线性代数 概率论与数理统计 作业册 (参考答案)青岛理工大学
更新时间:2023-04-05 18:26:01 阅读量: 实用文档 文档下载
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~ 1 ~
第一章 行列式
第一节二阶与三阶行列式 第二节全排列及其逆序数
第三节n 阶行列式的定义第四节对换
1.求下列各排列的逆序数:
(1) 134785692 (2) 139782645 (3) 13…(2n-1)24…(2n) (4) 13…(2n-1)(2n)(2n-2)…2 (11;17; 2)
1(-n n ;)1(-n n )
2. 已知排列9561274j i 为偶排列,则=),(j i (8,3) .
3.计算下列各阶行列式:
(1) 600300301395200199204100103 (2)0d 0c 0b 0a 0 (3)ef
cf bf de cd bd ae
ac ab --- [2000; 0; 4abcdef]
4. 设x
x x x x D 1111231
112
12-=,则D 的展开式中3x 的系数为 -1 .
5 求二次多项式()x f ,使得
()61=-f ,()21=f ,()32=f
解 设()c bx ax x f ++=2,于是由()61=-f ,()21=f ,()32=f 得
?????=++=++=+-3
2426
c b a c b a c b a 求c b a ,,如下:
06124111111≠-=-=D ,61231121161-=-=D ,12
1
341211
612==D ,183
242116
113-=-=D
所以 11
==D D a ,22-==D D b ,33
==D D
c
~ 2 ~
故()322
+-=x x x f 为所求。
第五节 行列式的性质 第六节 行列式按行(列)展开 第七节克拉默法则
1.n 阶行列式ij a D =,则展开式中项11342312n n n a a a a a - 的符号为( D ).
(A )- (B )+ (C )n )1(- (D )1)1(--n
2.如果1a a a a a a a a a D 333231232221131211==,求33
3231312322212113
121111a a 3a 2a 4a a 3a 2a 4a a 3a 2a 4---
[-12] 3. 已知4
52101113
0112
101--=D ,计算44434241A A A A +++ [-1]
4. 计算行列式 3
83326229
0432
231---- [-50]
5.计算下列各行列式(D k 为k 阶行列式)
(1) a
11
a ,其中对角线上元素都是a ,未写出的元素都是0;
[2--n n a a ] (2) a
a a a
x a a
a x ;
[1)(--n a x a ] (3) n
1n 321a x x x x x
a x x x x
x a x x x
x x a x x
x x x a - [利用递推公式来求]
递推公式为1121)()())((---+---=n n n n D x a x a x a x a x D
~ 3 ~
n D =)1)(())((2121x
a x
x a x x a x x a x a x a n n -++-+-+
--- (4) n
22222322
2
222
2221
[)!2(-n ]
(5)
β
+ααββ
+αβ+ααββ+ααββ+ααββ+α1
0000001000010
00010000
[n n n n βαββα
α++++--11
]
6.问λ,μ取何值时,齐次方程组???
??=+μ+=+μ+=++λ0
x x 2x 0x x x 0x x x 321
321321有非零解? [0;1==μλ]
求每类商品的销售利润率。(去掉)
第二章 矩阵及其运算
第一节 矩阵 第二节 矩阵的运算
1. 以下结论正确的是( C )
(A ) 若方阵A 的行列式0=A ,则0=A 。 (B ) 若02
=A ,则0=A 。
(C ) 若A 为对称矩阵,则2
A 也是对称矩阵。
~ 4 ~
(D ) 对任意的同阶方阵A,B 有22))((B A B A B A -=-+
2. 设A=???? ??-310121,B=???? ??-121013,C=???
? ??-213112,计算(1) 2A-3B+2C . [???
? ??--729037] 3.设A=????? ??321212113,B=????? ??-101012111,求AB-BA . [????? ??---044402220] 4.设A=???? ??--143125,B=???
? ??--102023,计算AB T ,B T A ,A T A ,BB T +AB T . [???? ??----71919; ????? ??-----14324101221; ????? ??--26262022234; ???? ??56613; ???? ??---2536] 5.若???? ??=4321A ,???
? ??=0110P ,那么=20042005AP P ???? ??2143 . 6.B A ,为三阶矩阵,1-=A ,2=B ,则()=-21
2B A T 2 . 7.已知53)(2+-=x x x f ,???
? ??=b a A 00,
则=)(A f ???? ??+-+-53005322b b a a . 8.A 为2005阶矩阵,且满足A A T -=,则=A 0 .
9. 计算n
???? ??1011 解: 设 ???
? ??=1011A , 则 ???
? ??=???? ?????? ??==1021101110112AA A , ???? ??=???? ?????? ??==1031101110212
3A A A 假设???? ??-=-10111n A n , 则 ???? ??=???? ?????? ??-==-101101110
111n n A A A n n ,
~ 5 ~
于是由归纳法知,对于任意正整数n ,有 ???
? ??=???? ??1011011n n
10.证明:若A 和B 都是n 阶对称矩阵,则AB 是对称矩阵的充分必要条件是A 与B 可交换.(略)
11.证明:若A 和B 都是n 阶对称矩阵,则A+B ,A-2B 也是对称矩阵.(略) 12.已知A=P ΛQ 其中P=???? ??2132,Λ=???? ??-1001,Q=???
? ??--2132.QP=E ,计算A 2n ,A 2n+1 (n 为正整数).
[????
??1001; ???
? ??--74127]
第三节 逆矩阵 第四节 分块矩阵
13.设A 、B 都是n 阶矩阵,问:下列命题是否成立?若成立给出证明;若不成立举反例说明.
(1) 若A 、B 皆不可逆,则A+B 也不可逆;(2) 若AB 不可逆,则A ,B 都可逆;
(3) 若AB 不可逆,则A ,B 都不可逆;(4) 若A 可逆,则kA 可逆(k 是常数). (略) 14.设P -1
AP=Λ,其中P=???? ??--1141,Λ=???? ??-2001,求A n . (略) 15.设A 为3阶矩阵,且21=
A ,求*12)3(A A --. [2716-] 16.(1)若方阵A 满足0422=--E A A ,试证A+E 可逆,并求()1-+E A . (略)
(2)设A 是n 阶矩阵,且1-=A ,又1
-=A A T ,试证A+E 不可逆 (证明行列式等于零) 17.解矩阵方程 B AX =,其中????? ??=100210321A ,????? ??--=3152
41B 。 [????
? ??---3111094] 18.求下列矩阵的逆矩阵:
(1) ???? ??θθ-θθcos sin sin cos ; (2) ??????
? ?
?1000110001100011. [???? ??-θθθθcos sin sin cos ; ??????? ??----10001100111
01111] 19.利用逆矩阵解下列方程:
~ 6 ~
(1) ???
?
? ??-=????? ??---130112X 221021132. [???????
? ??----653611
311
] 20.设A k =0 (k 为正整数),证明:(E-A)-1=E+A+A 2+…+A k-1.
21.设方阵A 满足方程A 2-2A+4E=0.证明A+E 和A-3E 都是可逆的,并求它们的逆矩阵. 22.设方阵A 满足A 2-A-2E=0证明:
(1) A 和E-A 都可逆,并求它们的逆矩阵;(2) (A+E)和(A-2E)不同时可逆. 23.设幂零矩阵A 满足A k =0(k 为正整数),试证明E-A 可逆,并求其逆矩阵. 24.设A 是实对称矩阵,且A 2=0,证明A=0.
25.设A=???
? ??0C B 0,其中B 是n 阶可逆阵,C 是m 阶可逆阵.证明A 可逆,并求A -1
.
26.用矩阵分块的方法,证明下列矩阵可逆,并求其逆矩阵.
⑴ ???
??
?
??
??1000001000003000005200021; ⑵
???
???
?
?
??1000001000001003102020102
.
[??
???
?
?
??
?
?--100
100000000310
00001200025; ???
?
?
????
?
?
??
?
?----
1000001000
00100
23210210102
1021]
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
第一节 初等矩阵 第二节矩阵的秩
1.求矩阵???
??
??
?
?---=0230108523570
3273
812A 的秩,并求一个最高阶非零子式。[3; 0
1023532---]
~ 7 ~
2.设???
?
? ??----=32321321k k k A ,问k 为何值,可使(1);1)(=A R (2);2)(=A R (3);3)(=A R
[
;
1=k 2-=k ;
2,1-≠≠k k ]
3.用初等矩阵判断方阵
??????
?
??----=211441*********
1A 是否可逆。若可逆,求1-A 解:()??
?
??
?
?
?
?----------→
???????
?
?----=---10040102
0011
0001233023302330111
110000100
0010
0001211441521221111
11
3
12
14
24 r r r r r r E A 因为02
3302
33023301
1
1
1
=-------,所以0=A ,故A 不可逆,即1
-A 不存在。
4. 用初等矩阵解矩阵方程B AX =,其中??
??
? ??--=523012101A ,?
???? ??-----=141254121B . 解:
()??
?
?
?
??--=100010001523012101 E A ???
????
??
----
→211
27115211
25100010001
???
???? ?
?----=∴-211
27115
211
2
51A ????? ??-----???????
??----==-14125412121127115
211
25
1
B A X ????? ??----=640892521
~ 8 ~
5. 用初等矩阵求()A R 其中 ???????
??---=140113*********
12
211A 解:??????? ?
?---→??????? ??------→+--22200000001512012211222001512015120122112313142r r r r r r A ??????? ??---→?00000222001512012
21143r r (上阶梯形),有此可看出 ()3=A R 25.设n 阶方阵A 的伴随矩阵为A*,证明:
(1) 若|A|=0,则|A*|=0;(2) |A*|=|A|n-1.(略)
第三节 线性方程组的解
一. 判断题;选择;题空题
1. 若54321,,,,ααααα都是b Ax =的解,则543218634ααααα-+-+是0=Ax 的一个解.( )
2. 方程组0=?x A n m 基础解系的个数等于)(n m A R n ?-. ( )
3. 若方程组0=Ax 有非零解,则方程组b Ax =必有无穷多解.( 错 )
4. 0=Ax 与0=Ax A T
为同解方程组. ( )
5. 方程组b Ax =有无穷多个解的充分必要条件是b Ax =有两个不同的解. ( )
6. 当( D )时,齐次线性方程组0=?x A n m 一定有非零解.
(A )n m ≠;(B )n m =;(C )n m >;(D )n m <.
7. 方程组?????=++=++=++00032
13213221x x x x x x x x x λλλλ的系数矩阵记为A ,若存在三阶方阵O B ≠,使得O AB =,
则 ( A ) .
(A )1=λ且0=B ; (B )1≠λ且0≠B ;(C )1≠λ且0=B ;(D )1=λ且0≠B .
8. 设方程组b x A n n =?+)1(有解,则其增广矩阵的行列式b A = 0 .
~ 9 ~
9. 若???????=+-=+=+-=+4
143
43232121a x x a x x a x x a x x 有解,则常数4321,,,a a a a 应满足条件 和等于零 . 10. 已知方程组????
? ??=????? ??????? ??-+03121232121321x x x a a 无解,则=a -1 .
11. 求方程组?????=+++=+++=++-5
43265421432143214321x x x x x x x x x x x x 的通解. [ 通解为???????
? ??+??????? ??--+???????? ??--=??????? ??0034371012013235214321c c x x x x ] 12.设?????-=+-=++-=++4
243212321321x x x k x kx x kx x x ,问方程组什么时候有唯一解?什么时候无解?什么时候有无穷多解,并在有无穷多解时求解.
解:有唯一解4,1≠-≠k k ;
无解1-=k ;
无穷多解4=k ,解为????
? ??+????? ??--040113c 。
第四章 向量组的线性相关性
第一节 n 维向量
1.设T T T v v v )0,4,3(,)1,1,0(,)0,1,1(321===,求32123v v v -+.
解:321
23v v v -+T T T )0,4,3()1,1,0(2)0,1,1(3-+= T )01203,41213,30213(-?+?-?+?-?+?=
~ 10 ~
T )2,1,0(=
2.设)(5)(2)(3321a a a a a a +=++-其中T a )3,1,5,2(1=, T a )10,5,1,10(2=, T a )1,1,1,4(3-=,求a
解 由)(5)(2)(3321a a a a a a +=++-整理得
)523(61321a a a a -+=])1,1,1,4(5)10,5,1,10(2)3,1,5,2(3[6
1T T T --+= T )4,3,2,1(=
3.已知α+β=(2,1,5,2,0),α-β=(3,0,1,-1,4),求α,β.
解: 11
511[()()][(2,1,5,2,0)(3,0,1,1,4)](,,3,,2)2222211113[()()][(2,1,5,2,0)(3,0,1,1,4)](,,2,,22222ααβαββαβαβ=++-=+-==+--=--=--
第二节 向量组的线性相关性
1.设144433322211,,,a a b a a b a a b a a b +=+=+=+=,证明向量组4321,,,b b b b 线性相关.
证明 设有4321,,,x x x x 使得,044332211=+++b x b x b x b x 则 0)()()()(144433322211=+++++++a a x a a x a a x a a x 0)()()()(443332221141=+++++++a x x a x x a x x a x x
(1) 若4321,,,a a a a 线性相关,则存在不全为零的数4321,,,k k k k , 411x x k +=;212x x k +=;323x x k +=;434x x k +=; 由4321,,,k k k k 不全为零,知4321,,,x x x x 不全为零,即4321,,,b b b b 线性相关.
(2) 若4321,,,a a a a 线性无关,则???????=+=+
=+=+000043322141x x x x x x x x 011000110001110014321=??????
? ????????? ???x x x x
~ 11 ~
由0
1
10001100
0111
001=知此齐次方程存在非零解,则4321,,,b b b b 线性相关. 综合得证.
2.设r r a a a b a a b a b +++=+== 2121211
,,,,且向量组r a a a ,,,21 线
性无关,证明向量组r b b b ,,,21 线性无关. 证明 设0221
1=+++r r b k b k b k 则
+
+++++++++p r p r r a k k a k k a k k )()()(2211 0=+r r a k
因向量组r a a a ,,,21 线性无关,故
121220110001
1000
100r r r r k k k k k k k k k +++=???????
? ? ? ?++=?
? ? ??=?
? ? ??
? ? ??=????
???
,
因为0
11
011
01
1≠=
故方程组只有
零解,则021
====r k k k 所以r b b b ,,,21 线性无关
3.利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组:??
?
??
?
? ?
?---140113*********
12
2
11
. 解: ??
??
???
?
?---140113130215
1
20122111
4132~r r r r --??????
? ??------22200151201512
01221
1
4
32
3~r r r r ?+??
?
??
?
?
?
?---0000022200151
2
0122
11,所以第1、2、3列构成一个最大无关组.
第三节 向量组的秩
1.求下列向量组的秩,并求一个最大无关组:)3,1,2,1(1
=T
a , )6,5,1,4(2---=T
a ,
)7,4,3,1(3---=T a .
~ 12 ~
解: ????? ??------=????? ??743165143121321T T T a a a ????? ??------10550189903121~????
? ??---0000189903121~ 秩为2,最大线性无关组为T T a a 2
1,. 2.设向量组α1,α2,…,αt (t>2)线性无关,令β1=α2+α3+…+αt ,,β2=α1+α3+…+αt ,…,βt =α1+α2+…+αt-1.
证明:β1,β2,…,βt 线性无关.
3.设n a a a ,,,21 是一组n 维向量,证明它们线性无关的充分必要条件是:任一n 维向量都可由它们线性表示.
4.设向量组A :s a a a ,,,21 的秩为1r ,向量组B :t b b b ,,,21 的秩2r 向量组C :
r s b b b a a a ,,,,,,,2121 的秩3r ,证明 21321},max{r r r r r +≤≤
证明 设C B A ,,的最大线性无关组分别为C B A ''',,,含有的向量个数(秩)分别为221,,r r r ,则C B A ,,分别与C B A ''',,等价,易知B A ,均可由C 线性表示,则秩(C )≥秩(A ),秩(C )≥秩(B ),即321},max{r r r ≤
设A '与B '中的向量共同构成向量组D ,则B A ,均可由D 线性表示,即C 可由D 线性表示,从而C '可由D 线性表示,所以秩(C ')≥秩(D ),
D 为21r r +阶矩阵,所以秩(D )21r r +≤即213r r r +≤.
5. 设A 是n ?m 矩阵,B 是m ?n 矩阵,n 6.设向量组:B r b b ,,1 能由向量组:A s a a ,,1 线性表示为 K a a b b s r ),,(),,(11 =, 其中K 为r s ?矩阵,且A 组线性无关。证明B 组线性无关的充分必要条件是矩阵K 的秩r K R =) (. 证明 ?若B 组线性无关 令),,(),,(11s r a a A b b B ==则有AK B =,由定理知, ()()min{(),R B R AK R A =≤()}()R K R K ≤,由B 组:r b b b ,,,21 线性无关知r B R =)(,故r K R ≥)(,又知K 为s r ?阶矩阵则},min{)(s r K R ≤。由于向 ~ 13 ~ 量组B :r b b b ,,,21 能由向量组A :s a a a ,,,21 线性表示,则s r ≤, r s r =∴},min{ 综上所述知r K R r ≤≤)(即r K R =)(. ?若r k R =)( 令02211=+++r r b x b x b x ,其中i x 为实数r i ,,2,1 =,则有 0),,,(121=???? ? ??r r x x b b b ,又K a a b b s r ),,(),,(11 =,则0),,(11=????? ??r s x x K a a 由于s a a a ,,,21 线性无关,所以021=????? ? ? ???r x x x K 即 ?????????=+++=+++=+++=+++0 002211221122221 121221111r rs s s r rr r r r r r r x k x k x k x k x k x k x k x k x k x k x k x k (1) 由于r K R =)(则(1)式等价于下列方程组: ???????=+++=+++=+++0 00221122221121221111r rr r r r r r r x k x k x k x k x k x k x k x k x k ,由于021222121 2111≠rr r r r r k k k k k k k k k 所以方程组只有零解021 ====r x x x .所以r b b b ,,,21 线性无关,证毕. 第四节 向量空间 1. 试证:由T T T a a a )0,1,1(,)1,0,1(,)1,1,0(321===所生成的向量空间就是3R . 2. 证明 设),,(321a a a A = ~ 14 ~ 011101110,,321a a a A =0 21101010 11)1(1≠-=-=- 于是3)(=A R 故线性无关.由于321,,a a a 均为三维,且秩为3, 所以321,,a a a 为此三维空间的一组基,故由321,,a a a 所生成的向量空间就是3R . 2.验证T T T a a a )2,1,3(,)3,1,2(,)0,1,1(321==-=为3R 的一个基,并把T T v v )13,8,9(,)7,0,5(21---==用这个基线性表示. 解 由于06230 111321 ,,321≠-=-=a a a ,即矩阵),,(321a a a 的秩为3,故321,,a a a 线性无关,则为3R 的一个基. 设3322111a k a k a k v ++=,则,?????=+=++-=++723053232321321k k k k k k k k ?????-===?132321k k k 故3211 32a a a v -+= 设3322112a a a v λλλ++=,则,?????-=+-=++--=++1323893232321321λλλλλλλλ?????-=-==?233321k k k 故线性表示为,3212233a a a v --= 第五节 线性方程组的解的结构 1.求齐次线性方程组?????=-++=-++=+--03678024530 2324321 43214321x x x x x x x x x x x x 的基础解系. 解: ???????? ??--????? ??----=000019719141019119201~36782453 1232初等行变换A ~ 15 ~ 所以原方程组等价于??? ??? ?+-=+-=4324311971914191192x x x x x x 取2,143 ==x x 得0,021==x x ;取19,043==x x 得7,121==x x 因此基础解系为??? ??? ? ??=??????? ??=19071,210021ξξ 2.设??? ? ??--= 82593122A ,求一个24?矩阵B ,使0=AB ,且 2)(=B R . 解 由 于 2 )(=B R ,所以可设 ?????? ? ?? =43211001x x x x B 则由 ???? ??=????? ? ? ?????? ??--=00001001 825931224321 x x x x AB 可得??? ?? ? ? ??--= ??????? ????????? ??5922802008023010 0301 4321x x x x , 解此非齐次线性方程组可得唯一解? ???? ? ???? ? ??-=??????? ??21 252121143 21x x x x , 故所求矩阵??????? ? ??-=2125212 111001B . 3.求一个齐次线性方程组,使它的基础解系为T T )0,1,2,3(,)3,2,1,0(11==ξξ. 解 显然原方程组的通解为 ???? ??? ??+??????? ??=? ????? ? ??01233210214321k k x x x x ,(R k k ∈21,) 即????? ? ? =+=+==1 42132122 1 3223k x k k x k k x k x ~ 16 ~ 消去21,k k 得 ???=+-=+-0 23032431421x x x x x x 此即所求的齐次线性方程组. 4.设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3,已知321,,ηηη是它的三个解向量.且 ??????? ??=54321η,?????? ? ??=+432132ηη求该方程组的通解. 解 由于矩阵的秩为3,134=-=-r n ,一维.故其对应的齐次线性方程组的基础解系含有一个向量,且由于321,,ηηη均为方程组的解,由非齐次线性方程组解的结构性质得 齐次解齐次解齐次解=?????? ? ??=-+-=+-6543)()()()()(22121321ηηηηηηη 为其基础解系向量,故此方程组的通解:??????? ??+??????? ??=54326543k x ,)(R k ∈ 5.设B A ,都是n 阶方阵,且0=AB ,证明n B R A R ≤+)()(. 证明 设A 的秩为1r ,B 的秩为2r ,则由0=AB 知,B 的每一列向量都是以A 为系数矩阵的齐次线性方程组的解向量. (1) 当n r =1时,该齐次线性方程组只有零解,故此时0=B ,n r =1,02=r , n r r =+21结论成立. (2) 当n r <1 时,该齐次方程组的基础解系中含有1r n -个向量,从而B 的列向量组的秩1r n -≤,即12r n r -≤,此时12r n r -≤,结论成立。 综上,n B R A R ≤+ )()( 6.求非齐次方程组?????-=+++-=-++=-+-.6242,1635, 113254321 43214321x x x x x x x x x x x x 的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解系. ~ 17 ~ (2) ??????? ? ??---????? ??-----=00000221711012179016124211635113251~初等行变换B ?????? ? ??-=??????? ??-=??????? ??-=∴2011,0719,002121ξξη 7.设*η是非齐次线性方程组b Ax =的一个解,r n -ξξ,,1 是对应的齐次线性方程组的一个基础解系,证明: r n -*ξξη ,,,1 线性无关. 证明 反证法,假设r n -*ξξη ,,,1 线性相关,则存在着不全为0的数r n C C C -,,,10 使得下式成立:0110=+++--*r n r n C C C ξξη (1) 其中,00 ≠C 否则,r n -ξξ,,1 线性相关,而与基础解系不是线性相关的,产生矛盾。 由于*η为特解,r n -ξξ,,1 为基础解系,故得 b C A C C C C A r n r n 00110)(==+++*--*ηξξη 而由(1)式可得0)(110=+++--*r n r n C C C A ξξη 故0=b ,而题中,该方程组为非齐次线性方程组,得0≠b 产生矛盾,假设不成立, 故r n -*ξξη ,,,1 线性无关. 8.设s ηη,,1 是非齐次线性方程组b Ax =的s 个解,s k k ,,1 为实数,满足121=+++s k k k .证明s s k k k x ηηη+++= 2211也是它的解. 证明 由于s ηη,,1 是非齐次线性方程组b Ax =的s 个解. 故有 ),,1(s i b A i ==η 而s s s s A k A k A k k k k A ηηηηηη+++=+++ 22112211)( b k k b s =++=)(1 ~ 18 ~ 即 b Ax = (s s k k k x ηηη+++= 2211) 从而x 也是方程的解. 第五章 相似矩阵及二次型 第一节 预备知识:向量的内积 1.试用施密特法把下列向量组正交化: (1) ???? ? ??=931421111),,(3 21a a a ;(2) ???? ?? ? ??---=011101110111 ),,(321a a a 解 (1) 根据施密特正交化方法: 令 ?? ? ? ? ??==11111a b , [][]? ? ?? ? ??-=-=101,,1112122b b b a b a b , [][][][]? ?? ? ? ??-=--=12131,,,,222321113133b b b a b b b b a b a b , 故正交化后得: ??????? ? ? ? --=311 13201 3111 ),,(321b b b . (2) 根据施密特正交化方法令 ? ???? ? ? ??-==11 0111a b ,[][]??????? ??-=-=123131,,1 112122b b b a b a b [][][][]??? ?? ? ? ??-=--=43 3151,,,,222321113133b b b a b b b b a b a b 故正交化后得 ?????????? ? ? ?---=543 1153321531051311),,(321b b b ~ 19 ~ 2.下列矩阵是不是正交阵:(1) ?????? ? ? ?? ---121 31211 2131211; (2) ??????? ? ??------ 97949 4949198949891 . 解 (1) 第一个行向量非单位向量,故不是正交阵. (2) 该方阵每一个行向量均是单位向量,且两两正交,故为正交阵. 3.设A 与B 都是n 阶正交阵,证明AB 也是正交阵. 证明 因为B A ,是n 阶正交阵,故A A T =-1 ,B B T =-1 E AB A B AB A B AB AB T T T ===--11)()( 故AB 也是正交阵. 第二节 方阵的特征值与特征向量 求下列矩阵的特征值和特征向量:(1)???? ??-4211; (2)? ??? ? ??633312321;并问它们的特征向量是 否两两正交? 解 (1) ① )3)(2(421 1--=---= -λλλ λ λE A ,故A 的特征值为 3,221==λλ. ② 当21 =λ时,解方程0)2(=-x E A ,由 ???? ?????? ??--=-00112211)2(~E A 得基础解系??? ? ??-=111P 所以)0(111≠k P k 是对应于21=λ的全部特征值向量. 当32 =λ时,解方程0)3(=-x E A ,由 ???? ?????? ??--=-00121212)3(~E A 得基础解系??? ? ??-=1212P 所以)0(2 22≠k P k 是对应于33=λ的全部特征向量. ~ 20 ~ ③ 023121)1,1(],[2121≠=??? ? ??--==P P P P T ,故21,P P 不正交. (2) ① )9)(1(633312 321-+-=---=-λλλλλλ λE A ,故A 的特征值为 9,1,0321=-==λλλ. ② 当01=λ时,解方程0=Ax ,由 ????? ?????? ? ??=000110321633312321~A 得基础解系????? ??--=1111P 故)0(1 11≠k P k 是对应于01=λ的全部特征值向量. 当12-=λ时,解方程0)(=+x E A ,由 ????? ?????? ? ??=+000100322733322322~E A 得基础解系????? ??-=0112P 故)0(2 22≠k P k 是对应于12-=λ的全部特征值向量 当93=λ时,解方程0)9(=-x E A ,由 ????? ??--????? ??---=-00021101113333823289~E A 得基础解系???????? ? ??=121213P 故)0(333≠k P k 是对应于93=λ的全部特征值向量. ③ 0011)1,1,1(],[2121=???? ? ??---==P P P P T , ~ 21 ~ 012121)0,1,1(],[3232=???????? ? ??-==P P P P T , 012121)1,1,1(],[3131=??? ?? ??? ??--==P P P P T , 所以321,,P P P 两两正交. 第三节 相似矩阵 第四节 对称矩阵的相似矩阵 1.设方阵? ??? ? ??------=12422421x A 与???? ? ??-=Λ4000000 5y 相似,求y x ,. 解 方阵A 与Λ相似,则A 与Λ的特征多项式相同,即 E E A λλ-Λ=-λ λλ---------?12 4 22 421x λ λλ----=40 00005y ?? ?==?5 4 y x . 2.设B A ,都是n 阶方阵,且0≠A ,证明AB 与BA 相似. 证明 0≠A 则A 可逆 BA BA A A A AB A ==--))(()(11 则AB 与BA 相似. 3.设3阶方阵A 的特征值为1,0,1321 -===λλλ;对应的特征向量依次为 ????? ??=2211P ,???? ? ??-=1222P ,??? ?? ??--=2123P , 求A . 解 根据特征向量的性质知),,(321P P P 可逆, 得: ???? ? ??=-32 1 3211321),,(),,(λλλP P P A P P P 可得 132132 1321) ,,(),,(-???? ? ? ?=P P P P P P A λλλ,得????? ??-=022********A 4.试求一个正交的相似变换矩阵,将下列对称矩阵化为对角矩阵:
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