《椭圆》方程典型例题20例(含标准答案)

《椭圆》方程典型例题20例

典型例题一

例1 椭圆的一个顶点为()02，A ，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．

分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置．

解：（1）当()02，A 为长轴端点时，2=a ，1=b ， 椭圆的标准方程为：1142

2=+y x ；

（2）当()02，A 为短轴端点时，2=b ，4=a ， 椭圆的标准方程为：11642

2=+y x ；

说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况．

典型例题二

例2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率． 解：31

222

??=c a c Θ ∴223a c =， ∴33

31

-=e ．

说明：求椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求a ，求c ，再求比．二是列含a 和c 的齐次方程，再化含e 的方程，解方程即可．

典型例题三

例3 已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与直线01=-+y x 交于A 、B 两点，M 为AB 中点，OM 的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程． 解：由题意，设椭圆方程为1222

=+y a x ， 由?????=+=-+1

1

222

y a x y x ，得()021222=-+x

a x a ， ∴222

112a a x x x M +=+=，211

1a x y M M +=-=，

41

1

2===a x y

k M

M

OM Θ，∴42=a ， ∴1422

=+y x 为所求．

说明：（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法；（2）直线与曲线的综合问题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题．

典型例题四

例4椭圆19252

2=+y x 上不同三点()11y x A ，，???

??594，B ，()22y x C ，与焦点()04，F 的

距离成等差数列．

（1）求证821=+x x ；

（2）若线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ，求直线BT 的斜率k ． 证明：（1）由椭圆方程知5=a ，3=b ，4=c ． 由圆锥曲线的统一定义知：a c x c a AF

=-1

2， ∴ 1154

5x ex a AF -=-=．

同理 254

5x CF -=． ∵ BF CF AF 2=+，且59

=BF ， ∴ 518

54554521=???

??-+??? ??-x x ，

即 821=+x x ．

（2）因为线段AC 的中点为???

??+

2421y y ，，所以它的垂直平分线方程为 ()422

12

121---=+-x y y x x y y y ．

又∵点T 在x 轴上，设其坐标为()00，x ，代入上式，得

()212

2

21024x x y y x --=-

又∵点()11y x A ，，()22y x B ，都在椭圆上， ∴ ()212125259x y -= ()222225259x y -= ∴ ()()21212221259

x x x x y y -+-=-． 将此式代入①，并利用821=+x x 的结论得 2536

40-=-x

∴ 4

540

5

90=--=x k BT ．

典型例题五

例5 已知椭圆1342

2=+y x ，1F 、2F 为两焦点，问能否在椭圆上找一点M ，使M 到左准线l 的距离MN 是1MF 与2MF 的等比中项？若存在，则求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．

解：假设M 存在，设()11y x M ，，由已知条件得

2=a ，3=b ，∴1=c ，21

=e ．

∵左准线l 的方程是4-=x ， ∴14x MN +=．

又由焦半径公式知： 11121

2x ex a MF -=-=，

11221

2x ex a MF +=+=． ∵212MF MF MN ?=， ∴()???

??+??? ??-=+11212122124x x x ． 整理得04832512

1=++x x ．

解之得41-=x 或512

1-=x ． ①

另一方面221≤≤-x ． ②

则①与②矛盾，所以满足条件的点M 不存在．

说明：

（1）利用焦半径公式解常可简化解题过程．

（2）本例是存在性问题，解决存在性问题，一般用分析法，即假设存在，根据已知条件进行推理和运算．进而根据推理得到的结果，再作判断．

（3）本例也可设()θθsin 3cos 2，M 存在，推出矛盾结论（读者自己完成）．

典型例题六

例6 已知椭圆1222=+y x ，求过点???

??2121，P 且被P 平分的弦所在的直线方程．

分析一：已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为k ，利用条件求k ． 解法一：设所求直线的斜率为k ，则直线方程为???

??-=-2121

x k y ．代入椭圆

方程，并整理得

()()023

2122212222=+-+--+k k x k k x k ． 由韦达定理得22212122k k

k x x +-=+．

∵P 是弦中点，∴121=+x x ．故得21

-=k ．

所以所求直线方程为0342=-+y x ．

分析二：设弦两端坐标为()11y x ，、()22y x ，，列关于1x 、2x 、1y 、2y 的方程组，从而求斜率：2

12

1x x y y --．

解法二：设过???

??2121

，P 的直线与椭圆交于()11y x A ，、()22y x B ，，则由题意得

?????????=+=+=+=+④

1.③

1②12①

1221212

22

2

2

12

1

y y x x y x y x ，，， ①－②得022

2212

2

21=-+-y y x x ． ⑤ 将③、④代入⑤得2

1212

1-=--x x y y ，即直线的斜率为21

-．

所求直线方程为0342=-+y x ．

说明：

（1）有关弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；过定点的弦中点轨迹．

（2）解法二是“点差法”，解决有关弦中点问题的题较方便，要点是巧代斜率．

（3）有关弦及弦中点问题常用的方法是：“韦达定理应用”及“点差法”．有关二次曲线问题也适用．

典型例题七

例7 求适合条件的椭圆的标准方程．

（1）长轴长是短轴长的2倍，且过点()62-，；

（2）在x 轴上的一个焦点与短轴两端点的联机互相垂直，且焦距为6． 分析：当方程有两种形式时，应分别求解，如（1）题中由122

22=+b y a x 求出

1482=a ，372=b ，在得方程1371482

2

=+y x 后，不能依此写出另一方程1371482

2

=+x y ．

解：（1）设椭圆的标准方程为12222=+b y a x 或122

22=+b x a y ．

由已知b a 2=． ①

又过点()62-，，因此有

()1622222=-+b a 或()1262222

=+-b a ． ②

由①、②，得1482=a ，372=b 或522=a ，132=b ．故所求的方程为

13714822=+y x 或1135222=+x y ． （2）设方程为12222=+b y a x ．由已知，3=c ，3==c b ，所以182=a ．故所

求方程为19182

2

=+y x ．

说明：根据条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”．关键在于

焦点的位置是否确定，若不能确定，应设方程12222=+b y a x 或122

22=+b x a y ．

典型例题八

例8 椭圆112162

2

=+y x 的右焦点为F ，过点()31，A ，点M 在椭圆上，当

MF AM 2+为最小值时，求点M 的坐标．

分析：本题的关键是求出离心率21

=e ，把MF 2转化为M 到右准线的距离，

从而得最小值．一般地，求MF e AM 1

+均可用此法．

解：由已知：4=a ，2=c ．所以21

=e ，右准线

8=x l ：．

过A 作l AQ ⊥，垂足为Q ，交椭圆于M ，故

MF MQ 2=．显然MF AM 2+的最小值为AQ ，

即M 为所求点，因此3=M y ，且M 在椭圆上．故

32=M x ．所以()332，M ．

说明：本题关键在于未知式MF AM 2+中的“2”的处理．事实上，如图，21

=e ，即MF 是M 到右准线的距离的一半，即图中的MQ ，问题转化为求椭圆上一点M ，使M 到A 的距离与到右准线距离之和取最小值．

典型例题九

例9 求椭圆1322

=+y x 上的点到直线06=+-y x 的距离的最小值．

分析：先写出椭圆的参数方程，由点到直线的距离建立三角函数关系式，求出距离的最小值．

解：椭圆的参数方程为?

??==.sin cos 3θθy x ，设椭圆上的点的坐标为()θθsin cos 3，，

则点到直线的距离为

26

3sin 226sin cos 3+??? ??-=+-=θπ

θθd ． 当13sin -=??? ??-θπ时，22=最小值d ．

说明：当直接设点的坐标不易解决问题时，可建立曲线的参数方程．

典型例题十

例10设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率23

=e ，已知点??

?

??230，P 到这个椭圆上的点的最远距离是7，求这个椭圆的方程，并求椭圆上的点P 的距离等于7的点的坐标．

分析：本题考查椭圆的性质、距离公式、最大值以及分析问题的能力，在求d 的最大值时，要注意讨论b 的取值范围．此题可以用椭圆的标准方程，也可用椭圆的参数方程，要善于应用不等式、平面几何、三角等知识解决一些综合性问题，从而加强等价转换、形数结合的思想，提高逻辑推理能力．

解法一：设所求椭圆的直角坐标方程是122

22=+b y a x ，其中0>>b a 待定． 由22

2222221a b a b a a c e -=-==可得

21

43112=-=-=e a b ，即b a 2=．

设椭圆上的点()y x ，到点P 的距离是d ，则

49

31232

2222

22+-+???? ??-=??? ??-+=y y b y a y x d 342134933422

22++???

??+-=+--=b y y y b

其中b y b ≤≤-． 如果21

2237???

??+=b ，由此得2123

7>-=b ，与21

≥b 成立，于是当21

-=y 时，2d （从而d ）有最大值． 由题设得()34722+=b ，可得1=b ，2=a ． ∴所求椭圆方程是1142

2=+y x ． 由21-=y 及求得的椭圆方程可得，椭圆上的点??? ??--213，，点???

??-213，到点???

??230，P 的距离是7．

解法二：根据题设条件，可取椭圆的参数方程是???==θθ

sin cos b y

a x ，其中0>>

b a ，

待定，πθ20≤≤，θ为参数． 由2

2222221???

??-=-==a b a b a a c e 可得

21

43112=-=-=e a b

，即b a 2=．

设椭圆上的点()y x ，到点???

??230，P 的距离为d ，则

2

2222223sin cos 23???

??-+=???

??-+=θθb a y x d 49

sin 3sin 34222+--=θθb b b 3421sin 322

2++???

??+-=b b b θ 如果121

>b ，即21

由题设得()2

2237???

??+=b ，由此得21237>-=b ，与21

121

≤b 成立． 于是当b 21sin -=θ时2

d （从而d ）有最大值． 由题设知()34722+=b ，∴1=b ，2=a ．

∴所求椭圆的参数方程是?

??==θθ

sin cos 2y x ． 由21

sin -=θ，23

cos ±=θ，可得椭圆上的是???

??--213，，???

??-213，．

典型例题十一

例11 设x ，R ∈y ，x y x 63222=+，求x y x 222++的最大值和最小值．

分析：本题的关键是利用形数结合，观察方程x y x 63222=+与椭圆方程的结构一致．设m x y x =++222，显然它表示一个圆，由此可以画出图形，考虑椭圆及圆的位置关系求得最值．

解：由x y x 63222=+，得 1

2

349232

2

=+??

??

??

??-y x 可见它表示一个椭圆，其中心在??? ??023

，点，焦点在x 轴上，且过（0，0）点

和（3，0）点．

设m x y x =++222，则

()1122+=++m y x

它表示一个圆，其圆心为（－1，0）半径为()11->+m m ．

在同一坐标系中作出椭圆及圆，如图所示．观察图形可知，当圆过（0，0）点时，半径最小，即11=+m ，此时0=m ；当圆过（3，0）点时，半径最大，

即4

1=

+

m，∴15

=

m．

∴x

y

x2

2

2+

+的最小值为0，最大值为15．

典型例题十二

例12已知椭圆()0

1

2

2

2

2

>

>

=

+b

a

b

y

a

x

C：，A、B是其长轴的两个端点．（1）过一个焦点F作垂直于长轴的弦P

P'，求证：不论a、b如何变化，ο

120

≠

∠APB．

（2）如果椭圆上存在一个点Q，使ο

120

=

∠AQB，求C的离心率e的取值范围．

分析：本题从已知条件出发，两问都应从APB

∠和AQB

∠的正切值出发做出估计，因此要从点的坐标、斜率入手．本题的第（2）问中，其关键是根据什么去列出离心率e满足的不等式，只能是椭圆的固有性质：a

x≤，b

y≤，根据ο

120

=

∠AQB得到3

2

2

2

2

-

=

-

+a

y

x

ay

，将2

2

2

2

2y

b

a

a

x-

=代入，消去x，用a、b、c表示y，以便利用b

y≤列出不等式．这里要求思路清楚，计算准确，一气呵成．

解：（1）设()0，

c

F，()0，

a

A-，()0，

a

B．

??

?

?

?

?

?

?

?

?

=

+

=

a

b

c

P

b

a

y

a

x

b

c

x2

2

2

2

2

2

2

，

于是()

a

c

a

b

k

AP+

=

2

，()

a

c

a

b

k

BP-

=

2

．

∵APB ∠是AP 到BP 的角．

∴()()()

22

22242

221tan c

a a c a

b a

c a b a c a b APB -=-++--=∠

∵22c a >

∴2tan -<∠APB 故3tan -≠∠APB ∴ο120≠∠APB ．

（2）设()y x Q ，，则a x y

k QA +=，a x y

k QB -=．

由于对称性，不妨设0>y ，于是AQB ∠是QA 到QB 的角．

∴2222

2221tan a y x ay

a x y a x y

a x y AQB -+=-++--=∠

∵ο120=∠AQB ， ∴32222-=-+a y x ay

整理得()023222=+-+ay a y x ∵2

22

22y b a a x -= ∴021

32

22=+???? ??-ay y b a

∵0≠y ， ∴22

32c ab y =

∵b y ≤， ∴b c ab ≤22

32

232c ab ≤，()222234c c a a ≤-

∴04444224≥-+a c a c ，044324≥-+e e ∴232≥e 或22-≤e （舍），∴136

<≤e ．

典型例题十三

例13 已知椭圆1982

2

=++y k x 的离心率21

=e ，求k 的值．

分析：分两种情况进行讨论．

解：当椭圆的焦点在x 轴上时，82+=k a ，92=b ，得12-=k c ．由21

=e ，

得4=k ．

当椭圆的焦点在y 轴上时，92=a ，82+=k b ，得k c -=12． 由21

=e ，得41

91=-k ，即45

-=k ．

∴满足条件的4=k 或45

-=k ．

说明：本题易出现漏解．排除错误的办法是：因为8+k 与9的大小关系不定，所以椭圆的焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上．故必须进行讨论．

典型例题十四

例14 已知椭圆1422

22=+b y b x 上一点P 到右焦点2F 的距离为b )1(>b ，求P 到左

准线的距离．

分析：利用椭圆的两个定义，或利用第二定义和椭圆两准线的距离求解． 解法一：由142222=+b y b x ，得b a 2=，b c 3=，23

=e ． 由椭圆定义，b a PF PF 4221==+，得

b b b PF b PF 34421=-=-=． 由椭圆第二定义，e d PF =1

1

，1d 为P 到左准线的距离， ∴b e PF d 321

1==，

即P 到左准线的距离为b 32．

解法二：∵e d PF =22

，2d 为P 到右准线的距离，23

==a c e ， ∴b e PF d 33

222==．

又椭圆两准线的距离为b c a 33

822=?．

∴P 到左准线的距离为b b b 3233

233

8=-．

说明：运用椭圆的第二定义时，要注意焦点和准线的同侧性．否则就会产生误解．

椭圆有两个定义，是从不同的角度反映椭圆的特征，解题时要灵活选择，运用自如．一般地，如遇到动点到两个定点的问题，用椭圆第一定义；如果遇到动点到定直线的距离问题，则用椭圆的第二定义．

典型例题十五

例15 设椭圆???==.sin 32,

cos 4ααy x (α为参数)上一点P 与x 轴正向所成角3

π=∠POx ，

求P 点坐标．

分析：利用参数α与POx ∠之间的关系求解．

解：设)sin 32,cos 4(ααP ，由P 与x 轴正向所成角为3π

， ∴αα

πcos 4sin 323tan =，即2tan =α．

而0sin >α，0cos >α，由此得到55

cos =α，55

2sin =α，

∴P 点坐标为)515

4,55

4(．

典型例题十六

例16 设),(00y x P 是离心率为e 的椭圆122

22

=+b y a x )0(>>b a 上的一点，P 到左

焦点1F 和右焦点2F 的距离分别为1r 和2r ，求证：01ex a r +=，02ex a r -=．

分析：本题考查椭圆的两个定义，利用椭圆第二定义，可将椭圆上点到焦点的距离转化为点到相应准线距离．

解：P 点到椭圆的左准线c a x l 2-=：的距离，c a x PQ 20+=，

由椭圆第二定义，e PQ PF =1

， ∴01ex a PQ e r +==，由椭圆第一定义，0122ex a r a r -=-=．

说明：本题求证的是椭圆的焦半径公式，在解决与椭圆的焦半径（或焦点弦）的有关问题时，有着广泛的应用．请写出椭圆焦点在y 轴上的焦半径公式．

典型例题十七

例17 已知椭圆1592

2=+y x 内有一点)1,1(A ，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，

点P 是椭圆上一点．

(1) 求1PF PA +的最大值、最小值及对应的点P 坐标；

(2) 求223

PF PA +的最小值及对应的点P 的坐标．

分析：本题考查椭圆中的最值问题，通常探求变量的最值有两种方法：一是目标函数当，即代数方法．二是数形结合，即几何方法．本题若按先建立目标函数，再求最值，则不易解决；若抓住椭圆的定义，转化目标，运用数形结合，就能简捷求解．

解：

(1)如上图，62=a ，)0,2(2F ，22=AF ，设P 是椭圆上任一点，由

6221==+a PF PF ，22AF PF PA -≥，∴26222211-=-=-+≥+AF a AF PF PF PF PA ，等号仅当22AF PF PA -=时成立，此时P 、A 、2F 共线． 由22AF PF PA +≤，∴26222211+=+=++≤+AF a AF PF PF PF PA ，等号仅当22AF PF PA +=时成立，此时P 、A 、2F 共线．

建立A 、2F 的直线方程02=-+y x ，解方程组???=+=-+4595,

0222y x y x 得两交点 )21415

75,2141579(1+-P 、)21415

75,2141579(2-+P ．

综上所述，P 点与1P 重合时，1PF PA +取最小值26-，P 点与2P 重合时，2PF PA +取最大值26+．

(2)如下图，设P 是椭圆上任一点，作PQ 垂直椭圆右准线，Q 为垂足，由3=a ，2=c ，∴32=e ．由椭圆第二定义知32

2

==e PQ PF ，∴223

PF PQ =，

∴PQ PA PF PA +=+223

，要使其和最小需有A 、P 、Q 共线，即求A 到右准线距离．右准线方程为29

=x ．

∴A 到右准线距离为27

．此时P 点纵坐标与A 点纵坐标相同为1，代入椭圆

得满足条件的点P 坐标)1,55

6(．

说明：求21

PF e PA +的最小值，就是用第二定义转化后，过A 向相应准线作

垂线段．巧用焦点半径2PF 与点准距PQ 互化是解决有关问题的重要手段．

典型例题十八

例18 (1)写出椭圆1492

2

=+y x 的参数方程；

(2)求椭圆内接矩形的最大面积．

分析：本题考查椭圆的参数方程及其应用．为简化运算和减少未知数的个数，常用椭圆的参数方程表示曲线上一点坐标，所求问题便化归为三角问题．

解：(1) ???==θθ

sin 2cos 3y x )(R ∈θ．

(2)设椭圆内接矩形面积为S ，由对称性知，矩形的邻边分别平行于x 轴和y 轴，设)sin 2,cos 3(θθ为矩形在第一象限的顶点，)20(π

<θ<，

则122sin 12sin 2cos 34≤=??=θθθS

故椭圆内接矩形的最大面积为12．

说明：通过椭圆参数方程，转化为三角函数的最值问题，一般地，与圆锥曲线有关的最值问题，用参数方程形式较简便．

典型例题十九

例19 已知1F ，2F 是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，且?=∠6021PF F ．

(1)求椭圆离心率的取值范围；

(2)求证21F PF ?的面积与椭圆短轴长有关．

分析：不失一般性，可以设椭圆方程为

122

22=+b y a x （0>>b a ），),(11y x P （01>y ）．

思路一：根据题设容易想到两条直线的夹角公式，即3160tan 1

21

2=+-=?PF PF PF PF K K K K ，设),(11y x P ，)0,(1c F -，)0,(2c F ，化简可得

03233212121=--+c cy y x ．又122

122

1

=+b y a x ，两方程联立消去2

1x 得

03234

12212=-+b cy b y c ，由],0(1b y ∈，可以确定离心率的取值范围；解出1y 可以求出21F PF ?的面积，但这一过程很繁． 思路二：利用焦半径公式11ex a PF +=，12ex a PF -=，在21F PF ?中运用余

弦定理，求1x ，再利用],[1a a x -∈，可以确定离心率e 的取值范围，将1x 代入椭圆方程中求1y ，便可求出21F PF ?的面积． 思路三：利用正弦定理、余弦定理，结合a PF PF 221=+求解．

解：(法1)设椭圆方程为122

22=+b y a x （0>>b a ），),(11y x P ，)0,(1c F -，)0,(2c F ，0>c ， 则11ex a PF +=，12ex a PF -=．

在21F PF ?中，由余弦定理得

))((24)()(2160cos 1

12

2

12

1ex a ex a c ex a ex a -+--++==?， 解得22

22134e a c x -=．

(1)∵],0(22

1a x ∈， ∴222

2340a e a c <-≤，即0422≥-a c ． ∴21

≥=a c

e ． 故椭圆离心率的取范围是)1,21

[∈e ．

(2)将2222134e a c x -=代入122

22=+b y a x 得

24

213c b y =，即c b y 32

1=． ∴2

2213332212121b c b c y F F S F PF =??=?=?．

即21F PF ?的面积只与椭圆的短轴长有关．

(法2)设m PF =1，n PF =2，α=∠12F PF ，β=∠21F PF ，

则?=+120βα．

(1)在21F PF ?中，由正弦定理得

?==60sin 2sin sin c

n

m

βα． ∴?=++60sin 2sin sin c

n

m βα

∵a n m 2=+， ∴?=+60sin 2sin sin 2c

a

βα， ∴2

cos 2sin 260sin sin sin 60sin βαβαβα-+?

=+?

==a c

e

21

2

cos 21≥-=βα．

当且仅当βα=时等号成立． 故椭圆离心率的取值范围是)1,21

[∈e ．

(2)在21F PF ?中，由余弦定理得：

?-+=60cos 2)2(222mn n m c

mn n m -+=22

mn n m 3)(2-+=

∵a n m 2=+，

∴mn a c 34422-=，即22234

)(34

b c a mn =-=． ∴233

60sin 21

21b mn S F PF =?=?．

即21F PF ?的面积与椭圆短轴长有关．

说明：椭圆上的一点P 与两个焦点1F ，2F 构成的三角形为椭圆的焦点三角形，涉及有关焦点三角形问题，通常运用三角形的边角关系定理．解题中通过变形，使之出现21PF PF +的结构，这样就可以应用椭圆的定义，从而可得到有关a ，c 的关系式，使问题找到解决思路．

典型例题二十

例20 椭圆122

22=+b y a x )0(>>b a 与x 轴正向交于点A ，若这个椭圆上总存在点

P ，使AP OP ⊥(O 为坐标原点)，求其离心率e 的取值范围．

分析：∵O 、A 为定点，P 为动点，可以P 点坐标作为参数，把AP OP ⊥，转化为P 点坐标的一个等量关系，再利用坐标的范围建立关于a 、b 、c 的一个不等式，转化为关于e 的不等式．为减少参数，易考虑运用椭圆参数方程．

解：设椭圆的参数方程是???==θθ

sin cos b y a x )0(>>b a ，

则椭圆上的点)sin ,cos (θθb a P ，)0,(a A ， ∵AP OP ⊥，∴1cos sin cos sin -=-?a a b a b θθ

θθ

，

即0cos cos )(22222=+--b a b a θθ，解得1cos =θ或222

cos b a b -=θ，

∵1cos 1<<-θ ∴1cos =θ（舍去），11222

<-<-b a b ，又222c a b -= ∴2022

<e ，又10<

<

(，求证在椭圆上总存在点P 使

AP OP ⊥．如何证明？