2022届甘肃省高三第一次高考诊断考试理科数学试题Word版含答案

2021届甘肃省高三第一次高考诊断考试

理科数学试题

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用像皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知{}1<=x x A ，{}

12<=x x B ，则AUB=（ ）

A ．（-1，0）

B ．（0，1）

C ．（-1，+∞）

D ．（-∞，1）

2．已知：)23(i i z -=，则z z ?=（ ） A ．5 B ．5 C ．13 D ．13

3．已知平面向量,满足),3(),2,1(t -=-=，且)(+⊥

=（ ）

A ．3

B ．10

C ．32

D ．5

4．已知抛物线)0(22>=p px y 经过点)22,2(M ，焦点为F ．则直线MF 的斜率为（ ）

A ．22

B ．42

C ．2

2 D ．22- 5．函数2

2cos ln )(x x x x f +=的部分图象大致为（ ）

A B C D

6．已知双曲线)0,0(12222>

>=-b a b

y a x C ：的一条渐近线经过圆04222=-++y x y x E ：的圆心，则双曲线的C 的离心率为（ ）

A ．2

5 B ．5 C ．2 D ．2 7．5G 网络是一种先进的高频传输技术，我国的5C 技术发展迅速，已位居世界前列．华为公司2019年8月初推出了一款5G 手机，现调查得到该款5G 手机上市时间x 和市场占有率y （单位：%）的几组相关对应数据.如图所示的折线图中，横轴1代表2019年8月，2代表2019年9月，……，5代表2019年12月，

根据数据得出y 关于x 的线性回归方程为a x y

?042.0?-=．若用此方程分析并预测该款手机市场占有率的变化趋势，则最早何时该款5C 手机市场占有率能超过0.5%（ ）（精确到月）

A ．2020年6月

B ．2020年7月

C ．2020年8月

D ．2020年9月

8．设n m ，是空间两条不同的直线，βα，是空间两个不同的平面．给出下列四个命题：

①若α∥m ，β∥n ，βα∥，则n m ∥；

②若βα⊥，β⊥m ，α?m ，则α∥m ；

③若n m ⊥，α⊥m ，βα∥，则β∥n ；

④若βα⊥，l =βα ，α∥m ，l m ⊥．则β⊥m ．其中正确的是（ ）

A ．①②

B ．②③

C ．②④

D ．③④

9．定义在R 上的偶函数)(x f ，对)0,(,21-∞∈?x x ．且21x x ≠，有

0)()(1212>--x x x f x f 成立，已知)(ln πf a =，)(21

-

=e f b ，)61(log 2f c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．b ＞a ＞c B ．b ＞c ＞a C ．c ＞b ＞a D ．c ＞a ＞b

10．将函数)6sin()(π

+=x x f 图象上每一点的横坐标变为原来的2倍．再将图像向左平移3

π个单位长度，得到函数)(x g y =的图象，则函数)(x g y =图象的一个对称中心为（ ）

A ．)0,12(π

B ．)0,4(π

C ．)0,(π

D ．)0,3

4(π 11．若n

x x )1

(3+的展开式中二项式系数和为256．则二项式展开式中有理项系数之和为（ ） A ．85 B ．84 C ．57 D ． 56

12．若函数2)(mx e x f x

-=有且只有4个不同的零点．则实数m 的取值范围是（ ） A ．),4[2+∞e B ),4(2+∞e C ．)4,(2e -∞ D ．]4

,(2

e -∞ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．实数x ，y 满足约束条件1022020x y x y y -+≥??+-≤??+≥?

，则z=x-2y 的最大值为 ．

14．某班星期一共八节课（上午、下午各四节，其中下午最后两节为社团活动），排课要求为：语文、数学、外语、物理、化学、各排一节，从生物、历史、地理、政治四科中选排一节．若数学必须安排在上午且与外语不相邻（上午第四节和下午第一节不算相邻），则不同的排法有种．

15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若cosB +3sinB-2 =0，且b=1，则△ABC周长的范围为．

16．1611年，约翰内斯·开普勒提出了“没有任何装球方式的密度比面心立方与六方最密堆积要高”的猜想．简单地说，开普勒猜想就是对空间中如何堆积最密圆球

的解答．2017年，由匹兹堡大学数学系教授托马斯·黑尔斯（Thomas Hales）带

领的团队发表了关于开普勒猜想证明的论文，给这个超过三百年的历史难题提交

了一份正式的答案．现有大小形状都相同的若干排球，按照右面图片中的方式摆

放（底层形状为等边三角形，每边4个球，共4层），这些排球共个，

最上面球的球顶距离地面的高度约为 cm（排球的直径约为21cm）．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生

都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（本小题满分12分）

数列{a n}满足a1=1，a n是-1与a n+1的等差中项.

（1）证明：数列{a n+1}为等比数列，并求数列{a n}的通项公式；

（2）求数列{a n+2n}的前n项和S n。

18．（本题满分12分）

如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，E为棱B1C1的中点．

（1）画出过点E且与直线A1C垂直的平面，标出该平面与正方体各个面的交线（不必说明画法及理由）；

（2）求BD1与该平面所成角的正弦值．

19．（本题满分12分）

某健身馆为响应十九届四中全会提出的“聚焦增强人民体质，健全促进全民健身制度性举措”，提高广大市民对全民健身运动的参与程度，推出了健身促销活动，收费标准如下：健身时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为20元（不足1小时的部分按1小时计算）．现有甲、乙两人

各自独立地来该健身馆健身，设甲、乙健身时间不超过1小时的既率分别为1

4

，

1

6

，高健身时间1小

时以上且不超过2小时的概本分别为1

2

，

2

3

，且两人健身时间都不会超过3小时．

（1）设甲乙两人所付的健身费用之和为随机变量ξ（单位：元）求ξ的分布列与数学物望E（ξ）；

（2）此促销活动推出后健身馆预计每天约有300人来参与健身活动，以这两人健身费用之和的数学期望为依据，预测此次促销活动后健身馆每天的营业额。

20．（本题满分12分）

椭圆C：

22

22

1

x y

a b

+=（a＞b＞0）的右焦点F

，0），过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的弦

长为

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点（2，0）且斜率不为0的直线与椭圆C交于M，N两点．O为坐标原点，A为椭圆C的右顶点，求四边形OMAN面积的最大值．

21． （本题满分12分） 已知函数1()(1)ln 2f x ax a x x

=-+-+（a ∈R ）． （1）讨论函数f （x ）单调性；

（2）当a= -2时，求证：2(1)x e f x x x

<--．

（二）选考题：共10分。请考生在第22．23题中选定一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上将所 选题目对应的题号方框涂黑。按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第-题评分；多答按 所答第一题评分。

22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy ．曲线1C 的参数方程为：?

??=+=ααsin cos 1y x （α为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为θρsin 32=．

（1）求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；

（2）若直线)0(:>=k kx y l 与曲线1C 交于O ，A 两点，与曲线2C 交于O ，B 两点，求OB OA +取得

最大值时直线l 的直角坐标方程.

23.（本小题满分10分）选修4 -5：不等式选讲 已知函数1)

(-=x x f ，不等式5)1()(<-+x f x f 的解集为{}

n x m x <<.

（1）求实数n m ,的值；

（2）若0,0,0=++>>m y nx y x ，求证：xy y x 9≥+．

2021届甘肃省高三第一次高考诊断考试

理科数学试题参考答案

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