不等式学案2恒成立问题(学生版)

第 课时

一、课题

不等式中恒成立问题的解法研究 二、高考要求

不等式中的恒成立问题，它往往以函数、数列、三角函数、解析几何为载体具有一定的综合性，涉及到一次函数、二次函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。因此也成为历年高考的一个热点。恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型：①一次函数型；②二次函数型；③变量分离型；④根据函数的奇偶性、周期性等性质；⑤直接根据函数的图象。

三、目的与要求：

四、不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题的操作程序

用函数思想作指导,解不等式的恒成立、能成立、恰成立问题的操作程序是这样的:

（1）恒成立问题

若不等式f x A在区间D上恒成立,则等价于函数f x 在区间D上的最小值大于A,

若不等式f x B在区间D上恒成立,则等价于函数f x 在区间D上的最大值小于B.

（2）能成立问题

若在区间D上存在实数x使不等式f x A成立,即f x A在区间D上能成立, ,则等价于函数f x 在区间D上的最大值大于A,

若在区间D上存在实数x使不等式f x B成立,即f x B在区间D上能成立, ,则等价于函数f x 在区间D上的最小值小于B.

（3）恰成立问题

若不等式f x A在区间D上恰成立, 则等价于不等式f x A的解集为D,

若不等式f x B在区间D上恰成立, 则等价于不等式f x B的解集为D,

如果从解题模式看,好象问题很简单,但是,由于试题的结构千变万化,试题的设问方式各不相同,就使得题目变得十分灵活,如何对这类题目进行思辨和模式识别,把问题化归到常见的基本的题型,是高考复习的一个课题.

1、一次函数型：

给定一次函数y=f(x)=ax+b(a≠0),若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)>0，则根据函数的图象（直线）可得上述结论等价于

a 0 a 0 f(m) 0ⅰ） 或ⅱ） 亦可合并定成

f(m) 0 f(n) 0 f(n) 0

f(m) 0

同理，若在[m,n]内恒有f(x)<0，则有

f(n) 0

例1、 （1）对于满足|p| 2的所有实数p,求使不等式x2+px+1>2p+x恒成立的x的取值范围。

（2）若不等式2x 1 m(x 1)对满足 2 m 2的所有m都成立，求x的范围。

2

2、二次函数型

a 0

若二次函数y=ax2+bx+c=0(a≠0)大于0恒成立，则有

0 若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根

与系数的分布知识求解。

例2、 设f(x)=x2-2ax+2,当x [-1,+ )时，都有f(x) a恒成立，求a的取值范围。

例3、 关于x的方程9x+(4+a)3x+4=0恒有解，求a的范围。

3、变量分离型

若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。

例4、 已知当x R时，不等式a+cos2x<5-4sinx+a 4恒成立，求实数a的取值范围。

4、根据函数的奇偶性、周期性等性质

若函数f(x)是奇(偶)函数，则对一切定义域中的x ,f(-x)=-f(x) (或f(-x)=f(x))恒成立；若函数y=f(x)的周期为T，则对一切定义域中的x,f(x)=f(x+T)恒成立。 例5、 若f(x)=sin(x+ )+cos(x- )为偶函数，求 的值。

分析：告诉我们偶函数的条件，即相当于告诉我们一个恒成立问题。

5、直接根据图象判断

若把等式或不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图象，则可以通过画图直接判断得出结果。尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷。

例6、当x (1,2)时，不等式(x-1)2<logax恒成立，求a的取值范围。

分析：若将不等号两边分别设成两个函数，

则左边为二次函数，图象是抛物线，右边为常见的对数函数的图象，故可以通过图象求解。

例7、已知关于x的方程lg(x2+20x)-lg(8x-6a-3)=0有唯一解，求实数a的取值范围。

分析：方程可转化成lg(x2+20x)=lg(8x-6a-3),从而得x2+20x=8x-6a-3>0,注意到若将等号两边看成是二次函数y= x2+20x及一次函数y=8x-6a-3，则只需考虑这两个函数的图象在x轴上方恒有唯一交点即可。

五、课后练习

1、已知函数f x x3 ax2 bx c在x (Ⅰ)求a,b的值与函数f x 的单调区间

2

与x 1时都取得极值 3

(Ⅱ)若对x 1,2 ，不等式f x c2恒成立，求c的取值范围。

2、已知向量 (x,x 1), (1 x,t),若函数f x a b在区间 1,1 上是增函数，求t的取值范围.

2

2

3、已知函数f x log2x ax

a在区间 ,1上是减函数,求实

数a的取值范围.

4、 设函数f(x) (x 1)ln(x 1).若对所有的x 0,都有f(x) ax成立，求实数a的取值范围。

5、已知函数f x 4x 3xcos

3

2

3

cos ,其中x R, 为参数,且16

0 2 .

(Ⅰ) 当cos 0时,判断函数f x 是否有极值;

(Ⅱ) 要使函数f x 的极小值大于零,求参数 的取值范围;

(Ⅲ) 若对(Ⅱ)中所求的取值范围内的任意参数 ,函数f x 在区间

2a 1,a 内都是增函数,求实数a的取值范围.

6、已知函数f

x 3x 3ax 1,gf x x ax 5，其中f' x 是

f x 的导函数

（Ⅰ）对满足 1 a 1的一切a的值，都有g x 0，求实数x的取值范围； （Ⅱ）设a m，当实数m在什么范围内变化时，函数y f x 的图象与直

2

线y 3只有一个公共点

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7、三个同学对问题“关于x的不等式x 25 x 5x ax在 1,12 上恒成

立，求实数a的取值范围”提出各自的解题思路．

甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”． 乙说：“把不等式变形为左边含变量x的函数，右边仅含常数，求函数的最值”． 丙说：“把不等式两边看成关于x的函数，作出函数图像”．

参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a的取值范围是 ．

2

8、已知两个函数f(x) 8x 16x k，g(x) 2x3 5x2 4x，其中k为实数.

(Ⅰ)若对任意的x 3，3 ，都有f(x) g(x)成立，求k的取值范围； (Ⅱ)若对任意的x1、x2 3，3 ，都有f(x1) g(x2)，求k的取值范围.

(Ⅲ)若对于任意x1 3,3 求k的取值范围.

,总存在x0 3,3 使得g(x0) f(x1)成立，

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