2016讲弹性力学试题及答案1

2012年度弹性力学与有限元分析复习题及其答案

一、填空题

1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。

2、在弹性力学中规定，线应变以伸长时为正，缩短时为负，与正应力的正负号规定相适应。

3、在弹性力学中规定，切应变以直角变小时为正，变大时为负，与切应力的正负号规定相适应。 4、物体受外力以后，其内部将发生内力，它的集度称为应力。与物体的形变和材料强度直接有关的，是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量，也就是正应力和切应力。应力及其分量的量纲是L-1MT-2。

5、弹性力学的基本假定为连续性、完全弹性、均匀性、各向同性。 6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。

10、在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程。

11、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。

12、边界条件表示边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。

13、按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。 2、平面问题分为 和 。 平面应力问题 平面应变问题

6、在弹性力学中规定，切应变以 时为正， 时为负，与 的正负号规定相适应。

直角变小 变大 切应力

7、小孔口应力集中现象中有两个特点：一是 ，即孔附近的应力远大于远处的应力，或远大于无孔时的应力。二是 ，由于孔口存在而引起的应力扰动范围主要集中在距孔边1.5倍孔口尺寸的范围内。

孔附近的应力高度集中 , 应力集中的局部性

四、分析计算题

1、试写出无体力情况下平面问题的应力分量存在的必要条件，并考虑下列平面问题的应力分量是否可能在弹性体中存在。 （1）?x?Ax?By，?y?Cx?Dy，?xy?Ex?Fy； （2）?x?A(x2?y2)，?y?B(x2?y2)，?xy?Cxy；

1

其中，A，B，C，D，E，F为常数。

解：应力分量存在的必要条件是必须满足下列条件：（1）在区域内的平衡微分方程

???x??yx??0??x?y??2?2?；（2）在区域内的相容方程????x2??y2??????y?xy?0??x??y??（3）在边界上的应力???x??y??0；????l?x?m?yx?s?f边界条件????m?y?l?xy?s?fx?s?；（4）对于多连体的位移单值条件。 y?s?（1）此组应力分量满足相容方程。为了满足平衡微分方程，必须A=-F，D=-E。此外还应满足应力边界条件。

（2）为了满足相容方程，其系数必须满足A+B=0；为了满足平衡微分方程，其系数必须满足A=B=-C/2。上两式是矛盾的，因此，此组应力分量不可能存在。

2322、已知应力分量?x??Qxy2?C1x3，?y??3，Cxy???Cy?Cxy，体力不计，Q为2xy232常数。试利用平衡微分方程求系数C1，C2，C3。 解：将所给应力分量代入平衡微分方程

???x??yx??0??x?y? ????y???xy?0??x??y得

??Qy2?3C1x2?3C2y2?C3x2?0 ??3Cxy?2Cxy?023?即

??3C1?C3?x2??Q?3C2?y2?0 ???3C2?2C3?xy?0由x，y的任意性，得

?3C1?C3?0??Q?3C2?0 ?3C?2C?03?2由此解得，C1?QQQ，C2??，C3? 6324、试写出平面问题的应变分量存在的必要条件，并考虑下列平面问题的应变分量是否

可能存在。 （1）?x?Axy，?y?By3，?xy?C?Dy2；

2

（2）?x?Ay2，?y?Bx2y，?xy?Cxy； （3）?x?0，?y?0，?xy?Cxy； 其中，A，B，C，D为常数。

解：应变分量存在的必要条件是满足形变协调条件，即

22?2?x??y??xy?2? 2?x?y?y?x将以上应变分量代入上面的形变协调方程，可知：

（1）相容。

（2）2A?2By?C（1分）；这组应力分量若存在，则须满足：B=0，2A=C。 （3）0=C；这组应力分量若存在，则须满足：C=0，则?x?0，?y?0，?xy?0（1分）。 5、证明应力函数??by2能满足相容方程，并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题（体力不计，b?0）。

h/2 O h/2 l/2 y l/2 x 解：将应力函数??by2代入相容方程

?4??4??4??222?4?0 4?x?x?y?y可知，所给应力函数??by2能满足相容方程。

由于不计体力，对应的应力分量为

?2??2??2??0 ?x?2?2b，?y?2?0，?xy???x?x?y?y对于图示的矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时，根据边界条件，上下左右四

个边上的面力分别为：

h上边，y??，l?0，m??1，fx??(?xy)h?0，fy??(?y)h?0；

y??y??222h下边，y?，l?0，m?1，fx?(?xy)h?0，fy?(?y)h?0；

y?y?222

3

l

左边，x??，l??1，m?0，fx??(?x)l??2b，fy??(?xy)l?0；

x??x??222l右边，x?，l?1，m?0，fx?(?x)l?2b，fy?(?xy)l?0。

x?x?222可见，上下两边没有面力，而左右两边分别受有向左和向右的均布面力2b。因此，应力函数??by2能解决矩形板在x方向受均布拉力（b>0）和均布压力（b<0）的问题。 6、证明应力函数??axy能满足相容方程，并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题（体力不计，a?0）。

h/2 O h/2 l/2 y l/2 x 解：将应力函数??axy代入相容方程

?4??4??4??222?4?0 4?x?x?y?y可知，所给应力函数??axy能满足相容方程。

由于不计体力，对应的应力分量为

?2??2??2???a ?x?2?0，?y?2?0，?xy???x?x?y?y对于图示的矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时，根据边界条件，上下左右四

个边上的面力分别为：

h上边，y??，l?0，m??1，fx??(?xy)h?a，fy??(?y)h?0；

y??y??222h下边，y?，l?0，m?1，fx?(?xy)h??a，fy?(?y)h?0；

y?y?222l左边，x??，l??1，m?0，fx??(?x)l?0，fy??(?xy)l?a；

x??x??222l右边，x?，l?1，m?0，fx?(?x)l?0，fy?(?xy)l??a。

x?x?222

4

可见，在左右两边分别受有向下和向上的均布面力a，而在上下两边分别受有向右和向左的均布面力a。因此，应力函数??axy能解决矩形板受均布剪力的问题。 7、如图所示的矩形截面的长坚柱，密度为?，在一边侧面上受均布剪力，试求应力分量。

O x 解：根据结构的特点和受力情况，可以假定纵向纤维互不挤压，

b 即设?x?0。由此可知

q ?g ?2??x?2?0

?y 将上式对y积分两次，可得如下应力函数表达式

??x,y??f1(x)y?f2(x)

将上式代入应力函数所应满足的相容方程则可得

y d4f1(x)d4f2(x)y??0 44dxdx这是y的线性方程，但相容方程要求它有无数多的解（全柱内的y值都应该满足它），

可见它的系数和自由项都应该等于零，即

d4f1(x)d4f2(x)?0， ?0 44dxdx这两个方程要求

f1(x)?Ax3?Bx2?Cx?I， f2(x)?Dx3?Ex2?Jx?K

代入应力函数表达式，并略去对应力分量无影响的一次项和常数项后，便得

??y(Ax3?Bx2?Cx)?Dx3?Ex2

对应应力分量为

?2??x?2?0

?y?2??y?2?y(6Ax?2B)?6Dx?2E??gy

?x?2??xy????3Ax2?2Bx?C

?x?y以上常数可以根据边界条件确定。

左边，x?0，l??1，m?0，沿y方向无面力，所以有

?(?xy)x?0?C?0

5

右边，x?b，l?1，m?0，沿y方向的面力为q，所以有

(?xy)x?b??3Ab2?2Bb?q

上边，y?0，l?0，m??1，没有水平面力，这就要求?xy在这部分边界上合成的主矢量和主矩均为零，即

b?(?0b2xy)y?0dx?0

将?xy的表达式代入，并考虑到C=0，则有

?(?3Ax?2Bx)dx??Ax?Bx0b032b0??Ab3?Bb2?0

而?(?xy)y?0?0dx?0自然满足。又由于在这部分边界上没有垂直面力，这就要求?y在这部分边界上合成的主矢量和主矩均为零，即

?(?0by)y?0dx?0，

?(?0by)y?0xd?x0

将?y的表达式代入，则有

??由此可得

0b02(6Dx?2E)dx?3Dx2?2Exb0?3Db?2Eb?0

b32(6Dx?2E)xdx?2Dx3?Ex2b0?2Db?Eb?0

A??qqB?，，C?0，D?0，E?0 2bb应力分量为

?x?0, ?y?2q?1?3???gy, ?xy?q?3?2?

虽然上述结果并不严格满足上端面处（y=0）的边界条件，但按照圣维南原理，在稍远

离y=0处这一结果应是适用的。

9、如图所示三角形悬臂梁只受重力作用，而梁的密度为?，试用纯三次的应力函数求解。

O y?b?x?b?x?xb?b????x ?g y 解：纯三次的应力函数为

6

??ax3?bx2y?cxy2?dy3

相应的应力分量表达式为

?2??2??2???2bx?2cy ?x?2?xfx?2cx?6dy, ?y?2?yfy?6ax?2by??gy, ?xy???x?x?y?y这些应力分量是满足平衡微分方程和相容方程的。现在来考察，如果适当选择各个系数，

是否能满足应力边界条件。

上边，y?0，l?0，m??1，没有水平面力，所以有

?(?xy)y?0?2bx?0

对上端面的任意x值都应成立，可见

b?0

同时，该边界上没有竖直面力，所以有

?(?y)y?0?6ax?0

对上端面的任意x值都应成立，可见

a?0

因此，应力分量可以简化为

?x?2cx?6dy，?y???gy，?xy??2cy

?????斜面，y?xtan?，l?cos?????????sin?，m?cos?????cos?，没有面力，所以有

??2?????l?x?m?yx?y?xtan??0 ???m??l??0yxyy?xtan???由第一个方程，得

??2cx?6dxtan??sin??2cxtan?cos???4cxsin??6dxtan?sin??0

对斜面的任意x值都应成立，这就要求

?4c?6dtan??0

由第二个方程，得

2cxtan?sin???gxtan?cos??2cxtan?sin???gxsin??0

对斜面的任意x值都应成立，这就要求

2ctan???g?0（1分）

由此解得

11c??gcot?（1分），d???gcot2? 23从而应力分量为

?x??gxcot??2?gycot2?, ?y???gy, ?xy???gycot?

7

h设三角形悬臂梁的长为l，高为h，则tan??。根据力的平衡，固定端对梁的约束

l1反力沿x方向的分量为0，沿y方向的分量为??glh。因此，所求?x在这部分边界上

21合成的主矢应为零，?xy应当合成为反力??glh。

2222?????dy??glcot??2?gycot?dy??glhcot???ghcot??0 x?0x?l?0hh112??dy???gycot?dy???ghcot????glh xyx?l?0022可见，所求应力分量满足梁固定端的边界条件。

????hh10、设有楔形体如图所示，左面铅直，右面与铅直面成角?，下端作为无限长，承受重力及液体压力，楔形体的密度为?1，液体的密度为?2，试求应力分量。

O x ??解：采用半逆解法。首先应用量纲分析方法来假设应力分量的函数形式。取坐标轴如图所示。在楔形体的任意一点，每一个应力分量都将由两部分组成：一部分由重力引起，应当与?1g成正比（g是重力加速度）；另一

?2g??1g?部分由液体压力引起，应当与?2g成正比。此外，每一

y 部分还与?，x，y有关。由于应力的量纲是L-1MT-2，

?1g和?2g的量纲是L-2MT-2，?是量纲一的

量，而x和y的量纲是L，因此，如果应力分量具有多项式的解答，那么它们的表达式只可能是A?1gx，B?1gy，C?2gx，D?2gy四项的组合，而其中的A，B，C，D是量纲一的量，只与?有关。这就是说，各应力分量的表达式只可能是x和y的纯一次式。

其次，由应力函数与应力分量的关系式可知，应力函数比应力分量的长度量纲高二次，应该是x和y纯三次式，因此，假设

??ax3?bx2y?cxy2?dy3

相应的应力分量表达式为

?2??2??2???2bx?2cy ?x?2?xfx?2cx?6dy, ?y?2?yfy?6ax?2by??1gy, ?xy???x?x?y?y这些应力分量是满足平衡微分方程和相容方程的。现在来考察，如果适当选择各个系数，

是否能满足应力边界条件。

左面，x?0，l??1，m?0，作用有水平面力?2gy，所以有

?(?x)x?0??6dy??2gy

对左面的任意y值都应成立，可见

8

d???2g6

同时，该边界上没有竖直面力，所以有

?(?xy)x?0?2cy?0

对左面的任意y值都应成立，可见

c?0

因此，应力分量可以简化为

?x???2gy，?y?6ax?2by??1gy，?xy??2bx

???斜面，x?ytan?，l?cos?，m?cos??????sin?，没有面力，所以有

?2????l?x?m?yx?x?ytan??0 ???m??l??0yxyx?ytan???由第一个方程，得

??2gycos??2bytan?sin??0

对斜面的任意y值都应成立，这就要求

??2gcos??2btan?sin??0

由第二个方程，得

??6aytan??2by??1gy?sin??2bytan?cos????6atan?sin??4bsin???1gsin??y?0 对斜面的任意x值都应成立，这就要求

?6atan??4b??1g?0

由此解得

111a??1gcot???2gcot3?，b??2gcot2? 632从而应力分量为

?x???2gy, ?y???1gcot??2?2gcot3??x???2gcot2???1g?y, ?xy???2gxcot2?

1．图示半无限平面体在边界上受有两等值反向，间距为d的集中力作用，单位宽度上集中力的值为P，设间距d很小。试求其应力分量，并讨论所求解的适用范围。（提示：取应力函数为 ??Asin2??B?） （13分）

9

题三（1）图

解：?d很小，?M?Pd，可近似视为半平面体边界受一集中力偶M的情形。

将应力函数?(r,?)代入，可求得应力分量：

?2???1?2?14???2Asin2?； ???2?0； ?r?r?rr2??2?rr

?????r?????1??12(2Acos2??B)

?r?r???r（1）????0r?0 边界条件：

?0, ?r???0r?0?0； ?????r?0?0, ?r????r?0?0

代入应力分量式，有

1(2A?B)?0 或 2A?B?0 （1）

r2（2）取一半径为r 的半圆为脱离体，边界上受有：?r,?r?，和M = Pd

由该脱离体的平衡，得

????r2?r2?2d??M?0

将?r?代入并积分，有

???r2?21(2Acos2??B)r2d??M?0 2Asin2??B?2??2?M?0 得 B??M?0 （2）

联立式（1）、（2）求得：

B??M??Pd，A?Pd

??2?代入应力分量式，得

2??r???2Pdsin2?r；

???0； ?r?

22Pdsin????r2。

结果的适用性：由于在原点附近应用了圣维南原理，故此结果在原点附近误差较大，离原点较远处可适用。

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