高三数学理科二轮复习同步练习 2-3-22三角函数、平面向量、立体几何、概率与统计型解答题

高考专题训练二十二

三角函数、平面向量、立体几何、概率与统计型解答题

班级_______ 姓名_______ 时间：45分钟 分值：50分 总得分________

?1π?

1．(12分)已知函数f(x)＝2sin?3x－6?，x∈R.

???5π?

(1)求f?4?的值；

??

?π??π?106????(2)设α，β∈0，2，f3α＋2＝，f(3β＋2π)＝，求cos(α＋β)

5????13

的值．

分析：本题考查运用三角公式化简求值．(1)f(x)的解析式已给出，

?5π??π?106

求f?4?即可；(2)先化简f?3α＋2?＝，f(3β＋2π)＝，再结合α，β∈

5????13?π?

?0，?求cosα与sinβ，代入即得cos(α＋β)的值．

2??

?1π?解：(1)∵f(x)＝2sin?3x－6?，

???5π??5ππ?π

∴f?4?＝2sin?12－6?＝2sin＝2.

4????

?π??π?106

(2)∵α，β∈?0，2?，f?3α＋2?＝，f(3β＋2π)＝，

5????13?π?61053

∴2sinα＝，2sin?β＋2?＝，即sinα＝，cosβ＝，

13135??5

124

∴cosα＝，sinβ＝，

135

1235416

∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝×－×＝.

13513565

2．(12分)(2011·重庆卷)如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥

平面ACD，AB⊥BC，AD＝CD，∠CAD＝30°.

(1)若AD＝2，AB＝2BC，求四面体ABCD的体积；

(2)若二面角C－AB－D为60°，求异面直线AD与BC所成角的余弦值．

分析：本小题主要考查面面垂直的性质、四面体的体积计算公式、二面角的意义与异面直线所成的角的意义及求法．在具体处理过程中，可围绕线面垂直的性质定理去考虑，从而添加相关的辅助线，由此求得相关几何体的体积；在求异面直线所成的角的过程中，注意根据异面直线所成角的意义，考虑平移其中一条或两条直线，从而将问题转化为求两条相交直线的夹角问题．也可考虑通过建立坐标系的方式解决相关问题．

解：(1)如图所示，设F为AC中点，连接FD，由于AD＝CD，所以DF⊥AC.又由平面ABC⊥平面ACD，知DF⊥平面ABC，即DF是四面体ABCD

的面ABC上的高，且DF＝ADsin30°＝1，AF＝ADcos30°＝3.

在Rt△ABC中，因AC＝2AF＝23，AB＝2BC，由勾股定理易215415知BC＝，AB＝. 55

1114152154故四面体ABCD的体积V＝·S△ABC·DF＝×××＝.

332555

(2)解法一：如图所示，设G，H分别与边CD，BD的中点，则FG∥AD，GH∥BC，从而∠FGH是异面直线AD与BC所成的角或其补角．

设E为边AB的中点，则EF∥BC，由AB⊥BC，知EF⊥AB.又由(1)知DF⊥平面ABC，故由三垂线定理知DE⊥AB.所以∠DEF为二面角C－AB－D的平面角．由题设知 ∠DEF＝60°.

a设AD＝a，则DF＝AD·sin∠CAD＝. 2

3a3

在Rt△DEF中，EF＝DF·cot∠DEF＝·＝a，

23613

从而GH＝BC＝EF＝a.

26

因Rt△ADE≌△BDE，故BD＝AD＝a， 1a

从而，在Rt△BDF中，FH＝BD＝. 22

1a

又FG＝AD＝，从而在△FGH中，因FG＝FH，由余弦定理得

22FG2＋GH2－FH2GH3

cos∠FGH＝＝＝. 2FG·GH2FG6因此，异面直线AD与BC所成3

角的余弦值为.

6

解法二：如图所示，过F作FM⊥AC，交AB于M，已知AD＝CD，平面ABC⊥平面ACD，易知FC，FD，FM两两垂直．以F为原点，

射线FM，FC，FD分别为x轴，y轴，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系F－xyz.

不妨设AD＝2，由CD＝AD，∠CAD＝30°，易知点A，C，D的→

坐标分别为A(0，－3，0)，C(0，3，0)，D(0,0,1)，则AD＝(0，3，1)．

显然向量k＝(0,0,1)是平面ABC的一个法向量．

已知二面角C－AB－D为60°，故可取平面ABD的一个单位法向1量n＝(l，m，n)，使得〈n，k〉＝60°，从而n＝. 2

→3由n⊥AD，有3m＋n＝0，从而m＝－.

66

由l2＋m2＋n2＝1，得l＝±.

3

→→→6

设点B的坐标为B(x，y,0)，由AB⊥BC，n⊥AB，取l＝，有

3

22x＋y＝3，?

?63x－?y＋?36

3?＝0，

?

解之得，?73

y＝?9

46x＝，

9

??x＝0，或?(舍去)． ?y＝－3?

6

易知l＝－与坐标系的建立方式不合，舍去．

3→?4673?

因此点B的坐标为?，，0?.所以CB

9?9?

→→

→→?46?AD·CB23

＝?＝，－，0?.从而cos〈AD，CB〉＝

9→→?9?

|AD||CB|

?23?

?3×?－93??

＝－. 6?46?2?23?2

?＋?－?3＋1× ?99????

故异面直线AD与BC所成的角的余弦值为

3

. 6

3．(13分)(2011·浙江卷)如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上．已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.

(1)证明：AP⊥BC；

(2)在线段AP上是否存在点M，使得二面角A－MC－B为直二面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由．

分析：此题主要考查了线线位置关系和二面角的求解，对(1)问线线垂直的证明易入手，利用线面垂直即可进行证明；对(2)问可采用空间直角坐标向量法进行处理；解题时对(2)问要注意恰当建立坐标系，恰当设参数，从而有效快速求解．

解：方法一：(1)如图，以O为原点，以射线OP为z轴的正半轴，建立空间直角坐标系O－xyz.

则O(0,0,0)，A(0，－3,0)，B(4,2,0)，C(－4,2,0)，P(0,0,4)， →→→→→AP＝(0,3,4)，BC＝(－8,0,0)，由此可得AP·BC＝0，所以AP⊥→

BC，即AP⊥BC.

→→→

(2)设PM＝λPA，λ≠1，则PM＝λ(0，－3，－4)． →→→→→BM＝BP＋PM＝BP＋λPA＝

(－4，－2,4)＋λ(0，－3，－4)＝(－4，－2－3λ，4－4λ)， →→

AC＝(－4,5,0)，BC＝(－8,0,0)． 设平面BMC的法向量n1＝(x1，y1，z1)， 平面APC的法向量n2＝(x2，y2，z2)． →??BM·n1＝0，由?→??BC·n1＝0，

??－4x1－?2＋3λ?y1＋?4－4λ?z1＝0，得? ?－8x1＝0，?

x1＝0，??即?2＋3λ

z1＝y1，?4－4λ?→??AP·n2＝0，由?→??AC·n2＝0，5??x2＝4y2，得?

3

?z＝－y，?242

?2＋3λ?

?. 可取n1＝?0，1，4－4λ??

??3y2＋4z2＝0，即? ?－4x＋5y＝0，?22

可取n2＝(5,4，－3)．

2＋3λ

由n1·n2＝0，得4－3·＝0，

4－4λ2

解得λ＝，故AM＝3.

5

综上所述，存在点M符合题意，AM＝3.

方法二：(1)由AB＝AC，D是BC的中点，得AD⊥BC. 又PO⊥平面ABC，得PO⊥BC.

因为PO∩AD＝O，所以BC⊥平面PAD， 故BC⊥PA.

(2)如图，在平面PAB内作BM⊥PA于M，连接CM.

由(1)中知PA⊥BC，得AP⊥平面BMC.

又AP?平面APC，所以平面BMC⊥平面APC.

在Rt△ADB中，AB2＝AD2＋BD2

＝41，得AB＝41.

在Rt△POD中，PD2＝PO2＋OD2， 在Rt△PDB中，PB2＝PD2＋BD2， 所以PB2＝PO2＋OD2＋DB2＝36，得PB＝6. 在Rt△POA中，PA2＝AO2＋OP2＝25，得PA＝5. PA2＋PB2－AB21

又cos∠BPA＝＝，

2PA·PB3

从而PM＝PBcos∠BPA＝2，所以AM＝PA－PM＝3. 综上所述，存在点M符合题意，AM＝3.

4．(13分)学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球，2个黑球，乙箱子里装有1个白球，2个黑球， 这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．(每次游戏结束后将球放回原箱)．

(1)求在1次游戏中；

(ⅰ)摸出3个白球的概率； (ⅱ)获奖的概率；

(2)求在2次游戏中获奖次数X的分布列及数学期望E(X)． 解：(1)(ⅰ)设“在1次游戏中摸出i个白球”为事件Ai＝(i＝0,1,2,3)，则

1

C213C2P(A3)＝2·2＝.

C5C35

(ⅱ)设“在1次游戏中获奖”为事件B，则B＝A2∪A3.又P(A2)＝

211

C2C113C23C2C22·2＋2·2＝. C5C3C5C32

117且A2，A3互斥，所以P(B)＝P(A2)＋P(A3)＝＋＝.

2510(2)由题意可知X的所有可能取值为0,1,2.

?7?9

P(X＝0)＝?1－10?＝.

100??

2

P(X＝1)＝C12

7?217?

?1－?＝. 10?10?50

2

?7?49

P(X＝2)＝?10?＝. 100??

所以X的分布列是

X P 0 9 1001 21 502 49 100921497X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝. 100501005

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