2013高中数学圆锥曲线问题常用方法
更新时间:2023-08-14 08:16:01 阅读量: IT计算机 文档下载
解圆锥曲线问题常用以下方法: 1、定义法
(1)椭圆有两种定义。第一定义中,r1+r2=2a。第二定义中,r1=ed1 r2=ed2。
(2)双曲线有两种定义。第一定义中,r1 r2 2a,当r1>r2时,注意r2的最小值为c-a:第二定义中,r1=ed1,r2=ed2,尤其应注意第二定义的应用,常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。 (3)抛物线只有一种定义,而此定义的作用较椭圆、双曲线更大,很多抛物线问题用定义解决更直接简明。
2、韦达定理法
因直线的方程是一次的,圆锥曲线的方程是二次的,故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题,最终转化为一元二次方程问题,故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一,尤其是弦中点问题,弦长问题,可用韦达定理直接解决,但应注意不要忽视判别式的作用。
3、解析几何的运算中,常设一些量而并不解解出这些量,利用这些量过渡使问题得以解决,这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题,常用“点差法”,即设弦的两个端点A(x1,y1),B(x2,y2),弦AB中点为M(x0,y0),将点A、B坐标代入圆锥曲线方程,作差后,产生弦中点与弦斜率的关系,这是一种常见的“设而不求”法,具体有:
xy0x2y2
k 0。 (1)2 2 1(a b 0)与直线相交于A、B,设弦AB中点为M(x0,y0),则有0 22ababxy0x2y2
k 0 (2)2 2 1(a 0,b 0)与直线l相交于A、B,设弦AB中点为M(x0,y0)则有022abab
(3)y2=2px(p>0)与直线l相交于A、B设弦AB中点为M(x0,y0),则有2y0k=2p,即y0k=p.
【典型例题】
例1、(1)抛物线C:y2=4x上一点P到点A(3,4______________
(2)抛物线C: y2=4x上一点Q到点B(4,1)与到焦点F的距离和最小,分析:(1)A在抛物线外,如图,连PF,则PH PF当A、P、F三点共线时,距离和最小。
(2)B在抛物线内,如图,作QR⊥l交于R,则当B、Q、R距离和最小。
解:(1)(2,2)
连PF,当A、P、FAP PH PF最小,此时AF即 y=22(x-1),代入y2=4x得P(2,22),(注:另一交点为(舍去)
2)1
, 2),2
(2)(
1
,1) 4
过Q作QR⊥l交于R,当B、Q、R三点共线时,BQ QF BQ QR最小,此时Q点的纵坐标为1,代入y2=4x得x=
11,∴Q(,1) 44
点评:这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转化的一个典型例题,请仔细体会。
x2y2
1的右焦点,A(1,1)为椭圆内一定点,例2、F是椭圆43
(1) PF的最小值为 (2) 2PF的最小值为
分析:PF为椭圆的一个焦半径,常需将另一焦半径PF 虑问题。
解:(1)4-5
设另一焦点为F ,则F (-1,0)连AF ,PF
PA PF 2a PF 2a (PF ) 2a AF 4
当P是F A的延长线与椭圆的交点时, PF取得最小值为4-。 (2)3
作出右准线l,作PH⊥l交于H,因a2=4,b2=3,c2=1, a=2,c=1,e=∴PF
1, 2
1
PH,即2PF PH 2
∴ 2PF PH
a2
xA 4 1 3 当A、P、H三点共线时,其和最小,最小值为c
例3、动圆M与圆C1:(x+1)2+y2=36内切,与圆C2:(x-1)2+y2=4分析:作图时,要注意相切时的“图形特征”共线(如图中的A、M、C共线,B、D、M共线)圆的“半径等于半径”(如图中的MC MD)。
解:如图,MC MD,
∴AC MA MB DB6 MB 2 ∴ MB 8 (*)
x2y2
1 ∴点M的轨迹为椭圆,2a=8,a=4,c=1,b=15轨迹方程为
1615
2
点评:得到方程(*)后,应直接利用椭圆的定义写出方程,而无需再用距离公式列式求解,即列出
(x 1)2 y2 (x 1)2 y2 4,再移项,平方, 相当于将椭圆标准方程推导了一遍,较繁琐!
例4、△ABC中,B(-5,0),C(5,0),且sinC-sinB=
3
sinA,求点A的轨迹方程。 5
分析:由于sinA、sinB、sinC的关系为一次齐次式,两边乘以2R(R为外接圆半径),可转化为边长的关系。
解:sinC-sinB=
33
sinA 2RsinC-2RsinB=·2RsinA 553
BC 5
∴AB AC
即AB AC 6 (*)
∴点A的轨迹为双曲线的右支(去掉顶点) ∵2a=6,2c=10 ∴a=3, c=5, b=4
x2y2
1 (x>3) 所求轨迹方程为
916
点评:要注意利用定义直接解题,这里由(*)式直接用定义说明了轨迹(双曲线右支)
例5、定长为3的线段AB的两个端点在y=x2上移动,AB中点为M,求点M到x轴的最短距离。 分析:(1)可直接利用抛物线设点,如设A(x1,x12),B(x2,X22),又设AB中点为M(x0y0)用弦长公式及中点公式得出y0关于x0的函数表达式,再用函数思想求出最短距离。
(2)M到x轴的距离是一种“点线距离”,可先考虑M到准线的距离,想到用定义法。 解法一:设A(x1,x12),B(x2,x22),AB中点M(x0,y0)
22
(x1 x2)2 (x12 x2) 9① 则 x x 2x ② 120
③ 22
x1 x2 2y0
由①得(x1-x2)2[1+(x1+x2)2]=9
即[(x1+x2)2-4x1x2]·[1+(x1+x2)2]=9 ④ 由②、③得2x1x2=(2x0)2-2y0=4x02-2y0
代入④得 [(2x0)2-(8x02-4y0)]·[1+(2x0)2]=9
∴4y0 4x0
2
9
, 2
1 4x0
2
4y0 4x0
992
(4x 1) 1 022
4x04x0 1
5
4
≥2 1 5, y0
当4x02+1=3 即 x0
5225
时,(y0)min 此时M( ,)
4224
法二:如图,2MM2 AA2 BB2 AF BF AB 3
∴MM2
3, 即25
∴MM1 , 当4∴M到x点评:而不求”的方法。证AB是否能经过焦点Fx2y2
1(2 m 5)过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及准线从左到右依次例6、已知椭圆
mm 1
变于A、B、C、D、设f(m)=AB CD,(1)求f(m),(2)求f(m)的最值。
分析:此题初看很复杂,对f(m)的结构不知如何运算,因A、B来源于“不同系统”,A在准线上,B在椭圆上,同样C在椭圆上,D在准线上,可见直接求解较繁,将这些线段“投影”到x轴上,立即可得防
得(m-1)x2+m(x+1)2-m2+m=0 ∴(2m-1)x2+2mx+2m-m2=0
设B(x1,y1),C(x2,y2),则x1+x2=-
2m
(2 m 5)
2m 1
f(m) AB CD 2(xB xA) (xD xC)2m
2(x1 x2) (xA xC) 2x1 x2 2
2m 1
(2)f(m)
2
2m 1 11
2(1 )
2m 12m 1
∴当m=5时,f(m)min
2
942
3
当m=2时,f(m)max
点评:此题因最终需求xB xC,而BC斜率已知为1,故可也用“点差法”设BC中点为M(x0,y0),通过将B、C坐标代入作差,得
x0yxx 1 0 k 0,将y0=x0+1,k=1代入得0 0 0,∴mm 1mm 1
x0
m2m
,可见xB xC
2m 12m 1
当然,解本题的关键在于对f(m) AB CD的认识,通过线段在x轴的“投影”发现
f(m) xB xC是解此题的要点。
【同步练习】
x2y2
1、已知:F1,F2是双曲线2 2 1的左、右焦点,过F1作直线交双曲线左支于点A、B,若AB m,
ab
△ABF2的周长为( )
A、4a B、4a+m C、4a+2m D、4a-m
2、若点P到点F(4,0)的距离比它到直线x+5=0的距离小1,则P点的轨迹方程是 ( )
A、y2=-16x B、y2=-32x C、y2=16x D、y2=32x
3、已知△ABC的三边AB、BC、AC的长依次成等差数列,且 AC,点B、C的坐标分别为(-1,0),(1,0),则顶点A的轨迹方程是( )
x2y2x2y2
1(x 0) 1 B、A、
4343x2y2x2y2
1(x 0) D、 1(x 0且y 0) C、4343
4、过原点的椭圆的一个焦点为F(1,0),其长轴长为4,则椭圆中心的轨迹方程是 ( ) A、(x ) y C、x (y )
2
1
2
22
919
(x 1) B、(x )2 y2 (x 1) 424919
(x 1) D、x2 (y )2 (x 1) 424
12
2
x2y2
1上一点M的横坐标为4,则点M到左焦点的距离是 5、已知双曲线
916
6、抛物线y=2x2截一组斜率为2的平行直线,所得弦中点的轨迹方程是 7、已知抛物线y2=2x的弦AB所在直线过定点p(-2,0),则弦AB中点的轨迹方程是
8、过双曲线x2-y2=4的焦点且平行于虚轴的弦长为
9、直线y=kx+1与双曲线x2-y2=1的交点个数只有一个,则x2y2
1上的动点,F1,F2是椭圆的两个焦点,求sin∠F1PF2的最大值。 10、设点P是椭圆
259
11、已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,左焦点到坐标原点、右焦点、右准线的距离依次成等差数列,若直线l与此椭圆相交于A、B两点,且AB中点M为(-2,1),AB 4,求直线l的方程和椭圆方程。
x2y2
12、已知直线l和双曲线2 2 1(a 0,b 0)及其渐近线的交点从左到右依次为A、B、C、D。
ab
求证:AB CD。
【参考答案】
1、C
AF2 AF1 2a,BF2 BF1 2a,
∴AF2 BF2 AB 4a,AF2 BF2 4a 2m,选C 2、C
点P到F与到x+4=0等距离,P点轨迹为抛物线 p=8开口向右,则方程为y2=16x,选C 3、D
∵AB AC 2 2,且 AC
∵点A的轨迹为椭圆在y轴右方的部分、又A、B、C三点不共线,即y≠0,故选D。 4、A
22
设中心为(x,y),则另一焦点为(2x-1,2y),则原点到两焦点距离和为4得1 (2x 1) (2y) 4,
∴(x ) y
12
22
9 4
22
①又c<a,∴(x 1) y 2
∴(x-1)2+y2<4 ②,由①,②得x≠-1,选A 5、
29 3
左准线为x=-6、x
992952929
,M到左准线距离为d 4 ( ) 则M到左焦点的距离为ed
555353
11(y ) 22
设弦为AB,A(x1,y1),B(x2,y2)AB中点为(x,y),则y1=2x12,y2=2x22,y1-y2=2(x12-x22) ∴
y1 y21 2(x1 x2) ∴2=2·2x,x
2x1 x2
1111
代入y=2x2得y ,轨迹方程是x (y>) 2222
将x
7、y2=x+2(x>2)
设A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点M(x,y),则
22
y12 2x1,y2 2x2,y12 y2 2(x1 x2),
y1 y2
(y1 y2) 2
x1 x2
∵kAB kMP
y 0y
2y 2,即y2=x+2 ,∴
x 2x 2
又弦中点在已知抛物线内P,即y2<2x,即x+2<2x,∴x>2 8、4
a2 b2 4,c2 8,c 22,令x 22代入方程得8-y2=4
∴y2=4,y=±2,弦长为4 9、
2或 1
y=kx+1代入x2-y2=1得x2-(kx+1)2-1=0 ∴(1-k2)x2 1 k2① 0
②1-k2=010、解:a2设F1、F2设PF1 则 r1 r2 22 r1 r2 ①2-②得2r ∴1+cosθ182b2
∴1+cosθ的最小值为2,即1+cosθ
25a
cosθ
77 , 0 arccos则当 时,sinθ取值得最大值1, 25252
即sin∠F1PF2的最大值为1。
x2y2
11、设椭圆方程为2 2 1(a b 0)
ab
a2
由题意:C、2C、 c成等差数列,
ca2
c即a2 2c2, ∴4c c c
∴a2=2(a2-b2),∴a2=2b2
x2y2
椭圆方程为2 2 1,设A(x1,y1),B(x2,y2)
2bb
22
x12y12x2y2
1② 则2 2 1①
2bb2b2b222
x12 x2y12 y2
0 ①-②得
2b2b2
∴
xmym k 0 22
2bb 2
k 0 ∴k=1 2
1
2 12(18 2b2)2 43 3
即
直线AB方程为y-1=x+2即y=x+3, 代入椭圆方程即x2+2y2-2b2=0得x2+2(x+3)2-2b2=0 ∴3x2+12x+18-2b2=0, AB x1 x2 1
2
x2y2
1,直线l方程为x-y+3=0 解得b=12, ∴椭圆方程为
2412
12、证明:设A(x1,y1),D(x2,y2),AD中点为M(x0,y0)直线l的斜率为k,则
x12y12
2x0 2 1① 2
①-②得 ab2 2a2
x2 y2 1② a2b2
2y0
k 0 ③ 2b
,y1 ),C(x2 ,y2 ),BC中点为M (x0 ,y0 ), 设B(x1
x12y121
12 0 ④2则 ab
12
12
xy 2
22 0⑤ 2
b a
1 2y02x1
④-⑤得2 2 k 0 ⑥
ab
由③、⑥知M、M 均在直线l :
2x2y
2 k 0上,而M、M 又在直线l上 , 2ab
若l过原点,则B、C重合于原点,命题成立 若l与x轴垂直,则由对称性知命题成立 若l不过原点且与x轴不垂直,则M与M 重合 ∴AB CD
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