基于Matlab的均布荷载作用下矩形薄板的有限元分析

matlab 有限单元法

第23卷 第1期Vol.23 No.1

重庆工学院学报(自然科学)

JournalofChongqingInstituteofTechnology(NaturalScience)

2009年1月Jan.2009

基于Matlab的均布荷载作用下矩形

薄板的有限元分析

杜丽艳1,陈建华2

(1.西安建筑科技大学理学院,西安 710055;2.天津城市建设学院,天津 300384)

摘要:利用Matlab语言编程对均布荷载作用下的矩形薄板进行有限元分析,求得挠度的数值解.然后以弹性力学中的Kirchhoff薄板理论为基础,提出双三角级数形式的挠度函数,由此挠度函数求得挠度的精确解,将2种方法求解的结果进行比较.结果表明:利用Matlab语言编制的程序作数值计算结果与精确解基本吻合,因此利用Matlab语言编程求解矩形薄板挠度问题的速度相对较快,有益于工程应用.

关 键 词:矩形薄板;Matlab语言;板的挠度中图分类号:TB125 文献标识码:A

文章编号:1671-0924(2009)01-0032-04

FiniteElementAnalysisonRectangularThinPlateunderEquispacedLoadEffectBasedonMatlabLanguage

DULi-yan,CHENJian-hua

1

2

(1.Xi anUniversityofArchitectureandTechnology,Xi an710055,China;

2.TianjinInstituteofUrbanConstruction,Tianjin300384,China)

Abstract:TheMatlablanguageprogrammingisusedtoconductfiniteelementanalysisonrectangularthinplateundertheequispacedloadeffectandobtainthedeflectionofarithmeticalsolution.ThenaccordingtoelasticitytheoryinKirchhoffthinsteelplatetheory,thedeflectionfunctionofdoubletrigonometricseriesformisproposedtoobtaintheexactsolutiontodeflection.ThesolutionsfromthetwomethodsarecomparedandtheresultsindicatethattheexactsolutionaccordsbasicallywiththenumericalresultobtainedbyusingtheMatlablanguage.Therefore,thespeedofusingtheMatlablanguageprogrammingtosolvethedeflec tionofrectanglethinplateisrelativelyfast,whichisbeneficialtotheprojectapplication.Keywords:rectangularthinsteelplate;MATLABlanguage;platedeflection

收稿日期:2008-11-08

基金项目:陕西省教育厅专项科研项目(08JK342).

作者简介:杜丽艳(1982 ),女,内蒙古赤峰人,硕士研究生,主要从事高层建筑结构分析研究.

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杜丽艳,等:基于Matlab的均布荷载作用下矩形薄板的有限元分析

板是主要的工程构件,弹性矩形薄板是土木工程、地下建筑工程和水利工程中较为常用的一种结构形式,尤其是矩形薄板应用更为普遍.目前,求解此类问题的方法主要有两大类,即解析法和数值法.解析法主要有叠加法、富里哀级数法;数值法主要有有限单元法.各种解析法中都要事先选定挠度函数,而这些函数的选取具有一定的任意性,无确定的规律可循.众所周知,寻求一般边界件下矩形板的精确解是相当困难的.本文中利用Matlab语言对矩形薄板进行有限元分析,得到数值解,为工程应用提供可借鉴的方法.

33

板的中面.厚度h与中面的最小尺寸bmin的比值在下列范围内的称为薄板,即

5!bmin

!

;若!80bmin

,称为厚板;若 ,则叫做薄膜.

5bmin80

1 Matlab在板的有限元分析中的应用

Matlab是工程和教育方面非常流行的数学软件,具有很高的应用价值,在机械工程、土木工程、航空航天工程和材料科学等领域都有所应用.在以往的结构有限元分析编程实践中,通常采用BA SIC,FORTRAN,C,C++等程序语言,它们为科学研究的数值分析作出了不可替代的重要贡献.Mat lab的出现为今后的数值计算提供了便捷.Matlab具有基本的数值运算、矩阵运算、符号运算、绘制图形、界面开发、与其他程序语言接口等多种功能.尤其是Matlab的强大矩阵运算功能,是编程工作大为简化,程序长度大大缩短.它的符号运算功能给结构分析和公式推导带来了很大方便.它的图形功能使计算结果分析更为快捷有效.这些优秀功能,在一定程度上也改变了结构有限元分析方法,解决了工程中大量弹塑性力学问题中的求解困难,具有重要的实际意义.

图1 矩形薄板示意图

2)薄板弯曲时,其中面变成曲面称为挠曲面,而中面内各点沿z向的位移称为挠度(用 表 1/5时称为小挠度弯曲.本文中所讨论h

的是两对边固定另两对边自由的矩形薄板在均布示),当

荷载作用下所产生的小挠度弯曲问题.

3)薄板弯曲问题中,通常采用z轴向下的右手螺旋坐标系,见图1.

2.2 计算假定(克希霍夫(Kirchhoff)假定)

为了便于进行理论分析和工程应用,针对薄板小挠度弯曲理论,引用如下的克希霍夫假定,这一假定已经被大量的实验所证实.

1)直法线假定.变形前垂直于薄板中面的直线段(中面法线)在变形后仍保持为直线,且垂直于变形后的中面,长度不变.即在薄板中有:

z=0, xz= yz=0

2)板内无挤压假设.与!x,!y, xy等相比较,挤压应力!z很小,其引起的变形可不计,但在考虑板微元的平衡时不能忽略.

3)中面位移假设.薄板中面内各点只有垂直位移 ,无x方向和y方向的位移,即

2.1 基本概念

1)由两个平行面和垂直于它的柱面所围成的物体,称为平板(或简称为板),见图1.两个平行面叫板面,柱面称为板侧面(或板边),两个板面之间

u

z=0=

2 薄板弯曲问题

0,z=0=0,z=0= x,y

2.3 理论依据方程

1)挠度 表示的薄板几何方程.2u=-z2,v=-z(1)

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2 x=-z#x y=-z

#y2

2

重庆工学院学报

4)由矩形薄板的平衡方程推导出弹性薄板的基本微分方程

(2)

2 2 =

D

(4)

2 xy=-2z2)薄板物理方程.!x=-22+2

#y1-%#x

(3)

2

2

3 范例解析

3

其中D=2

121-%

它的因次是[力][长度].

2

2

2

,称为板的抗弯刚度,

22+2!y=-2

#y2#x1-% xy=-1+2

3)矩形薄板的应力分量是沿薄板厚度积分(取单位厚度),可分别合成单位板宽的内力.

+, 2 = 2,注: =#x#y 2 = 2,Mxy=Myx.

#y

表1为内力同挠度 表示及应力与内力的关系.

表1 内力由挠度 表示及应力与内力的关系

名称

内力由应力合成Mx=My=Mxy=Qx=Qy=

内力由 表示

22Mx=-D(2+%2)

#x#yMy=-D(

#2 #2

+%)#y#x2

应力与内力关系!x=!y= xy= xz= yz=

12Mx

zh12My

zh12Mxy

zh6Qxh2

(-z2)h46Qyh2

-z2

)(4h

-

z!xdz表达式

hz!ydz-hz xydz- xzdz-hh yzdz-hMxy=-D(1-%)Qx=-DQy=-D

#

2 #

2 设两对边固定,另两对边自由矩形薄板(如图2所示),长为a=20m,宽为b=10m,受垂直于板面的均布面荷载q0=10kN/m2作用,厚度为h=0.2m,弹性模量为 =200GPa,泊松比为%=0.3,求板的挠度.

3.1 Matlab有限元分析

利用Matlab编程,生成矩形薄板挠度图,根据板的挠度图可以很直观地看到板的受力位移变化情况.基本步骤:

1)划分单元生成网格.网格划分的越密计算的结果越接近精确解.任意输入行数M和列数N,总结点数为NJ=(M+1) (N+1),总自由度数为NF=3 NJ.

2)形成约束条件.[RE,NF]=RESTRAINT(M,N)子程序生成.

3)生成单元矩阵KE.4)装配整体刚度矩阵K.

K=ASSEM(i,LOC,K,KE)局部坐标形成整体坐标,此时利用乘大数法去除约束.

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杜丽艳,等:基于Matlab的均布荷载作用下矩形薄板的有限元分析

5)计算节点荷载P.题中q0为分布面力,设

q0=

R

eq

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计算程序得出的数值解进行比较.显示如表2.

表2 2种方法求解结果比较

q0xq0y,其等效荷载为YiXj

YjXm

YmXp

Yp

坐标值/mx55

y010

=Xi

级数所取的项数50.00330.0030

100.00320.0031

6)生成节点位移.U=K\P.7)绘制节点挠度图(图3).

Matlab语言计算程序得出值

0.00300.0029

4 结束语

比较计算结果表明:基于Matlab语言有限元编程得出值,与双三角级数形式挠度函数所求的挠度精确值吻合的很好.因此,计算机的发展及其优秀程序语言的出现,为求解弹,塑性力学等问题提供了方便,提高了解题速度为板在土木工程、水

图3

矩形薄板的挠度

利工程及航空航天的应用研究,具有很大的实际意义.因此程序语言在今后的发展具有很大的优越性.

当长和宽相等,都为10m时,挠度如图4所示.

参考文献:

[1] 徐芝纶.弹性力学(下册)[M].北京:高等教育出版

社,2005:1-26.

[2] [德]KattanPL.MATLAB有限元分析与应用[M].韩

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图4 正方形薄板的挠度

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[5] 王勖成,邵敏.有限单元法基本原理和数值方法[M].

2版.北京:清华大学出版社,2002:329-340.

3.2 结果比较

假设双三角级数形式的挠度函数,求得正方形板两点的挠度(单位:m)精确解,与利用Matlab语言

(责任编辑 陈 松)

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