直角三角形与勾股定理(初中数学中考题汇总20)

? 选择题（每小题x分，共y分）

（2011?黑龙江省龙东地区）18、在△ABC中，BC:AC:AB=1:1:

2，则△ABC是

（ D ）

A、等腰三角形 B、钝角三角形 C、直角三角形 D、等腰直角三角形

（2011?黑龙江省龙东地区）20、在锐角△ABC中，∠BAC=60°，BN、CM为高，P为BC的中点，连接MN、MP、NP，则结论：①NP=MP ②当∠ABC=60°时，MN∥

BC ③ BN=2AN ④AN︰AB=AM︰AC，一定正确的有 （ C ） A A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

M

N

B C

P 第20题图

0

（2011?遵义）10.如图，在直角三角形ABC中（∠C＝90）,放 置边长分别3,4,x的三个正方形，则x的值为C A. 5 B. 6 C. 7 D. 12

1. （2011山东滨州，9，3分）在△ABC中,∠C=90°, ∠C=72°,AB=10,则边AC的长约为(精确到0.1)（ ）

A.9.1 B.9.5 C.3.1 D.3.5 【答案】C

2. （2011山东烟台，7,4分）如图是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形，两直角边分别为6m和8m.按照输油中心O到三条支路的距离相等来连接管道，则O到三条支路的管道总长（计算时视管道为线，中心O为点）是（ ）

A2m B.3m C.6m D.9m

O （第7题图）

【答案】C

3. （2011台湾全区，29）已知小龙、阿虎两人均在同一地点，若小龙向北直走160公尺，

再向东直走

80公尺后，可到神仙百货，则阿虎向西直走多少公尺后，他与神仙百货的距离为340公尺？

A． 100 B． 180 C． 220 D． 260

【答案】Ｃ

4. （2011湖北黄石，7，3分）将一个有45度角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的

纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30度角，如图(3)，则三角板的最大边的长为

A. 3cm B. 6cm C. 32cm D. 62cm

【答案】D

5. （2011贵州贵阳，7，3分）如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P是

BC边上的动点，则AP长不可能是

（第7题图）

（A）3.5 （B）4.2 （C）5.8 （D）7 【答案】D

6. （2011河北，9，3分）如图3，在△ABC中，∠C=90°，BC=6,D,E分别在AB,AC上，将△ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处，若A′为CE的中点，则折痕DE的长为（ ）

A．

1 2 B．2 C．3 D．4

BDCA'图3EA

【答案】B

（2011?宿迁市）11．将一块直角三角形纸片ABC折叠，使点A与点C重合，

A展开后平铺在桌面上（如图所示）．若∠C＝90°，BC＝

8cm，则折痕DE的长度是 4▲ cm．

DE

CB

（第11题）

（2011?金华市）9.如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙

光路与环城路垂直.如果小明站在南京路与八一街的交 叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约 为（ B▲ )

A.600m B.500m

C.400m D.300m

（2011?鸡西市）10．如图，在Rt△ABC中，AB=CB，BO⊥AC，把△ABC折叠，使AB

落在AC上，点B与AC上的点E重合，展开后，折痕AD交BO 于点F，连结DE、EF.下列结论：①tan∠ADB=2 ②图中有4对全 等三角形 ③若将△DEF沿EF折叠，则点D不一定落在AC上

④BD=BF ⑤S四边形DFOE=S△AOF，上述结论中正确的个数是（ C ） A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 16、（2011?綦江县）一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示．正方形DEFH的边长为2米，坡角∠A=30°，∠B=90°，BC=6米．当正方形DEFH运动到什么位置，即当AE=

米时，有DC=AE+BC．

2

2

2

考点：一元二次方程的应用；含30度角的直角三角形；勾股定理。

分析：根据已知得出假设AE=x，可得EC=12﹣x，利用勾股定理得出DC=DE+EC=4+（12

2222

﹣x），AE+BC=x+36，即可求出x的值． 解答：解：假设AE=x，可得EC=12﹣x， ∵坡角∠A=30°，∠B=90°，BC=6米， ∴AC=12米， ∵正方形DEFH的边长为2米，即DE=2米， ∴DC=DE+EC=4+（12﹣x）， 222

AE+BC=x+36，

222∵DC=AE+BC，

22

∴4+（12﹣x）=x+36， 解得：x=

米．

2

2

2

2

2

2

2

故答案为：．

? 二、填空题（每小题x分，共y分）

(2011?肇庆)13．在直角三角形ABC中，∠C=90°，BC=12，AC=9，则AB=__15_______． （2011?遵义）15．如图，由四个边长为1的小正方形构成一个大正方形，连接小正方形的三个

顶点，可得到△ABC，则△ABC中BC边上的高是

第10题图

32 。 2

2. （2011浙江温州，16，5分）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1,S2，S3． 若S1，S2，S3＝10，则S2的值是 ．

【答案】

10 310、（2011?黑河）已知三角形相邻两边长分别为20cm和30cm，第三边上的高为10cm，则此

三角形的面积为 （100+50）或100cm．

2

3. (2011重庆綦江，16，4分) 一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示.正方形DEFH

的边长为2米，坡角∠A＝30°,∠B＝90°,BC＝6米. 当正方形DEFH运动到什么位置,即当AE＝ 米时,有DC＝AE＋BC.

222 【答案】：

14 3（2011?泰州市）18．如图，平面内4条直线l1、l2、 l3、 l4是一组平行线，相邻2条平行线的距离都是1个单位长度，正方形ABCD的4个顶点A、B、C、D都在这些平行线上，其中点A、C分别在直线l1、l4上，该正方形的面积是 平方单位。 【答案】5． A

D B C

（2011?河南省）13.如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=4，连接BD，BD⊥CD，∠ADB=∠C.若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为 4 。

16. （2011山东滨州，16，4分）在等腰△ABC中，∠C=90°则tanA=________. 【答案】1 15. （2011山东滨州，15，4分）边长为6cm的等边三角形中，其一边上高的长度为________. 【答案】33cm 5. (湖南湘西,5,3分)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，若BC=3,AC=4,则AB的长是______.

【答案】5

1． 〔2011?凉山州〕把命题“如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，

那么a?b?c”的逆命题改写成“如果??，那么??”的形式： 如果三角形三边长a，b，c，满足a?b?c，那么这个三角形是直角三角形 。

5. （2011江苏无锡，16，2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，D、E、F分别是AB、

BC、CA的中点，若CD = 5cm， 则EF = _________cm．

222222C F E B

A

D （第16题）

【答案】5

6. （2011广东肇庆，13，3分）在直角三角形ABC中，∠C ＝ 90°，BC ＝ 12，AC ＝ 9，则AB＝ ▲ ．

【答案】15

7. （2011贵州安顺，16，4分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6cm，AC=8cm，按图中所示方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在AB边的C′点，那么△ADC′的面积是 ．

第16题图

【答案】6cm2

8. （2011山东枣庄，15，4分）将一副三角尺如图所示叠放在一起，若AB=14cm，则阴影部分的面积是________cm2. A

C E

【答案】

F 30° 45° B

D 49 2? 三、解答题：（共x分）

（2011?遵义）23．(10分) 把一张矩形ABCD纸片按如图方式折叠，使点A与点E重合，点C

与点F重合（E、 F两点均在BD上），折痕分别为BH、DG。

（1）求证：△BHE≌△DGF；

（2）若AB＝6cm，BC＝8cm，求线段FG的长。

解:(1)(5分) ∵四边形ABCD是矩形

O

∴∠A=∠C=90,AB CD ∴∠ABD=∠CDB

∵△BHE、△DGF分别是由△BHA、△DGC折叠所得 ∴BE=AB,DF=CD, ∠HEB=∠A, ∠GFD=∠C ∠HBE=

11∠ABD, ∠GDF=∠CDB 22 ∴∠HBE=∠GDF, ∠HEB=∠GFD,BE=DF

∴△BHE≌△DGF

(2)(5分) 在Rt△BCD中，∵AB=CD=6，BC=8

∴BD=BC2?CD2?82?62?10

∴BF=BD-DF=BD-CD=4

设FG=x,则BG=BC-CG=BC-FG=8-x, 则有：(8?x)2?x2?42

解得x=3

∴线段FG的长为3cm.

20.(本题6分) (2011·湖南湘西,20,6分)如图，在△ABC中，AD⊥BC,垂足为D，∠B=60°,∠C=45°.

(1)求∠BAC的度数。

（2）若AC=2,求AD的长。

解: (1)∠BAC=180°-60°-45°=75° (2) ∵AD⊥BC,∴△ADC是直角三角形,

∵∠C=45°, ∴∠DAC=45°,根据勾股定理,得AD=2. ，AB?AC，M是BC（2011?扬州市）28．（本题满分12分）在△ABC中，?BAC?90°边的中点，MN⊥BC交AC于点N．动点P从点B出发沿射线BA以每秒3厘米的速度运动．同时，动点Q从点N出发沿射线NC运动，且始终保持MQ⊥MP．设运动时间为． t秒（t?0）

（1）△PBM与△QNM相似吗？以图１为例说明理由； （2）若?ABC?60°，AB?43厘米． ①求动点Q的运动速度；

②设△APQ的面积为S（平方厘米），求S与t的函数关系式；

（3）探求BP2、PQ2、CQ2三者之间的数量关系，以图１为例说明理由．

A

N P B

M 图1

C B M 图2（备用图）

C

Q

A

N

28．解：（1）△PBM≌△QNM． 理由如下：

如图1，?MQ⊥MP，MN?BC，

，?QMN??PMN?90°， ??PMB??PMN?90°??PMB?QMN．

，?QNM??C?90°， ??PBM??C?90°??PBM??QNM． ?△PBM∽△QNM．（2）??BAC?90°，?ABC?60°，?BC?2AB?83cm． 又?MN垂直平分BC，?BM?CM?43cm．

?MN???C?30°，3CM＝4cm． 3①设Q点的运动速度为v cm/s．

如图１，当0?t?4时，由（1）知△PBM≌△QNM．

?NQMNvt4?，即 ?，?v?1．BPMB3t3如图2，易知当t≥4时，v?1． 综上所述，Q点运动速度为1 cm/s． ②?AN?AC?NC?12?8?4cm，

?如图1，当0?t?4时，AP?43?3t，AQ?4?t．?S?1132AP·AQ?43?3t?4?t???t?83． 222??如图2，当t≥4时，AP?3t?43,AQ?4?t,

?S?11AP·AQ?22?3t?43?4?t???32t?83． 2?32t?83?0?t?4????2综上所述，S???

?3t2?83t≥4????2?

????????????

P A

N P B D 图1

222A Q C B N Q M

M

C

图2（备用图）

（?）PQ?BP?CQ??理由如下：?

如图?，延长QM至D，使MD?MQ，连结BD、PD??

∥CQ. ?BC、DQ互相平分，?四边形BDCQ是平行四边形，?BD ??BAC?90°，??PBD?90°，?PD2?BP2?BD2?BP2?CQ2． ?PM垂直平分DQ，?PQ?PD．?PQ2?BP2?CQ2．?

24. （2011山东烟台，24，10分）

已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，CD⊥AD，AD2＋CD2＝2AB2． （1）求证：AB＝BC；

（2）当BE⊥AD于E时，试证明：BE＝AE＋CD．

A E D C B

【解】（1）证明：连接AC. ∵∠ABC＝90°，∴AB2＋BC2＝AC2. ∵CD⊥AD，∴AD2＋CD2＝AC2.

∵AD2＋CD2＝2AB2，∴AB2＋BC2＝2AB2， ∴AB＝BC.

（2）证明：过C作CF⊥BE于F.

∵BE⊥AD，∴四边形CDEF是矩形. ∴CD＝EF. ∵∠ABE＋∠BAE＝90°，∠ABE＋∠CBF＝90°， ∴∠BAE＝∠CBF，∴△BAE≌△CBF. ∴AE＝BF. ∴BE＝BF＋EF ＝AE＋CD.

【思路分析】（1）题目中存在直角，垂直，含线段平方的等式，因此考虑连接AC，构造直角三角形，利用勾股定理证明；（2）可采用“截长”法证明，过点C作CF⊥BE于F，易证CD=EF，只需再证明AE=BF即可，这一点又可通过全等三角形获证.

【方法规律】此题主要考查推理证明能力，涉及勾股定理、全等三角形、矩形等知识. 灵

活添加辅助线，构造所需图形是证明关键所在. （2011?宁波）25．（本题10分）阅读下面的情景对话，然后解答问题：

小明：那直角三角形

老师：我们新定义一种三角形，

中是否存在奇异三

两边平方和等于第三边平方的

角形呢？

2倍的三角形叫做奇异三角形．

小华：等边三角形一定是奇异三角形！ （1）根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华提出的命题：“等边三角形一定是奇异三角

形”是真命题还是假命题？

（2）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB=c，AC=b，BC=a，且b?a，若Rt△ABC是

奇异三角形，求a:b:c；

（3）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点(不与点A、B重合)，D是半圆ADB的中

点， C、D在直径AB两侧，若在⊙O内存在点E，使得AE=AD，CB=CE． ① 求证：△ACE是奇异三角形；

② 当△ACE是直角三角形时，求∠AOC的度数．

222C A

O E B

D (2) 在Rt△ABC中，a?b?c ∵ c?b?a?0

∴2c?a?b，2a?b?c

∴若Rt△ABC为奇异三角形,一定有2b?a?c 3分 ∴2b?a?(a?b) ∴b?2a 得b?2222222222222225．解：(1) 真命题 ( 第 25 题 ) 2分

22222a

2∵c?b?a?3a ∴c?3a

∴a:b:c?1:2:3 5分 (3) ①∵AB是⊙O的直径 ∴∠ACB=∠ADB=90°

在Rt△ACB中，AC2?BC2?AB2 在Rt△ADB中，AD2?BD2?AB2 ∵点D是半圆ADB的中点 ∴AD= BD

∴AD=BD 6分

∴ AB2?AD2?BD2?2AD2

∴AC2?CB2?2AD2 7分 又∵CB?CE,AE?AD ∴AC2?CE2?2AE2

∴△ACE是奇异三角形 8分 ②由①可得△ACE是奇异三角形 ∴AC2?CE2?2AE2 当△ACE是直角三角形时

由（2）可得AC:AE:CE?1:2:3或AC:AE:CE?3:2:1 （Ⅰ）当AC:AE:CE?1:2:3时，

AC:CE?1:3 即AC:CB?1:3 ∵?ACB?90? ∴?ABC?30?

∴?AOC?2?ABC?60? 9分

（Ⅱ）当AC:AE:CE?3:2:1时，

AC:CE?3:1 即AC:CB?3:1 ∵?ACB?90? ∴?ABC?60?

∴?AOC?2?ABC?120?

∴?AOC的度数为60?或120?． 10分

（2011?枣庄市）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：

（1）画线段AD∥BC且使AD =BC，连接CD；

A

（2）线段AC的长为 ，CD的长

B 为 ，AD的长为 ；

（3）△ACD为 三角形，四边形ABCD

为 ；

（4）若E为BC中点，则tan∠CAE的值21.(本题满分8分)

（1）如图； ???????????1（2）2的面积

E C

第21题图

是 ．

分

5，5，5； ………………4分

A

B

E C

第21题图

（3）直角，10； ????????6分 （4）

1． ???????????8分 2D

（2011?北京市）19. 如图，在△ABC，?ACB?90?中，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD，若AC?2，CE?4，求四边形ACEB的周长。

[解] ∵ ?ACB=90?，DE?BC， ∴ AC//DE，又∵ CE//AD，

∴ 四边形ACED是平行四边形， ∴ DE=AC=2，

在Rt△CDE中，由勾股定理得CD=CE2?DE2=23, ∵ D是BC的中点， ∴ BC=2CD=43.

在Rt△ABC中，由勾股定理得AB=AC2?BC2=213, ∵ D是BC的中点，DE?BC， ∴ EB=EC=4,

∴ 四边形ACEB的周长=AC?CE?EB?BA=10?213。

（2011?呼和浩特市）18、（6分）如图所示，再一次课外实践活动中，同学们要测量某公园

人工湖两侧A、B两个凉亭之间的距离，现测得AC=30m，BC=70m，∠CAB=120°，请计算A、B两个凉亭之间的距离.

CA18、解：过点C作CD⊥AB，垂足为D ?????????????（1分）

∵ AC=30m ∠CAB=120°

∴ AD=15m CD=153m ??????????????（4分） 在Rt△BDC中， BD=∴

702?(153)2B

=65m ???????（5分）

AB?BD?AD?65?15?50m ??????????????????????????

???（6分）

22、（8分）（2011·济宁）去冬今春，济宁市遭遇了200年不遇的大旱，某乡镇为了解决抗旱问题，要在某河道建一座水泵站，分别向河的同一侧张村A和李村B送水。经实地勘查后，工程人员设计图纸时，以河道上的大桥O为坐标原点，以河道所在的直线为x轴建立直角坐标系（如图）。两村的坐标分别为A（2，3），B（12，7）。

(1)、若从节约经费考虑，水泵站建在距离大桥O多远的 地方可使所用输水管道最短？

(2)、水泵站建在距离大桥O多远的地方，可使它到张村、李村的 距离相等？ 22、解：（1）作点B关于x轴的对成点E，连接AE，则点E为（12，-7） 设直线AE的函数关系式为y=kx+b,则 2k+b=3

/km 12k+b=-7

B 8 F 6 解得 k=-1 A 4 G b=5 2 D C /km 当y=0时， x=5 2 4 6 8 10 12 所以，水泵站建在距离大桥5千米的地方，可使所用输水管道最短。 E （2）作线段AB的垂直平分线GF，交AB于点F，交x轴欲点G 第22题 设点G的坐标为（x，0）

在Rt△AGD中，AG2=AD2+DG2=32+(x-2)2 在Rt△BCG中，BG2=BC2+GC2=72+(12-x)2

∵AG=BG ∴32+(x-2)2=72+(12-x)2 解得 x=9

所以 ，水泵站建在距离大桥9千米的地方，可使它到张村、李村的距离相等。

1. （2011四川广安，28，10分）某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造．测得两直

角边长为6m、8m.现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三．．．．．．．．

角形．求扩建后的等腰三角形花圃的周长． ．．

【答案】由题意可得，花圃的周长=8+8+82=16+82 2. （2011四川绵阳23，12）

王伟准备用一段长30米的篱笆围成一个三角形形状的小圈，用于饲养家兔.已知第一条边长为a米，由于受地势限制，第二条边长只能是第一条边长的2倍多2米. (1)请用a表示第三条边长；

(2)问第一条边长可以为7米吗？为什么?请说明理由，并求出a的取值范围；

(3)能否使得围成的小圈是直角三角形形状，且各边长均为整数？若能，说明你的围法;若不能，请说明理由.

【答案】(1)第一条边为a,第二条边为2a+2,第三条边为30-a-（2a+2）=28-3a

(2)不可以是7，∵第一条边为7，第二条边为16，第三条边为7，不满足三边之间

13

的关系，不可以构成三角形。＞a＞5

2

(3)5,12,13,可以围成一个满足条件的直角三角形

4. （2011四川乐山25，12分）如图,在直角△ABC中, ∠ACB=90,CD⊥AB,垂足为D,点E在AC上,BE交CD于点G,EF⊥BE交AB于点F,若AC=mBC,CE=nEA(m,n为实数).试探究线段EF与EG的数量关系.

?

(1) 如图(14.2),当m=1,n=1时,EF与EG的数量关系是 证明:

(2) 如图(14.3),当m=1,n为任意实数时,EF与EG的数量关系是 证明

(3) 如图(14.1),当m,n均为任意实数时,EF与EG的数量关系是 (写出关系式,不必证明)

5. （2011四川乐山18，3分）如图，在直角△ABC中，∠C=90，∠CAB的平分线AD交BC于D，若DE垂直平分AB，求∠B的度数。

?

【答案】

解：∵AD平分∠CAD ∴∠CAD=∠BAD

∵DE垂直平分AB ∴AD=BD,∠B=∠BAD ∴∠CAD=∠BAD=∠B ∵在RtΔABC中，∠C=90o ∴∠CAD+∠DAE+∠B=90o ∴∠B=30o

（2011?四川省广安）28、某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造，测得两直角边长为6m、8m．现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形．求扩建后的等腰三角形花圃的周长．

28. 解：在Rt△ABC中，∵AC=8m，BC=6m， ∴AB=10m，

（1）当AB=AD时，CD=6m， △ABD的周长为32m；

（2）当AB=BD时，CD=4m，AD=45m， △ABD的周长是（20+45）m；

（3）当DA=DB时，设AD=x，则CD=x-6，

则x2?(x?6)2?82， ∴x?25， 380m， 3∴△ABD的周长是

答：扩建后的等腰三角形花圃的周长是32m或 20+45 m或

80m． 3

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