2019秋金版学案高中数学必修5（人教A版）练习：1.2第1课时距离问题含解析

A级 基础巩固

一、选择题

1．学校体育馆的人字形屋架为等腰三角形，如图所示，测得AC的长度为4米，A＝30°，则其跨度AB的长为( )

A．12米

B．8米

C．33米 D．43米

解析：△ABC为等腰三角形，A＝30°， 所以B＝30°，C＝120°，

所以由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos C＝42＋42－2×4×4×

?1?

?－?＝48， ?2?

所以AB＝43. 答案：D

2.如图所示为起重机装置示意图．支杆BC＝10 m，吊杆AC＝15 m，吊索AB＝519 m，起吊的货物与岸的距离AD为( )

A．30 m C．153 m 解析：在△ABC中，

102＋（519）2－1527

cos ∠ABC＝＝，

2×10×519219

153

B. m

2D．45 m

∠ABC∈(0°，180°)， 所以sin∠ABC＝

?7?233

?＝1－?， ?219?219

所以在Rt△ABD中，

33153

AD＝AB·sin∠ABC＝519×＝(m)．

2219答案：B

3．甲骑电动自行车以24 km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔在电动车的北偏东30°方向上，15 min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是( )

A．6 km

B．33 km C．32 km D．3 km

1

解析：由题意知，AB＝24×＝6 (km)，

4∠BAS＝30°，∠ASB＝75°－30°＝45°.

ABsin∠BAS6sin 30°由正弦定理得BS＝＝＝32 (km)．

sin∠ASBsin 45°答案：C

4．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50°方向直线航行，30分钟后到达B处．在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南20°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是( )

A．102 海里 C．202 海里

B．103 海里 D．203 海里

解析：如图，由已知可得，∠BAC＝30°，∠ABC＝105°，AB＝20，从而∠ACB＝45°.在△ABC中，由正弦定理，得BC＝

AB

×sin 30°＝102. sin 45°

答案：A

5．两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于22 km，灯塔A在观察站C的北偏东30°，灯塔B在观察站C南偏东60°，则A、B之间的距离为( )

A．2 km C．4 km

B．3 km D．5 km

解析：如下图所示，∠ACB＝90°，又AC＝BC＝22， 在△ABC中由勾股定理得： AB＝AC2＋BC2＝8＋8＝4.

答案：C 二、填空题

6．一艘海轮以20 n mile/h的速度向正东方向航行，它在A点测得灯塔P在船的北偏东60°方向上，2 h后船到达B点时，测得灯塔P在船的北偏东45°方向上，则B点到灯塔P的距离为________n mile.

解析：由题可知，在△ABP中，AB＝40，∠PAB＝30°，∠ABP＝135°，所以∠BPA＝15°，

由正弦定理得

ABBP

＝， sin 15°sin 30°

140×

2AB·sin 30°

所以BP＝＝＝20(6＋2)．

sin 15°6－2

4答案：20(6＋2)

7．已知A，B，C三地，其中A，C两地被一个湖隔开，测得AB＝3 km，B＝45°，C＝30°，则A、C两地的距离为______km.

3ABACAC

解析：根据题意，由正弦定理可得＝，代入数值得＝，

sin Csin Bsin 30°sin 45°解得AC＝32.

答案：32

8.《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题，2018年超强台风“山竹”登陆时再现了这一现象(如图所示)，不少大树被大风折断．某路边一树干被台风吹断后(没有完全断开)，树干与地面成75°角，折断部分与地面成45°角，树干底部与树尖着地处相距10米，则大树原来的高度是________米(结果保留根号)．

解析：如图所示，设树干底部为O，树尖着地处为B，折断点为A，则∠AOB＝75°，∠ABO＝45°，所以∠OAB＝60°.

10AOAB

由正弦定理知，＝＝，

sin 45°sin 75°sin 60°152＋56106

所以OA＝，AB＝，

33所以OA＋AB＝52＋56. 答案：52＋56

三、解答题

9．要测量对岸两点A、B之间的距离，选取相距3 km的C、D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，求A、B之间的距离．

解：如图所示，在△ACD中，∠ACD＝120°，∠CAD＝∠ADC＝30°，

所以AC＝CD＝3 (km)．

在△BCD中，∠BCD＝45°，∠BDC＝75°，∠CBD＝60°， 3sin 75°6＋2

所以BC＝＝( km)．

sin 60°2在△ABC中，由余弦定理得

?6＋2?26＋2??AB＝(3)＋－23××cos 75°＝3＋2＋3－3＝5，

22??

2

2

所以AB＝5(km)．

所以A、B之间的距离为5 km.

10.如图所示，某观测站C在城A的南偏西20°的方向，从城A出发有一条走向为南偏东40°的公路，在C处观测到距离C处31 km的公路上的B处有一辆汽车正沿公路向A城驶去，行驶了20 km后到达D处，测得C，D两处的距离为21 km，这时此车距离A城多少千米？

解：在△BCD中，BC＝31 km，BD＝20 km，CD＝21 km， 由余弦定理得

BD2＋CD2－BC2202＋212－3121

cos∠BDC＝＝＝－. 2BD·CD72×20×21

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/gpgv.html