《大学物理教程习题答案》上海交通大学出版社

大学物理教程上海交通大学课后习题参考答案 唯独泡泡

习题1

1-1．已知质点位矢随时间变化的函数形式为r=R(cosωti?sinωtj) 其中?为常量．求：（1）质点的轨道；(2)速度和速率。

解：(1) 由r=R(cosωti?sinωtj)，知：x?Rcos?t ，y?Rsin?t

消去t可得轨道方程：x?y?R

∴质点的轨道为圆心在（0，0）处，半径为R的圆；

（2）由v?222dr，有速度：v???Rsin?ti??Rcos?tj dt12而v?v，有速率：v?[(??Rsin?t)2?(?Rcos?t)2]??R。

21-2．已知质点位矢随时间变化的函数形式为r?4ti?(3?2t)j，式中r的单位为m，t的单位为s。求：（1）质点的轨道；（2）从t?0到t?1秒的位移；（3）t?0和t?1秒两时刻的速度。 解：（1）由r?4ti?(3?2t)j，可知x?4t ，y?3?2t

2 消去t得轨道方程为：x?(y?3)，∴质点的轨道为抛物线。

22（2）由v?dr，有速度：v?8ti?2j dt从t?0到t?1秒的位移为：?r??vdt??(8ti?2j)dt?4i?2j

0011（3）t?0和t?1秒两时刻的速度为：v(0)?2j，v(1)?8i?2j 。

21-3．已知质点位矢随时间变化的函数形式为r?ti?2tj，式中r的单位为m，t的单位为s.求：（1）任一时刻的速度和加速度；（2）任一时刻的切向加速度和法向加速度。 解：(1)由v?drdv，有：v?2ti?2j，a?，有：a?2i； dtdt12（2）而v?v，有速率：v?[(2t)2?22]∴at??2t2?1 a2?at2?2t?12dv?dt2tt?12222，利用a?at?an有： an?。

1-4．一升降机以加速度a上升，在上升过程中有一螺钉从天花板上松落，升降机的天花板与底板相距为d，求螺钉从天花板落到底板上所需的时间。

解法一：以地面为参照系，坐标如图，设同一时间内螺钉下落的距离为y1，升降机上升的高度为y2，运动方程分别为

12gt （1） 212 y2?v0t?at （2）

2 y1?y2?d （3）

y1?v0t?（注意到y1为负值，有y1??y1） 联立求解，有：t?2d。

g?a2d。 g?a解法二：以升降机为非惯性参照系，则重力加速度修正为g'?g?a， 利用d?12dg't2，有：t??g'2第 1 页 共 91 页

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1-5．一质量为m的小球在高度h处以初速度v0水平抛出，求：

（1）小球的运动方程；

（2）小球在落地之前的轨迹方程； （3）落地前瞬时小球的

yhv0drdvdv，，。 dtdtdt解：（1）如图，可建立平抛运动学方程：

x1212Ox?v0t ，y?h?gt ，∴r?v0ti?(h?gt)j；

22gx2（2）联立上面两式，消去t得小球轨迹方程：y??2?h（为抛物线方程）；

2v0dr12?v0i?gtj， （3）∵r?v0ti?(h?gt)j，∴dt2dv??gj 即：v?v0i?gtj，dt在落地瞬时，有：t?又∵ v?2x2ydr2h?v0i?2ghj ，∴dtg202g2ghg2tdv 。 v?v?v?(?gt)，∴??2dt[v2?(gt)2]12v?2gh00

1-6．路灯距地面的高度为h1，一身高为h2的人在路灯下以匀速v1沿直线行走。试证明人影的顶端作匀速运动，并求其速度v2.

证明：设人向路灯行走，t时刻人影中头的坐标为x1，足的坐标为x2， 由相似三角形关系可得：∴x1?x1?x2h2?， x1h1h2x1x2h1x2

h1?h2h1Odx1h1dx2dx2??v1， ，考虑到：dth1?h2dtdtdx2h1?v1（常数）知人影中头的速度：v影?。 dth1?h2两边对时间求导有：

21-7．一质点沿直线运动，其运动方程为x?2?4t?2t(m)，在 t从0秒到3秒的时间间隔内，则质点走过的路程为多少？

解：由于是求质点通过的路程，所以可考虑在0~3s的时间间隔内，质点速度为0的位置：

v?dx?4?4t 若v?0 解得 t?1s， dt?x1?x1?x0?(2?4?2)?2?2m

?x3?x3?x1?(2?4?3?2?32)?(2?4?2)??8m

?x??x1??x2?10m。

?1-8．一弹性球直落在一斜面上，下落高度h?20cm，斜面对水平的倾角??30，问它第二次碰到斜面的位置距原来的下落点多远(假设小球碰斜面前后速度数值相等，碰撞时人射角等于反射角)。

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解：小球落地时速度为v0? 2gh，建立沿斜面的直角坐标系，以小球第一次落地点为坐标原点如图示，

1vx0?v0cos600→ x?v0cos600t?gcos600t2 （1）

21vy0?v0sin600→ y?v0sin600t?gsin600t2 （2）

22v0第二次落地时：y?0，代入（2）式得：t?，

g22v012?2gh002??4h?80cm。 所以：x?v0cos60t?gcos60t?2gg

1-9．地球的自转角速度最大增加到若干倍时，赤道上的物体仍能保持在地球上而不致离开地球?已知现在赤道上物体的向心加速度约为3.4cm/s，设赤道上重力加速度为9.80m/s。

2解：由向心力公式：F， 向?m?R22赤道上的物体仍能保持在地球必须满足：F向?mg，而现在赤道上物体的向心力为：F'向?ma ∴

?mgg980????16.98?17 ?0maa3.4

1-10．已知子弹的轨迹为抛物线，初速为v0，并且v0与水平面的夹角为?。试分别求出抛物线顶点及落地点的曲率半径。 解：（1）抛物线顶点处子弹的速度vx?v0cos?，顶点处切向加速度为0，法向加速度为g。 因此有：g?v2?12v0cos2?； ?1?g2v0?(v0cos?)2?1，

yv0vx?ganx?v0g（2）在落地点时子弹的v0，由抛物线对称性，知法向加速度方向与竖直方向成?角，则：an?gcos?，

2v0有：gcos?? 则： ?2?。

?2gcos?1-11．一飞行火箭的运动学方程为x?ut?u(?t)ln(1?bt)，其中b是与燃料燃烧速率有关的量，u为燃气相对火箭的喷射速度。求：

（1）火箭飞行速度与时间的关系；（2）火箭的加速度。 解：一维运动，直接利用公式：v?1bdxdv，a?有： dtdtdxdvub??uln(1?bt) ， （2）a??（1）v? dtdt1?bt

1-12．飞机以v0?100m/s的速度沿水平直线飞行，在离地面高h?98m时，驾驶员要把物品投到前方某一地面目标上，问：投放物品时，驾驶员看目标的视线和竖直线应成什么角度?此时目标距飞机下方地点

y多远?

解：设此时飞机距目标水平距离为x有： v0态度决定一切

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x?v0t┄①，h?12gt┄② 2x?77.50。 h联立方程解得：x?447m，∴??arctan

1-13．一物体和探测气球从同一高度竖直向上运动，物体初速为v0?49.0m/s，而气球以速度

v?19.6m/s匀速上升，问气球中的观察者在第二秒末、第三秒末、第四秒末测得物体的速度各多少？ 解：物体在任意时刻的速度表达式为：vy?v0?gt

故气球中的观察者测得物体的速度?v?vy?v

代入时间t可以得到第二秒末物体速度：?v2?9.8m，（向上）

s第三秒末物体速度：?v3?0

第四秒末物体速度：?v4??9.8m（向下）。

s

思考题1

1-1．质点作曲线运动，其瞬时速度为v，瞬时速率为v，平均速度为v，平均速率为v，则它们之间的下列四种关系中哪一种是正确的?

（A）v?v,v?v；（B）v?v,v?v；（C）v?v,v?v；（D）v?v,v?v

答：（C）

1-2．沿直线运动的物体，其速度大小与时间成反比，则其加速度的大小与速度大小的关系是：（A）与速度大小成正比；（B）与速度大小平方成正比；（C）与速度大小成反比；（D）与速度大小平方成反比。 答：B

1-3．如图所示为A，B两个质点在同一直线上运动的v?t图像，由图可知 （A）两个质点一定从同一位置出发 （B）两个质点都始终作匀加速运动 （C）在t2s末两个质点相遇 （D）在0t2s时间内质点B可能领先质点A

答：D

1-4．质点的x~t关系如图，图中a，b，c三条线表示三它们属于什么类型的运动?哪一个速度大？哪一个速度小？ 答：匀速直线运动；va?vb?vc。

1-5．如图所示，两船A和B相距R，分别以速度vA会不会相碰?若不相碰，求两船相靠最近的距离．图答：方法一：如图，以A船为参考系，在该参考系的速度v??vB?vA。

个速度不同的运动．问

和vB匀速直线行驶，它们中?和?为已知。

中船A是静止的，而船B条平行于v?方向的直线

v?是船B相对于船A的速度,从船B作一

BC,它不与船A相交,这表明两船不会相碰.

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由A作BC垂线AC,其长度rmin就是两船相靠最近的距离 rmin?Rsin? 作FD//AB,构成直角三角形DEF，故有：sin??在三角形BEF中,由余弦定理可得：v??vBsin??vAsin?，

v?22vA?vB?2vAvBcos(???)

rmin?vBsin??vAsin?v?v?2vAvBcos(???)2A2BR。

方法二：

两船在任一时刻t的位置矢量分别为： rA?(vAtcos?)i?(vBtsin?)j

rB?(R?vBtcos?)i?(vBtsin?)j

r?rB-rA?[R?(vBcos??vAcos?)t]i?[(vBsin??vAsin?)t]j

任一时刻两船的距离为：

r?[R?(vBcos??vAcos?)t]2?[(vBsin??vAsin?)t]2

dr(t)令：?0

dtvBcos??vAcos?t?R 22(vBcos??vAcos?)?(vBsin??vAsin?)vBsin??vAsin?rmin?R。

22vA?vB?2vAvBcos(???)

1-6．若质点限于在平面上运动，试指出符合下列条件的各应是什么样的运动？ （A）

drdrdvdvdada?0，?0，?0；?0；?0，?0 （B）（C）dtdtdtdtdtdt答：(1) 质点作圆周运动； (2) 质点作匀速率曲线运动； (3) 质点作抛体运动。

1-7．如图所示，质点在t=0时刻由原点出发作斜抛运动，其速度v?vxi?vyj，回到x轴的时刻为t，则 （A）（C）

tttt??0vdt??vxdt （B）

0t0?0vdt??vydt

0t0t0vdt??vxdt （D）?vdt??vydt

0t答：A （注意：题目中各处的v 应为矢量！须加上箭

1-8．一质点作斜抛运动，用t1代表落地时，

t1t1t1y头。）

（1）说明下面三个积分的意义：vxdt,0??vdt,0?vdt；

0（2）用A和B代表抛出点和落地点位置，说明下面三个积分的意义：

BBB?dr,At1?dr,A?dr。

A答：vxdt 表示物体落地时x方向的距离，

0t1??v0ydt 表示物体落地时y方向的距离，

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h12?2slvmax??2sglh???1gsydy

02可解得：vmax??2gl ?1（2）当均匀棒完全进入液体中时，浮力不变，到最大深度H时，速度为零，设： H?l?h'，由能量守恒有：?2lsgH? 即：?2lsgH?∴H??l0?1ysgdy??1lsgh'，

?l0?1ysgdy??1lsg(H?l)

?1l。

2(?1??2)

2-15．一链条放置在光滑桌面上，用手揿住一端，另一端有四分之一长度由桌边下垂，设链条长为L，质量为m，试问将链条全部拉上桌面要做多少功？

解：直接考虑垂下的链条的质心位置变化，来求做功，则：

2-16．在光滑水平面上，平放一轻弹簧，弹簧一端固定，另一端连一物体A、A边上再放一物体B，它们质量分别为mA和mB，弹簧劲度系数为k，原长为l．用力推B，使弹簧压缩x0，然后释放。求： （1）当A与B开始分离时，它们的位置和速度； （2）分离之后，A还能往前移动多远? 解：（1）当A与B开始分离时，两者具有相同的速度，但A的加速度为零，此时弹簧和B都不对A产生作用力，即为弹簧原长位置时刻，根据能量守恒，可得到：(mA?mB)v?111A??EP?mg?l?mgl

48321221v?有：kx02，

2kx0，

mA?mBx?l；

（2）分离之后，A的动能又将逐渐的转化为弹性势能，所以：

112mAmAv2?kxA ，则： xA?x0 。

m?m22AB

2-17．已知地球对一个质量为m的质点的引力为F??Gmem（1）若r（me,Re为地球的质量和半径)。

r3选取无穷远处势能为零，计算地面处的势能；（2）若选取地面处势能为零，计算无穷远处的势能．比较两种情况下的势能差． 解：（1）取无穷远处势能为零，地面处的势能为：

EP??F?dr??Gmem?ReRe?11?dr??Gmm ； eRer2Re?Re（2）若选取地面处势能为零，计算无穷远处的势能为：

E???F?dr??Gmem???11?dr?Gmm er2Re∴两种情况下势能差是完全一样的。

2-18．如图所示的圆锥摆，绳长为l，绳子一端固定，另一端系一质量为m的质点，以匀角速ω绕铅直线作圆周运动，绳子与铅直线的夹角为θ。在质点旋转一周的过程中，试求： （1）质点所受合外力的冲量I； （2）质点所受张力T的冲量IT。

解：（1）设周期为?，因质点转动一周的过程中，

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速度没有变化，v1?v2，由I??mv， ∴旋转一周的冲量I?0；

（2）如图该质点受的外力有重力和拉力，

且Tcos??mg，∴张力T旋转一周的冲量：

IT?Tcos???j?mg?2?Tmg?2?mg所以拉力产生的冲量为，方向竖直向上。

?j

2-19．质量为m的质点在Oxy平面内运动，运动学方程为

r?acos?ti?bsin?tj，求：

（1）质点在任一时刻的动量；

（2）从t?0到t?2?/?的时间内质点受到的冲量。 解：（1）根据动量的定义：P?mv，而v?dr??a?sin?ti?b?cos?tj， dt∴P(t)??m?(asin?ti?bcos?t)j ； （2）由I??mv?P(所以冲量为零。

2-20．质量为M=2.0kg的物体（不考虑体积），用一根长为l=1.0m的细绳悬挂在天花板上。今有一质量为m=20g的子弹以v0=600m/s的水平速度射穿物体。刚射出物体时子弹的速度大小v=30m/s，设穿透时间极短。求：

（1）子弹刚穿出时绳中张力的大小； （2）子弹在穿透过程中所受的冲量。 解：（1）解：由碰撞过程动量守恒可得：mv0?mv?Mv1

∴v1?2??)?P(0)?m?bj?m?bj?0 ，

mv0?mv?5.7m/s Mv12v12根据圆周运动的规律：T?Mg?M，有：T?Mg?M?84.6N；

ll（2）根据冲量定理可得：I?mv?mv0??0.02?570??11.4N?s。

?222-21．一静止的原子核经放射性衰变产生出一个电子和一个中微子，巳知电子的动量为1.2?10kg?m/s，中微子的动量为6.4?10?23kg?m/s，两动量方向彼此垂直。（1）求核反冲动量的大小和方向；（2）已知衰变后原子核的质量为5.8?10kg，求其反冲动能。 解：由碰撞时，动量守恒，分析示意图，有： （1）P核?2222?22P 电子?P中微子?1.2?0.64?10?22?26P中微子? ?1.36?10kgm/s

P0.640 又∵tan??中微子?，∴??28.1 ，

P1.2电子2P核?0.17?10?18J。 （2）反冲的动能为：Ek?2m核P电子P核?所以P核?1.4?10?22kgm/s ，??????151.9 ；

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2-22．有质量为2m的弹丸，从地面斜抛出去，它的落地点为xc。如果它在飞行到最高点处爆炸成质量相等的两碎片。其中一碎片铅直自由下落，另一碎片水平抛出，它们同时落地。问第二块碎片落在何处。 解：利用质心运动定理，在爆炸的前后，质心始终只受重力的作用，因此，质心的轨迹为一抛物线，它的落地点为xc。

yxm1x1?m2x2，而m1?m2?m， x1?c，

m1?m22mxc?2mx23∴xc?,x2?xc 。

4m2Oxc?xxc/2c

?2-23．如图，光滑斜面与水平面的夹角为??30，轻质弹簧上端固定．今在弹簧的另一端轻轻地挂上质量为M?1.0kg的木块，木块沿斜面从静止开始向下滑动．当木块向下滑x?30cm时，恰好有一质量

xm?0.01kg的子弹，沿水平方向以速度v?200m/s射中木块并陷在其中。设弹簧的劲度系数为k?25N/m。求子弹打入木块后它们的共同速度。

解：由机械能守恒条件可得到碰撞前木快的速度，碰撞过程中子弹和木快沿斜面方向动量守恒，可得：

11Mv12?kx2?Mgxsin?22(碰撞前木快的速度)

再由沿斜面方向动量守恒定律，可得：

?v1?0.83m/s

Mv1?mvcos??（m?M）v?

?v???0.89m/s。

2-24．以初速度0将质量为m的质点以倾角?从坐标原点处抛出。设质点在Oxy平面内运动，不计空气阻力，以坐标原点为参考点，计算任一时刻： （1）作用在质点上的力矩M； （2）质点的角动量L。

解：（1）M?r?F??mgv0cos?tk

yv0v??mgv0（2）L?r?mv??Mdt??cos?t2k

02tzOx

2-25．人造地球卫星近地点离地心r1=2R，（R为地球半径），远地点离地心r2=4R。求：

（1）卫星在近地点及远地点处的速率v1和v2（用地球半径R以及地球表面附近的重力加速度g来表示）； （2）卫星运行轨道在近地点处的轨迹的曲率半径ρ。 解：（1）利用角动量守恒：r1mv1?r2mv2，得 v1?2v2，

同时利用卫星的机械能守恒，这里，万有引力势能表达式为：EP??G0Mm， r12Mm12mv1?G0?mv2?G022R2Mm考虑到：G02?mg，有： v1?R所以：Mm， 4R2Rg，v2?3Rg； 6（2）利用万有引力提供向心力，有：

G0Mm?2?mv2?，

可得到：??

8R。 32-26．火箭以第二宇宙速度v2?2Rg沿地球表面切向飞出，如图所示。在飞离地球过程中，火箭发动机第 13 页 共 91 页

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停止工作，不计空气阻力，求火箭在距地心4R的A处的速度。 解：第二宇宙速度时E?0，由机械能守恒：

1Mm 0?mvA2?G24RM1vA?G?gR 2R2再由动量守恒：mv2R?mvA?4Rsin?，

ROA4R?vv2?2Rg代入：???300。

2-27．如图，一轻绳跨过两个质量为m、半径为r的均匀圆盘状定滑轮，绳的两端分别挂着质量为2m和m的重物，绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴光滑，两个定滑轮的转动惯量均为mr/2，将由两个定滑轮以及质量为2m和m的重物组成的系统从静止释放，求重物的加速度和两滑轮之间绳内的张力。 解：受力分析如图，可建立方程：

2mg?T2?2ma┄①

2T1?mg?ma┄② (T2?T)r?J?┄③ (T?T1)r?J?┄④

Ta?r? ，J?mr2/2┄⑤

111联立，解得：a?g，T?mg 。

48

2-28．如图所示，一均匀细杆长为l，质量为m，平放在摩擦系数为?的水平桌面上，设开始时杆以角速度?0绕过中心O且垂直与桌面的轴转动，试求：（1）作用于杆的摩擦力矩；（2）经过多长时间杆才会停止转动。

解：（1）设杆的线密度为：??有微元摩擦力：

m，在杆上取l一小质元dm??dx，

df??dmg???gdx，

微元摩擦力矩：dM???gxdx，

考虑对称性，有摩擦力矩：

1M?2???gxdx??mgl；

4t0d?，有：??Mdt??Jd?， 0?0dt?l11??mglt??ml2?0，∴t?0。

3?g4121ml2， 或利用：?Mt?J??J?0，考虑到??0，J?12?l有：t?0。

3?gl20（2）根据转动定律M?J??J

22-29．如图所示，滑轮转动惯量为0.01kg?m，半径为7cm；物体的质量为5kg，用一细绳与劲度系数（1）当绳拉直、弹k?200N/m的弹簧相连，若绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴上的摩擦忽略不计。求：簧无伸长时使物体由静止而下落的最大距离；（2）物体的速

及最大速率。

度达最大值时的位置

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解：（1）设弹簧的形变量为x，下落最大距离为xmax。 由机械能守恒：

12kxmax?mgxmax，有： 2xmax?2mg?0.49m； k1211kx?mv2?J?2?mgx， 222v1211222考虑到??，有：kx?mR??J??mgx，

R222d??0，有： 欲求速度最大值，将上式两边对x求导，且令dxd?1d?mg?0代入，有：x?kx?(mR2?J)?2??mg，将?0.245(m)， dx2dxk∴当x?0.245m时物体速度达最大值，有：

1mgx?kx222vmax?，代入数值可算出：vmax?1.31m/s 。

1J(m?2)2r（2）当物体下落时，由机械能守恒：

2-30．如图所示，长为l的轻杆，两端各固定质量分别为m和2m的小球，杆可绕水平光滑固定轴O在竖

2l．轻杆原来静止在竖直位置。今有一质量为m的小球，以水31平速度v0与杆下端小球m作对心碰撞，碰后以v0的速度返回，试求碰撞后轻杆所获得的角速度。

2直面内转动，转轴O距两端分别为l和解：根据角动量守恒，有：

132122llmv0?l??m?v0?l?m()2??2m?()2?

32333422221有：(l?l)??v0l?v0l

99333v∴??0

2l

思考题

2-1．质量为m的小球，放在光滑的木板和光滑的墙壁之间，并保持板和墙壁之间的夹角为?，当?逐渐增大时，小球对木板的压力将怎解：以小球为研究对象，设墙壁对小球的压力为N1， 方向水平向右，木板对小球的压力为N2，方向垂直于 N2木板，小球受重力为mg，建立平衡方程：

N1N2sin??mg ，N1?N2cos? ?平衡，如图所示．设木

样变化？

所以当?增大，小球对木板的压力N2将减小；

mg小球对墙壁的压力N1也减小。

2-2．质量分别为m1和m2的两滑块A和B通过一轻弹簧水平连结后置于水平桌面上，滑块与桌面间的摩擦系数均为μ，系统在水平拉力F作用下匀速运动，如图所示．如突然撤消拉力，则刚撤消后瞬间，二者的加速度aA和aB分别为多少 ？

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解：由于系统在拉力F作用下做匀速运动， 对A进行受力分析，知：F?kx??m1g， 对B进行受力分析，知：kx??m2g

突然撤消拉力时，对A有：m1aA?kx??m1g，所以aA??对B有：m2aB?kx??m2g，所以aB?0。

2-3．如图所示，用一斜向上的力F (与水平成30°角)，将一直壁面上，如果不论用怎样大的力F，都不能使木块向上滑动，静摩擦系数?的大小为多少？

解：假设墙壁对木块的压力为N，由受力分析图可知：

m1?m2g， m1重为G的木块压靠在竖则说明木块与壁面间的

Fsin300?G??N

N?Fcos300

整理上式，并且根据题意，如果不论用怎样大的力F，都不能使木块向上滑动，则说明：

31313F?G??F 即：F??F（此式中F无论为多大，总成立），则可得：??。

32222

2-4．如图所示，假设物体沿着竖直面上圆弧形轨道下滑，轨道是光滑的，在从A至C的下滑过程中，下面哪个说法是正确的？

(A) 它的加速度大小不变，方向永远指向圆心。 (B) 它的速率均匀增加。

(C) 它的合外力大小变化，方向永远指向圆心。 (D) 它的合外力大小不变。

(E) 轨道支持力的大小不断增加。

解：在下滑过程中，物体做圆周运动。并且v在增大，所以它既有法向加速度，又有切向加速度，A的说法不对；

速率的增加由重力沿切线方向的分力提供，由于切线方向始终在改变，所以速率增加不均匀，B的说法不对；

外力有重力和支持力，后者的大小和方向都在变化，所以合力的大小方向也在变化。C，D的说法都不对。

v2下滑过程中的θ和v都在增大，所以N也在增大，N?mgsin??m

R则E的说法正确。

2-5．A和B两物体放在水平面上，它们受到的水平恒力F一样，位移s也一样，但一个接触面光滑，另一个粗糙．F力做的功是否一样?两物体动能增量是否一样?

答：根据功的定义：A?F??r

所以当它们受到的水平恒力F一样，位移s也一样时，两个功是相等的；

但由于光滑的接触面摩擦力不做功，粗糙的接触面摩擦力做功，所以两个物体的总功不同，动能的增量就不相同。

2-6．按质点动能定理，下列式子：

?x2x1Fxdx?1212mvx2?mvx1 22第 16 页 共 91 页

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1212mvy2?mvy1 ?y122z21212Fdz??z1z2mvz2?2mvz1

y2Fydy?是否成立?这三式是否是质点动能定理的三个分量式?试作分析。

答：不成立，因为功是标量，不分方向，没有必要这么写。

2-7．在劲度系数为k的弹簧下，如将质量为m的物体挂上慢慢放下，弹簧伸长多少?如瞬间挂上让其自由下落弹簧又伸长多少?

答：如将质量为m的物体挂上慢慢放下，弹簧伸长为mg?kx，所以x?如瞬间挂上让其自由下落，弹簧伸长应满足能量守恒：mgx?mg； k12kx，所以 2x?2mg。 k

?2-8．一?粒子初时沿x轴负向以速度v运动，后被位于坐标原点的金核所散射，使其沿与x轴成120的方向运动(速度大小不变)．试用矢量在图上表出?粒子所受到的冲量I的大小和方向。 解：由：

I?mv2?mv1，

考虑到v2?v1，

mv2I见右图示。

2-9．试用所学的力学原理解释逆风行舟的现象。 mv1风风解：可用动量定理来解释。设风沿与航向成α角的方向

f//'从右前方吹来，以风中一小块沿帆面吹过来的空气为研

究对象，Δm表示这块空气的质量，v1和v2分别表示它

f'吹向帆面和离开帆面时的速度，由于帆面比较光滑，风 f?'速大小基本不变，但是由于Δm的速度方向改变了，所 以一定是受到帆的作用力，根据牛顿第三定律，Δm必然

对帆有一个反作用力f?，此力的方向偏向船前进的方向，将f?分解为两个分量，垂直船体的分量与水对船的阻力相平衡，与船的航向平行的分量就是推动帆及整个船体前进的作用力。

2-10．当质量为m的人造卫星在轨道上运动时，常常列出下列三个方程：

12Gmem12Gmemmv2??mv1?， 2r22r1mv2sin?2?mv1sin?1，

mv2Gmem?， 2rr试分析上述三个方程各在什么条件下成立。

解：（1）机械能守恒； （2）角动量守恒；

（3）万有引力提供向心力。

2-11．在水平冰面上以一定速度向东行驶的炮车，向东南（斜向上）方向发射一炮弹，对于炮车和炮弹这一系统，在此过程中（忽略冰面摩擦力及空气阻力）哪些量守恒？ 答：对于这个系统，（1）动量守恒；（2）能量守恒，因为没有外力做功。

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2-12．体重相同的甲乙两人，分别用双手握住跨过无摩擦滑轮的绳子两端，当他们由同一高度向上爬时，相对于绳子，甲的速度是乙的两倍，则到达顶点情况是： （A）甲先到达；（B）乙先到达；（C）同时到达；（D）谁先到达不能确定。 答：本题测试的是刚体系统的角动量定理和角动量守恒的概念.

当两小孩质量相等时，M=0。则系统角动量守恒，两人的实际的速度相同，将同时到达滑轮处，与谁在用力，谁不在用力无关。

选择C。

2-13．一圆盘绕过盘心且与盘面垂直的轴O以角速度?按图示方向转动，若如图所示的情况那样，将两个大小相等方向相反但不在同一条直线的力F沿盘面方向同时作用到盘上，则盘的角速度?怎样变化？ 答：增大

2-14．一个人站在有光滑固定转轴的转动平台上,双臂伸直水平地举起二哑铃,在该人把此二哑铃水平收缩到胸前的过程中，人、哑铃与转动平台组成的系统的： （A）机械能守恒，角动量守恒；（B）机械能守恒，角动量不守恒； （C）机械能不守恒，角动量守恒；（D）机械能不守恒，角动量不守恒。 答：（C）

习题3

3-1．原长为0.5m的弹簧，上端固定，下端挂一质量为0.1kg的物体，当物体静止时，弹簧长为0.6m．现将物体上推，使弹簧缩回到原长，然后放手，以放手时开始计时，取竖直向下为正向，写出振动式。（g取9.8）

解：振动方程：x?Acos(?t??)，在本题中，kx?mg，所以k?9.8； ∴

??k9.8??98。 m0.1取竖直向下为x正向，弹簧伸长为0.1m时为物体的平衡位置，所以如果使弹簧的初状态为原长，那

么：A=0.1m，

当t=0时，x=-A，那么就可以知道物体的初相位为π。

（98t??）所以：x?0.1cos 即：x??0.1cos(98t)。

3-2．有一单摆，摆长l?1.0m，小球质量m?10g，t?0时，小球正好经过???0.06rad处，并以角速度??0.2rad/s向平衡位置运动。设小球的运动可看作简谐振动，试求：（1）角频率、频率、周期；（2）用余弦函数形式写出小球的振动式。（g取9.8）

解：振动方程：x?Acos(?t??) 我们只要按照题意找到对应的各项就行了。 （1）角频率：??9.8?0.5Hz ， 2?2??2s； 9.8（3.13t??） （3.13t??），∴???3.13Asin（2）振动方程可表示为：??Acos?0(1，象限）2??根据初始条件，t?0时：cos??，sin???

?0(3，象限）43.13AA?200可解得：A?8.8?10m，??227??133??2.32，

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g?l1g?频率：??2?ll?周期：T?2?g9.8?3.13rad/s，

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（3.13t?2.32）m 。 所以得到振动方程：??8.8?10?2cos

3-3．一质点沿x轴作简谐振动，振幅为12cm，周期为2s。当t?0时，位移为6cm，且向x轴正方向运动。求：（1）振动表达式；（2）质点的位置、速度和加速度；（3）如果在某时刻质点位于x??6cm，t?0.5s时，

且向x轴负方向运动，求从该位置回到平衡位置所需要的时间。

解：（1）由题已知 A=0.12m，T=2 s ，∴ ??2??? T又∵t=0时，x0?6cm，v0?0，由旋转矢量图，可知：????3

（?t?故振动方程为：x?0.12cos （2）将t=0.5 s代入得：

?3）m；

x?0.12cos（?t?）?0.12cos?0.104m，

36v??0.12?sin（?t?）?0.12cos??0.188m/s， 36? ??3222a??0.12?cos（?t?）??0.12?cos??1.03m/s， 36方向指向坐标原点，即沿x轴负向； （3）由题知，某时刻质点位于x??6cm??????P?A， 2???t， ?2?TA2x且向x轴负方向运动，如图示，质点从P位置回到 平衡位置Q处需要走???有：?t?Q?3??2，建立比例式：

5s 。 63-4．两质点作同方向、同频率的简谐振动，振幅相等。当质点1在 x1?A/2处，且向左运动时，另一个质点2在 x2??A/2 处，且向右运动。求这两个质点的位相差。 解：由旋转矢量图可知：

当质点1在 x1?A/2处，且向左运动时， 相位为

?， 34?。 3而质点2在 x2??A/2 处，且向右运动， 相位为

所以它们的相位差为?。

3-5．当简谐振动的位移为振幅的一半时，其动能和势能各占总能量的多少？物体在什么位置时其动能和势能各占总能量的一半？

1211kx，Ek?mv2，有：EP?kA2cos2(?t??)， 22211Ek?m?2A2sin2(?t??)?kA2sin2(?t??)，

22A（1）当x?时，由x?Acos(?t??)，

2解：由EP?第 19 页 共 91 页

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有：cos(?t??)?31，sin(?t??)?，

22∴

EP1Ek3?，?； E4E4（2）当EP?Ek?1E时，有：cos2(?t??)?sin2(?t??) 212A??0.707A。 ，x??22∴cos(?t??)??

3-6．两个同方向的简谐振动曲线(如图所示)

（1）求合振动的振幅。

（2）求合振动的振动表达式。 解：通过旋转矢量图做最为简单。 由图可知，两个振动同频率，且

A1初相：?1??2，A2初相：?2???2，

表明两者处于反相状态，

（反相????2??1??(2k?1)?，k?0，） 1，，2∵A1?A2，∴合成振动的振幅：A?A2?A1 ； 合成振动的相位：???2???2 ；

（A2?A1）cos（合成振动的方程：x?

2??t?） 。 T23-7．两个同方向，同频率的简谐振动，其合振动的振幅为20cm，与第一个振动的位相差为

?。若第一6个振动的振幅为103cm。则（1）第二个振动的振幅为多少？（2）两简谐振动的位相差为多少？ 解：如图，可利用余弦定理：

由图知 A2?A1?A?2A1Acos30?=0.01 m ∴A２=0.1 m ，

222sin?sin300再利用正弦定理：，有： ?AA2A?sin???1，∴??。

2A22说明A１与A２间夹角为π/2，即两振动的位相差为π/2 。

3-8. 质点分别参与下列三组互相垂直的谐振动：

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????x?4cos?8t????6???（1） ? ；（2）

???y?4co?s?8t????6???????x?4cos?8t????6??? ； ?5???y?4co?s?8t????6???????x?4cos?8t????6???（3） ? 。试判别质点运动的轨迹。

2???y?4co?s?8t????3???解：质点参与的运动是频率相同，振幅相同的垂直运动的叠加。

对于x?Acos(?t??x)，y?4cos(?t??y)的叠加，可推得：

x2?y2?2xycos(?x??y)?A2sin2(?x??y)

???222?（1）将?x?，?y??代入有：x?y?2xycos?16sin， 663322则方程化为：x?y?xy?12，轨迹为一般的椭圆；

?5?222（2）将?x?，?y??代入有：x?y?2xycos??16sin?

6622则方程化为：x?y?2xy?0，即x?y?0，轨迹为一直线；

?2??222?（3）将?x?，?y?代入有：x?y?2xycos?16sin 6322222则方程化为：x?y?4，轨迹为圆心在原点，半径为4m的圆。

3-9．沿一平面简谐波的波线上，有相距2.0m的两质点A与B，B点振动相位比A点落后周期为2.0s，求波长和波速。

解：根据题意，对于A、B两点，????2??1?而相位和波长之间满足关系：????2??1???，已知振动6?6x2?x1，?x?2m， 2????x??2?，

代入数据，可得：波长?=24m。又∵T=2s，所以波速u??T?12m/s。

?t??)，3-10．已知一平面波沿x轴正向传播，距坐标原点O为x1处P点的振动式为y?Acos(波速为u，

求：

（1）平面波的波动式；

（2）若波沿x轴负向传播，波动式又如何? 解：（1）设平面波的波动式为y?Acos[?（t?）??0]，则P点的振动式为：

xux1）??0]，与题设P点的振动式yP?Acos(?t??)比较， u?x1x?x1??，∴平面波的波动式为：y?Acos[?(t?有：?0?)??]；

uuyP?Acos[?（t?第 21 页 共 91 页

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（2）若波沿x轴负向传播，同理，设平面波的波动式为：y?Acos[?（t?）??0]，则P点的振动式为：

xux1）??0]，与题设P点的振动式yP?Acos(?t??)比较， u?xx?x1有：?0??1??，∴平面波的波动式为：y?Acos[?(t?)??]。

uuyP?Acos[?（t?

3-11．一平面简谐波在空间传播，如图所示，已知A点的振动规律为y?Acos(2??t??)，试写出： （1）该平面简谐波的表达式；

（2）B点的振动表达式（B点位于A点右方d处）。 解：（1）仿照上题的思路，根据题意，设以O点为原点平面简谐波的表达式为：

xy?Acos[2??（t?）??0]，则A点的振动式：

u?lyA?Acos[2??（t?）??0]

u题设A点的振动式y?Acos(2??t??)比较，有：?0?∴该平面简谐波的表达式为：y?Acos[2??（t?2??l??， ulx?）??] uu（2）B点的振动表达式可直接将坐标x?d?l，代入波动方程：

y?Acos[2??（t?

ld?ld?）??]?Acos[2??（t?）??] uuu1s时的波形如图所示，且周期T为2s。 33-12．已知一沿x正方向传播的平面余弦波，t?（1）写出O点的振动表达式； （2）写出该波的波动表达式； （3）写出A点的振动表达式； （4）写出A点离O点的距离。

解：由图可知：A?0.1m，??0.4m，而T?2s，

， Tu??/?m则：

s??2?2???，k??5?，∴波动方程为：y?0.1cos(?t?5?x??0)【此图的表示的意义是，在1/3sT?时震动的位移是0.05m方向向下】

O点的振动方程可写成：yO?0.1cos(?t??0)

1?s时：yO?0.05，有：-0.05?0.1cos(??0) 33dyO?5??0，∴?0?，考虑到此时（舍去） dt33由图形可知：t?那么：（1）O点的振动表达式：yO?0.1cos(?t?（2）波动方程为：y?0.1cos(?t?5?x??3)；

?3（3）设A点的振动表达式为：yA?0.1cos(?t??A)

)；

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1?s时：yA?0，有：cos(??A)?0 33dyA5?7??0，∴?A??考虑到此时（或?A?） dt665?7?∴A点的振动表达式：yA?0.1cos(?t?)，或yA?0.1cos(?t?)；

66由图形可知：t?（4）将A点的坐标代入波动方程，可得到A的振动方程为：

yA?0.1cos(?t?5?xA?)，与（3）求得的A点的振动表达式比较，有：

35??7?0.233m 。 ?t???t?5?xA?，所以：xA?3063

3-13．一平面简谐波以速度u?0.8m/s沿x轴负方向传线如图所示。试写出：

（1）原点的振动表达式； （2）波动表达式；

（3）同一时刻相距1m的两点之间的位相差。 解：这是一个振动 图像！

?3由图可知A=0.5cm，设原点处的振动方程为：yO?5?10cos(?t??0)。

?播。已知原点的振动曲

（1）当t?0时，yO当t?1时，yOt?0?2.5?10?3，考虑到：

dyOdt?3dyOdtt?0?0，有：?0???3，

t?1?0，考虑到：t?1?0，有：???3??2，??5?， 6∴原点的振动表达式：yO?5?10cos(5??t?)； 63?35??t?kx?) 63?5?124?5?24???3而k??，∴y?5?10cos(??t?x?)；

u60.8256253?x25（3）位相差：???2??k?x???3.27rad 。

?24（2）沿x轴负方向传播，设波动表达式：y?5?10cos( 研究对象 研究内容 振动图象 一振动质点 一质点的位移随时间的变化规律 波动图象 k??u?5?124?错??60.825了应该是25п/24 沿波传播方向所有质点 某时刻所有质点的空间分布规律 图线 物理意义 图线变化 表示一质点在各时刻的位移 表示某时刻各质点的位移 随时间推移图延续，但已有形状不变 随时间推移，图象沿传播方向平移 第 23 页 共 91 页

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一完整曲线占横坐标距离 表示一个周期 表示一个波长 ?33-14．一正弦形式空气波沿直径为14cm的圆柱形管行进，波的平均强度为9.0?10J/(s?m)，频率为

300Hz，波速为300m/s。问波中的平均能量密度和最大能量密度各是多少？每两个相邻同相面间的波段

中含有多少能量？

解：（1）已知波的平均强度为：I?9.0?10?3J/(s?m)，由I?w?u 有：

I9.0?10?3w???3?10?5J/m3

u300wmax?2w?6?10?5J/m3；

1212u（2）由W?w?V，∴W?w??d??w?d

44??3?10?5J/m3??4?(0.14m)2?1m?4.62?10?7J 。

3?433-15．一弹性波在媒质中传播的速度u?10m/s，振幅A?1.0?10m，频率??10Hz。若该媒质的密度为800kg/m，求：（1）该波的平均能流密度；（2）1分钟内垂直通过面积S?4.0?10m的总能量。

解：（1）由：I?3?421u?A2?2，有： 2122?1.58?105W/m2； I??103?800?（10?4）（2??103）2?42（2）1分钟为60秒，通过面积S?4.0?10m的总能量为：

W?ISt?1.58?105?4?10?4?60?3.79?103J 。

1?波长，S1比S2的位相超前。若两波在在S1、S2连线方向上42的强度相同且不随距离变化，问S1、S2连线上在S1外侧各点的合成波的强度如何？又在S2外侧各点的

3-16．设S1与S2为两个相干波源，相距强度如何？ 解：（1）如图，S1、S2连线上在S1外侧， ∵????2??1?2??(r2?r1)???2?2??????， ?4r1S1?r2S2?∴两波反相，合成波强度为0；

（2）如图，S1、S2连线上在S2外侧， ∵????2??1?2??(r2'?r1')??2?22?2?(?)?0， ?4?S1?∴两波同相，合成波的振幅为2A，

合成波的强度为：I?(2A)?4A?4I0 。

3-17．图中所示为声音干涉仪，用以演示声波的干涉。S为声源，如耳或话筒。路径SBD的长度可以变化，但路径SAD是固定气，且知声音强度在B的第一位置时为极小值100单位，而渐为1.65cm的第二位置时，有极大值900单位。求：

（1）声源发出的声波频率；

（2）抵达探测器的两波的振幅之比。

S2?r'2r1'D为声音探测器，

的。干涉仪内有空

增至B距第一位置

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解：根据驻波的定义，相邻两波节(腹)间距：?x?相邻波节与波腹的间距：?x??2，

?4，可得：??4?x?6.6cm。

（1）声音的速度在空气中约为340m/s，所以：??u??340 ?5151（Hz）。6.6?10?2222（2）∵I?A，Imin?(A1?A2)，Imax?(A1?A2)，依题意有：

(A1?A2)2?100(A1?A2)2?900 ?A1?20A2?10 ，那么

A12? 。 A21

3-18．蝙蝠在洞穴中飞来飞去，是利用超声脉冲来导航的。假定蝙蝠发出的超声频率为39000Hz。当它以空气中声速的

1的运动速率朝着墙壁飞扑过程中，试问它自己听到的从墙壁反射回来的脉冲频率是多40少？

解：根据多普勒效应，

?反uuu?vSu?vS40?3900041?41000(Hz) ??0??0??0uu?vSuu?vS39u?40u?

3-19．一声源的频率为1080Hz，相对于地以30m/s的速度向右运动，在其右方有一反射面相对于地以65m/s的速率向左运动，设空气中的声速为331m/s，求： （1）声源在空气中发出声音的波长； （2）每秒钟到达反射面的波数； （3）反射波的波速； （4）反射波的波长。

解：（1）在声源前方静止接收器接收到的频率 ?1??0声音的波长??u?1?uu?0u?vSu u?vSu?vS331?30???0.28(m)

?01080u?v反331?65?1080?1421(Hz)

u?vS331?30（3）波速只取决于媒质的性质，因此反射波的波速仍为 u?331(m/s)

u331??0.233(m) （4）反射波的波长为 ?2??21421（2）每秒钟到达反射面的波数（等于反射波的频率）为 ?2??03-20．试计算：一波源振动的频率为2040Hz，以速度vs向观察者在A点听得拍音的频率为???3Hz，求波源移动的

墙壁接近（如图所示），速度vs，设声速为

340m/s。

解：根据观察者不动，波源运动，即：uS?0，uR?0，

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观察者认为接受到的波数变了：??u?0， u?uS其中u?340，??2043，?0?2040，分别代入，可得：uS?0.5m/s 。

思考题

3-1．试说明下列运动是不是简谐振动：

（1）小球在地面上作完全弹性的上下跳动；

（2）小球在半径很大的光滑凹球面底部作小幅度的摆动。 答：要使一个系统作谐振动，必须同时满足以下三个条件：

① 描述系统的各种参量，如质量、转动惯量、摆长……等等在运动中保持为常量； ② 系统是在自己的稳定平衡位置附近作往复运动； ③ 在运动中系统只受到内部的线性回复力的作用。

d2?2或者说，若一个系统的运动微分方程能用2????0描述时，其所作的运动就是谐振动。

dt那么，（1）拍皮球时球的运动不是谐振动。第一、球的运动轨道中并不存在一个稳定的平衡位置；第二、球在运动中所受的三个力：重力，地面给予的弹力，击球者给予的拍击力，都不是线性回复力。要使一个系统作谐振动，必须同时满足以下三个条件：一、描述系统的各种参量，如质量、转动惯量、摆长……等等在运动中保持为常量；二、系统是在自己的稳定平衡位置附近作往复运动；三、在运动中系统只受到内

d2?部的线性回复力的作用。或者说，若一个系统的运动微分方程能用2??2??0描述时，其所作的运动

dt就是谐振动。

（2）小球在图所示的情况中所作的小弧度的运动，是谐振动。显然，小球在运动过程中，各种参量均为常量；该系统(指小球凹槽、地球系统)的稳定平衡位置即凹槽最低点，即系统势能最小值位置点O；而小球在运动中的回复力为?mgsin?。题中所述，?S??R，故??

?S（式?0，所以回复力为?mg?。

R中负号表示回复力的方向始终与角位移的方向相反）即小球在O点附近的往复运动中所受回复力为线性的。若以小球为对象，则小球在以O′为圆心的竖直平面内作圆周运动，由牛顿第二定律，在凹槽切线方向上有

d2?gd2?22????0。 ??mRmR，令，则有：?mg?22Rdtdt

3-2．简谐振动的速度和加速度在什么情况下是同号的?在什么情况下是异号的?加速度为正值时，振动质点的速率是否一定在增加？反之，加速度为负值时，速率是否一定在减小? 答： 简谐振动的速度： v???Asin(?t??)；

加速度：a??A?cos(?t??)；

要使它们同号，必须使质点的振动相位在第一象限。其他象限的相位两者就是异号的。

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加速度为正值时，振动质点的速率不一定在增加，反之，加速度为负值时，速率也不一定在减小。 只有当速度和加速度是同号时，加速度才能使速率增加；反之，两者异号时，加速度使速率减小。

3-3．分析下列表述是否正确，为什么?

（1）若物体受到一个总是指向平衡位置的合力，则物体必然作振动，但不一定是简谐振动； （2）简谐振动过程是能量守恒的过程，凡是能量守恒的过程就是简谐振动。 答：（1）的表述是正确的，原因参考7-1；

（2）的表述不正确，比如自由落体运动中能量守恒，但不是简谐振动。

3-4．用两种方法使某一弹簧振子作简谐振动。

方法1：使其从平衡位置压缩?l，由静止开始释放。 方法2：使其从平衡位置压缩2?l，由静止开始释放。

若两次振动的周期和总能量分别用T1、T2和E1、E2表示，则它们满足下面那个关系？ （A） T1?T2（C） T1?T2E1?E2 （B） T1?T2E1?E2 （D） T1?T2E1?E2 E1?E2

答：根据题意，这两次弹簧振子的周期相同，振幅相差一倍。所以能量不同。选择（B）。

3-5．一质点沿x轴作简谐振动，周期为T，振幅为A，质点从x1?为多少？ 答：质点从x1?

3-6．一弹簧振子，沿x轴作振幅为A的简谐振动，在平衡位置x?0处，弹簧振子的势能为零，系统的机械能为50J，问振子处于x?A/2处时；其势能的瞬时值为多少？

答：由题意，在平衡位置x?0处，弹簧振子的势能为零，系统的机械能为50J，所以该振子的总能量为50J，当振子处于x?A/2处时；其势能的瞬时值为：

12112150kx?k（A）?EM??12.5J。 22244A运动到x2?A处所需要的最短时间2??/4TA运动到x2?A处所需要的最短相位变化为，所以运动的时间为：?t??。 24?8

3-7.图（a）表示沿x轴正向传播的平面简谐波在t?0时刻的波形图，则图（b）表示的是：

（A）质点m的振动曲线； （B）质点n的振动曲线； （C）质点p的振动曲线； （D）质点q的振动曲线。

答：图（b）在t=0时刻的相位为

?，所以对应的是质点n的振动曲线，选择B。 2

3-8．从能量的角度讨论振动和波动的联系和区别。.

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答：（1）在波动的传播过程中，任意时刻的动能和势能不仅大小相等而且相位相同，同时达到最大，同时等于零。而振动中动能的增加必然以势能的减小为代价，两者之和为恒量。

（2）在波传动过程中，任意体积元的能量不守恒。质元处在媒质整体之中，沿波的前进方向，每个质元从后面吸收能量，又不停的向前面的质元释放能量，能量得以不断地向前传播。而一个孤立振动系统总能量是守恒的。

3-9. 当两列波干涉时，是否会有能量损失？

答：否。当两列波干涉时，波的能量只是进行了重新分布，并不会有损失。

3-10. 一卫星发射恒定频率的无线电波。地面上的探测器测到了这些无线电波，并使它们与某一标准频率形成拍，然后将拍频输入扬声器，人们就“听”到了卫星的信号。试描述当卫星趋近地面探测器、通过探测器上空以及离开探测器时声音的变化情况。

答：由于多普勒效应，当卫星趋近地面探测器、通过探测器上空以及离开探测器时，地面上探测器测到的来自卫星的无线电波频率将大于、等于和小于其发射频率（??），它们与标准频率(??)形成拍的拍频将随着增大（若??>??）或减小（若?????），扬声器发出的拍音也随之变短或变长。

习题4

4-1．在容积V?3L的容器中盛有理想气体，气体密度为?=1.3g/L。容器与大气相通排出一部分气体后，气压下降了0.78atm。若温度不变，求排出气体的质量。

解：根据题意，可知：P?1.78atm，P0?1atm，V?3L。

PV?1.78?3L， P0那么，逃出的气体在1atm下体积为：V'?1.78?3L?3L?0.78L，

PV'0.78?3L这部分气体在1.78atm下体积为：V''?0?

P1.78g0.78?3L则排除的气体的质量为：?m??V''?1.3??1.7g 。

L1.781Vpm根据题意pV??RT，可得：pV?RT，RT?p?

Mm?M由于温度不变，∴PV?PV00，有：V0?

4-2．有一截面均匀的封闭圆筒，中间被一光滑的活塞分割成两边。如果其中的一边装有0.1kg某一温度的氢气，为了使活塞停留在圆筒的正中央，则另一边装入的同一温度的氧气质量为多少？

?H??O，解：平衡时，两边氢、氧气体的压强、体积、温度相同，利用pV??RT，知两气体摩尔数相同，即：∴

mmH?O，代入数据有：mO?1.6kg 。 MHMO

4-3．如图所示，两容器的体积相同，装有相同质量的氮气和氧气。用一内壁光滑的水平细玻璃管相通，管的正中间有一小滴水银。要保持水银滴在管的正中间，并维持氧气温度比氮气温度高30oC，则氮气的温度应是多少？

解：已知氮气和氧气质量相同，水银滴停留在管的正中央，

N2O2则体积和压强相同，如图。

mO2mN2mR(T?30)?RT， 由：pV?RT，有：

MmolMO2MN2第 28 页 共 91 页

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而：MO2?0.032kg，MN2?0.028kg，可得：T?30?28?210K 。

30?28

574-4．高压氧瓶：p?1.3?10Pa，V?30L，每天用p1?1.0?10Pa，V1?400L，为保证瓶内

6p'?1.0?10Pa，能用几天？

pV1.3?107Pa?30L??390L， 解：由pV?p'V'，可得：V'?6p'1.0?10Pa∴?V?V'?V?360L；

p'?V1.0?106Pa?360L??3600L， 而：p'?V?p1?V1，有：?V1?p1.0?105Pa3600L?9天 。 那么：能用的天数为n?400L/天

?2423?4-5．氢分子的质量为3.3?10g，如果每秒有10个氢分子沿着与容器器壁的法线成45角的方向以

105cm/s的速率撞击在2.0cm2面积上(碰撞是完全弹性的)，则器壁所承受的压强为多少？

F解：由：F??t?n?2mvcos450，再根据气体压强公式：p?，有：

S223?27310?2?3.3?10?10?0Fn?2mvcos452?2.33?103Pa 。 p????4S?t?S1?2?10

4-6．一容器内储有氧气，其压强p?1.0atm，温度T?300K，求容器内氧气的

（1）分子数密度；

（2）分子间的平均距离； （3）分子的平均平动动能； （4）分子的方均根速度。 解：（1）由气体状态方程p?nkT得：

p1.013?105253n???2.45?10/m； ?23kT1.38?10?300（2）分子间的平均距离可近似计算：e?11?9??3.44?10m； 3325n2.45?10（3）分子的平均平动动能：??（4）分子的方均根速度：v233kT??1.38?10?23?300?6.21?10?21J； 22?1.73RT?482.87m?s?1 。 Mmol

4-7．已知某种理想气体，其分子方均根率为400m/s，当其压强为1atm时，求气体的密度。 解： ∵??mm?p， ，由气体方程：pV?RT????VRT第 29 页 共 91 页

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3p3?1.013?1053kT3RT??1.9kg/m3。 又∵v?，∴???2400m?(v2)22

4-8．金属导体中的电子，在金属内部作无规则运动（与容器中的气体分子类似），设金属中共有N个自由

2dN??Avdv 0v?v0电子，其中电子的最大速率为 vm，电子速率在v~v?dv之间的概率为：，式??N v?vm??0中A为常数．则电子的平均速率为多少？

?dN解：由平均速率的定义：v??vf(v)dv，考虑到：f(v)dv?，

0Nvm142有：v??v?Avdv?Avm 。

04

104-9．大量粒子（N0?7.2?10个）的速率分布函数图象如图所示，试求：（1）速率小于30m/s的分子数约为多少？（2）速率处在99m/s到101m/s之间的分子数约为多少？（3）所有N0个粒子的平均速率为多少？（4）速率大于60m/s的那些分子的平均速率为多少？ 解：根据图像信息，注意到f(v)?dN。 Ndv图形所围的面积为分子的全部数目，有：

N0?1，所以，利用 ?N014（30?120）?a?1，有：a??10?2，N0a?9.6?108。 23N10（1）速率小于30m/s的分子数：N1?0?30?a?1.44?10个；

2（2）速率处在99m/s到101m/s之间的分子数：

101101v?N2?N0?f(v)dv?N0?(2a?a)dv?6.4?108个；

999960v1005a)(v101?v99)?2N0a(2?)?6.4?108】 【或：?N2?N0(2a?603（3）所有N0个粒子的平均速率：先写出这个分段函数的表达式： f(v)dv??a(0?v?30)?30v?(30?v?60)?a f(v)??

v?2a?a(60?v?120)?60?0(v?120)?由平均速率定义：v??vf(v)dv，有：

0?60120avv??v?vdv??v?adv??v?(2a?a)dv?54m/s；

030603060（4）速率大于60m/s的那些分子的平均速率：

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