2020届湖北省宜昌市部分示范高中教学协作体高三9月月考数学（理

2020届湖北省宜昌市部分示范高中教学协作体高三9月月考

数学（理）试题

一、单选题

1．i是虚数单位，z?2?i??5i，z?（ ） A．2 【答案】D

【解析】先根据复数除法运算，求得z的表达式，再求z的模. 【详解】 依题意z?【点睛】

本小题主要考查复数除法运算，考查复数模的运算，属于基础题. 2．全集U??0,1,2,3,4,5,6?,集合A?{x?N|A．{2,3,4,5,6} 【答案】C

【解析】先求得集合A的元素，再求得集合A的补集. 【详解】

依题意A??0,1,2,5?，故CUA??3,4,6?，故选C. 【点睛】

本小题主要考查集合元素，考查集合补集的运算，属于基础题. 3．命题“矩形的对角线相等”的否定及真假，描述正确的是（ ） A．矩形的对角线都不相等，真 C．矩形的对角线不都相等，真 【答案】D

【解析】根据命题的否定的知识写出原命题的否定，并判断出真假性. 【详解】

命题的否定是否定结论，故原命题的否定为“矩形的对角线不都相等”，为假命题. 【点睛】

本小题主要考查命题的否定，考查矩形的几何性质，属于基础题.

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B．矩形的对角线都不相等，假 D．矩形的对角线不都相等，假

B．{3,4,5,6} B．3 C．2

D．5 5i?2?i?5i???1?2i，所以z?1?4?5，故选D. 2?i?2?i??2?i?6?N}，则CUA?（ ） x?1D．{3,4,5}

C．{3,4,6}

4．如果x,y是实数，那么“x?y”是“cosx?cosy”的( ) A．充要条件 C．必要不充分条件 【答案】C

【解析】将两者相互推导，根据能否推导的情况判断出正确选项. 【详解】

当“x?y”，可能cosx?cosy，如cos??B．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件

π?π??cos.当“cosx?cosy”，则“x?y”成?3?3?立.故“x?y”是“cosx?cosy”的必要不充分条件. 【点睛】

本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查余弦函数的性质.

5．小吴一星期的总开支分布如图1所示，一星期的食品开支如图2所示，则小吴一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为（ ）

A．1% 【答案】C

B．2% C．3% D．5%

【解析】由图1知食品开支占总开支的30%，由图2知鸡蛋开支占食品开支的此求得鸡蛋开支占总开支的百分比． 【详解】

解：由图1所示，食品开支占总开支的30%，

1，由10301?，

30?40?100?80?50101?3%． ∴鸡蛋开支占总开支的百分比为30%?10由图2所示，鸡蛋开支占食品开支的故选：C．

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x2y2x2y236．椭圆2?2?1(a?b?0)的离心率为，则双曲线2?2?1的离心率为

abab2（ ） A．2 【答案】D

【解析】根据椭圆离心率求得【详解】

B．3 C．2

D．5 2b的值，再根据双曲线离心率公式，求得双曲线的离心率. a3?b?1?b?根据椭圆离心率有1????，故???，所以双曲线的离心率为2?a?4?a?5?b?，故选D. 1????2?a?【点睛】

本小题主要考查椭圆离心率、双曲线离心率有关计算，属于基础题. 7．设曲线y?222x?1在点(3,2)处的切线与直线ax?y?1?0垂直,则a?( ) x?1B．?2

C．?A．2 【答案】B 【解析】【详解】 因为y??1 2D．

1 2?2，

(x?1)2?2?(?a)??1?a??2,选B. 所以2(3?1)【考点】导数几何意义 【思路点睛】

（1）求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点；（2）利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.

8．定义在R上的奇函数f(x)满足f(1?x)?f(1?x)，若f(1)?1，则f(2020)的值是（ ）

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A．0 【答案】A

B．1 C．505 D．2020

【解析】根据f(1?x)?f(1?x)求得函数的对称轴，结合函数为奇函数，求得函数的周期，再根据周期性求得f?2020?的值. 【详解】

由于f(1?x)?f(1?x)，所以函数图像关于直线x?1对称，而函数是奇函数，图像关于原点对称，故函数是周期为4的周期函数，故

f?2020??f?0?4?505??f?0??0，故选A.

【点睛】

本小题主要考查函数的对称轴、周期性，考查抽象函数求值，属于基础题. 9．函数f(x)?x2?x?(x?1)sinx的零点的个数是（ ） A．1 【答案】B

【解析】将函数f?x?因式分解.利用导数求得函数g?x??x?sinx的单调区间，判断出函数g?x??x?sinx零点个数.由此判断出f?x?零点个数. 【详解】

依题意f?x???x?1??x?sinx?，故x??1是函数f?x?的零点.构造函数

'g?x??x?sinx，osx?0，注意到g?0??0，且g?x??1?c所以g?x?在R上递增，

B．2 C．3 D．4

只有唯一零点x?0.所以f?x?有两个零点x??1或x?0.故选B. 【点睛】

本小题主要考查函数零点，考查利用导数研究函数的零点，考查因式分解，属于中档题. 10．函数f(x)?x3?3x在区间??2,m?上有最大值，则m的取值范围是（ ）

（?1,??) A．

【答案】D

（?1,1] B．（?1,2) C．（?1,2] D．

【解析】利用导数求得函数的单调区间和极大值，根据区间??2,m?上的图像包括且不能高过极大值列不等式组，解不等式组求得m的取值范围. 【详解】

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由于f'?x??3x2?3?3?x?1??x?1?，故函数在???,?1?和?1,???上递增，在??1,1?上递减，f??1??f?2??2，画出函数图像如下图所示，由于函数在区间??2,m?上有最大值，根据图像可知m??xB,xA?，即m???1,2?，故选D.

【点睛】

本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、极值，考查函数在开区间上有最值的问题，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.

?11．已知函数f(x)是定义在R上的函数，且满足f?(x)?f(x)?0，其中f(x)为f(x)的导数，设a?f(0)，b?2f(ln2)，c?ef(1)，则a、b、c的大小关系是 A．c?b?a 【答案】A

x?ex>0, 函数F（x）是单【解析】根据题意得到F(x)?f(x)e,F?(x)???f(x)?f??x??B．a?b?c C．c?a?b D．b?c?a

调递增函数，则F（1）>F(ln2)>F(0),化简后得到结果. 【详解】

函数f?x?是定义在R上的函数，且满足f??x??f?x??0,设

x??F(x)?f(x)ex,F?(x)??f(x)?fxe????>0,故函数F（x）是单调递增函数，则F

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ef?1?> 2f?ln2?> f?0?. （1）>F(ln2)>F(0),ef?1??2f?ln2??ef?0?, c?b?a.

0故答案为：A. 【点睛】

本题考查了函数单调性的应用，解抽象函数不等式问题，通常需要借助于函数的单调性和奇偶性和周期性，或者需要构造函数再求导,两个式子比较大小的常用方法有：做差和0比，作商和1比，或者直接利用不等式的性质得到大小关系，有时可以代入一些特殊的数据得到具体值，进而得到大小关系.

12．若一个四棱锥底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心，且该四棱锥的体积为9，当其外接球表面积最小时，它的高为( ) A．3 【答案】A

【解析】设正方形的边长，利用体积列方程求得四棱锥的高，计算出四棱锥外接球半径的最小值，求得此时对应的四棱锥的高. 【详解】

设正方形的边长为a，则四棱锥的高为h?B．22 C．23 D．33 27，正方形对角线长为2a，则其外接圆2a的半径r?2222a.设球的半径为R，则?h?R??r?R，解得24427a42727a427a2727a9，R?2??2?2??332?2??，当且仅当2?2a1084a4a1084a1084a4a1084即a?3时等号成立，此时，四棱锥的高为h?【点睛】

2727??3.故选A. 2a9本小题主要考查四棱锥外接球半径的最小值的计算，考查四棱锥的体积公式，考查利用基本不等式求最值的方法，属于中档题.

二、填空题

1?1213．计算：(lg?lg8)?42?log23?log34?________.

125【答案】20

【解析】根据对数运算、指数运算有关公式，化简所求表达式. 【详解】 依题意，原式

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??lg10?32??4?log23?log32???3??2?2?log23?log32?18?2?20.

2122【点睛】

本小题主要考查对数运算，考查指数运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.

14．幂函数y?(m2?2m?2)xm【答案】3

【解析】根据幂函数的定义和单调性，求得m的值. 【详解】

由于函数为幂函数，所以m2?2m?2?1，解得m?3或m??1，当m??1时，函数为y?2?2在(0,??)上增函数，则m?________.

17，不满足在(0,??)上递增，故舍去.当m?3时，y?x符合题意.综上所述，mx的值为3. 【点睛】

本小题主要考查幂函数的定义，考查幂函数的单调性，属于基础题. 15．函数f(x)??cos2x?2asinx?2的最大值为3，则a?________. 【答案】?1 2【解析】利用同角三角函数的基本关系式化简，结合二次函数的性质及最大值列方程，解方程求得a的值. 【详解】

依题意f?x??sin2x?2asinx?1??sinx?a??1?a2，由于二次函数

故在区间的端点取得最大值.若t??1时取得y??t?a??1?a2??1?t?1?开口向上，最大值，即??1?a??1?a?3,a?222211，此时二次函数对称轴t?a?，根据二次函22数性质可知t??1时取得最大值，符合题意.若t?1时取得最大值，即

?1?a?211?1?a2?3，解得a??，此时二次函数对称轴t?a??，根据二次函数

221. 2性质可知t?1时取得最大值，符合题意.故a??【点睛】

本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查二次函数的性质以及最值的求法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.

16．在一段线路中有4个自动控制的常用开关A、B、C、D，如图连接在一起，假定在

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2019年9月份开关A，D能够闭合的概率都是0.7，C能够闭合的概率都是0.8，开关B，则在9月份这段线路能正常工作的概率为________.

【答案】0.9676

【解析】先计算线路不能正常工作的概率，用1减去这个概率，求得正常工作的概率. 【详解】

B,C段不能正常工作的概率为1?0.8?0.8?0.36.线路不能正常工作的概率为

0.3?0.3?0.36，故能正常工作的概率为1?0.3?0.3?0.36?0.9676.

【点睛】

本小题主要考查相互独立事件概率计算，考查对立事件的方法计算概率，属于基础题.

三、解答题

17．设函数f(x)与g(x)的定义域是x?R且x??1,f(x)是偶函数, g(x)是奇函数,且f(x)?g(x)?1. x?1（1）求f(x)和g(x)的解析式 ；

（2）求g()?g()?g()?g(2)?g(3)?g(4)的值. 【答案】（1）f(x)?1413121xg(x)? ，；（2）0. 22x?1x?11，根据函数的奇偶性化x?11简，解方程组求得f?x?和g?x?的解析式.（2）计算证得g(x)?g()?0，由此求得

x【解析】（1）将?x代入题目所给函数方程f(x)?g(x)?表达式的值为0. 【详解】

1 , ① x?11∴f(?x)?g(?x)?,

?x?1(1)∵f(x)?g(x)?∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数,

?1,② x?11x①②相加得f(x)?2. ， 进而g(x)?2x?1x?1∴f(x)?g(x)?第 8 页 共 16 页

（2）∵g(x)?x1?x ∴, g()?x2?1xx2?1∴g(x)?g()?0 ,

∴g()?g()?g()?g(2)?g(3)?g(4)?0 . 【点睛】

本小题主要考查利用函数的奇偶性求函数解析式，考查倒序相加法，属于基础题. 18．如图直三棱柱ABC?A1B1C1中，截面AB1C1?平面AA1B1B.

1x141312

（1）求证：A1B1?B1C1；

（2）记二面角A?B1C1?A1的大小为?，直线AC1与平面A1B1C1所成的角为?，试比较?与?的大小.

【答案】（1）证明见解析；（2）???.

【解析】（1）在平面AA1B1B内作A1D?AB1，根据面面垂直的性质定理得到

B1C1?A1D，结合直三棱柱的几何性质，得到 B1C1?A1A，由此证得B1C1?平面

AA1B1B，进而证得B1C1?A1B1.（2）根据二面角和线面角的定义，得到

???AB1A1,???AC1A1，利用sin??sin?，以及两个角为锐角，证得???.

【详解】

（1）在平面AA1B1B内作A1D?AB1，

B1C1?A1A , 易证B1C1?A1D， 从而B1C1?平面AA1B1B,所以B1C1?A1B1.

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（2）???AB1A1,???AC1A1

设AA1?a,AB1?b ,AC1?c ,则a?b?c 于是sin??aa?sin??， bc由于?，?都是锐角，所以???. 【点睛】

本小题主要考查线面垂直证明线线垂直，考查线面角、面面角的定义，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.

19．如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1,2)，A(x1,y1)，

B(x2,y2)均在抛物线上．

（1）写出该抛物线的方程及其准线方程；

（2）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1?y2的值及直线AB的斜率．

2【答案】(1)抛物线的方程是y?4x, 准线方程是x??1．；（2）1．

【解析】试题分析：（I）设出抛物线的方程，把点P代入抛物线求得p则抛物线的方程可得，进而求得抛物线的准线方程．

（2）设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB，则可分别表示kPA和kPB，根据倾斜角互补可知kPA??kPB，进而求得减后即可求得直线AB的斜率．

试题解析：（I）由已知条件，可设抛物线的方程为y?2px(p?0)

2的值，把A，B代入抛物线方程两式相

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因为点P(1,2)在抛物线上,所以22?2p?1，得p?2. 2分 故所求抛物线的方程是y?4x, 准线方程是x??1. 4分 （2）设直线PA的方程为y?2?k(x?1)(k?0)， 即：x?2y?2?1，代入y2?4x，消去x得： k48y2?y??4?0. 5分

kk设A(x1,y1),B(x2,y2)，由韦达定理得：2?y1?将k换成?k，得y2??44，即：y1??2. 7分

kk4?2，从而得：y1?y2??4， 9分 k直线AB的斜率

kAB?y1?y2y?y4?2122???1. 12分. y1y2x1?x2y1?y2?44【考点】抛物线的应用．

20．2018年12月18日上午10时，在人民大会堂举行了庆祝改革开放40周年大会．40年众志成城，40年砥砺奋进，40年春风化雨，中国人民用双手书写了国家和民族发展的壮丽史诗．会后，央视媒体平台，收到了来自全国各地的纪念改革开放40年变化的老照片，并从众多照片中抽取了100张照片参加“改革开放40年图片展”，其作者年龄

85]之间，根据统计结果，做出频率分布直方图如下： 集中在[25，

（Ⅰ）求这100位作者年龄的样本平均数x和样本方差s2（同一组数据用该区间的中点值作代表）；

（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，作者年龄X服从正态分布N(?,?2)，其中?近似为样本平

均数x，?2近似为样本方差s2．

（i）利用该正态分布，求P(60?X?73.4)；

55]和[65，75]的作者中，按照分层抽样的方法，抽（ii）央视媒体平台从年龄在[45，出了7人参加“纪念改革开放40年图片展”表彰大会，现要从中选出3人作为代表发言，

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55]的人数是Y，求变量Y的分布列和数学期设这3位发言者的年龄落在区间[45，望．附：180?13.4，若X~N(?,?2)，则P(????X????)?0.683，P(??2??X???2?)?0.954

（1）x?60,s2?180；（2）【答案】（i）0.3415；（ii）详见解析.

【解析】(1) 利用离散型随机变量的期望与方差的公式计算可得答案；

180)，从而可求出P(60?X?73.4)； （2）（i）由(1)知，X~N(60，（ii）可得Y可能的取值为0，1，2，3，分别求出其概率，可列出Y的分布列，求出其Y的数学期望. 【详解】

解：（1）这100位作者年龄的样本平均数x和样本方差s2分别为

x?30?0.05?40?0.1?50?0.15?60?0.35?70?0.2?80?0.15?60

s2???30??0.05???20??0.1???10???0.15?0?0.35?102?0.2?202?0.15?180

222180?， （2）（i）由（1）知，X~N?60，从而P(60?X?73.4)?1P(60?13.4?X?60?13.4)?0.3415； 255内有3人，在65，75内有（ii）根据分层抽样的原理，可知这7人中年龄在45，4人，

故Y可能的取值为0，1，2，3

0312C3C4C3C4184P?Y?0???PY?1??， ，??33C735C735130C32C4C3C4121P?Y?2???PY?3?? ??33C735C735????所以Y的分布列为 Y P

所以Y的数学期望为E?Y??0?0 1 2 3 4 3518 3512 351 354181219?1??2??3?? 353535357第 12 页 共 16 页

【点睛】

本题主要考查了离散型随机变量的期望与方差，正态分布的应用，其中解答涉及到离散型随机变量的期望与方差公式的计算、正态分布曲线的概率的计算等知识点的考查，着重考查了学生分析问题，解答问题的能力及推理与运算的能力，属于中档题型.

ex21．已知函数f?x??（其中常数a?0）.

x?a（1）求函数f?x?的定义域及单调区间； （2）若存在实数x??a,0，使得不等式f?x???1成立，求a的取值范围. 2(1)?x|x?a?，f?x?的单调递增区间为?a?1,???，【答案】单调递减区间为???,a?，

1a,a?1(2)a?ln?1. ；??2【解析】【详解】

（1）函数f(x)的定义域为?x|x?a?，

xex(x?a)?ex?1e?x?(a?1)?， f'(x)??22(x?a)(x?a)由f'(x)?0，解得x?a?1， 由f'(x)?0，解得x?a?1且x?a,

?f(x)的单调递增区间为(a?1,??)，

单调递减区间为(??,a)和(a,a?1)； （2）由题意可知，当且仅当a?0，

1ex且f(x)?在?a,0?上的最小值小于或等于时，

2x?a存在实数x??a,0，使得不等式f(x)?若a?1?0即a??1时，

?1成立 ， 2第 13 页 共 16 页

?f(x)在?a,0?上的最小值为f(a?1)?ea?1，

则ea?1?11，得a?ln?1， 22若a?1?0，即a??1时，f(x)在?a,0上单调递减， 则f(x)在?a,0上的最小值为f(0)????1， a11?，得a??2（舍） ， a21综上所述，a?ln?1.

2由?22．已知直线l的极坐标方程是?sin(??)?0,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系,曲线C的参数方程是?数）.

（1）求直线l被曲线C截得的弦长；

（2）从极点作曲线C的弦,求各弦中点轨迹的极坐标方程. 【答案】（1）23；（2）??2sin?(??0).

【解析】（1）求得直线l和曲线C的直角坐标方程，利用弦长?2r2?d2求得弦长.（2）根据曲线C的参数方程，求得中点的参数方程，消去参数后求得中点轨迹的直角坐标方程，并转化为极坐标方程. 【详解】

（1）由题意可知,直线l的直角坐标系方程是y?3x, 曲线C的普通方程是x?(y?2)?4, 则圆心C到直线l的距离d?22π3?x?2cos?,（?为参

y?2?2sin??2?1, 3?1故所求的弦长是222?1?23

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（2）从极点作曲线C的弦,弦的中点的轨迹C'的参数方程为?且??[0,?x?cos?,?为参数）, （

?y?1?sin?3π3π)?(,2π),其普通方程为x2?(y?1)2?1(y?0), 222极坐标方程为??2?sin??0,化简得??2sin?(??0).

【点睛】

本小题主要考查参数方程、直角坐标方程和极坐标方程的相互转化，考查直线和圆相交所得弦长计算，考查中点的轨迹方程的求法，属于中档题.

23．已知a?0，b?0，c?0.若函数f?x??x?a?x?b?c的最小值为2. (1)求a?b?c的值； (2)证明：

1119???. a?bb?cc?a4【答案】(1)2；(2)证明见解析.

【解析】分析：(1)先根据绝对值三角不等式得f?x?的最小值为a?b?c ，再根据

a?0，b?0，得结果.(2)先构造

111111??1?????a?b?b?c?c?a??????????a?bb?cc?a?，再利用a?bb?cc?a4???均值不等式可得结论. 详解： （1）∵ f?x??x?a?x?b?c??x??a???x?b?c?a?b?c?a? b?c，

当且仅当?a?x?b时，等号成立，

∴ f?x?的最小值为a?b?c，∴ a?b?c?2.

（2）由（1）可知，a?b?c?2，且a，b，c都是正数， 所以

111111??1?????a?b?b?c?c?a??????????a?bb?cc?a?， a?bb?cc?a4?????1??b?ca?b??b?cc?a??a?ba?c??3????????????? 4?a?bb?cc?ab?cc?aa?b????????193?2?2?2??? 441119???得证. a?bb?cc?a4第 15 页 共 16 页

当且仅当a?b?c?1时，取等号， 所以

点睛：形如|x－a|＋|x－b|≥c(或≤c)型的不等式主要有三种解法：(1)分段讨论法，利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(－∞，a]，(a，b]，(b，＋∞)(此处设a＜b)三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集；(2)几何法，利用|x－a|＋|x－b|＞c(c＞0)的几何意义：数轴上到点x1＝a和x2＝b的距离之和大于c的全体；(3)图象法：作出函数y1＝|x－a|＋|x－b|和y2＝c的图象，结合图象求解.

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点睛：形如|x－a|＋|x－b|≥c(或≤c)型的不等式主要有三种解法：(1)分段讨论法，利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(－∞，a]，(a，b]，(b，＋∞)(此处设a＜b)三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集；(2)几何法，利用|x－a|＋|x－b|＞c(c＞0)的几何意义：数轴上到点x1＝a和x2＝b的距离之和大于c的全体；(3)图象法：作出函数y1＝|x－a|＋|x－b|和y2＝c的图象，结合图象求解.

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