潮州市绵德中学2015届高三级期中考试(理数)

潮州市绵德中学2015届高三级期中考试

数学（理科）

一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题只有一项是符合题目要求的. 1、已知集合A {x|x 0}，B x| 4 x 1 ，则A

B等于（ ）

A. (1, ) B. (0,1) C. ( 4,1) D. ( , 4) 2、下列有关命题的说法正确的是（ ）

22

A．命题“若x 1，则x 1”的否命题为：“若x 1，则x 1”．

B．若p q为真命题，则p、q均为真命题.

C．命题“存在x R，使得x x 1 0” 的否定是：“对任意x R，均有x x 1 0”． D．“x y”是“sinx siny”的充分不必要条件。

3、已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本的平均数x 2.5，y 3.3，则由观测的数据得线性回归方程可能为（ ）

2

2

A.y 0.4x 2.3 B.y 2x 2. 4C.y 2x 9.5 C.y 0.3x 4.4

y x

4、若变量x,y满足约束条件 x y 1且z 2x y的最大值和最小值分别为M和m，

y 1

则M m=（ ）

A．8 B.7 C.6 D.5 5、在“潮州市青年教师教学观摩赛”比赛现场上七位评委为某选手打 出的分数的茎叶统计图如图，去掉一个最高分和一个最低分后， 所剩数据的平均数和方差分别为（ ）

A.5和1.6 B.85和1.6 C. 85和0.4 D. 5和0.4 6、函数f(x) sin(2x

A.奇函数且在[0,C. 奇函数且在[

2

)是( )

]上单调递增 B. 偶函数且在[0,]上单调递增

22

, ]上单调递增 D.偶函数且在[, ]上单调递增 22

7、已知x,y都是区间[0,

2

]内任取的一个实数，则使得y sinx的取值的概率是（ ）

A.

2

B.

4

2

C.

1 2

D.

2

2

8、已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(1) 0，当x 0时，有立，则不等式f(x) 0的解集是（ ）

xf (x) f(x)

0成2

x

A. ( , 1) (1, ) B. ( 1,0) C. (1, ) D. ( 1,0) (1, )

二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.

9、 x 2 的展开式中x的系数为（用数字作答）

3

6

10、函数f(x) ln(x2 x)的定义域为

11、随机变量 的分布列如右： 其中a，b，c成等差数列且a

12、已知正方形ABCD的边长为2，E为CD中点，则

13、各大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则．一考生从某大学所给的6个专业

1

，则E( 2

A,B,C,D,E,F中，选择3个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中A,B两个专业不

能同时兼报，且若考生选择A专业，则A专业只能填报为第一专业志愿，则该考生不同的填报专业志愿的方法有 种。

14、已知M是

ABC内的一点，且AB AC BAC 30，若 MBC, MCA和

MAB的面分别为

114

、x、y，则 的最小值是_______. 2xy

三、解答题：（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程，或演算步骤）

15、（本题满分12分）

已知函数f(x)

x ,x R.

12

(1) 求f

3 3

cos 的值； (2) 若, ,2 ,求

562

f 2 ．

3

16、（本题满分13分）

某班同学利用国庆节进行社会实践，对[25,55]岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：

（Ⅰ）求第二组的频率，补全频率分布直方图并求n、a、p的值；

（Ⅱ）从[40,50)岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取18人参加户外低碳体验活动，其中选取3人作为领队，记选取的3名领队中年龄在[40,45)岁的人数为X，求X的分布列和期望EX. 17、（本题满分13分）

已知函数f(x) xcosx cosx

2

1

,x R． 2

(Ⅰ) 求函数f(x)的最小值和最小正周期；

、C的对边分别为a、b、c，且c 3,f(C) 0，若向量(Ⅱ) 已知 ABC内角A、B

m (1,sinA与)n (2,sinB)共线，求a、b的值．

18、（本题满分14分）

在某社区举办的《119消防知识有奖问答比赛》中，甲、乙、丙三人同时回答一道有

关消防知识的问题，已知甲回答对这道题的概率是，甲、丙两人都回答错的概率是．．．．．4

3

11，乙、丙两人都回答对的概率是． ．．．．124

(Ⅰ)求乙、丙两人各自回答对这道题的概率．

(Ⅱ)求甲、乙、丙三人中只有乙回答对该题的概率．

（Ⅲ）记甲、乙、丙三人中答对该题的人数为随机变量 ，求随机变量 的期望 19、（本题满分14分）

已知函数f x x2 2lnx,h x x2 x a. (1)求函数f x 的单调区间;

(2)设函数k x f x h x ,若函数k x 在区间(1,3)上恰有两个不同零点，

求实数a的取值范围. 20、（本题满分14分）

已知函数f x e ax（a为常数）的图像与y轴交于点A，曲线y f x 在点A处

x

的切线斜率为-1.

（I）①求曲线y f x 在点A处的切线方程，

②求a的值及函数f x 的极值； （II）证明：当x 0时，x e；

（III）证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x x0， ，恒有x ce.

2

x

2

x

参考答案

.

二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 9、 160 10、( ,0) (1, ) 11

、

1

12、2 13、72 14、18 3

三、解答题：（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程，或演算步骤） 15、（本题满分12分） 解：(Ⅰ)f (Ⅱ) f 2

（3分） 1；

4 6 612 4

2 2 cos2 sin2 （6分） 3 3124

34 3

, ,2 ,所以sin ,（7分） 55 2

24722

, （8分）cos2 cos sin （10分） 2525

因为cos

所以sin2 2sin cos 所以f 2

7 24 17

cos2 sin2 .（12分）

25 25 253

16、（本题满分13分）

解：（Ⅰ）第二组的频率为1 (0.04 0.04 0.03 0.02 0.01) 5 0.3，（1分）

0.3

（2分） 0.06．频率直方图如下：

5

120

第一组的人数为 200，

0.6

200

1000．频率为0.04 5 0.2，所以n （3分）

0.2

所以高为

由题可知，第二组的频率为0．3，所以第二组的人数为1000 0.3 300，所以p

195

0.65．（4分） 300

第四组的频率为0.03 5 0.15，所以第四组的人数为1000 0.15 150，所以a 150 0.4 60． （5分）

（Ⅱ）因为[40,45)岁年龄段的“低碳族”与[45,50)岁年龄段的“低碳族”的比值为60:30 2:1，所以采用分层抽样法抽取18

人，[40,45)岁中有12人，[45,50)岁中有6人． （6分）

随机变量X的可能取值为0,1,2,3 （7分）

0312C12C6C12C6515

P(X 0) P(X 1) ，， 33

C18204C1868

2130C12C633C12C655

P(X 2) 3 ，P(X 3) ． ---11分 3

C1868C18204

所以随机变量

的分布列为

∴数学期望EX 0

5153355 1 2 3 2． ------13分 2046868204

17、（本题满分13分） 解：(Ⅰ)

f(x) xcosx cos2x

11

2x cos2x 1 22

sin(2x ) 1 …………………………………………3

6

2

………………4 ∴ f(x)的最小正周期为T 2

x R, 1 sin(2x 6) 1， 2 sin(2x 6) 1 0∴ f(x)最小值为 2，…5 2（Ⅱ）∵ f(C) sin(C

) 1， 0 即sin(2C ) 1 …………7 66

11

∵ 0 C ， 2C ，∴ 2C ，∴ C ． ……9

666623

∵ m与n共线，∴ sinB 2sinA 0．

……………10 由正弦定理

ab ， 得b 2a, …………………11 sinAsiBn

22

∵ c 3，由余弦定理，得9 a b 2abcos

3

， 故a b ……13

18、（本题满分14分） 解：（1）记“甲回答对这道题”、“ 乙回答对这道题”、“丙回答对这道题”分别为事件A、

1

P(A) P(C) 312，B、C，（1分）则P(A) ，且有 （3分）

14 P(B) P(C) 4

1

[1 P(A)] [1 P(C)] 3212即 ∴P(B) ,P(C) （5分）

183 P(B) P(C) 4

11

（2）由（1）知P(A) 1 P(A) ,.P(C) 1 P(C)

43

记甲、乙、丙三人中只有乙回答对该题为事件M

1311

所以P(M) （7分）

48332

（3） 的可能取值为0,1,2,3（8分）

P( 0)

151535113115228 ，P( 1) 48396483483483963313521324533218

P( 2) ，P( 3) （12分）

4834834839648396

528451817243

E( ) 0 1 2 3 （14分）

969696969624

2

19、（本题满分14分）

解：（1）由f(x) x 2lnx，得f(x)的定义域为(0, )，…………1分

f (x) 2x

22(x 1)(x 1)

；……2分 xx

则由f (x) 0且x 0，得x 1；…………3分

由f (x) 0且x 0，得0 x 1；…………4分

所以，f(x)的单调递增区间为(1, )，单调递减区间为(0,1)；…………6分

'

(2) k(x) f(x) h(x) 2lnx x a k(x) 若k'(x) 0,则x 2 …………8分

2

1, …………7分 x

当x (1,2)时,f' x 0;当x (2,3)时,f' x 0.

故k x 在x (1,2)上递减,在x (2,3)上递增 …………10分 要使得函数k x 在区间(1,3)上恰有两个不同零点，

k(1) 0

k(2) 0 k(3) 0

，

a 1

a 2 2ln2 …………12分 a 3 2ln3

3 0 2

因为(3 2ln3) 1 0，(3 2ln3) (2 2ln2) 1 2ln所以实数

a的取值范围是(2 2ln2,3 2ln3) …………14分

20、（本题满分14分）

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