(2019-2020)山东省齐河县高考数学三轮冲刺 专题 计数原理练习（含解析）

计数原理

一、选择题（本大题共12小题，共60分）

1. 如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为

A. 24 B. 18 C. 12 D. 9

（正确答案）B

解：从E到F，每条东西向的街道被分成2段，每条南北向的街道被分成2段，

从E到F最短的走法，无论怎样走，一定包括4段，其中2段方向相同，另2段方向相同， 每种最短走法，即是从4段中选出2段走东向的，选出2段走北向的，故共有同理从F到G，最短的走法，有

种走法．

种走法．

种走法．

小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为故选：B．

从E到F最短的走法，无论怎样走，一定包括4段，其中2段方向相同，另2段方向相同，每种最短走法，即是从4段中选出2段走东向的，选出2段走北向的，由组合数可得最短的走法，同理从F到G，最短的走法，有

种走法，利用乘法原理可得结论．

本题考查排列组合的简单应用，得出组成矩形的条件和最短走法是解决问题的关键，属基础题

2. 某企业有4个分厂，新培训了一批6名技术人员，将这6名技术人员分配到各分厂，要求每个分厂至少1人，则不同的分配方案种数为 A. 1080 B. 480 C. 1560 D. 300 （正确答案）C

解：先把6名技术人员分成4组，每组至少一人． 若4个组的人数按3、1、1、1分配，则不同的分配方案有

种不同的方法．

若4个组的人数为2、2、1、1，则不同的分配方案有故所有的分组方法共有

种．

种不同的方法．

1

再把4个组的人分给4个分厂，不同的方法有故选：C．

种，

先把6名技术人员分成4组，每组至少一人，再把这4个组的人分给4个分厂，利用乘法原理，即可得出结论．

本题考查组合知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，正确分组是关键．

3. 如图所示的五个区域中，中心区域是一幅图画，现要求在其余四个区域中涂色，有四种颜色可供选择要求每个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为 A. 84 B. 72 C. 64 D. 56 （正确答案）A 解：分两种情况：

、C不同色注意：B、D可同色、也可不同色，D只要不与A、C同色，所以D可以从剩余的2中颜色中任意取一色：有

种；

、C同色注意：B、D可同色、也可不同色，D只要不与A、C同色，所以D可以从剩余的3中颜色中任意取一色：有共有84种， 故选：A

每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，然后分类研究，A、C不同色；A、C同色两大类 本题考查了区域涂色、种植花草作物是一类题目分类要全要细．

4. 用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为 A. 8 B. 24 C. 48 D. 120 （正确答案）C

解：由题意知本题需要分步计数， 2和4排在末位时，共有

种排法，

种排法， 个．

种．

其余三位数从余下的四个数中任取三个有根据由分步计数原理得到符合题意的偶数共有故选C．

2

本题需要分步计数，首先选择2和4排在末位时，共有中任取三个有

种结果，再从余下的其余三位数从余下的四个数

种结果，根据由分步计数原理得到符合题意的偶数．

本题考查分步计数原理，是一个数字问题，这种问题是最典型的排列组合问题，经常出现限制条件，并且限制条件变化多样，是一个易错题．

5. 6把椅子排成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为 A. 144 B. 120 C. 72 D. 24 （正确答案）D

解：使用“插空法“第一步，三个人先坐成一排，有

种，即全排，6种；第二步，由于三个人必须隔开，

因此必须先在1号位置与2号位置之间摆放一张凳子，2号位置与3号位置之间摆放一张凳子，剩余一张凳子可以选择三个人的左右共4个空挡，随便摆放即可，即有故选：D．

使用“插空法“第一步，三个人先坐成一排，有

种，即全排，6种；第二步，由于三个人必须隔开，因

种办法根据分步计数原理，

．

此必须先在1号位置与2号位置之间摆放一张凳子，2号位置与3号位置之间摆放一张凳子，剩余一张凳子可以选择三个人的左右共4个空挡，随便摆放即可，即有

种办法根据分步计数原理可得结论．

本题考查排列知识的运用，考查乘法原理，先排人，再插入椅子是关键．

6. 将4个红球与2个蓝球这些球只有颜色不同，其他完全相同放入一个

的格子状木柜里如图所示，

每个格至多放一个球，则“所有红球均不位于相邻格子”的放法共有 种． 7.

A. 30 B. 36 C. 60 D. 72 （正确答案）C

解：第一类，当4个红球在4个顶角的位置时，蓝球放在剩下5个格种任选两个，故有

种，如图

3

第二类，当有一个红球再最中间时，其它三个红球只能放在顶角位置，有出种任选两个，

种，如图

种，蓝球放在剩下5个格

第三类，当4个红球放在每外围三个格的中间时，蓝球在剩下5个格种任选两个有

种，如图

根据分类计数原理，故有故选：C．

对红球的位置分类讨论：第一类，当4个红球在4个顶角的位置时，蓝球放在剩下5个格种任选两个；第二类，当有一个红球再最中间时，其它三个红球只能放在顶角位置，蓝球放在剩下5个格种任选两个；第三类，当4个红球放在每外围三个格的中间时，蓝球放在剩下5个格种任选两个，即可得出． 本题主要考查了分类计数原理，关键是如何分类，属于中档题．

8. 4名学生参加3项不同的竞赛，每名学生必须参加其中的一项竞赛，有 种不同的结果． A. B.

C.

D.

．

（正确答案）A

解：由题意知本题是一个分步计数问题，

首先第一名学生从三种不同的竞赛中选有三种不同的结果， 第二名学生从三种不同的竞赛中选有3种结果，

同理第三个和第四个同学从三种竞赛中选都有3种结果， 根据分步计数原理得到共有故选A．

本题是一个分步计数问题，首先第一名学生从三种不同的竞赛中选有三种不同的结果，第二名学生从三种不同的竞赛中选有3种结果，同理第三个和第四个同学从三种竞赛中选都有3种结果，相乘得到结果数． 解答此题，先考虑学生问题还是竞赛问题才能很好地完成这件事，易把两问结果混淆；另外，每位学生选定竞赛或每项竞赛选定学生这一做法对完成整个事件的影响理解错误导致原理弄错，其原因是对题意理解不清，对事情完成的方式有错误的认识．

4

9. 某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个节目插入节目单中，那么不同的插法种数为 A. 504 B. 210 C. 336 D. 120 （正确答案）A

解：由题意知将这3个节目插入节目单中，原来的节目顺序不变，

三个新节目一个一个插入节目单中，

原来的6个节目形成7个空，在这7个位置上插入第一个节目，共有7种结果， 原来的6个和刚插入的一个，形成8个空，有8种结果，同理最后一个节目有9种结果 根据分步计数原理得到共有插法种数为故选A．

由题意知将这3个节目插入节目单中，原来的节目顺序不变，三个新节目一个一个插入节目单中，原来的6个节目形成7个空，在这7个位置上插入第一个节目，共有7种结果；用同样的方法插入第二个和第三个节目，根据分步乘法计数原理得到结果．

本题考查分步计数原理，是一个实际问题，解题时注意题目条件中对于原来6个节目的顺序要求不变，所以采用插入法．

10. 从5名学生中选出4名分别参加A，B，C，D四科竞赛，其中甲不能参加A，B两科竞赛，则不同的参赛方案种数为

A. 24 B. 48 C. 72 D. 120 （正确答案）C

解：从5名学生中选出4名分别参加A，B，C，D四科竞赛，其中甲不能参加A，B两科竞赛， 可分为以下几步：

先从5人中选出4人，分为两种情况：有甲参加和无甲参加． 有甲参加时，选法有：无甲参加时，选法有：安排科目

有甲参加时，先排甲，再排其它人排法有：无甲参加时，排法有综上，

，

种； 种

种

种 ．

5

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