第12课时 等比数列的前n项和(1)

苏教版必修5教案学案 第2章 数列

第12课时 等比数列的

前n项和(1)

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学习要求

1．掌握用“错位相减”的方法推导等比数列的前n项和公式，掌握等比数列的前n项和公式

2．会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题

【自学评价】

1.等比数列｛an｝的前n项和为Sn

当q 1时，Sa1(1 qn)

n 1 q

①

或Sa1 anq

n

1 q

②

当q=1时，Sn na1

当已知a1, q, n 时用公式①； 当已知a1, q, an时，用公式②. 2.若数列｛an｝的前n项和Sn＝p(1－qn

)，且p≠0，q≠1，则数列｛an｝是等比数列.

【精典范例】

【例1】在等比数列｛an｝中，

（１）已知a1＝－4，q＝12，求S10； （２）已知a1＝１，ak＝243，

q＝3，求S

k．

【解】

（1

）根据等比数列的前ｎ项和公式，得

（2）根据等比数列的前ｎ项和公式，得

【例2】在等比数列｛an｝中，

S763

3 2,S6 2

，求an.

【解】若ｑ＝１，则Ｓ６＝２Ｓ３，这与已知

S7,S63

听课随笔

3 26

2

是矛盾的，

所以ｑ≠１．从

而

将上面两个等式的两边分别相除，得

所以ｑ＝２，由此可得a1

1

2

，因此

点评:等比数列中五个基本量a1、q、an、n、Sn，知三可求二.

【例3】在等比数列｛an｝中，a1+an=66,a2·an－1=128,且前n项和Sn=126,求n及公比q. 【解】 ∵a1an=a2an－1=128,又a1+an=66, ∴a1、an是方程x2－66x+128=0的两根， 解方程得x1=2,x2=64,

∴a1=2,an=64或a1=64,an=2,显然q≠1. 若a1=2,an=64,由

a1 anq

1 q

=126

得2－64q=126－126q, ∴q=2,

由aa－2n－

n=1qn1得1=32, ∴n=6.

若a1=64,an=2,同理可求得q=

1

2

,n=6. 综上所述，n的值为6，公比q=2或

12

. 点评:等比数列中五个基本量a1、q、an、n、Sn，知三可求二，列方程组是求解的常用方法.解本题的关键是利用a1an＝a2an－1，进而求出a1、an，要注意a1、an是两组解.

追踪训练一

1．某厂去年的产值记为１，计划在今后五年内每年的产值比上年增长１０％，则从今年起到第五年，这个厂的总产值为（Ｃ）． Ａ．1.14 Ｂ．1.15

Ｃ．11 (1.15 1) Ｄ．10 (1.16 1) 2．求下列等比数列的各项和： （１）１，３，９， ，2187； （２）１， 111

2，1

4

， 8， ， 512.

【答案】（1）3280；（2）

341

512

苏教版必修5教案学案 第2章 数列

3．等比数列｛an｝的各项都是正数，若a1＝81，a5＝16，则它的前5项和是（ B ） A.179 B.211 C.243 D.275 4．若等比数列｛an｝的前n项之和Sn=3n+a,则a等于（ D ） A.3 B.1 C.0 D.－1 5．已知等比数列的公比为2，若前4项之和等于1，则前8项之和等于（ B ） A.15 B.17 C.19 D.21

【选修延伸】

【例4】 an 是等比数列，Sn是其前n项

和，数列S

k,S2k Sk,S3k S2k （k N）是否仍成等比数列？ 【解】

设 an ,首项是a1，公比为q, ①当q=－1且k为偶数时，

Sk,S2k Sk,S3k S2k不是等比数列. ∵此时，Sk S2k Sk S3k S2k =0. 例如：数列1,－1,1,－1, 是公比为－1的等比数列，S2 S4 S2 S6 S4S2=0, ②当q≠－1或k为奇数时， Sk＝a1 a2 a3 ak 0

S＝qk

2k Sk(a1 a2 a3 ak) 0 S2k

3k S2k＝q(a1 a2 a3 ak) 0

Sk,S2k Sk,S3k S2k（k N ）成等

比数列

追踪训练二

1.在等比数列｛an｝中，Sn表示前n项和，若a3=2S2＋1，a4=2S3+1,则公比q等于（ A ）

A.3 B.－3 C.－1 D.1 2.等比数列｛an｝中，a3=7,前 3项之和S3=21, 则公比q的值为（ C ） A.1 B.－

1

2

C.1或－11

2 D.－1或2

3.在公比为整数的等比数列｛an｝中，已知

a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，那么a5＋a6＋a7＋a8等于（ A ）

A.480 B.493 C.495 D.498

4.在14与

7

8

之间插入n个数，使这n+2个数组成等比数列，若各项的和为77

8

,则此数

列的项数为（ B ）

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