2009-2014年数三真题，附2014答案

2009年考研数学（三）真题

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.

x?x3（1）函数f(x)?的可去间断点的个数为

sin?x(A)1.

(B)2. (C)3.

(D)无穷多个.

2（2）当x?0时，f(x)?x?sinax与g(x)?xln(1?bx)是等价无穷小，则

11. （B）a?1，b?. 6611(C)a??1，b??. （D）a??1，b?.

66xsintdt?lnx成立的x的范围是 （3）使不等式?1t(A)a?1，b??(A)(0,1).

(B)(1,??). (C)(,?). 22(D)(?,??).

（4）设函数y?f?x?在区间??1,3?上的图形为

f(x) 1 O -1 x-2 则函数F?x??1 2 3 x

?f?t?dt的图形为

0f(x)1 O -1 f(x)1 -2 (A)

1 2 3 x

(B)

-2 -1 O 1 2 3 x

f(x)1 O 1 2 3 f(x)1 -1 (C)

x

?*-2 (D)

-1 O 1 2 3 x

（5）设A,B均为2阶矩阵，A,B分别为A,B的伴随矩阵，若|A|?2,|B|?3，则分块矩

?OA?阵??的伴随矩阵为

BO???O3B*?(A)?*?.

O??2A?O3A*?(C)?*?.

O??2B

?O2B*? (B)?*?.

O??3A?O2A*? (D)?*?.

O??3B

?100???TT（6）设A,P均为3阶矩阵，P为P的转置矩阵，且PAP??010?，

?002???若P?(?1,?2,?3),Q?(?1??2,?2,?3)，则QAQ为

T?210???(A)?110?.

?002????200???(C)?010?. ?002???

?110??? (B)?120?.

?002????100??? (D)?020?.

?002???

（7）设事件A与事件B互不相容，则

(A)P(AB)?0.

(B)P(AB)?P(A)P(B).

(D)P(A?B)?1.

(C)P(A)?1?P(B).

（8）设随机变量X与Y相互独立，且X服从标准正态分布N(0,1)，Y的概率分布为

P{Y?0}?P{Y?1}?1，记Fz(Z)为随机变量Z?XY的分布函数，则函数Fz(Z)2的间断点个数为 (A) 0. (B)1. (C)2 . (D)3.

二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9）lime?ecosx1?x?12x?03? . （10）设z?(x?e)，则

yx?z? . ?x(1,0)en?(?1)nn（11）幂级数?x的收敛半径为 . 2nn?1?（12）设某产品的需求函数为Q?Q(P),其对应价格P的弹性?p?0.2，则当需求量为10000件时，价格增加1元会使产品收益增加 元.

?300???TTT（13）设??(1,1,1),??(1,0,k)，若矩阵??相似于?000?，则k? .

?000??? (14)设X1，X2,…,Xn为来自二项分布总体B(n,p)的简单随机样本，X和S分别为样本均值和样本方差，记统计量T?X?S，则ET? .

三、解答题：15～23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

22（15）（本题满分9分）求二元函数f(x,y)?x2?y?ylny的极值.

22??（16）（本题满分10 分）计算不定积分ln(1?

（17）（本题满分

?1?x)dx (x?0). x10 分）计算二重积分

??(x?y)dxdyD，其中

D?{(x,y)(x?1)2?(y?1)2?2,y?x}.

（18）（本题满分11 分）（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理，若函数f(x)在?a,b?上连续，在

?a,b?上可导，则???a,b?，得证f(b)?f(a)?f'(?)?b?a?.

'且limf(x)?A，??,(??0)内可导，

x?0?（Ⅱ）证明：若函数f(x)在x?0处连续，在?0,则f?'(0)存在，且f'?(0)?A.

（19）（本题满分10 分）设曲线y?f(x)，其中f(x)是可导函数，且f(x)?0.已知曲线

y?f(x)与直线y?0,x?1及x?t(t?1)所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所得的立体

体积值是该曲边梯形面积值的?t倍，求该曲线的方程. （20）（本题满分11 分）

?1?1?1???1?????1?,?1??1?. 设A=??11?0?4?2???2?????（Ⅰ）求满足A?2??1，A2?3??1的所有向量?2，?3. （Ⅱ）对（Ⅰ）中的任意向量?2,?3，证明?1,?2,?3线性无关.

（21）（本题满分11 分）设二次型f(x1,x2,x3)?ax12?ax22?(a?1)x32?2x1x3?2x2x3. （Ⅰ）求二次型f的矩阵的所有特征值.

（Ⅱ）若二次型f的规范形为y12?y12，求a的值.

?e?x（22）（本题满分11 分）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)???0（Ⅰ）求条件概率密度fYX(yx)； （Ⅱ）求条件概率P???X?1Y?1??.

0?y?x其他

（23）（本题满分11分）袋中有一个红球，两个黑球，三个白球，现在放回的从袋中取两次，每次取一个，求以X、Y、Z分别表示两次取球所取得的红、黑与白球的个数. （Ⅰ）求P??X?1Z?0??；

（Ⅱ）求二维随机变量(X,Y)的概率分布.

2010年考研数学（三）真题

一选择题（）

[?(?a)ex]?1则a= 1.若limx?o1x1xA0 B1 C2 D3

2.设y1,y2是一阶线性非齐次微分方程y??p(x)y?q(x)的两个特解，若常数?,?使?y1??y2是该方程的解，?y1??y2是该方程对应的齐次方程的解，则

111122222122C??,?? D??,??

3333A??,?? B???,???

3.设函数f(x),g(x)具有二阶导数，且g??(x)?0.若g(x0)?a是g(x)的极值，则f(g(x))在x0取极大值的一个充分条件是 Af?(a)?0 Bf?(a)?0 Cf??(a)?0 Df??(a)?0 4设f(x)?lnx,g(x)?x,h(x)?e则当x充分大时有

10x10Ag(x)

?，?s线性表示，5设向量组I:?1,?2,?，?r可由向量组II：?1，?2，下列命题正确

的是：

A若向量组I线性无关，则r?s B若向量组I线性相关，则r>s C若向量组II线性无关，则r?s D若向量组II线性相关，则r>s 6.设A为4阶实对称矩阵，且A2?A?0，若A的秩为3，则A相似于

?1??1?????11???A? B ????1?1???????0?0????

2013年全国硕士研究生入学统一考试

数学三试题

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．

（1）档x?0时，用o(x)表示比x的高阶无穷小，则下列式子中错误的是（ ）

A、x?o(x2)?o(x3) B、o(x)?o(x2)?o(x3) C、o(x2)?o(x2)?o(x2) D、o(x)?o(x2)?o(x2) （2）设函数f(x)?x?1x(x?1)lnxx的可去间断点个数为( )

A.0 B.1 C.2 D.3

22（3）设Dk是圆域D?(x,y)x?y?1??位于第K象限的部分,记

Ik???(y?x)dxdy(k?1,2,3,4),则( )

DK A.I1?0 B.I2?0 C.I3?0 D. I4?0 （4）设?an?为正项数列,下列选项正确的是( )

A.若an?an?1，则

??(?1)n?1?n?1an收敛 B.若?(?1)n?1an收敛，则an?an?1

n?1?C.若

?an?1n收敛，则存在常数P?1,使limnpan存在

n???D.若存在常数P?1,使limnan存在,则

n??p?an?1n收敛

（5）设矩阵A.B.C均为n阶矩阵，若AB=C,则B可逆，则（ ）

A.矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价 B.矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价 C.矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价 D.矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价

?1a1??200?????（6）若矩阵?aba?和?0b0?相似的充分必要条件为（ ）

?1a1??000?????A.a?0,b?2 B.a?0,b为任意数 C.a?2,b?0 D.a?2，b为任意数

22（7）设X1,X2,X3是随机变量，且X1~N(0,1),X2~N(0,2),X3~N(5,3),

则Pj?P?2?Xj?2?j?1,2,3?,则（ ）

A.P1?P2>P2>P1>P1>P2 D.P1>P2 3 B.P3 C.P3>P3>P(8)设随机变量X和Y相互独立，则X和Y的概率分布分别为：

X -1 0 X 0 1 2 3

1 1 1 1 1 1 P P 332488

则P?X?Y?2??( ) A.

??1 1 3

1111 B. C. D. 12862二、填空题：9?14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位．．．置上.

（9）设曲线y?f(x)和y?x?x在点（0,1）处有公共的切线，则limnf(n??2n)=______. n?2(10)设函数z?z?x,y?由方程(z?y)?xy确定，则

x?z=________. ?x(1,2)(11)求

???1lnxdx=______. 2(1?x)(12) 微分方程y???y??1y?0的通解为y?_____ 4（13）设A=（aij）是三阶非零矩阵，A为A的行列式，Aij为aij的代数余子势，若Aij+aij=0Aij?aij?0(i,j?1,2,3)，则A=_________.

(14)设随机变量X服从标准正态分布X~N(0,1),则E(Xe2X)?____。

三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写．．．

出文字说明、证明过程或演算步骤.

（15）（本题满分10分）

?coscx?os2x?cos3x当x?0时，1与为等价无穷小，求n与a的值。

（16）（本题满分10分）

(?0)及x轴所围成的平面图形，设D是由曲线y?x，直线x?aaVx,Vy分别是D绕x轴，y轴旋转一周所得旋转体的体积，若Vy?10Vx，求a的值。

（17）（本题满分10分）

133y,y?3x及x?y?8围成.计算设平面内区域D由直线x?

（18）（本题满分10分）

??Dx2dxdy。

设生产某产评的固定成本为6000元，可变成本为20元/件，价格函数为P?60?是单价，单位：元；Q是销量，单位：件），已知产销平衡，求： (I) 该商品的边际利润。

(II) 当P?50时的边际利润，并解释其经济意义。 (III)使得利润最大的定价P。

（19）（本题满分10分）

设函数f(x)在0,??上可导，f(0)?0且limf(x)?2，证明：

x???Q.(P1000??（I）存在a?0，使得f(a)?1。

（II）对于（1）中的a，存在??(0,a)，使得f?(?)?

f(a)?f(0)1?。

a?0a

（20）（本题满分11分）

?1a??01????设A??，B??，当a,b为何值时，存在矩阵C使得AC?CA?B,并求所有????10??1b?矩阵C.

（21）（本题满分11分） 设

二

次

型

fx,x,x?2ax?ax?ax?bx?bx?bx??????，12311223311223322记

?a1??b1????。

???a,??2???b2??a??b??3??3??T???T?； （I）证明二次型对应的矩阵为22（II）若?,?正交且均为单位向量，证明二次型在正交变化下的标准形为二次型2y12?y2。

10.（本题满分11分）

?3x2,0?x?1设(X,Y)是二维随机变量，X的边缘概率密度为fX(x)??，在给定

?0,其他?3y2?3,0?y?x?x X?x(0?x?1)的条件下，Y的条件概率密度为fYX(yx)??（I）求(X,Y)的概率密度f(x,y) （II）Y的边缘密度fY(y)

（23）（本题满分11分）

?设总体X的概率密度为f(x)???2?xe??x3,x?0 ??0,其他X1,X2,?XN为来自总体X的简单随机样本。

（I）求?的矩估计量。

（II）求?的最大似然估计量。

?0，其他其中?为未知参数且大于零，

2014年全国硕士研究生入学统一考试

数学三试题

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．

（1）设liman?a,且a?0,则当n充分大时有（ ） （A）an?a 2a 2（B）an?1 n1（D）an?a?

n（2）下列曲线有渐近线的是（ ）

（C）an?a?（A）y?x?sinx （B）y?x2?sinx

1（C）y?x?sin

x1（D）y?x2?sin

x（3）设P(x)?a?bx?cx2?dx3 ，当x?0 时，若P(x)?tanx 是比x3高阶的无穷小，则下列试题中错误的是 （A）a?0 （B）b?1 （C）c?0

1（D）d?

6g(x)?f(0)(1?x)?f(1)x，（4）设函数f(x)具有二阶导数，则在区间[0,1]上（ ）

（A）当f'(x)?0时，f(x)?g(x) （B）当f'(x)?0时，f(x)?g(x) （C）当f'(x)?0时，f(x)?g(x) （D）当f'(x)?0时，f(x)?g(x)

0a（5）行列式

0c（A）(ad?bc)2

ab000b?

cd000d（B）?(ad?bc)2 （C）a2d2?b2c2 （D）b2c2?a2d2

（6）设a1,a2,a3均为3维向量，则对任意常数k,l，向量组?1?k?3,?2?l?3线性无关是向量组?1,?2,?3线性无关的 （A）必要非充分条件 （B）充分非必要条件 （C）充分必要条件 （D）既非充分也非必要条件

（7）设随机事件A与B相互独立，且P（B）=0.5，P(A-B)=0.3，求P（B-A）=（ ） （A）0.1 （B）0.2 （C）0.3 （D）0.4

（8）设X1,X为来自正态总体N(0,?2)的简单随机样本，则统计量2,3X从的分布为

X1?X2服2X3（A）F（1,1） （B）F（2,1） （C）t(1） （D）t(2)

二、填空题：9?14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. ．．．（9）设某商品的需求函数为Q?40?2P（P为商品价格），则该商品的边际收益

为_________。

(10)设D是由曲线xy?1?0与直线y?x?0及y=2围成的有界区域，则D的面积为_________。

(11)设

?a0xe2xdx?11，则a?_____. 4122ex (12)二次积分?dy?(?ey)dx?________.

0yx2（13）设二次型f(x1,x2,x3)?x12?x2?2ax1x3?4x2x3的负惯性指数为1，则a的取

值范围是_________

?2x?（14）设总体X的概率密度为f(x;?)??3?2??0X1,X2,...,Xn,为来自总体X的简单样本，若c??x?2?其它，其中?是未知参数,

22? 是的无偏估计，则c = x?ii?1n_________

三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字．．．说明、证明过程或演算步骤.

（15）（本题满分10分）

?求极限limx???x1?2?1??t?t?e?1??t?dt??????

1x2ln(1?)x（16）（本题满分10分）

xsin(?x2?y2)dxdy. 设平面区域D?{(x,y)|1?x?y?4,x?0,y?0}，计算??x?yD22（17）（本题满分10分）

?2z?2z设函数f(u)具有2阶连续导数，z?f(ecosy)满足2?2?4(z?excosy)e2x，

?x?yx若f(0)?0,f'(0)?0，求f(u)的表达式。 （18）（本题满分10分）

求幂级数?(n?1)(n?3)xn的收敛域及和函数。

n?0?（19）（本题满分10分）

设函数f(x),g(x)在区间[a,b]上连续，且f(x)单调增加，0?g(x)?1，证明： （I）0??g(t)dt?x?a,x?[a,b];

ax（II）

?a?a?ag(t)dtf(x)dx?bf(x)g(x)dx. ?ab?1?23?4???（20）（本题满分11分）设A??01?11?，E为3阶单位矩阵。

?120?3??? ①求方程组Ax?0的一个基础解系； ②求满足AB?E的所有矩阵B

?11?11（21）（本题满分11分）证明n阶矩阵????11（22）（本题满分11分）

1??00??1??00与????1??001??2?相似。 ??n?1设随机变量X的概率分布为P{X=1}=P{X=2}=，在给定X?i的条件下，随机

2变量Y服从均匀分布U(0,i)(i?1,2) （1）求Y的分布函数FY(y) （2）求EY

（23）（本题满分11分）

12设随机变量X与Y的概率分布相同，X的概率分布为P{X?0}?,P{X?1}?,331且X与Y的相关系数?XY?

2（1） 求（X，Y）的概率分布

（2）求P{X+Y?1}

2014年全国硕士研究生入学统一考试

数学三试题答案

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．

ACDCBABC

二、填空题：9?14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. ．．．（9）

dR?40?4p dp3?ln2 21（11）a?

21（12）(e?1)

2（10）（13）[-2,2] （14）

2 5n三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、．．．证明过程或演算步骤. （15）【答案】

x???lim?x1[t(e?1)?t]dtx2ln(1?1xx21x1)xx1?lim(e?1)?t2dt??tdt1x?limx2(e?1)?xx???x???1,x则limx2(e?1)?x令u?x???

eu?1?u?lim?u?0u2eu?11?lim??u?02u2（16）【答案】

??20d???21?cos?sin???d??cos???sin?2cos?d???sin??d?0cos??sin?121?cos????2d???dcos??1?0cos??sin?1?cos?12???2d?(?cos??1??0cos??sin??1?cos????2d??(2?1)?0cos??sin?31?????2d??203??4??2?21cos??d??)

（17）【答案】

?E?f?(excosy)excosy ?x?2Ex2x2xx????f(ecosy)ecosy?f(ecosy)ecosy2?x?E?f?(excosy)ex(?siny)?y?2Ex2x2xx????f(ecosy)esiny?f(ecosy)e(?cosy)2?y

?2E?2E?2?f??(excosy)e2x?(4E?excosy)e2x2?x?yf??(ecosy)?4f(ecosy)?ecosy令ecosy?u， 则f??(u)?4f(u)?u， 故f(u)?C1e2uxxx

xu?C2e?2u?,(C1,C2为任意常数4)

由f(0)?0,f?(0)?0,得

e2ue?2uuf(u)???

16164

（18）【答案】

由lim(n?2)(n?4)?1，得R?1

n??(n?1)(n?3)当x?1时，

?(n?1)(n?3)发散，当x??1时，?(?1)(n?1)(n?3)发散，

nn?0n?0??1)。 故收敛域为(?1,x?0时，

n(n?1)(n?3)x?((n?3)(n?1)xdx)????nn?0n?00??x?(?(n?3)xn?0?n?11?)??(?(n?3)xn?2)?xn?0。

1?x1?n?3n?2?((??(n?3)xdx)?)??((?x)?)?xn?00xn?01x33x?2x23?x??(()?)??()??s(x)23x1?x(1?x)(1?x)

x?0时，s(x)?3，故和函数s(x)?19.【答案】

3?x1) ，x?(?1,3(1?x)xxx证明：1）因为0?g(x)?1，所以有定积分比较定理可知，

?a0dt??g(t)dt??1dt，即

aa0??g(t)dt?x?a。

ax2）令

F(x)??f(t)g(t)dt??axxx??ag(t)dt?af(t)dt

F(a)?0F?(x)?f(x)g(x)?f[a??ag(t)dt]g(x)?g(x){f(x)?f[a??ag(t)dt]}由1）可知所以a?xxx?ag(t)dt?x?a，

?xag(t)dt?x。

由f(x)是单调递增，可知

f(x)?f[a??ag(t)dt]?0

由因为0?g(x)?1，所以F?(x)?0，F(x)单调递增，所以F(b)?F(a)?0，得证。

x??k1?2?k2?6?k3?1???2k?12k?32k?1T123??k,k,k?R? （20）【答案】①??1,2,3,1? ②B???3k1?13k2?43k3?1?123??kkk123??（21）【答案】利用相似对角化的充要条件证明。

?0,y?0,?3?y,0?y?1,?4（22）【答案】（1）FY?y???

11???1?y?,1?y?2,??2?2???1,y?2.（2）

3 41 （23）【答案】（1） Y X 0 0 1 2 91 94 91 95 9（2）

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