan?=4;

综上可知，t＞0时，sin?=

433?t＜0时，sin?=5,cos?=-5,tan?=4.

12分

例4 在单位圆中画出适合下列条件的角?的终边的范围,并由此写出角?的集合:

13?(1)sin?≥2;(2)cos?≤2.

3解 （1）作直线y=2交单位圆于A、B两点，连结OA、OB，则OA与OB围成的

区

域即为角?的终边的范围，故满足条件的角?的集合为

?2?|2k?+3≤?≤2k?+3?，k∈Z .

（2）作直线x=

?12交单位圆于C、D两点，连结OC、OD，则OC与OD围成的区域（图中

阴影部分）

即为角?终边的范围.故满足条件的角?的集合为

24????|2k??????2k???,k?Z?33?. ?

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?1.已知?是第三象限角，问3是哪个象限的角？

解 ∵?是第三象限角，∴180°+k2360°＜?＜270°+k2360°（k∈Z），

?60°+k2120°＜3＜90°+k2120°.

①当k=3m(m∈Z)时，可得

?60°+m2360°＜3＜90°+m2360°（m∈Z）. ?故3的终边在第一象限.

②当k=3m+1 (m∈Z)时，可得

?180°+m2360°＜3＜210°+m2360°（m∈Z). ?故3的终边在第三象限.

③当k=3m+2 （m∈Z）时，可得

?300°+m2360°＜3＜330°+m2360°（m∈Z）. ?故3的终边在第四象限.

?综上可知，3是第一、第三或第四象限的角.

2.已知扇形OAB的圆心角?为120°，半径长为6, （1）求 的弧长；

（2）求弓形OAB的面积.

2?2?解 （1）∵?=120°=3rad，r=6，∴ 的弧长为l=336=4?.

112?113(2)∵S扇形OAB=2lr=234?36=12?，S△ABO=2r22sin3=236232=93，

∴S弓形OAB=S扇形OAB-S△ABO=12?-93.

3.已知角?的终边在y轴上，求sin?、cos?、tan?的值.

解 ∵角?的终边在y轴上，∴可在?的终边上任取一点（0,t)(t≠0),即x=0，y=t.

2222∴r=x?y=0?t=|t|.当t＞0时，r=t,

ytyx0sin?=r=t=1,cos?=r=t=0,tan?=x不存在； yt当t＜0时，r=-t，sin?=r=?t=-1, 0yxcos?=r=?t=0,tan?=x不存在.

综上可知,sin?=±1,cos?=0,tan?不存在. 4.求下列函数的定义域：

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（1）y=2cosx?1；（2）y=lg(3-4sin2x）.

1解 （1）∵2cosx-1≥0，∴cosx≥2.

由三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影所示).

?????2k??3,2k??3??（k∈Z）. ∴x∈?333（2）∵3-4sin2x＞0,∴sin2x＜4,∴-2＜sinx＜2.

利用三角函数线画出x满足条件的终边范围(如右图阴影),

??∴x?（k?-3,k?+3）（k?Z).

一、选择题

???1.已知cos2tan＜0,那么角

（ ）

A.第一或第二象限角 B.第二或第三象限角 C.第三或第四象限角 D.第一或第四象限角 答案 C 2.

若

3是

0＜x＜

?2，则下

3列命题中正确的

4

是

x2

（ ） A.sinx?x B. sinx>?x2x C. sinx

42

答案 D 3.与610°角终边相同的角表示为 （ ）

A. k2360°+230°(k∈Z) B. k2360°+250°(k∈Z) C. k2360°+70°(k∈Z) D. k2360°+270°(k∈Z)

答案 B 4.

已

知

（

12）sin2

?＜1,则

?所在象限为

（ ）

A.第一或第二象限 B.第二或第四象限 C.第二或第三象限 D.第一或第三象限 答案 D

5.已知点P（tan?，cos?）在第三象限，则角?的终边在第几象限 （ ）

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A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案 B

??????,??6.（20092德州模拟）已知∈?22?且sin?+cos?=a，其中a∈(0，1），则关于tan?的值，

以下四

（ ）

个答案中，可能正确的是

11A.-3 B.3或3 C.-3 1D.-3或-3

答案 C 二、填空题

sin?7.已知角?的终边落在直线y=-3x (x＜0)上，则sin??cos?cos?? .

答案 2

8.某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t=0时，点A与钟面上标12的点B重合.将A、B两点间的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d= ,其中t∈［0,60］.

?t答案 10sin60

三、解答题

3a?11?a9.已知sin?=1?a,cos?=1?a,若?是第二象限角，求实数a的值.

解 ∵?是第二象限角，∴sin?＞0,cos?＜0,

1?a?0?sin???1??1?a?1??1?cos??3a?1?0?1?a∴?，解得0＜a＜3.

又∵sin2?+cos2?=1,

?1?a??3a?1???????11?a??1?a??∴,

2211解得a=9或a=1(舍去），故实数a的值为9.

10.（1）已知扇形的周长为10，面积为4，求扇形圆心角的弧度数；

（2）已知扇形的周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？

解 设扇形半径为R，中心角为?，所对的弧长为l.

?12??R?4,?2??R?2R?10,（1）依题意，得?

1∴2?2-17?+8=0,∴?=8或2.

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1∵8＞2?,舍去,∴?=2.

(2)扇形的周长为40,∴?R+2R=40，

1??R?2R??100111??22?R??2244?RS=lR==22R≤.

2当且仅当?R=2R,即R=10, ?=2时面积取得最大值，最大值为100.

sin??22的符号.

11.设?为第三象限角，试判断解 ∵?为第三象限角，

cos3?∴2k?+?＜?＜2k?+2 (k∈Z),

?k?+2??2?k??3?4 (k∈Z).

?当k=2n (n∈Z)时，2n?+2?此时2在第二象限. ??∴sin2＞0,cos2＜0.

sin??3?2n???24,

??22＜0.

因此

cos当k=2n+1(n∈Z)时，

3???(2n+1)?+2＜2＜(2n+1)?+4(n∈Z), 3??7?即2n?+2＜2＜2n?+4(n∈Z)

?此时2在第四象限.

??sin22????coscos2＜0. 2＜0,综上可知：∴sin2＜0,cos2＞0,因此

sin12.角?终边上的点P与A（a，2a）关于x轴对称（a≠0），角?终边上的点Q与A关于直线y=x对称，

求sin?2cos?+sin?2cos?+tan?2tan?的值. 解 由题意得，点P的坐标为（a,-2a)，

点Q的坐标为（2a，a）.

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?2aa2?(?2a)2?sin=

??2a5a2aa2?(?2a)2?,cos=

a5a2?a5a2,

a??2a??222tan?=a,sin?=(2a)?a2a?2a5a2,

cos?=(2a)?a22a1?,tan?=2a2,

故有sin?2cos?+sin?2cos?+tan?2tan?

?2a2=5a?a5a2?a5a2?2a5a2?(?2)?12=-1.

§4.2 同角三角函数的基本关系式与诱导公式

基础自测

1.（20092泰安模拟）sin2(?+?)-cos(?+?)2cos(-?)+1（ ）

2的值为

A.1 B.2sin? C.0 D.2

答案 D 2.sin210°等于 （ ） A.

32 B.-

32

11C.2 D.-2

答案 D 3.

已

知

tan

?=

12,且

?∈

?3????,?2??，则sin

?的值是

( ) A.

??55 B.5255 C.5

D.

答案 A

255

sin??cos?sin??cos?4.若

（ ）

=2,则sin(

?-5

?)2sin

?3???????2?等于

3333?A.4 B.10 C.10 D.-10

答案 C

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55.(20092武汉模拟)已知sin?=5，则sin4?-cos4?的值为

A.

? ( )

3131?5 B.5 C.5 D.5

答案 A

例1 已知f(?)=（1）化简f(?);

sin(???)cos(2???)tan(????)?tan(????)sin(????);

3??1??????2?5??（2）若是第三象限角，且cos，求f(?)的值. sin??cos??(?tan?)tan?sin?解 （1）f（?）==-cos?.

3?????2（2）∵cos????=-sin?,

52?1221??6555??∴sin=-,cos=-,

26∴f(?)=5.

1?例2 （12分）已知-2＜x＜0,sinx+cosx=5.

（1）求sinx-cosx的值；

122（2）求cosx?sinx的值.

解 （1）方法一 联立方程：

1　??sinx?cosx?　5?22?sinx?cosx?1　?①②

2分

1由①得sinx=5-cosx,将其代入②，整理得

25cos2x-5cosx-12=0. 3分

?∵-2＜x＜0,

3?sinx????5??cosx?4?5, ∴?

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7所以sinx-cosx=-5.

6分

1方法二 ∵sinx+cosx=5, ?1???∴(sinx+cosx)2=?5?,

21即1+2sinxcosx=25, 24∴2sinxcosx=-25.

2分

∵(sinx-cosx)2=sin2x-2sinxcosx+cos2x

2449=1-2sinxcosx=1+25=25

①

4分

?又∵-2＜x＜0,∴sinx＜0,cosx＞0,

∴sinx-cosx＜0

②

7由①②可知：sinx-cosx=-5.

6分

（2）由已知条件及（1）可知

13??sinx?cosx?sinx??????55???cosx?4?sinx?cosx??7?5, 5,解得???

8分

3∴tanx=-4.

9分

122又∵cosx?sinx?sin2x?cos2xcos2x?sin2x

sin2x?cos2xcos2xcos2x?sin2x=

cos2x

tan2x?12=1?tanx

11分

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?3?????125?4??27?3?1????=?4?.

2

12分

例3 已知tan?=2,求下列各式的值：

2sin??3cos?（1）4sin??9cos?;

2sin2??3cos2?22（2） 4sin??9cos?;

（3）4sin2?-3sin?cos?-5cos2?.

2tan??32?2?3???14tan??94?2?9解 （1）原式=.

2sin2??3cos2?22（2）4sin??9cos??2tan2??34tan2??9?2?22?34?22?9?57.

（3）∵sin2?+cos2?=1,

∴4sin2?-3sin?cos?-5cos2?

4sin2??3sin?cos??5cos2?sin2??cos2?4tan2??3tan??5=

=

tan2??1?4?4?3?2?5?14?1.

1.化简

3???tan(???)cos(2???)sin?????2??cos(????)sin(????).

???(?tan?)?cos???(???)??sin??????2??cos(???)???sin(???)?解 原式=

?????(?tan?)???cos(???)????sin??????2???(?cos?)?sin?= ?tan??cos??(?cos?)?tan??cos??cos??sin?sin?=?=

=

?sin?cos??cos?sin?=-1.

12.已知sin? +cos?=5,?∈(0,?).求值：

（1）tan?;（2）sin?-cos?;（3）sin3?+cos3?.

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1解 方法一 ∵sin?+cos?=5,?∈(0,?), 1∴(sin?+cos?)2=25=1+2sin?cos?， 12∴sin?cos?=-25＜0.

由根与系数的关系知，

121sin?,cos?是方程x2-5x-25=0的两根，

43解方程得x1=5,x2=-5.

∵sin?＞0,cos?＜0,∴sin?4∴（1）tan?=-3. 7（2）sin?-cos?=5. 37（3）sin3?+cos3?=125.

43=5,cos? =-5.

方法二 （1）同方法一.

（2）（sin?-cos?）2=1-2sin?2cos?

?12?49???=1-23?25?=25.

∵sin?＞0,cos?＜0,∴sin?-cos?＞0,

7∴sin?-cos?=5.

（3）sin3?+cos3?=(sin?+cos?)(sin2?-sin?cos?+cos2?)

?12?371?1??5=3?25?=125.

3.已知sin(?+k?)=-2cos(?+k?) (k∈Z).

4sin??2cos?求:（1）5cos??3sin?;

12（2）4sin2?+5cos2?.

解 由已知得cos(?+k?)≠0,

∴tan(?+k?)=-2(k∈Z),即tan?=-2.

4sin??2cos?4tan??2??105cos??3sin?5?3tan?（1）.

12212sin??cos2?tan2??124545?722225. （2）4sin2?+5cos2?=sin??cos?=tan??1

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一、选择题 1.

?是第四象限角，tan

?=

?512，则sin

?等于

（ ）

115A.5 B.-5 C.13 5D.-13

答案 D

2.（20082浙江理，8）若（ ）

cos?+2sin?=-5,则

tan?等于

11?A.2 B. 2 C.2

D.-2 答案 B

3.（20082 四川理，5）设0≤?＜2?,若sin?＞3cos?,则?的取值范围是 （ ）

(,)(,?)32A. B. 3

??? C.

?4?(,)33

?3?(,)D.32

答案 C 4.

设

0

≤

x

＜

2

?，且

1?s2xin=sinx-cosx

，则

（ ）

?A.0?x?? B.4??x?7?4

C.4?x??3?5??x?4 D.22

答案C ?5.sin2(+

（ ）

?)-cos(

?+

?)cos(-

?)+1的值为

A.1 B.2sin2? C.0 D.2

答案 D 6.若sin（ ）

??+cos

?=tan

?

????0????2??，则

?的取值范围是

??(0,)6 B. A.(,)64

(,) C. 43

??(,) D. 32

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答案 C 二、填空题

?1(??)2= . 7.如果cos?=5,且?是第四象限的角,那么cos

26答案 5

sin2(???)?cos(???)?cos(???2?)tan(???)?sin3(?28.化简:

??)?sin(???2?)= .

答案 1 三、解答题

19.已知cos(?+?)=-2,且?是第四象限角，计算：

（1）sin(2?-?); （2）

sin???(2n?1)???sin???(2n?1)??sin(??2n?)?cos(??2n?) (n∈Z).

111解 ∵cos(?+?)=-2,∴-cos?=-2,cos?=2,

又∵?是第四象限角，∴sin?=-（1）sin(2?-?)=sin［2?+(-?)］

1?cos2???32.

3=sin(-?)=-sin?=2.

sin???(2n?1)???sin???(2n?1)??sin(??2n?)?cos(??2n?)（2）=

sin(2n?????)?sin(?2n?????)sin(2n???)?cos(?2n???)

sin(???)?sin(????)sin??cos?=

?2sin?2?sin??sin(???)?=sin??cos?=sin??cos?=cos?=-4.

1?cos4??sin4?6610.化简：1?cos??sin?.

(cos2??sin2?)2?cos4??sin4?22366解 方法一 原式=(cos??sin?)?cos??sin?

2cos2??sin2?2222=3cos?sin?(cos??sin?)?23.

(1?cos2?)(1?cos2?)?sin4?方法二 原式=

(1?cos2?)(1?cos2??cos4?)?sin6?

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sin2?(1?cos2??sin2?)2244=sin?(1?cos??cos??sin?) 2cos2?22222=1?cos??(cos??sin?)(cos??sin?) 2cos2?2cos2?2??.22221?cos??cos??sin?3cos?3 =

sin(k???)cos?(k?1)????.??sin(k?1)???cos(k???)11.设k为整数，化简

解 方法一 当k为偶数时，设k=2m (m∈Z),则

sin(2m???)cos?(2m?1)????.??sin(2m?1)???cos(2m???)原式=

sin(??)cos(???)(?sin?)(?cos?).???1;sin(???)cos??sin?cos?=

当k为奇数时，可设k=2m+1(m?Z), 仿上可得，原式=-1.

方法二 由(k?+?)+(k?-?)=2 k?, ［(k-1)?-?］+［(k+1)?+?］=2 k?, 得sin(k?-?)=-sin(k?+?),

cos［(k-1)?-?］=cos［(k+1)?+?］ =-cos(k?+?),

sin［(k+1)?+?］=-sin(k?+?).

?sin(k???)??cos(k???)???1.?sin(k???)cos(k???)故原式=

2??????????.求下列各式的值： 12.已知sin(?-?)-cos(?+?)=3?2（1）sin?-cos?;

????sin3?????cos(??).2?2?（2）

2解 由sin(?-?)-cos(?+?)=3,

得

sin??cos??2,3 ①

27 将①式两边平方，得1+2sin?2cos?=9,故2sin?2cos?=-9,

?又2＜?＜?，∴sin?＞0，cos?＜0.

∴sin??cos?＞0.

716(sin??cos?)2?1?2sin??cos??1?(?)?,99 （1）

∴

sin??cos??sin3(43. ??)?cos3(?2?2 （2）

??)?cos???sin3?

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2cos2??1??????2tan????sin2?????4??4?. (2）

?1??3??????cos??x???sin??x???2?4???2?4? 解 （1）原式=22????????????sinsin??x??coscos??x??66?4??4??=22?

????????x?=22cos?64?=22cos(x-12).

cos2?cos2?1?tan??????cos2??1?cos??2???(1?sin2?)1?tan???2??1?sin2?（2）原式===1.

一、选择题

3?1.（20092成都市第一次诊断性检测）已知?为锐角，sin?=5，则tan(?-4)等于

（ ）

B.7 

1C.-7

1 A.7

D.-7

答案C

2.sin163°2sin223°+sin253°2sin313°等于 （ ） A.

?

12 B. 12

C.

答案 B 3.(2008

?332 D. 2

2长沙模拟)已知

x?(??2,0),cxo?4,s5则tan2x等于

（ ） A.

?247?7 B. 24

724C. 24 D. 7

答案 A

4.已知cos2?（ ）

=

12（其中?∈

?????,0??4?），则

sin?的值为

11A.2 B.-2

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33C.2 D.-2

答案 B 5.

（ ） A.-(cos?sin)(cos?sin)12121212????等于

132 B.-2 13 C.2 D.2

答案 D

x?12

???xx??sincos

226.若f(x)=2tanx-，则f?12?的值为

2sin2

（ ）

433A.- B.8

C.43 D.-43 答案 B 二、填空题

?????x?7.（20082上海理，6）函数f(x)=3sinx+sin?2?的最大值是 .

答案 2

?3?5?7?8.求值：cos48+cos48+cos48+cos48= .

3答案 2

三、解答题

119.已知tan?=7,tan?=3,并且?,?均为锐角，求?+2?的值. 11解 ∵tan?=7＜1,tan?=3＜1,

且?、?均为锐角，

??∴0＜?＜4,0＜?＜4.

3?∴0＜?+2?＜4.

3又tan2?=1?tan?=4,

22tan?21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网

13?74tan??tan2?131??∴tan(?+2?)=1?tan??tan2?=74=1.

?∴?+2?=4.

1?cos2x10.若函数f（x）=

4sin(?2?x)x??x????2?的最大值为2，试确定常数a的值. -asin2?cos?xx2cos2x解 f（x）=4cosx+asin2cos2 1a21a?44sin（x+?）， 22=cosx+sinx=

12其中角?满足sin?=1?a.

1a2由已知，有4+4=4.

解之得a=±15.

??????????1??2????2??1?,??2sin?4?=4,?∈?42?,求2sin2?+tan?-tan?-1的值. 11.已知sin?4??????1???????????2????2??1??2??????2?????4?sin?4?=4,∴sin?4?cos?2?4解 ∵sin?4=,

??????????115?5???4??1??4??1?,??=4,sin?2?=2,∴cos4?=2，又∵?∈?42?,∴4?=3,∴?=12, 即2sin?21sin?cos?sin2??cos2?∴2sin2?+tan?-tan?-1=2sin2?+cos?-sin?-1=2sin2?-1+sin?cos?

????3?5?2?2cos?2??cos2?6??5?535?113sinsin2?62?6222=-cos2+=-cos-=-=.

sin(??2?)?4cos2?1212.（20082通州模拟）已知tan(?+?)=-3,tan(?+?)=10cos??sin2?.

(1)求tan(?+?)的值；（2）求tan?的值.

11解 （1）∵tan(?+?)=-3,∴tan?=-3,

sin(??2?)?4cos2?2∵tan(?+?)=10cos??sin2?sin2??4cos2?2=10cos??sin2?

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2sin?cos??4cos2?2=10cos??2sin?cos?

=

2cos?(sin??2cos?)2cos?(5cos??sin?)

sin??2cos?tan??2?5cos??sin?5?tan?, =

1?23515?3=16. ∴tan(?+?)=

?(2)∵tan?=tan［(?+?)-?］=

51?16351311??∴tan?=163=43.

tan(???)?tan?1?tan(???)tan?,

§4.4 三角函数的图象与性质

基础自测

1.在下列函数中，同时满足： ①在（0,

（ ）

?2）上递减；②以

2?为周期；③是奇函数.

A.y=tanx B.y=cosx C.y=-sinx D.y=sinxcosx 答案C 2.

下

列

函

数

中

，

周

期

为

?2的是

（ ）

xxA.y=sin2 B.y=sin2x C.y=cos4

D.y=cos4x 答案D

3.(20092河南新郑模拟)设函数y=acosx+b（a、b为常数)的最大值是1，最小值是-7，那么acosx+bsinx的最 大值是 ( )

A.1  答案 C 4.函数y=|sinx|（ ）

B.4  C.5 D.7 的

一

个

单

调

增

区

间

是

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A.

(???,)44

B.44 C.

(?3?,)(?,3?3?)(,2?)2 D. 2

答案 C

5.（20082全国Ⅱ理，8）若动直线x=a与函数f(x)=sinx和g(x)=cosx的图象分别交于M、N两点，则|MN|的最大值为（ ） A.1   D.2 答案 B

例1 求下列函数的定义域：

（1）y=lgsin(cosx);（2）y=sinx?cosx. 解 （1）要使函数有意义，必须使sin(cosx)＞0. ∵-1≤cosx≤1,∴0＜cosx≤1.

??方法一 利用余弦函数的简图得知定义域为{x|-2+2k?＜x＜2+2k?,k∈Z}.

B.2

C.3

方法二 利用单位圆中的余弦线OM，依题意知0＜OM≤1, ∴OM只能在x轴的正半轴上， ∴其定义域为

?????x|??2k??x??2k?,k?Z?22??.

（2）要使函数有意义，必须使sinx-cosx≥0.

方法一 利用图象.在同一坐标系中画出［0,2?］上y=sinx和y=cosx的图象，如图所示.

?5?在［0，2?］内，满足sinx=cosx的x为4，4，再结合正弦、余弦函数的周期是2?,

5?????2k?,k?Z??x|?2k??x?4?. 所以定义域为?4方法二 利用三角函数线，

如图MN为正弦线，OM为余弦线， 要使sinx≥cosx,即MN≥OM，

?5?则4≤x≤4（在［0，2?］内）.

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∴定义域为

5?????2k?,k?Z??x|?2k??x?4?4?.

方法三 sinx-cosx=2sin

(x??)4≥0，

?将x-4视为一个整体，由正弦函数y=sinx的图象和性质 ?可知2k?≤x-4≤?+2k?, ?5?解得2k?+4≤x≤4+2k?,k∈Z.

?5????2k?,k?Ζ??x|2kx??x?44?. 所以定义域为?例2求下列函数的值域：

sin2xsinx（1）y=1?cosx;

（2）y=sinx+cosx+sinxcosx; （3）y=2cos3(??x)+2cosx.

2sinxcosxsinx2cosx(1?cos2x)1?cosx1?cosx解 （1）y==

11(cosx?)22-2. =2cos2x+2cosx=2

于是当且仅当cosx=1时取得ymax=4,但cosx≠1,

11∴y＜4，且ymin=-2,当且仅当cosx=-2时取得.

?1???2,4??. 故函数值域为?（2）令t=sinx+cosx,则有t2=1+2sinxcosx,

t2?1即sinxcosx=2.

t2?11(t?1)2?1有y=f(t)=t+2=2.

又t=sinx+cosx=2sin∴-2≤t≤2.

(x??)4，

1(t?1)2?1故y=f(t)= 2(-2≤t≤2),

1从而知：f(-1)≤y≤f(2),即-1≤y≤2+2.

1???1,2??2??. 即函数的值域为?21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网

（3）y=2cos3(??x)+2cosx

??=2cos3cosx-2sin3sinx+2cosx

=3cosx-3sinx

?3?1?cosx?sinx??2?2? =23?=23cos

cos(x?(x??)6.

?∵

)6≤1

∴该函数值域为［-23，23］.

x(?x)例3（12分）求函数y=2sin4的单调区间.

解 方法一 y=2sin4(??x)化成y=-2sin

(x??)4.

1分

∵y=sinu(u∈R)的递增、递减区间分别为

?????2k??2,2k??2???（k∈Z),

?3???2k??,2k???22??? (k∈Z),

3分

(?∴函数y=-2sin4?x)的递增、递减区间分别由下面的不等式确定

??3?即2k?+2≤x-4≤2k?+2（k∈Z),

7?3?2k?+4≤x≤2k?+4（k∈Z),

???2k?-2≤x-4≤2k?+2（k∈Z), ?3?即2k?-4≤x≤2k?+4（k∈Z).

11分

∴函数y=2sin4(??x)?3????2k??4,2k??4??（k∈Z), 的单调递减区间、单调递增区间分别为?3?7????2k??4,2k??4???（k∈Z).

?

?x

12分

方法二 y=2sin4(??x)可看作是由y=2sinu与u=4

复合而成的.

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? 1分

?x

又∵u=4

为减函数，

??∴由2k?-2≤u≤2k?+2（k∈Z), ?3?-2k?-4≤x≤-2k?+4 (k∈Z).

?3?????2k??,?2k??(?x)??44?（k∈Z）为y=2sin4即?的递减区间. ?3?由2k?+2≤u≤2k?+2 (k∈Z), ??3?即2k?+2≤4-x≤2k?+2 (k∈Z)

5??得-2k?-4≤x≤-2k?-4 (k∈Z),

5??????2k??,?2k??(?x)??44?（k∈Z)为y=2sin4即?的递增区间.

11分

(?综上可知：y=2sin4?x)的递增区间为

5?????2k??,?2k???44???（k∈Z）；

?3?????2k??4,?2k??4??（k∈Z）. 递减区间为?

12分

1?2cos(?x)21.求f(x)=的定义域和值域.

???2??x?解 由函数1-2cos?2?≥0,得sinx≤2,利用单位圆或三角函数的图象，易得所求函数的

?定义域是

5????x?2k??,k??x|2k??44???Z ?.

???2??x?当sinx=cos?2?=2时，ymin=0; ?????x?当sinx=cos?2?=-1时，ymax=1?2.

所以函数的值域为［0，1?2］.

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2cos4x?3cos2x?1cos2x2.已知函数f(x)=,求它的定义域和值域，并判断它的奇偶性.

?解 由题意知cos2x≠0，得2x≠k?+2，

k???24（k∈Z）. 解得x≠

k????且x??,k?Z??xx?R,24?. 所以f(x）的定义域为?2cos4x?3cos2x?1(2cos2x?1)(cos2x?1)cos2xcos2x又f（x)= =

=cos2x-1=-sin2x.又定义域关于原点对称，∴f(x)是偶函数.

k???24,k∈Z. 显然-sin2x∈［-1，0］，但∵x≠

1∴-sin2x≠-2.所以原函数的值域为

11???y|?1?y??或??y?0?22??.

?????2x??的单调递减区间； 3.（1）求函数y=sin?3??x????（2）求y=3tan?64?的周期及单调区间.

?解 （1）方法一 令u=3?2x,y=sinu利用复合函数单调性.

???由2k?-2≤-2x+3≤2k?+2(k∈Z),得

5??2k?-6≤-2x≤2k?+6（k∈Z),

?5?-k?-12≤x≤-k?+12 (k∈Z), ?5?即k?-12≤x≤k?+12（k∈Z).

?5????k??12,k??12?? (k∈Z). ∴原函数的单调递减区间为????????2x???2x??3?,欲求函数的单调递减区间，3?的单调递方法二 由已知函数y=-sin?只需求y=sin?增区间.

???由2k?-2≤2x-3≤2k?+2（k∈Z),

?5?解得k?-12≤x≤k?+12（k∈Z).

?5???k??,k???1212??（k∈Z）. ∴原函数的单调递减区间为???x??x????????64? =-3tan?46?, （2）y=3tan?21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网

∴T=

????x?????=4,∴y=3tan?64?的周期为4?.

x????由k?-2＜46＜k?+2， 4?8?得4k?-3＜x＜4k?+3 (k∈Z),

?x?????y=3tan?46?的单调增区间是

4?8?????x?,4k???4k??????33??(k∈Z）∴y=3tan?64?的单调递减区间是 4?8???,4k???4k???33? (k∈Z). ?

一、选择题 1.

已

知

函

数

y=tan

?(???x在

,)22内是减函数,则

（ ）

A.0＜?≤1 B.-1≤?＜0 C.?≥1 D.ω≤-1 答案B

2.（20092 连云港模拟）若函数y=sin(?x??)(??0)的最小正周期为4，且当x=2时y取得最小值,则?的一个可 能值是 （ )

??A.4 B.3 ?C.2 D.?

答案 C

???3.函数f(x)=tan?x (?＞0)的图象的相邻的两支截直线y=4所得线段长为4,则f(4)的值是

( )

A.0 B.1

?C.-1 D.4

答案 A 4.函数( )

?y=2sin（6-2x）(x∈［0，?］)为增函数的区间是

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??7???????5???12,12??0,3??3,6?????? A. B. C.??5???6,??? D. ?答案 C

?5.（20092河南新郑二中模拟）函数f(x)=Asin (ωx+?) (A＞0,ω＞0,|?|＜2)满足f(1)=0,则

（ ）A.f(x-1)一定是偶函数 数

C.f(x+1)一定是偶函数 答案D

6.给出下列命题：

???2?x??2?是奇函数； ①函数y=cos?33②存在实数?,使得sin?+cos?=2;

B.f(x-1)一定是奇函

D.f(x+1)一定是奇函数

③若?、?是第一象限角且?＜?,则tan?＜tan?;

5????2x?4④x=8是函数y=sin????的一条对称轴方程；

???????2x???,0?3??⑤函数y=sin的图象关于点?12?成中心对称图形.

其中正

（ ）

A.①③ D.④⑤ 答案 C 二、填空题

确的序 C.

号①

为

B.②④ ④

??7.(20082江苏，1)f(x)=cos(?x-6)最小正周期为5，其中?＞0，则?= .

答案 10

?8.关于函数f(x)=4sin（2x+3）（x∈R），有下列命题：

①由f(x1)=f(x2)=0可得x1-x2必是?的整数倍；

?②y= f(x)的表达式可改写为y=4cos(2x-6)； ?③y= f(x)的图象关于点(-6,0)对称； ?④y= f(x)的图象关于直线x=-6对称.

其中正确的命题的序号是 .（把你认为正确的命题序号都填上） 答案 ②③ 三、解答题

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??????6,3??，9.已知x∈?若方程mcosx-1=cosx+m有解，试求参数m的取值范

围.

解 由mcosx-1=cosx+m得

m?1cosx=m?1,作出函数y=cosx的图象（如图所示）， m?11由图象可得2≤m?1≤1,解得m≤-3.

10.设a=

(sin2??2x4,cosx?sinx),b=(4sinx,cosx-sinx),f(x)=a2b.

（1）求函数f(x)的解析式；

??2????2,3???x?上是增函数，求?的取值范围； （2）已知常数＞0，若y=f()在区间?2????x?x???3?，B={x||f(x)-m|＜2},若A?B，求实数m的取值范围. （3）设集合A=?6??2x解 （1）f(x)=sin2

424sinx+(cosx+sinx)2(cosx-sinx)

???1?cos??x??2?2=4sinx2+cos2x

=2sinx(1+sinx)+1-2sin2x=2sinx+1,

∴f(x)=2sinx+1.

（2）∵f(?x)=2sin?x+1,?＞0.

??由2k?-2≤?x≤2k?+2,

?2k????2k????2?,??2???,k∈Z. 得f(?x)的增区间是???2????2,3???上是增函数， ∵f（x）在???2???????,?23????2?,2?????. ∴??3??2??????0,4?32?2??∴-2≥且≤,∴∈??.

（3）由|f(x)-m|＜2,得-2＜f(x)-m＜2,

即f(x)-2＜m＜f(x)+2.

?2??63∵AB，∴当≤x≤时，

不等式f(x)-2＜m＜f(x)+2恒成立. ∴f(x)max-2＜m＜f(x)min+2,

??∵f(x)max=f(2)=3,f(x)min=f(6)=2,∴m∈（1，4）.

????0,2?11.定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是?,且当x∈??

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时，f(x)=sinx.

（1）求当x∈［-?，0］时，f(x)的解析式； （2）画出函数f(x)在［-?，?］上的函数简图；

1（3）求当f(x)≥2时，x的取值范围.

解 （1）∵f(x)是偶函数，∴f(-x)=f(x).

????0,2?而当x∈??时，f(x)=sinx. ?????2,0??时， ∴当x∈?f(x)=f(-x)=sin(-x)=-sinx.

?????????,?2??0,2????又当x∈时，x+∈??，

∵f(x)的周期为?，∴f(x)=f(?+x)=sin(?+x)=-sinx.

∴当x∈［-?,0］时，f(x)=-sinx. （2）如图

（3）由于f(x）的最小正周期为?,

1因此先在［-?，0］上来研究f(x)≥2, 5??11即-sinx≥2,∴sinx≤-2,∴-6≤x≤-6.

5??1??k??6?,k??6??,k∈Z时，f(x)≥2. 由周期性知，当x∈?12.已知a＞0，函数f(x)=-2asin（1）求常数a,b的值； （2）设g(x)=f

(x?(2x?????

?0,?

6+2a+b,当x∈?2?时，-5≤f(x)≤1. )?)2且lgg(x)＞0,求g(x)的单调区间.

?????7??1???0,,?(2x?)?2??66???2,1?66?????， 解 （1）∵x∈，∴2x+∈.∴sin∈?∴-2asin

(2x??)6∈［-2a,a］.∴f(x)∈［b,3a+b］,

又∵-5≤f(x)≤1,∴b=-5,3a+b=1,因此a=2,b=-5. （2）由（1）知a=2,b=-5,∴f（x）=-4sing(x)=f

(x?(2x??)6-1,

?2=-4sin

)(2x?7??)(2x?)6-1=4sin6-1.

(2x??又由lgg(x)＞0得g(x)＞1,∴4sin

5?2k?+6,k∈Z.

6-1＞1,∴sin

)(2x??1??6＞2,∴2k?+6＜2x+6＜

)???????k?,k???6?由2k?+6＜2x+6≤2k?+2(k∈Z),得g(x)的单调增区间为?（k∈Z）.

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????5????k??6,k??3??（k∈Z）. 由2k?+2≤2x+6＜2k?+6,得g(x)的单调减区间为?§4.5 三角函数的应用

基础自测

(2x??21.（20082天津理，3）设函数f（x）=sin

)，x∈R，则f（x）是

( )

A.最小正周期为?的奇函数 B.最小正周期为?的偶函数

??C.最小正周期为2的奇函数 D.最小正周期为2的偶函数 答案 B

x3?(?)2.（20082 浙江理，5）在同一平面直角坐标系中,函数y=cos22 (x∈[0,2?])的图象和直

1线y=2的交点个数是( )

A.0 B.1 C.2 D.4

答案 C

?x?????3.为了得到函数y=2sin?36?，x∈R的图象，只需把函数y=2sinx，x∈R的图象上所有的点

（ ）

1?A.向左平移6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的3倍（纵坐标不变） 1?B.向右平移6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的3倍（纵坐标不变）

? C.向左平移6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变） ? D.向右平移6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）

答案C

4.下面有五个命题：

①函数y=sin4x-cos4x的最小正周期是?.

k?②终边在y轴上的角的集合是{?|?=2,k∈Z}.

③在同一坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有三个公共点.

??④把函数y=3sin(2x+3)的图象向右平移6得到y=3sin2x的图象. ?⑤函数y=sin(x-2)在［0,?］上是减函数.

其中，真命题的编号是 . 答案 ①④

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??????3,4????上的最小值是-2，5.已知函数f(x)=2sinx(＞0)在区间?则?的最小值等于 . 3答案 2

例1 已知函数y=2sin

(2x??)3,

(1)求它的振幅、周期、初相；

(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象； (3)说明y=2sin

(2x??)3的图象可由y=sinx的图象经过怎样的变换而得到.

解 （1）y=2sin

(2x???2?3的振幅A=2,周期T=2=?，初相?=3.

)??(2x?)3=2sinX. （2）令X=2x+3,则y=2sin

列表，并描点画出图象： x X y=sinX ?-6 ?12 ?2 ?3 7?12 3?2 5?6 0 0 ? 2? 0 0 1 2 0 0 -1 -2 ?0 y=2sin(2x+3)

??(x?)3的图象，再（3）方法一 把y=sinx的图象上所有的点向左平移3个单位，得到y=sin

把y=sin

(x??1?(2x?)3的3的图象上的点的横坐标缩短到原来的2倍（纵坐标不变），得到y=sin

)(2x??图象，最后把y=siny=2sin

(2x?)3上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），即可得到

?)3的图象.

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1方法二 将y=sinx的图象上每一点的横坐标x缩短为原来的2倍，纵坐标不变，得到y=sin2x

的图象；

?再将y=sin2x的图象向左平移6个单位；

得到y=sin2

(x??6=sin

)(2x??3的图象；再将y=sin

(2x?)(2x??)3的图象上每一点的横坐标保持不变，

?纵坐标伸长为原来的2倍，得到y=2sin

)3的图象.

例2 如图为y=Asin(?x+?)的图象的一段，求其解析式. 解 方法一 以N为第一个零点，

5???)363=?， 则A=-，T=2

(∴?=2，此时解析式为y=-3sin（2x+?）. ∵点N

(??6,0)??，∴-632+?=0，∴?=3，

(2x??所求解析式为y=-3sin

)3.

①

方法二 由图象知A=3，

?5?(,0)(,0)以M3为第一个零点，P6为第二个零点.

???·???0????2?3??2??5???·?????????3. 6列方程组? 解之得?∴所求解析式为y=3sin

(2x?2?)3.

②

AA?例3（12分）已知函数f(x)=2- 2cos(2?x+2?) (A＞0, ?＞0,0＜?＜2),且y=f(x)的最大值

为2，其图象相邻

两对称轴间的距离为2，并过点（1，2）. （1）求?;

(2)计算f(1)+f(2)+?+f(2 008).

AA解 （1）∵y=2- 2cos(2?x+2?),且y=f(x)的最大值为2，A＞0,

AA∴2+2=2,A=2.

又∵其图象相邻两对称轴间的距离为2,?＞0, 12??()∴22?=2, ?=4.

2分

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??22(x?2?)(x?2?)∴f(x)= 2-2cos2=1-cos2.

∵y=f(x)过(1,2)点，∴cos24分

?2?2?(??2?)=-1.

?=2k?+?,k∈Z.∴?=k?+4,k∈Z.

??又∵0＜?＜2，∴?=4.

6分

????(x?)x?2224(2)∵=,∴f(x)=1-cos=1+sin.

∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+1+0+1=4. 9分

又∵y=f(x)的周期为4，2 008=43502,

∴f（1）+f（2）+?+f（2 008）=43502=2 008. 12分

1?(x?)4 1.已知函数y=3sin2（1）用五点法作出函数的图象；

（2）说明此图象是由y=sinx的图象经过怎么样的变化得到的； （3）求此函数的振幅、周期和初相；

（4）求此函数图象的对称轴方程、对称中心. 解 （1）列表：

x

1?x?24

?2 3?2 5?2 7?2 9?2

0

?2

?

3?2? 2

1?(x?)0 3sin24

3 0 -3 0

描点、连线,如图所示：

（2）方法一 “先平移，后伸缩”.

???(x?)(x?)4的图象；4的先把y=sinx的图象上所有点向右平移4个单位，得到y=sin再把y=sin

图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到

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1?1?(x?)(x?)4的图象，4的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍y=sin2最后将y=sin2（横坐1?(x?)4的图象. 标不变），就得到y=3sin2方法二 “先伸缩，后平移”

1先把y=sinx的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到y=sin2x的图1?象；再把y=sin2x图象上所有的点向右平移2个单位，

?x?x?1(?)(?)得到y=sin2(x-2)=sin24的图象，最后将y=sin24的图象上所有点的纵坐标伸长到原

1?(x?)4的图象. 来的3倍（横坐标不变），就得到y=3sin22?2?1?（3）周期T=?=2=4?，振幅A=3，初相是-4. 1??x?4=2+k?(k∈Z), (4)令23得x=2k?+2?(k∈Z),此为对称轴方程. 1??令2x-4=k?(k∈Z)得x=2+2k?(k∈Z).

对称中心为

(2k???2,0) (k∈Z).

?2.函数y=Asin(?x+?)(?＞0,|?|＜ 2,x∈R)的部分图象如图所示，则函数表达式为

(( )

?x??A. y=-4sin8y=-4sin8(()4

B.

?x??)4

?C. y=4sin8x??4

)

D. y=4sin8(?x??)4

答案 B

3.已知函数f(x)=Asin?x+Bcos?x(其中A、B、?是实常数，且?＞0)的最小正周期为2,并当

1x=3时,f(x)取得最大值2.

（1）函数f(x)的表达式；

?2123??4,4??上是否存在f(x)的对称轴? 如果存在,求出其对称轴方程;如果不存在,说（2）在闭区间?明理由.

22解 （1）f(x)=Asin?x+Bcos?x=A?Bsin(?x??)

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2?由T=?=2知?=?，

又因为f(x)最大值为2，所以f（x）=2sin(?x+?).

1?(??)由x=3时f(x)max=2，得sin3=1，

??(?x?)6. ∴?=6.∴f(x)=2sin

??（2）令?x+6=k?+2(k∈Z)得对称轴方程为

112321x=k+3，由对称轴满足4≤k+3≤4（k∈Z）

5965即12≤k≤12且k∈Z，∴k=5.

?2123??4,4??上f(x）只有一条对称轴. 故在?11616x=5+3=3，即对称轴方程为x=3.

一、选择题 1.下列函（ ）

数

中

，

图

象

的

一

部

分

如

下

图

所

示

的

是

A.y=sinC.y=cos

(x??6 B. y=sin

)(2x?(2x??)6

(4x??3 D.y=cos

)?)6

答案 D

2.（20082全国Ⅰ理，8）为得到函数y=cos（ ）

5?A.向左平移12个单位长度 5?B.向右平移12个单位长度 5?C.向左平移6个单位长度

(2x??)3的图象，只需将函数y=sin2x的图象

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5?D.向右平移6个单位长度

答案A

3.（20082湖南理，6）函数f(x)=sin2x+（ ）

????,?3sinxcosx在区间??42?上的最大值是

1?3

A.1 B.2 3C.2 D.1+3

答案 C

4.（20082四川理，10）设f（x）=sin（?x+?），其中?＞0,则f(x)是偶函数的充要条件是 （ ）

A. f(0)=1 B. f(0)=0 C.f?(0)=1 D.f?(0)=0 答案 D 5.

函

数

y=3sin

1?(x?)23的周期、振幅依次是

（ ）

A.4?，3 B.4?，-3 C. ?，3 D. ?，-3

答案 A

6.若函数f(x)=2sin(?x??)对任意x都有f6(??x)=f6(??x)，则

()f6等于

?（ ）

A.2或0 B.-2或2 C.0 D. -2或0 答案 B 二.填空题

7.（20082辽宁理，16）已知f(x)=sin小值，无最大值，则?= .

14答案 3

(?x?

?()()(,)3 (?＞0),f6=f3,且f(x)在区间63上有最

)????8.函数y=|sinx|cosx-1的最小正周期与最大值的和为 .

1答案 2?-2 三、解答题

???53?0,2??上的最大值是1？若存在，9.是否存在实数a，使得函数y=sin2x+acosx+8a-2在闭区间?求出对应的a值；若不存在，说明理由.

53解 y=1-cos2x+acosx+8a-2

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/gq87.html