2022届河北省邯郸市高考一模数学(文)试题(解析版)

2020届河北省邯郸市高考一模数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合A＝{x|﹣3＜x＜4}，B＝{y|y＝10x}，则A∩B＝（）

A．?B．[0,4）C．（0,4）D．（﹣3,0）【答案】C

【解析】根据指数函数的值域，求得集合B，再根据集合交运算，即可求得结果. 【详解】

∵集合A＝{x|﹣3＜x＜4}，

B＝{y|y＝10x}＝{y|y＞0}，

∴A∩B＝（0,4）.

故选：C.

【点睛】

本题考查集合的交运算，涉及指数函数的值域，属基础题.

2．若复数z的虚部为3，且z z+=4，则z2＝（）

A．﹣5+12i B．5+12i C．﹣5﹣12i D．5﹣12i 【答案】A

【解析】由已知得到z的实部，进一步求得z，展开平方得答案.

【详解】

由z z

+=4，可知z的实部为2，则z＝2+3i，

∴z2＝（2+3i）2＝﹣5+12i.

故选：A.

【点睛】

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题.

3

．log=（）

A．1

4

B．

3

8

C．

1

3

D．

1

2

【答案】B

【解析】利用对数的性质和运算法则及换底公式求解. 【详解】

log

1

4

=log48

2

133

2

428

log

=??=，

故选：B.

第 1 页共 19 页

第 2 页 共 19 页 【点睛】

本题考查对数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数的性质、运算法则及换底公式的合理运用.

4．在平行四边形ABCD 中，若4CE ED =u u u r u u u r ，则BE =u u u r

（ ） A ．45AB AD -+u

u u r u u u r B ．45AB AD -u u u r u u u r C ．45AB AD -+u u u r u u u r D ．34

AB AD -+u u u r u u u r 【答案】A 【解析】由4,CE ED u u u r u u u r =得45

CE CD u u u r u u u r =，在BEC △中，利用向量加法可得. 【详解】

44,,5CE ED CE CD u u u r u u u r u u u r u u u r Q =∴= 4455

BE BC CE AD CD AB AD u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ∴=+=+=-+ 故选：A.

【点睛】

本题考查平面向量的线性运算.

用已知向量表示某一向量的两个关键点:

(1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．

(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量．

5．某校拟从甲、乙两名同学中选一人参加疫情知识问答竞赛，于是抽取了甲、乙两人最近同时参加校内竞赛的十次成绩，将统计情况绘制成如图所示的折线图.根据该折线图，下面结论正确的是（ ）

A ．甲、乙成绩的中位数均为7

B ．乙的成绩的平均分为6.8

第 3 页 共 19 页 C ．甲从第四次到第六次成绩的下降速率要大于乙从第四次到第五次的下降速率 D ．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差

【答案】D

【解析】在A 中，将乙十次的成绩从小到大排列，求出中位数为7.5；在B 中，求出乙的成绩的平均分为7；在C 中，从折线图可以看出甲第6次所对应的点与乙第4次和第5次所对应的点均在同一条直线上，故下降速率相同；在D 中，从折线图可以看出，乙的成绩比甲的成绩波动更大，甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差.

【详解】

在A 中，将乙十次的成绩从小到大排列，

为2，4，6，7，7，8，8，9，9，10， ∴中位数为

787.52

+=，故A 错误； 在B 中，乙的成绩的平均分为：110（2+4+6+7+7+8+8+9+9+10）＝7，故B 错误； 在C 中，从折线图可以看出甲第6次所对应的点与乙第4次和第5次所对应的点均在同一条直线上，

故下降速率相同，故C 错误；

在D 中，从折线图可以看出，乙的成绩比甲的成绩波动更大，

∴甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差，故D 正确.

故选：D.

【点睛】

本题考查命题真假的判断，考查中位数、平均数、折线图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

6．设a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边.已知

a =，c ＝3，tan （B 4π+）＝﹣3，则

b ＝（ ）

A

B ．7 C

D ．17 【答案】C

【解析】由tanB ＝tan [（B 4π+）4π-]可得tanB 的值，由B 在三角形中求出cosB 的值，由余弦定理可得b 的值.

【详解】

由tan （B 4

π+）＝﹣3

第 4 页 共 19 页 可得tanB ＝tan [（B 4π+）4π-]314413144tan B tan tan B tan ππππ??+- ?--??===-??++ ??

?2， 所以

cosB =，由

a =c ＝3， 由余弦定理可得

b == 故选：C.

【点睛】

本题考查角的转化及余弦定理的应用，涉及正切的和角公式，属综合中档题. 7．若双曲线mx 2+y 2＝1的离心率等于实轴长与虚轴长的乘积，则m ＝（ ） A ．15-

B ．﹣5

C ．115-

D ．﹣15 【答案】D

【解析】利用已知条件列出方程，转化求解即可.

【详解】

双曲线mx 2+y 2＝1的离心率等于实轴长与虚轴长的乘积，

可得实轴长：2，虚轴长为：

2=? 解得：m ＝﹣15.

故选：D.

【点睛】

本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题. 8．已知AB 是圆柱上底面的一条直径，C 是上底面圆周上异于A ，B 的一点，D 为下底面圆周上一点，且AD ⊥圆柱的底面，则必有（ ）

A ．平面ABC ⊥平面BCD

B ．平面BCD ⊥平面ACD

C ．平面AB

D ⊥平面ACD

D ．平面BCD ⊥平面ABD 【答案】B

【解析】根据题意，先证BC ⊥平面ACD ，即可由线面垂直推证面面垂直.

【详解】

因为AB 是圆柱上底面的一条直径，

第 5 页 共 19 页 所以AC BC ⊥，又AD ⊥圆柱的底面，所以AD BC ⊥，

因为AC AD A =I ，所以BC ⊥平面ACD .

又BC ?平面BCD ，所以平面BCD ⊥平面ACD .

故选：B .

【点睛】

本题考查由线线垂直推证面面垂直，属基础题.

9．已知x ，y 满足约束条件0262x y x y x y -≥??+≤??+≥?

，，，若实数λ满足y ＝λx +λ，则正数λ的取值范围

为（ ）

A ．23∞

??+????，

B ．203?? ???，

C ．12∞??+????，

D ．102?? ???

， 【答案】B 【解析】利用可行域，判断目标函数的最大值的最优解的位置，然后利用直线的斜率推出结果即可.

【详解】

x ，y 满足约束条件0262x y x y x y -≥??+≤??+≥?

，，，的可行域如图：

第 6 页 共 19 页 由26x y x y =??+=?

解得（2,2）； 又1y x λ=+

， 数形结合可知正数λ的最大值为：22213

=+， 所以实数λ满足y ＝λx +λ，则正数λ的取值范围为：（0,

23]. 故选：B.

【点睛】

本题考查斜率型目标函数的值域问题，是中档题.

10．直线l 经过抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点F 且与C 交于A ，B 两点，l 与C 的准线交于点D .若4BD BF =-u u u r u u u r

，则l 的斜率为（ ）

A ．±2

B ．10±

C ．±4

D ．15± 【答案】D

【解析】画出图形，求解直线的斜率，通过转化求解三角形角的正切函数值即可.

【详解】

当B 点位于第四象限时，过B 作BE 垂直准线，垂足为E ，

则|BF |＝|BE |，又4BD BF =-u u u r u u u r ，所以|BD |＝4|BE |，

所以tan ∠DBE 15=l 15同理，当B 点位于第一象限，解得斜率为15综上所述：直线l 的斜率为15故选：D.

【点睛】

本题考查直线与抛物线的位置关系，抛物线的简单性质，特别是焦点弦问题，解题时要

善于运用抛物线的定义解决问题，属于中档题.

11．已知函数

241,0,

()

22,0,

x

x x x

f x

x

-

?--+

=?

->

?

?

若关于x的方程(()2)(())0

f

x f x m

--=

恰有5个不同的实根，则m的取值范围为（）

A．(1,2)B．(2,5){1}

?C．{1,5}D．[2,5){1}

?

【答案】D

【解析】作出分段函数的图象，由[()2][()]0

f x f x m

--=得()2

f x=或

()

f x m

=，由图可得方程()

f x m

=有2个实根.求出m的取值范围.

【详解】

由[()2][()]0

f x f x m

--=，得()2

f x=或()

f x m

=，作出()

y f x

=的图象，如图所示，由图可知，方程()2

f x=有3个实根，故方程()

f x m

=有2个实根，故m的取值范围为[2,5){1}

?.

故选：D

【点睛】

利用函数图象可以解决很多与函数有关的问题，如利用函数的图象解决函数性质问题，函数的零点、方程根的问题，有关不等式的问题等.解决上述问题的关键是根据题意画出相应函数的图象，利用数形结合思想求解.

12．已知定义域为R的函数()

f x满足

11

(),()40

22

f f x x

'

=+>，其中()

f x

'为()

f x的导函数，则不等式(sin)cos20

f x x

-…的解集为（）

A．[2,2],

33

k k k Z

ππ

ππ

-++∈B．[2,2],

66

k k k Z

ππ

ππ

-++∈

C．

2

[2,2],

33

k k k Z

ππ

ππ

++∈D．

5

[2,2],

66

k k k Z

ππ

ππ

++∈

【答案】D

【解析】构造函数2

()()21

g x f x x

=+-，由题知()()40

g x f x x

''

=+>得到()

g x在

第 7 页共 19 页

第 8 页 共 19 页 R 上单调递增， (sin )cos 20f x x -…等价于1(sin )()2

g x g …，利用单调性可解. 【详解】

令2()()21g x f x x =+-，则()()40g x f x x ''=+>，故()g x 在R 上单调递增.又

2(sin )cos 2(sin )2sin 1f x x f x x -=+-，且1()02

g =，故原不等式可转化为1(sin )()2

g x g …，所以1sin 2x …，解得522,66k x k k ππππ++∈Z 剟. 故选：D.

【点睛】

利用导数比较大小或解不等式的常用技巧

利用题目条件，构造辅助函数，把比较大小或求解不等式的问题转化为先利用导数研究函数的单调性问题，再由单调性比较大小或解不等式．常见构造的辅助函数形式有：

(1)()()()()()f x g x F x f x g x >?＝－ )；(2)()

()[()]xf x f x xf x ； (3)()()()

[]f x xf x f x x ；(4)()+()[()]x f x f x e f x ；(5) ()()()[]x f x f x f x e .

二、填空题 13．小周今年暑假打算带父母去国外旅游，他决定从日本、泰国、法国、加拿大、韩国、墨西哥、英国这7个国家中随机选取1个国家，则他去旅游的国家来自亚洲的概率为___________.

【答案】37 【解析】找出7个国家中的亚洲国家，由古典概型的概率计算公式，即可求得结果.

【详解】

这7个国家中是亚洲国家的有日本、泰国、韩国，故所求概率为

37. 故答案为：

37. 【点睛】

本题考查简单古典概型问题的求解，属基础题.

14．在等比数列{a n }中，a 1+a 3＝9（a 2+a 4），则公比q ＝_____.

【答案】19

【解析】根据等比数列的定义与性质，即可求出公比q 的值.

第 9 页 共 19 页 【详解】

等比数列{a n }中，a 1+a 3＝9（a 2+a 4），

且a 2+a 4＝q （a 1+a 3），

所以9q ＝1，解得q 19=

. 故答案为：

19. 【点睛】

本题考查了等比数列的定义与性质应用问题，是基础题.

15．已知函数()222a f x sin x cos x =+的图象关于直线12x π=对称，则4f π??= ???

_____.

【解析】由题意利用三角函数的图象对称性的性质，求得f （

4π）的值. 【详解】

∵函数()222a f x sin x cos x =+的周期为π，它的图象关于直线12

x π=对称， ∴f （0）＝f （6π）＝

112=+，∴

a =， ∴f （4π

）23

a ==，

. 【点睛】

本题主要考查三角函数的图象对称性的性质，属于中档题.

16．已知三棱锥P ﹣ABC 每对异面的棱长度都相等，且△ABC

，3，4，则三棱锥P ﹣ABC 外接球的体积为_____.

【答案】

【解析】

4，，设该长方体的长、宽、高分别为a 、b 、c ，可以求出a 2+b 2+c 2＝18，从而确定外接球的直径，进而得到外接球的体积.

【详解】

第 10 页 共 19 页 ∵三棱锥P ﹣ABC 每对异面的棱长度都相等， ∴该三棱锥可以补成一个长方体，且该长方体各面上的对角线长分别为

1134，，，

设该长方体的长、宽、高分别为a 、b 、c ，

且不妨假设22211)11a b +==，b 2+c 2＝32＝9，a 2+c 2＝42＝16，

∴a 2+b 2+c 2＝18， 22232a b c ++= ∴外接球的体积为3432(9232

ππ?=. 故答案为：92π.

【点睛】

本题考查球的体积的计算，将三棱锥补成长方体是解题的关键，考查学生的空间立体感和运算能力，属于中档题.

三、解答题

17．在数列{a n }，{b n }中，a n ＝b n +n ，b n ＝﹣a n +1.

（1）证明：数列{a n +3b n }是等差数列.

（2）求数列32n n n a b +??????

的前n 项和S n . 【答案】（1）证明见解析；（2）S n 2n

n = 【解析】（1）可将b n ＝﹣a n +1代入a n ＝b n +n 计算可得数列{a n }的通项公式，然后根据b n ＝﹣a n +1可得数列{b n }的通项公式，即可计算出数列{a n +3b n }的通项公式，再根据等差数列的定义法可证明数列{a n +3b n }是等差数列；

（2）先根据（1）的结果计算出数列32n n n a b +??????

的通项公式，然后根据通项公式的特

第 11 页 共 19 页 点可采用错位相减法计算出前n 项和S n .

【详解】

（1）证明：由题意，将b n ＝﹣a n +1代入a n ＝b n +n ，可得

a n ＝

b n +n ＝﹣a n +1+n ，即2a n ＝n +1，

∴a n 12

n +=

，n ∈N ， ∴b n ＝﹣a n +112n +=-+112

n -=，n ∈N ， ∴a n +3b n 12n +=+3?12n -=2﹣n ， ∵（a n +1+3b n +1）﹣（a n +3b n ）＝2﹣（n +1）﹣（2﹣n ）＝﹣1，

∴数列{a n +3b n }是以﹣1为公差的等差数列.

（2）由（1）知，

3222

n n n n a b n +-=， 则S n 331

122123233333101222222222

n n n n a b a b a b a b n ++++--=++++=++++L L ， ∴12S n 23411013222222n n n n +---=+++++L ， 两式相减，可得

12S n 2311111222222

n n n +----=++++-L 12=

-（23111222n +++L ）122

n n +-- 211111222212212

n n n +-?-=--- 12

n n +=， ∴S n 2n n =. 【点睛】

本题主要考查数列求通项公式，等差数列的判别，以及运用错位相减法求和的问题，考查了转化与化归思想，整体思想，逻辑思维能力和数学运算能力，本题属中档题. 18．如图，正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的每条棱的长度都相等，D ，F 分别是棱A 1B 1，BC 的中点，E 是棱B 1C 1上一点，且DE ∥平面A 1BC 1.

第 12 页 共 19 页

（1）证明：CE ∥平面AB 1F .

（2）求四棱锥A ﹣B 1FCE 的体积与三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积之比.

【答案】（1）证明见解析；（2）13

【解析】（1）推导出DE ∥A 1C 1，从而E 是B 1C 1的中点，进而B 1E ∥FC ，B 1E ＝FC ，四边形EB 1FC 是平行四边形，CE ∥B 1F ，由此能证明CE ∥平面AB 1F .

（2）推导出AF ⊥BC ，BB 1⊥AF ，从而AF ⊥平面BCC 1B 1，由此能求出四棱锥A ﹣B 1FCE

的体积与三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积之比.

【详解】

（1）证明：∵DE ?平面A 1B 1C 1，平面A 1B 1C 1∩平面A 1BC 1＝A 1C 1， DE ∥平面A 1BC 1，

∴DE ∥A 1C 1，

∵D 是棱A 1B 1的中点，∴E 是B 1C 1的中点，

又F 是棱BC 的中点，∴B 1E ∥FC ，B 1E ＝FC ， ∴四边形EB 1FC 是平行四边形，∴CE ∥B 1F ， ∵B 1F ?平面AB 1F ，CE ?平面AB 1F ，

∴CE ∥平面AB 1F .

（2）∵F 是棱BC 的中点，∴AF ⊥BC ，

∵BB 1⊥底面ABC ，∴BB 1⊥AF ，

∵BB 1∩BC ＝B ，∴AF ⊥平面BCC 1B 1，

设BC ＝2a ，则AF 3a =，

四棱锥A ﹣B 1FCE 的体积为：

V 12311233(2)32a a =??=. 三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积为：

V

2

23

(2)2

4

a a

=?=.

∴四棱锥A﹣B1FCE的体积与三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积之比为：

1 21 3

V

V

=.

【点睛】

本题考查线面平行的证明，考查四棱锥与三棱柱的体积的比值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

19．某总公司在A，B两地分别有甲、乙两个下属公司同种新能源产品（这两个公司每天都固定生产50件产品），所生产的产品均在本地销售.产品进人市场之前需要对产品进行性能检测，得分低于80分的定为次品，需要返厂再加工；得分不低于80分的定为正品，可以进人市场.检测员统计了甲、乙两个下属公司100天的生产情况及每件产品盈利亏损情况，数据如表所示：

表1

表2

表3

第 13 页共 19 页

（1）分别求甲、乙两个公司这100天生产的产品的正品率（用百分数表示）.

（2）试问甲、乙两个公司这100天生产的产品的总利润哪个更大？说明理由.

（3）若以甲公司这100天中每天产品利润总和对应的频率作为概率，从甲公司这100天随机抽取1天，记这天产品利润总和为X，求X的分布列及其数学期望.

【答案】（1）甲公司这100天生产的产品的正品率为：88%，乙公司这100天生产的产品的正率为：79%；（2）乙公司这100天生产的产品的总利润更大；详见解析；（3）分布列见详解，数学期望为70万元.

【解析】（1）计算正品数与产品总数的比值即可；

（2）分别计算利润，比较即可；

（3）计算X（单位：万元）的可能取值为100，50，﹣150的概率，由期望的定义可得答案.

【详解】

（1）甲公司这100天生产的产品的正品率为：50804010

50100

?+?

=

?

88%，

乙公司这100天生产的产品的正率为：50704510

100

?+?

=79%.

（2）乙公司这100天生产的产品的总利润更大

理由如下：

甲公司这100天生产的产品的总利润为（50×80+40×10）×2+（50×100﹣50×80﹣40×10）×（﹣3）＝7000（万元），

乙公司这100天生产的产品的总利润为（50×70+45×10）×3+（50×100﹣50×70﹣45×10）×（﹣3.5）＝8175（万元），

因为7000万＜8175万，所以乙公司这100天生产的产品的总利润更大，

（3）X（单位：万元）的可能取值为100，50，﹣150，

P（X＝100）

80

100

==0.8.

P（X＝50）

10

100

==0.1，

P（X＝150）

10

100

==0.1，

则X的分布列为

第 14 页共 19 页

第 15 页 共 19 页 故EX ＝100×0.8+50×0.1+（﹣150）×0.1＝70（万元），

【点睛】

本题考查离散型随机变量的期望和方差，考查计算能力，属于中档题.

20．已知函数3()x f x x e =.

（1）求()f x 的单调区间；

（2）若不等式2

()f x mx …对x ∈R 恒成立，求m 的取值范围. 【答案】（1）单调递增区间为[3,)-+∞，单调递减区间为(,3)-∞-；（2）1,e ∞??-- ???

【解析】（1）求函数求导，根据导数的正负，即可容易求得函数单调性； （2）分离参数，构造函数()x

g x xe =，利用导数求其最值，则问题得解. 【详解】

（1）232()3e e e (3)x x x f x x x x x '=+=+，

令()0f x '≥，得3x ≥-，

则()f x 的单调递增区间为[3,)-+∞；

令()0f x '<，得3x <-，

则()f x 的单调递减区间为(,3)-∞-.

综上所述：()f x 的单调递增区间为[3,)-+∞，单调递减区间为(,3)-∞-.

（2）当0x =时，不等式2()f x mx …

即0x …，显然成立. 当0x ≠时，不等式2()f x mx …

对x ∈R 恒成立，等价于x m xe ?对x ∈R 恒成立. 设()(0),()(1)x x g x xe x g x x e '=≠=+，

令()0g x '<，得1x <-；

令()0g x '>，得1x >-且0x ≠. 所以min 1()(1)g x g e =-=-. 所以1m e -

?，即m 的取值范围为1,e ∞??-- ???. 【点睛】

本题考查具体函数单调区间的求解，利用导数由恒成立问题求参数范围，属综合基础题.

第 16 页 共 19 页 21．已知椭圆2

212

x C y ：+=的右焦点为F ，直线l 与C 交于M ，N 两点. （1）若l 过点F ，点M ，N 到直线y ＝2的距离分别为d 1，d 2，且12143d d +=，求l 的方程；

（2）若点M 的坐标为（0，1），直线m 过点M 交C 于另一点N ′，当直线l 与m 的斜率之和为2时，证明：直线NN ′过定点.

【答案】（1）x ﹣y ﹣1＝0或x ﹣2y ﹣1＝0（2）证明见解析；

【解析】（1）由若l 过椭圆的右焦点F （1,0），设直线l 的方程为x ＝my +1，联立直线与椭圆方程，消去x ，得交点M ，N 的纵坐标关系，因为点M ，N 到直线y ＝2的距离分别为d 1，d 2，则d 1+d 2＝2﹣y M +2﹣y N ＝4﹣（y M +y N ）143

=

，转化为m 的方程，求得m 即可.

（2）分类讨论，当直线NN '的斜率不存在和存在两种情况，设出直线方程，联立直线与椭圆的方程，消去一个变量，由韦达定理得出N ，N '的坐标的关系式，再由当直线l 与m 的斜率之和为2，列出方程，求出直线方程，即可得直线NN '过定点（﹣1,﹣1）.

【详解】

（1）易知F （1,0），设直线l 的方程为x ＝my +1， 由22112

x my x y =+???+=??得（m 2+2）y 2+2my ﹣1＝0.则y M +y N 222m m =-+. 因为d 1+d 2＝2﹣y M +2﹣y N ＝4﹣（y M +y N ）＝4221423m m +

=+. 所以m ＝1或m ＝2.

故l 的方程为x ﹣y ﹣1＝0或x ﹣2y ﹣1＝0.

（2）证明：当直线NN '的斜率不存在时，设N （x 0,y 0），则N '（x 0,﹣y 0）. 由k l +k m ＝2，得0000

11y y x x ---+=2，解得x 0＝﹣1. 当直线NN '的斜率存在时，

设直线NN '的方程为y ＝kx +t （t ≠1），N （x 1,y 1），N '（x 2,y 2）. 由2212

y kx t x y =+???+=??得（1+2k 2）x 2+4ktx +2t 2﹣2＝0. 所以x 1+x 22412kt k =-+，x 1x 222

2212t k -=+；

第 17 页 共 19 页 因为k l +k m ＝2. 所以

()()21121212121111kx t x kx t x y y x x x x +-++---+==2k ()()1212

1t x x x x -++=2k 22(1)1t kt t --=-2k 21

kt t -=+ 2. 所以t ＝k ﹣1，所以直线NN '的方程为y ＝kx +k ﹣1，即y +1＝k （x +1）.

故直线NN '过定点（﹣1,﹣1）.

综上，直线NN '过定点（﹣1,﹣1）.

【点睛】

本题考查了直线与椭圆的位置关系，考查了分类讨论的思想方法，转化的思想，方程思想以及运算能力，属于中档题.

22．在直角坐标系xOy 中，曲线:|3|C y k x =-.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线E 的极坐标方程为27

6(cos 2sin )ρθθρ+=+.

（1）求E 的直角坐标方程（化为标准方程）；

（2）若曲线E 与C 恰有4个公共点，求k 的取值范围.

【答案】（1）22(3)(6)18x y -+-=；（2）(1,)+∞

【解析】（1）化简27

6(cos 2sin )ρθθρ+=+为26cos 12sin 270ρρθρθ--+=再

用极直互化公式求解直角坐标方程.

（2）:|3|C y k x =-图象是关于直线3x =对称，曲线E 与C 恰有4个公共点等价于3x …时，曲线C ：3y kx k =-与圆有两个交点，则利用圆心到直线的距离小于半径求出k 范围.

【详解】

解：（1）27

6(cos 2sin )ρθθρ+=+Q ，

26cos 12sin 270ρρθρθ∴--+=.

22cos ,sin ,612270x y x y x y ρθρθ==∴+--+=Q ，

E ∴的直角坐标方程为22(3)(6)18x y -+-=.

第 18 页 共 19 页 （2）易知曲线C 过定点(3,0)M ，其图象是关于直线3x =对称的“V ”字形， 又曲线E 为以(3,6)

为圆心，

0k ∴>.

当3x …

时，曲线C 的方程为3y kx k =-，即30kx y k --=， 则圆心(3,6)

到直线的距离d ==<

解得21k >，

又0k >，故k 的取值范围为(1,)+∞.

【点睛】

本题考查极坐标方程直角坐标方程相互转换及利用两曲线有公共点，求参数的取值范围.

（1）直角坐标方程化为极坐标方程只需将直角坐标方程中的,x y 分别用cos ρθ，sin ρθ代替即可得到相应极坐标方程．（2）直接求解，能达到化繁为简的解题目的；如果几何关系不容易通过极坐标表示时，可以先化为直角坐标方程，将不熟悉的问题转化为熟悉的问题加以解决.

23．已知函数()|25||21|f x x x =--+.

（1）求不等式()1f x >的解集；

（2）若不等式，()|42||||4|f x x t m t m ++>--++对任意x ∈R ，任意t R ∈恒成立，求m 的取值范围.

【答案】（1）3,4??-∞ ??

?；（2）(,1)-∞ 【解析】(1) 利用零点分区间法去掉绝对值符号分组讨论求求并集

()2不等式等价变形，由三角不等式()|25||21|6h x x x =-++≥，

|||4||(4)||4|t m t m t m t m m m --++--++=++?得到6|4|m m >++求解

【详解】

解：（1）不等式()1f x >等价于1,261x ?-???>??或15,22441x x ?-<?或5,261,

x ????->?…

第 19 页 共 19 页 即12

x -?或1324x -<< 所以不等式()1f x >的解集为3,

4?

?-∞ ???. （2）()|42||||4|f x x t m t m ++>--++等价于

|25||21||||4|x x t m t m -++>--++.

令()|25||21|h x x x =-++，则()|25(21)|6h x x x --+=…，

所以min ()6h x =.

而|||4||(4)||4|t m t m t m t m m m --++--++=++?，

所以6|4|m m >++，

所以646m m m -<+<-，解得1m <，即m 的取值范围为(,1)-∞.

【点睛】

本题考查含有两个绝对值符号的不等式解法及利用三角不等式解恒成立问题. （1）含有两个绝对值符号的不等式常用解法可用零点分区间法去掉绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解（2）利用三角不等式

a b a b a b １?－＋把不等式恒成立问题转化为函数最值问题.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/gpgl.html