2014年高考数学全程总复习课时提升作业五十五第八章第六节练习卷

2014年高考数学全程总复习课时提升作业五十五第八章第六节练习

卷（带解析）

一、选择题

1.若双曲线-=1的左焦点与抛物线y 2

=-8x 的焦点重合,则m 的值为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6

【答案】A

【解析】【思路点拨】实数m(m-2)>0还不足以确定m 的值,还要确定抛物线的焦点(双曲线的左焦点).

解:抛物线y 2=-8x 的焦点(-2,0)也是双曲线-

=1的左焦点,则c=2,a 2=m,b 2=m-2,m+m-2=4即m=3.

2.双曲线-y 2=1(n>1)的左、右两个焦点为F 1,F 2,P 在双曲线上,且满足|PF 1|+|PF 2|=2

,则△PF 1F 2的面积为( )

A ．

B ．1

C ．2

D ．4

【答案】B

【解析】不妨设点P 在双曲线的右支上,则

|PF 1|-|PF 2|=2,又|PF 1|+|PF 2|=2

, ∴|PF 1|=

+,|PF 2|=-, 又c=

, ∴|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2,

∴∠F 1PF 2=90°,

∴=|PF 1||PF 2|=1.

3.已知双曲线mx 2-ny 2=1(m>0,n>0)的离心率为2,则椭圆mx 2+ny 2=1的离心率为( )

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】B

【解析】由已知双曲线的离心率为2,得:

=2,

解得m=3n,又m>0,n>0,

∴m>n,即>,

故由椭圆mx 2+ny 2=1得+=1.

∴所求椭圆的离心率为e===.

【误区警示】本题极易造成误选而失分,根本原因是由于将椭圆mx 2+ny 2=1焦点所在位置弄错,

从而把a 求错造成

4.设双曲线的一个焦点为F,虚轴的一个端点为B,如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直,那么此双曲线的离心率为( )

A ．

B ．

C ．

D ． 【答案】D

【解析】因为焦点在x 轴上与焦点在y 轴上的离心率一样,所以不妨设双曲线方程为-

=1(a>0,b>0),则双曲线的渐近线的斜率k=±,一个焦点坐标为F(c,0),一个虚轴的端点为B(0,b),所以k FB =-,又因为直线FB 与双曲线的一条渐近线垂直,所以k·k FB =(-)=-1(k=-显然不符合),

即b 2=ac,c 2-a 2=ac,所以,c 2-a 2-ac=0,

即e 2-e-1=0,解得e=(负值舍去).

5.双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为2,则

的最小值为( ) A ． B ． C ．2 D ．1

【答案】A

【解析】因为双曲线的离心率为2,所以=2,

即c=2a,c 2=4a 2;

又因为c 2=a 2+b 2,所以a 2+b 2=4a 2,即b=a,

因此

==a+≥2=,当且仅当a=,即a=时等号成立. 故的最小值为.

6.如图,中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点,M, N 是双曲线的两顶点,若M,O,N 将椭圆长轴四等分,则双曲线与椭圆的离心率的比值是( )

A ．3

B ．2

C ．

D ．

【答案】B

【解析】设双曲线的方程为-=1(a 1>0,b 1>0),椭圆的方程

为+=1(a 2>0,b 2>0),

由于M,O,N 将椭圆长轴四等分,

所以a 2=2a 1,又e 1=,e 2=,所以==2.

7.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=x,则双曲线的离心率为( )

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】A

【解析】由已知得=,即3b=4a,

∴9b 2=16a 2?9(c 2-a 2)=16a 2

?=,

∴e==.

8.已知点F 1,F 2分别是双曲线-=1的左、右焦点,过F 1且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A,B

两点,若△ABF 2为锐角三角形,则该双曲线的离心率e 的取值范围是( )

A ．(1,1+)

B ．(1,)

C ．(+1,+∞)

D ．(-∞,1+)

【答案】A

【解析】如图,设A(-c,y 0)(y 0>0),

因为点A 在双曲线-=1上,

代入得-=1,

解得=b 2(-1)=,y 0=.

因为△ABF 2为锐角三角形,

所以0°<∠AF 2F 1<45°,

从而|AF 1|<|F 1F 2|,即<2c,b 2<2ac,

化简得c 2-2ac-a 2<0.

两边同除以a 2,得e 2-2e-1<0,

解得1-

又e>1,所以1

二、填空题

1.已知双曲线-=1的右焦点的坐标为(,0),则该双曲线的渐近线方程为_______.

【答案】2x±3y=0

【解析】∵右焦点坐标是(,0),

∴9+a=13,即a=4,

∴双曲线方程为-=1,

∴渐近线方程为±=0,即2x±3y=0.

2.过双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M,N两点,O为双曲

线的中心,·=0,则双曲线的离心率为.

【答案】

【解析】如图,由OM⊥ON,MN⊥x轴知,

MF=OF,即=c,

∴c2-a2=ac,∴e2-e-1=0,∵e>1,∴e=.

3.过双曲线的右焦点F作实轴所在直线的垂线,交双曲线于A,B两点,设双曲线的左顶点为M,若点M在以AB为直径的圆的内部,则此双曲线的离心率e的取值范围为.

【答案】(2,+∞)

【解析】【思路点拨】设出双曲线方程,表示出点F,A,B的坐标,由点M在圆内部列不等式求解.解：设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),右焦点F的坐标为(c,0),令A(c,),B(c,-),

所以以AB为直径的圆的方程为(x-c)2+y2=.

又点M(-a,0)在圆的内部,所以有(-a-c)2+0<,

即a+c

?e2-e-2>0(e=),解得e>2或e<-1.

又e>1,∴e>2.

三、解答题

1.已知双曲线的中心在原点,焦点F 1,F 2在坐标轴上,离心率为,且过点P(4,-

). (1)求双曲线的方程.

(2)若点M(3,m)在双曲线上,求证:

·=0. (3)求△F 1MF 2的面积.

【答案】(1) x 2-y 2=6 (2)见解析 (3)6

【解析】(1)∵e=,

∴可设双曲线方程为x 2-y 2=λ(λ≠0). ∵过点P(4,-),∴16-10=λ,即λ=6.

∴双曲线方程为x 2-y 2=6.

(2)方法一:由(1)可知,双曲线中a=b=, ∴c=2,∴F 1(-2,0),F 2(2,0).

∴

=,=,

·==-. ∵点M(3,m)在双曲线上,

∴9-m 2=6,m 2=3.

故

·=-1,∴MF 1⊥MF 2. ∴·=0.

方法二:∵

=(-3-2,-m), =(2-3,-m),

∴·=(3+2)×(3-2)+m 2=-3+m 2. ∵M(3,m)在双曲线上,

∴9-m 2=6,即m 2

-3=0.

∴·=0. (3)△F 1MF 2的底|F 1F 2|=4,

△F 1MF 2的边F 1F 2上的高h=|m|=,

∴=6.

2.P(x 0,y 0)(x 0≠±a)是双曲线E:-=1(a>0,b>0)上一点,M,N 分别是双曲线E 的左,右顶点,直线

PM,PN 的斜率之积为.

(1)求双曲线的离心率.

(2)过双曲线E 的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A,B 两点,O 为坐标原点,C 为双曲线上一点,满足=λ+,求λ的值.

【答案】(1) (2) λ=0或λ=-4

【解析】【思路点拨】(1)代入P 点坐标,利用斜率之积为列方程求解.

(2)联立方程,设出A,B,的坐标,代入=λ+求解.

解：(1)由点P(x 0,y 0)(x 0≠±a)在双曲线-=1上,有-=1.

由题意又有

·=, 可得a 2=5b 2,c 2=a 2+b 2=6b 2,则e==.

(2)联立方程得

得4x 2-10cx+35b 2=0,

设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),

则

设=(x 3,y 3),=λ

+, 即

又C 为双曲线E 上一点,即-5=5b 2,

有(λx 1+x 2)2-5(λy 1+y 2)2=5b 2

,

化简得:λ2(-5)+(-5)+2λ(x 1x 2-5y 1y 2)=5b 2,

又A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)在双曲线E 上,

所以-5=5b 2,-5=5b 2.

又x 1x 2-5y 1y 2=x 1x 2-5(x 1-c)(x 2-c)

=-4x 1x 2+5c(x 1+x 2)-5c 2=10b 2,

得:λ2+4λ=0,解出λ=0或λ=-4.

3.椭圆C 1:+=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A,B,点P 是双曲线C 2:-=1在第一象限内的图象

上一点,直线AP,BP 与椭圆C 1分别交于C,D 点,若S △ACD =S △PCD .

(1)求P 点的坐标.

(2)能否使直线CD过椭圆C

1的右焦点,若能,求出此时双曲线C

2

的离心率;若不能,请说明理由.

【答案】(1) P(2a,b) (2) 能， e'=，理由见解析

【解析】(1)设P(x,y)在双曲线上,则有b2x2-a2y2=a2b2①,∵A(-a,0),B(a,0),

∴PA的中点为C(,),

点C在椭圆上,代入椭圆方程,化简得

b2x2+a2y2-2ab2x=3a2b2②

①+②:2b2x2-2ab2x=4a2b2,

∴x2-ax-2a2=0,(x+a)(x-2a)=0.

∵P在双曲线右支上,∴x+a≠0,则x=2a.

代入①:a2y2=3a2b2,P在第一象限,

∴y>0,y=b,得P(2a,b).

(2)由P(2a,b)及B(a,0)得PB:y=(x-a).

代入椭圆方程:

b2x2+a2·(x2-2ax+a2)=a2b2,

∴4b2x2-6ab2x+2a2b2=0.

2x2-3ax+a2=0,(2x-a)(x-a)=0.

∵x

从而y=(-)=-b,

得D(,-b).同理可得C(,b).

C,D横坐标相同,知CD⊥x轴.

如CD过椭圆右焦点F

2

(c,0),∴c=,即a=2c,

从而b2=a2-c2=a2.设双曲线半焦距为c',

则c'2=a2+b2=a2,∴e'=.

于是直线CD可通过椭圆C

1的右焦点,此时双曲线C

2

的离心率为e'=.

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