第6讲：标数法、递推法(小升初计数重点考查内容)练习题补充包

【习题1】

用2，4，6三个数字来构造六位数，但是不允许有两个连着的2出现在六位数中(例如644264、424244是允许的，226466、422244就不允许)，问这样的六位数共有多少个？

【习题2】

上一段12级楼梯，规定每一步只能上一级或两级或三级楼梯，要登上第12级楼梯，不同的走法共有 种。

【习题3】

平面上4个圆最多能把平面分成多少部分？

【习题4】

有30个石子，一个人分若干次取，每次可以取1个，2个或3个，但是每次取完之后不能留下质数个，有多少方法取完？石子之间不作区分，即只考虑石子个数。

【习题5】

有10枚棋子，每次拿出2枚或3枚，要想将10枚棋子全部拿完，共有多少种不同的拿法？

【习题6】

有20个石子，一个人分若干次取，每次可以取1个，2个或3个，但是每次取完之后不能留下3的倍数个，有多少方法取完？石子之间不作区分，即只考虑石子个数。

【习题7】

用2，4，6三个数字来构造六位数，但是不允许有两个连着的2出现在六位数中(例如644264、424244是允许的，226466、422244就不允许)，问这样的六位数共有多少个？

【习题8】

如图，有一个边长为1的正三角形，第一次去掉三边中点连线围成的那个正三角形；第二次对留下的三个正三角形，再分别去掉它们中点连线围成的三角形；…做到第四次后，一共去掉了________个三角形. 去掉的所有三角形的边长之和是________.

答案

【习题1】

题目解析：

以a1、a2、……a6分别代表满足条件的一位数，两位数，……六位数。显然a1有3种；a2有8种；写完两位数后，写第三位，如果第三位是4或6，那么第二位可以是2或4或6，共有2a2种，如果第三位是2，那么第二位只能是4或6，第一位可以是2或4或6，共有

2a1种，所以a3 2a1 2a2 22；同理可得a4 2a2 2a3 60，a5 2a3 2a4 164，a6 2a4 2a5 448。即有448个。

【习题2】

题目解析：

递推法。上1级台阶只有1种走法，上2级台阶有1 1和2两种走法，上3级台阶有1+1+1,1+2，2+1,3共4种走法，上4级台阶有：1+1+1+1；1+1+2；1+2+1；2+1+1；2+2；1+3；3+1共7种；走5级台阶有2+4+7=13种走法，走6级台阶有4+7+13=24种走法……

事实上，上第n阶台阶，跨最后一步前，人所在的台阶一定是在第n 1级台阶或n 2级台阶或n-3级台阶上，所以跨上第n级台阶的走法数相当于跨上第n 1级台阶和第n 2级台阶以及第n-3级台阶的总和。依照这一规律，列表写出跨1到12级各级的走法数。最后递推得到登上第12级楼梯有927种走法。

【习题3】

题目解析：

1个圆能把平面分成2部分，2个圆与原来的圆产生2个交点，这两个交点把新圆分割出2段曲线，能得到2块新部分，共得到4部分.

第3个圆与原来的圆最多产生4个交点，这4个交点把新圆分割出4段曲线，能得到4块新部分，共得到8部分.

第4个圆与原来的圆最多产生6个交点，这6个交点把新圆分割出6段曲线，能得到6块新部分，共得到14部分.

【习题4】

题目解析：

根据题意取完之后，剩下的石子个数只能是28,27,26,25,24,22,21,20,18,16,15,14,12,10,9,8,6,4,1,0，剩下0即代表所有石子取完，因为每次可以取1个，2个或3个，根据递推思路，因此剩下的石子个数只能是28,27,26,25,24,22,21,20,

【习题5】

题目解析：

采用递推法．假设有n枚棋子，每次拿出2枚或3枚，将n枚棋子全部拿完的拿法总数为an种． 则a2 1，a3 1，a4 1．

由于每次拿出2枚或3枚，所以an an 3 an 2(n 5)．

所以，a5 a2 a3 2；a6 a3 a4 2；a7 a4 a5 3；a8 a5 a6 4；a9 a6 a7 5；a10 a7 a8 7．

即当有10枚棋子时，共有7种不同的拿法．

【习题6】

题目解析：

根据题意取完之后，剩下的石子个数只能是19,17,16,14,13,11,10,8,7,5,4,2,1,0剩下0即代表

【习题7】

题目解析：

以a1、a2、……a6分别代表满足条件的一位数，两位数，……六位数。显然a1有3种；a2有8种；写完两位数后，写第三位，如果第三位是4或6，那么第二位可以是2或4或6，共有2a2种，如果第三位是2，那么第二位只能是4或6，第一位可以是2或4或6，共有

2a1种，所以a3 2a1 2a2 22；同理可得a4 2a2 2a3 60，a5 2a3 2a4 164，a6 2a4 2a5 448。即有448个。

【习题8】

题目解析：

1； 2

1第二次去掉3个三角形，得到9个小三角形，去掉的三角形的边长之和为3×3×； 4

1第三次去掉9个三角形，得到27个小三角形，去掉的三角形的边长之和为9×3×； 8

1第四次去掉27个三角形，去掉的三角形的边长之和为27×3×； 16

所以，四次共去掉1＋3＋9＋27＝40（个）小三角形，

11113去掉的所有三角形的边长之和是：3×＋9×＋27×＋81×＝12 2416168

第一次去掉1个三角形，得到3个小三角形，去掉的三角形的边长之和为3×

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