§2.2 曲面的方程

§2.2 曲面的方程

一、普通方程

如果一个方程F(x, y, z) = 0或z=f (x, y) 与一个曲面?有着关系：(1) 满足方程的(x, y, z)是曲面?上点的坐标；(2) 曲面?上的任何一点的坐标(x, y, z)满足方程，则方程F(x, y, z)＝0叫做曲面?的普通方程，而曲面?叫做方程F (x, y, z)＝0的图形.

二、参数方程

1．设在两个变数u, v的变动区域内定义了双参数矢函数

= (u, v) 或 (u, v)=x(u, v)

+y(u, v)

+z(u, v)

,

其中x(u, v), y(u, v), z(u, v)是变矢(u, v)的分量，它们都是变数u, v的函数，当u, v取遍变动区域的一切值时，径矢

= (u, v)=x(u, v)+y(u, v)+z(u, v)

的终点M(x(u, v), y(u, v), z(u, v))所画成的轨迹，一般为一张曲面.

2. 如果取u, v (a≤u≤b, c≤v≤d)的一切可能取的值，径矢

(u, v)的终点M总在一个曲面上；反过来，在这个曲面上的任意点M总对应着以它为终点的径矢, 而这径矢可由u, v的值(a≤u≤b, c≤v≤d)通过

(u, v)=x(u, v)+y(u, v)+z(u, v)

完全决定，那么我们就把上式叫做曲面的矢量式参数方程，其中u, v为参数.

3. 径矢(u, v)的分量为{x(u, v), y(u, v), z(u, v)}，从而曲面的参数方程也常写成

该表达式叫做曲面的坐标式参数方程.

4. 空间曲面参数方程的表达形式不唯一.

例1. 一动点移动时，与A(4, 0, 0)及xOy平面等距离，求该动点的轨迹方程. 解：设动点为M(x, y, z)，依题意有

=|z|,

两边平方化简得 (x?4)+y=0.

例2. 在空间，选取适当的坐标系，求下列点的轨迹方程： (1) 到两定点距离之比等于常数的点的轨迹； (2) 到两定点距离之和等于常数的点的轨迹； (3) 到两定点距离之差等于常数的点的轨迹；

(4) 到一定点和一定平面距离之比等于常数的点的轨迹.

解：(1) 取两定点连线为x轴，两定点连线段中点为原点建立空间直角坐标系，设两定点为A (?a, 0, 0)，B (a, 0, 0), 常数为m>0，再设动点M(x, y, z)，则依题意有 =m, 222222

平方得 x + 2ax+a +y+z = mx ?2amx +ma +my +mz,

2222222

(m?1)(x+y+z) ?2a(m+1)x+a(m?1)=0.

此即为所求动点的轨迹.

2

2

2

2

22

2

2

2

(2)设坐标系选取同(1)，两定点间距离为2c (c>0), 常数为2a(a>0)，且b=a?c>0，从而两定点为A(?c, 0, 0), B(c, 0, 0), 设动点为M(x, y, z)，依题意有

＋m移项 平

2

2

2

222

=2a,

, 222

(x+c)+y+z方

2

=2a ?

,

2

=4a+(x?c)+y+z?4a化简 a=a?cx,

2222224222

再平方 a(x?c)+ay+az=a+cx?2acx,

2222222222

化简 (a?c)x+ay+az=a(a?c),

22222222

即 bx+ay+az=ab,

从而 ++=1.

222

(3) 假设同(2)，但b=c?a >0，依题意有

?

移项

=2a+

2

=2a,

,

平方化简 a=cx?a,

2222222222

再平方化简 (c?a)x－ay－az=a(c?a),

22222222

即 bx?ay?az=ab,

从而 ??=1.

(4) 取定点为(0, 0, c)，定平面为xOy面，常数为m>0，设动点为M(x, y, z)，依题意有

＝m |z|,

平方 x+y+z?2cz+c = mz, 即有

22222

x+y+(1?m)z?2cz+c =0.

例3. 求中心在原点, 半径为r的球面的参数方程. 解：如图2-4, 设M是球面上的任意一点，M在xOy坐标面上的射影为 P，设?xOP =? (0≤? <2?)，?zOM =? (0≤?≤?), P在x轴上的射影为Q，那么

=

则 =(r)+(

=

+

+

， .

2

2

2

2

2

)+r这就是圆柱面的矢量式参数方程，它的坐标式参数方程为

其中0≤?≤?, ?≤? <2?.

消去参数得普通方程为

x2 + y2 + z2 = r2 .

例4. 求以z轴为对称轴，半径为R的圆柱面的参数方程. 解：如图2-5, 设M是圆柱面上的任意一点，M在xOy坐标面上的射影为 P，设?xOP =? (0≤? <2?)，P在x轴上的射影为Q，那么

=

则 =(R)+(

=

+

+

，

)+u.

这就是圆柱面的矢量式参数方程，它的坐标式参数方程为

其中的 ? 与u是参数，取值范围分别是0≤? <2?，?? < u < ??.

消去参数得普通方程为

x2+y2=R2 .

作业题：

1. 求下列各球面的方程：

（1） 中心（2，—1，3），半径为R=6；

（2） 中心在原点，且经过点（6，—2，3）；

（3） 一条直径的两个端点是（2，—3，5）与（4，1，—3）； （4） 通过原点与（4，0，0），（1，3，0），（0，0，—4）. 2. 求下列球面的中心与半径：

（1） （2） （3）

；

.

；

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