七年级上寒假作业2016

题.

⑴写出第5个等式；

⑵第10个等式右边的分数的分子与分母的和是多少？

02．观察下列等式的规律

9－1＝8,16－4＝12,25－9＝16,36－16＝20

⑴用关于n（n≥1的自然数）的等式表示这个规律； ⑵当这个等式的右边等于2008时求n.

11212312＋（＋）＋（＋＋）＋（＋＋

3355244434124849＋）＋ ? ＋（＋＋?＋＋） 5550505050【例７】（第十届希望杯竞赛试题）求

【解法指导】观察式中数的特点发现：若括号内在加上相同的数均可合并成1，由此我们采取将原式倒序后与原式相加，这样极大简化计算了.

112123124849＋（＋）＋（＋＋）＋ ? ＋（＋＋?＋＋）

33244450505050121321494821则有S＝＋（＋）＋（＋＋）＋ ? ＋（＋＋?＋＋）

23344450505050解：设S＝

将原式和倒序再相加得

1112211233211＋＋（＋＋＋）＋（＋＋＋＋＋）＋ ? ＋（＋

3333224444445024849494821＋?＋＋＋＋＋?＋＋） 5050505050505049?(49?1)即2S＝1＋2＋3＋4＋?＋49＝＝1225

21225∴S＝

22S＝

【变式题组】

2345678910

01．计算2－2－2－2－2－2－2－2－2＋2

02．（第8届希望杯试题）计算（1－

1111111－－?－）（＋＋＋?＋＋232003234200311111111）－（1－－－?－）（＋＋＋?＋） 200423200423420031

演练巩固·反馈提高

01．m是有理数，则m＋|m|（ ）

A．可能是负数 B．不可能是负数 C．比是正数 D．可能是正数，也可能是负数 02．如果|a|＝3，|b|＝2，那么|a＋b|为（ ）

A． 5 B．1 C．1或5 D．±1或±5 03．在1，－1，－2这三个数中，任意两数之和的最大值是（ ）

A． 1 B．0 C．－1 D．－3 04．两个有理数的和是正数，下面说法中正确的是（ ）

A．两数一定都是正数 B．两数都不为0 C．至少有一个为负数 D．至少有一个为正数 05．下列等式一定成立的是（ ）

A．|x|－ x ＝0 B．－x－x ＝0 C．|x|＋|－x| ＝0 D．|x|－|x|＝0 06．一天早晨的气温是－6℃，中午又上升了10℃，午间又下降了8℃，则午夜气温是（ ）

A．－4℃ B．4℃ C．－3℃ D．－5℃ 07．若a＜0，则|a－(－a)|等于（ ）

A．－a B．0 C．2a D．－2a 08．设x是不等于0的有理数，则

|x?|x||值为（ ） 2xA．0或1 B．0或2 C．0或－1 D．0或－2 09．（济南）2＋(－2)的值为__________ 10．用含绝对值的式子表示下列各式：

⑴若a＜0，b＞0,则b－a＝__________，a－b＝__________ ⑵若a＞b＞0，则|a－b|＝__________ ⑶若a＜b＜0，则a－b＝__________ 11．计算下列各题：

⑴23＋（－27）＋9＋5 ⑵－5.4＋0.2－0.6＋0.35－0.25

⑶－0.5－3

11＋2.75－7 42 ⑷33.1－10.7－（－22.9）－|－

23| 10

12．计算1－3＋5－7＋9－11＋?＋97－99

2

13．某检修小组乘汽车沿公路检修线路，规定前进为正，后退为负，某天从A地出发到收

工时所走的路线（单位：千米）为：

＋10，－3，＋4，－2，－8，＋13，－7，＋12，＋7，＋5 ⑴问收工时距离A地多远？

⑵若每千米耗油0.2千克，问从A地出发到收工时共耗油多少千克？ 14．将1997减去它的

1111，再减去余下的，再减去余下的，再减去余下的??以此类

35241推，直到最后减去余下的，最后的得数是多少？

1997

15．独特的埃及分数：埃及同中国一样，也是世界著名的文明古国，古代埃及人处理分数与

112111＋来表示，用＋＋表315547283111111示等等.现有90个埃及分数：，，，，?，，你能从中挑出10个，723459091众不同，他们一般只使用分子为1的分数，例如加上正、负号，使它们的和等于－1吗？

3

培优升级·奥赛检测

1?2?3?4???14?15等于（ ）

?2?4?6?8???28?301111A． B．? C． D．?

44221111111102．自然数a、b、c、d满足2＋2＋2＋2＝1，则3＋4＋5＋6等于（ ）

cdcdabab13715A． B． C． D．

816326401．（第16届希望杯邀请赛试题）

03．（第17届希望杯邀请赛试题）a、b、c、d是互不相等的正整数，且abcd＝441，则a＋b＋c＋d值是（ ） A．30 B．32 C．34 D．36 04．（第7届希望杯试题）若a＝

199519951996199619971997，b＝，c＝，则a、b、c

199619961997199719981998C．c＜b＜a

D．a＜c＜b

大小关系是（ ）

A．a＜b＜c B．b＜c＜a 05．(1?11111)(1?)(1?)?(1?)(1?)的值得整数部分为1?32?43?51998?20001999?2001（ ） A．1 B．2 C．3 D．4

20042003

06．(－2)＋3×(－2)的值为（ ）

2003200320042004

A．－2 B．2 C．－2 D．2

2004

07．（希望杯邀请赛试题）若|m|＝m＋1，则(4m＋1)＝__________

1121231259＋（＋）＋（＋＋）＋ ? ＋（＋＋?＋）＝__________

3324446060601919197676?09．＝__________

767676191908．

10．1＋2－2－2－2－2－2－2－2－2＋2＝__________

200120022003

11．求3×7×13所得数的末位数字为__________

2

12．已知(a＋b)＋|b＋5|＝b＋5，且|2a－b－1|＝0，求aB．

13．计算(

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11111－1)(－1) (－1) ? (－1) (－1) 19981997199610011000

3333333333

14．请你从下表归纳出1＋2＋3＋4＋?＋n的公式并计算出1＋2＋3＋4＋?＋100的

值.

1312345

23246810

333691215

43

481216204

53510152025

第03讲 有理数的乘除、乘方

考点·方法·破译

1．理解有理数的乘法法则以及运算律，能运用乘法法则准确地进行有理数的乘法运算，会利用运算律简化乘法运算.

2．掌握倒数的概念，会运用倒数的性质简化运算.

3．了解有理数除法的意义，掌握有理数的除法法则，熟练进行有理数的除法运算. 4．掌握有理数乘除法混合运算的顺序，以及四则混合运算的步骤，熟练进行有理数的混合运算.

5．理解有理数乘方的意义，掌握有理数乘方运算的符号法则，进一步掌握有理数的混合运算.

经典·考题·赏析

【例１】计算

111111?(?) ⑵? ⑶(?)?(?) ⑷2500?0 2424243713⑸(?)?(?)?(1)?(?)

5697⑴

【解法指导】掌握有理数乘法法则，正确运用法则，一是要体会并掌握乘法的符号规律，

二是细心、稳妥、层次清楚，即先确定积的符号，后计算绝对值的积.

11111?(?)??(?)?? 2424811111⑵??(?)? 2424811111⑶(?)?(?)??(?)?

24248⑷2500?0?0

3713371031⑸(?)?(?)?(1)?(?)??(???)??

569756973解：⑴【变式题组】

01．⑴(?5)?(?6) ⑵(?)?1

⑷(?3)?(?1)?2?(?6)?0?(?2) ⑸?12?(2 02．(?9121 ⑶(?8)?(3.76)?(?0.125) 41111?1?1?1) 42612241111)?50 3．(2?3?4?5)?(???) 2523455

04．(?5)?3?2?3?(?6)?3

【例２】已知两个有理数a、b，如果ab＜0，且a＋b＜0，那么（ ） A．a＞0，b＜0 B．a＜0，b＞0

C．a、b异号 D．a、b异号且负数的绝对值较大 【解法指导】依有理数乘法法则，异号为负，故a、b异号，又依加法法则，异号相加取绝对值较大数的符号，可得出判断.

解：由ab＜0知a、b异号，又由a＋b＜0，可知异号两数之和为负，依加法法则得负数的绝对值较大，选D．

【变式题组】

01．若a＋b＋c＝0，且b＜c＜0，则下列各式中，错误的是（ ）

A．a＋b＞0 B．b＋c＜0 C．ab＋ac＞0 D．a＋bc＞0 02．已知a＋b＞0，a－b＜0，ab＜0，则a___________0，b___________0，|a|___________|b|. 03．(山东烟台)如果a＋b＜0，131313b?0，则下列结论成立的是（ ） aA．a＞0，b＞0 B．a＜0，b＜0 C．a＞0，b＜0 D．a＜0，b＞0

04．(广州)下列命题正确的是（ ）

A．若ab＞0，则a＞0，b＞0 B．若ab＜0，则a＜0，b＜0 C．若ab＝0，则a＝0或b＝0 D．若ab＝0，则a＝0且b＝0 【例３】计算

⑴(?72)?(?18) ⑵1?(?2) ⑶(?1313)?() ⑷0?(?7) 1025【解法指导】进行有理数除法运算时，若不能整除，应用法则1，先把除法转化成乘法，

再确定符号，然后把绝对值相乘，要注意除法与乘法互为逆运算.若能整除，应用法则2，可直接确定符号，再把绝对值相除.

解：⑴(?72)?(?18)?72?18?4 ⑵1?(?2)?1?(?)?1?(?)??⑶(?1373373 7131255)?()?(?)?()?? 10251036⑷0?(?7)?0 【变式题组】

01．⑴(?32)?(?8) ⑵2?(?1) ⑶0?(?2) ⑷()?(?1)

02．⑴29?3?1316131738131153 ⑵(?)?(?3)?(?1)?3 ⑶0?(?)? 3524356

03．

113?(?)?(1?0.2?)?(?3) 245

【例４】（茂名）若实数a、b满足

abab＝___________. ??0，则abab【解法指导】依绝对值意义进行分类讨论，得出a、b的取值范围，进一步代入结论得

出结果.

ab?2(a?0,b?0)解：当ab＞0，?； ??ab??2(a?0,b?0)当ab＜0，

abab＝－1. ??0，∴ab＜0，从而abab【变式题组】

01．若k是有理数，则(|k|＋k)÷k的结果是（ ）

A．正数 B．0 C．负数 D．非负数 02．若A．b都是非零有理数，那么

03．如果

【例５】已知x?(?2),y??1 ⑴求xy2008abab的值是多少？ ??ababxx?yy?0，试比较?x与xy的大小. y223x3的值； ⑵求2008的值.

y【解法指导】an表示n个a相乘，根据乘方的符号法则，如果a为正数，正数的任何次幂都是正数，如果a是负数，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数.

解：∵x?(?2),y??1 ⑴当x?2,y??1时，xy当x??2,y??1时，xy2008223?2(?1)2008?2

2008?(?2)?(?1)2008??2

7

x323⑵当x?2,y??1时，2008??8

y(?1)2008x3(?2)3当x??2,y??1时，2008???8 2008y(?1)【变式题组】

01．（北京）若m?n?(m?2)2?0，则m的值是___________.

02．已知x、y互为倒数，且绝对值相等，求(?x)n?yn的值，这里n是正整数.

【例６】（安徽）2007年我省为135万名农村中小学生免费提供教科书，减轻了农民的负担，135万用科学记数法表示为（ ）

6677

A．0.135×10 B．1.35×10 C．0.135×10 D．1.35×10 【解法指导】将一个数表示为科学记数法的a×10n 的形式，其中a的整数位数是1位.故答案选B．

【变式题组】 01．（武汉）武汉市今年约有103000名学生参加中考，103000用科学记数法表示为（ ）

5543

A．1.03×10 B．0.103×10 C．10.3×10 D．103×10 02．（沈阳）沈阳市计划从2008年到2012年新增林地面积253万亩，253万亩用科学记数

法表示正确的是（ ）

5647

A．25.3×10亩 B．2.53×10亩 C．253×10亩 D．2.53×10亩 【例７】（上海竞赛）

n1222k2992?2?????2?????2 21?100?50002?200?5000k?100k?500099?9900?500022【解法指导】找出k?100k?5000的通项公式＝(k?50)?50

2原式＝

1222k2992 ???????????22222222(1?50)?50(2?50)?50(k?50)?50(99?50)?501299222982＝[?]?[?]????? 22222222(1?50)?50(99?50)?50(2?50)?50(98?50)?50492512502 [?]?222222(49?50)?50(51?50)?50(50?50)?50＝2??2???????2+1 ????49个＝99

【变式题组】

8

3333+++=( )2+4+6+???+10042+4+6+???+10062+4+6+???+10082+4+6+???+2006

1331 B． C． D．

33410031004100011111111????1. 02．（第10届希望杯试题）已知????258112041110164011111111???求?????的值.

2581120411101640A．

演练巩固·反馈提高

01．三个有理数相乘，积为负数，则负因数的个数为（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．1个或3个 02．两个有理数的和是负数，积也是负数，那么这两个数（ ）

A．互为相反数 B．其中绝对值大的数是正数，另一个是负数 C．都是负数 D．其中绝对值大的数是负数，另一个是正数 03．已知abc＞0，a＞0，ac＜0，则下列结论正确的是（ ）

A．b＜0，c＞0 B．b＞0，c＜0 C．b＜0，c＜0 D．b＞0，c＞0 04．若|ab|＝ab，则（ ）

A．ab＞0 B．ab≥0 C．a＜0，b＜0 D．ab＜0 05．若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2，则代数式m?cd?为（ ）

A．－3 B．1 C．±3 D．－3或1 06．若a＞a?b的值m1，则a的取值范围（ ） aa??1，bA．a＞1 B．0＜a＜1 C．a＞－1 D．－1＜a＜0或a＞1 07．已知a、b为有理数，给出下列条件：①a＋b＝0；②a－b＝0；③ab＜0；④

其中能判断a、b互为相反数的个数是（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 08．若ab≠0，则

ab?的取值不可能为（ ） abA．0 B．1 C．2 D．－2 09．(?2)?(?2)的值为（ ）

A．－2 B．(－2) C．0 D．－2

10．(安徽)2010年一季度，全国城镇新增就业人数289万人，用科学记数法表示289万正

确的是（ ）

7654

A．2.89×10 B．2.89×10 C．2.89×10 D．2.89×10

21

10

11109

11．已知4个不相等的整数a、b、c、d，它们的积abcd＝9，则a＋b＋c＋d＝___________. 12．(?1)2n?1?(?1)2n?(?1)2n?1（n为自然数）＝___________.

13．如果

xx?y?2，试比较?x与xy的大小. yyabcabc14．若a、b、c为有理数且????1，求的值.

abcabc

15．若a、b、c均为整数，且a?b?c?a?1.求a?c?c?b?b?a的值.

32培优升级·奥赛检测

01．已知有理数x、y、z两两不相等，则

x?yy?zz?x,,中负数的个数是（ ） y?zz?xx?yA．1个 B．2个 C．3个 D．0个或2个 02．计算2?1?1,2?1?3,2?1?7,2?1?15,2?1?31???归纳各计算结果中的个位

数字规律，猜测2201012345?1的个位数字是（ ）

A．1 B．3 C．7 D．5 03．已知abcde＜0，下列判断正确的是（ ）

A．abcde＜0 B．abcde＜0 C．abcde＜0 D．abcde＜0 04．若有理数x、y使得x?y,x?y,xy,2

4

2

4

2345x这四个数中的三个数相等，则|y|－|x|的值是（ ） yA．?113 B．0 C． D． 22224816326405．若A＝(2?1)(2?1)(2?1)(2?1)(2?1)(2?1)(2?1)，则A－1996的末位数字

是（ ）

A．0 B．1 C．7 D．9 06．如果(a?b)2001??1,(a?b)2002?1，则a2003?b2003的值是（ ）

A．2 B．1 C．0 D．－1 07．已知a?22,b?33,c?55,d?66，则a、b、c、d大小关系是（ ）

5544332210

A．a＞b＞c＞d B．a＞b＞d＞c C．b＞a＞c＞d D．a＞d＞b＞c 08．已知a、b、c都不等于0，且

abcabc???abcabc的最大值为m，最小值为n，则(m?n)2005＝___________.

09．（第13届“华杯赛”试题）从下面每组数中各取一个数将它们相乘，那么所有这样的乘

积的总和是___________.

1?5,3,4.25,5.75第一组： 311第二组：?2,

3155第三组：2.25,,?4

1210．一本书的页码从1记到n，把所有这些页码加起来，其中有一页码被错加了两次，结果

得出了不正确的和2002，这个被加错了两次的页码是多少？ 11．（湖北省竞赛试题）观察按下列规律排成一列数：，

111212312，，，，，，，213214334122451，，，，，，，，?(＊)，在(＊)中左起第m个数记为F(m)，当215432161F(m)＝时，求m的值和这m个数的积.

2001

12．图中显示的填数“魔方”只填了一部分，将下列9个数：,,1,2,4,8,16,32,64填入

方格中，使得所有行列及对角线上各数相乘的积相等，求x的值.

32 13．(第12届“华杯赛”试题)已知m、n都是正整数，并且

64 x 1142111111A?(1?)(1?)(1?)(1?)???(1?)(1?);2233mm 111111B?(1?)(1?)(1?)(1?)???(1?)(1?).

2233nnm?1n?1,B?; 证明：⑴A?2m2n1 ⑵A?B?，求m、n的值.

26

11

第04讲 整式

考点·方法·破译

1．掌握单项式及单项式的系数、次数的概念.

2．掌握多项式及多项式的项、常数项及次数等概念. 3．掌握整式的概念，会判断一个代数式是否为整式.

4．了解整式读、写的约定俗成的一般方法，会根据给出的字母的值求多项式的值.

经典·考题·赏析

【例1】判断下列各代数式是否是单项式，如果不是请简要说明理由，如果是请指出它的系数与次数.

【解法指导】 理解单项式的概念:由数与字母的积组成的代数式，单独一个数或一个字母也是单项式，数字的次数为0，错误！未找到引用源。是常数，单项式中所有字母指数和叫单项式次数.

解：⑴不是，因为代数式中出现了加法运算；

⑵不是，因为代数式是与x的商； ⑶是，它的系数为π，次数为2；

⑷是，它的系数为?3错误！未找到引用源。，次数为3. 2【变式题组】

01．判断下列代数式是否是单项式

错误！未找到引用源。

02．说出下列单项式的系数与次数

【例２】 如果错误！未找到引用源。与错误！未找到引用源。都是关于x、y的六次单项式，且系数相等，求m、n的值.

【解法指导】 单项式的次数要弄清针对什么字母而言，是针对x或y或x、y等是有区别的，该题是针对x与y而言的，因此单项式的次数指x、y的指数之和，与字母m无关，此时将m看成一个要求的已知数.

解：由题意得错误！未找到引用源。

【变式题组】

01．一个含有x、y的五次单项式，x的指数为3.且当x＝2,y＝－1时，这个单项式的值为

32，求这个单项式.

12

02．（毕节）写出含有字母x、y的五次单项式______________________.

【例３】 已知多项式错误！未找到引用源。 ⑴这个多项式是几次几项式？

⑵这个多项式最高次项是多少？二次项系数是什么？常数项是什么？

【解法指导】 n个单项式的和叫多项式，每个单项式叫多项式的项，多项式里次数最高项的次数叫多项式的次数.

解：⑴这个多项式是七次四项式；

(2)最高次项是错误！未找到引用源。,二次项系数为－1，常数项是1. 【变式题组】

01．指出下列多项式的项和次数

⑴错误！未找到引用源。 (2)错误！未找到引用源。

02．指出下列多项式的二次项、二次项系数和常数项

⑴错误！未找到引用源。 (2)错误！未找到引用源。

【例４】 多项式错误！未找到引用源。是关于x的三次三项式，并且一次项系数为－7.求m+n－k的值

【解法指导】 多项式的次数是单项式中次数最高的次数，单项式的系数是数字与字母乘积中的数字因数.

解：因为错误！未找到引用源。是关于x的三次三项式，依三次知m＝3，而一次项系数为－7，即－（3n+1）＝－7，故n＝2.已有三次项为错误！未找到引用源。,一次项为－7x，常数项为5，又原多项式为三次三项式，故二次项的系数k＝0，故m+n－k＝3+2－0＝5.

【变式题组】

01．多项式错误！未找到引用源。是四次三项式，则m的值为（ ）

A．2 B．－2 C．±2 D．±1

02．已知关于x、y的多项式错误！未找到引用源。不含二次项，求5a－8b的值.

03．已知多项式错误！未找到引用源。是六次四项式，单项式错误！未找到引用源。的次

数与这个多项式的次数相同，求n的值.

【例５】 已知代数式错误！未找到引用源。的值是8,求错误！未找到引用源。的值. 【解法指导】 由错误！未找到引用源。，现阶段还不能求出x的具体值，所以联想到整体代入法.

解：由错误！未找到引用源。得由错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。（3错误！未找到引用源。 【变式题组】

01．(贵州)如果代数式－2a+3b+8的值为18，那么代数式9b－6a+2的值等于（ ）

A．28 B．－28 C．32 D．－32 02．（同山）若错误！未找到引用源。,则错误！未找到引用源。的值为_______________.

13

03．（潍坊）代数式错误！未找到引用源。的值为9,则错误！未找到引用源。的值为

______________.

【例６】 证明代数式错误！未找到引用源。的值与m的取值无关.

【解法指导】 欲证代数式的值与m的取值无关，只需证明代数式的化简结果不出现字母即可.

证明：原式＝错误！未找到引用源。 ∴无论m的值为何，原式值都为4. ∴原式的值与m的取值无关. 【变式题组】

01．已知错误！未找到引用源。,且错误！未找到引用源。的值与x无关，求a的值.

02．若代数式错误！未找到引用源。的值与字母x的取值无关，求a、b的值.

【例７】 （北京市选拔赛）同时都含有a、b、c，且系数为1的七次单项式共有（ ）个

A．4 B．12 C．15 D．25

【解法指导】 首先写出符合题意的单项式错误！未找到引用源。,x、y、z都是正整数，再依x+y+z＝7来确定x、y、z的值.

解：错误！未找到引用源。为所求的单项式，则x、y、z都是正整数，且x+y+z＝7.当x＝1时，y＝1,2,3,4,5,z＝5,4,3,2,1.当x＝2时，y＝1,2,3,4,z＝4,3,2,1. 当x＝3时，y＝1,2,3,z＝3,2,1.当 x＝4时，y＝1,2,z＝2,1.当 x＝5时，y＝z＝1.所以所求的单项式的个数为5+4+3+2+1＝15，故选C．

【变式题组】

01．已知m、n是自然数，错误！未找到引用源。是八次三项式，求m、n值. 02．整数n＝___________时，多项式错误！未找到引用源。是三次三项式.

演练巩固·反馈提高

01．下列说法正确的是（ ）

A．错误！未找到引用源。是单项式 B．错误！未找到引用源。的次数为5 C．单项式错误！未找到引用源。系数为0 D．错误！未找到引用源。是四次二项式

02．a表示一个两位数，b表示一个一位数，如果把b放在a的右边组成一个三位数.则这

个三位数是（ ）

A．100b+a B．10a+b C．a+b D．100a+b 03．若多项式错误！未找到引用源。的值为1，则多项式错误！未找到引用源。的值是（ ）

A．2 B．17 C．－7 D．7

04．随着计算机技术的迅猛发展，电脑价格不断降低，某品牌电脑原售价为n元，降低m

元后，又降低20%，那么该电脑的现售价为（ ）

A．错误！未找到引用源。 B．错误！未找到引用源。 C．错误！未找到引用源。 D．错误！未找到引用源。

05．若多项式错误！未找到引用源。是关于x的一次多项式，则k的值是（ ）

A．0 B．1 C．0或1 D．不能确定

06．若错误！未找到引用源。是关于x、y的五次单项式，则它的系数是____________. 07．电影院里第1排有a个座位，后面每排都比前排多3个座位，则第10排有_______个座

位.

08．若错误！未找到引用源。,则代数式xy+mn值为________.

14

09．一项工作，甲单独做需a天完成，乙单独做需b天完成，如果甲、乙合做7天完成工作

量是____________.

10．(河北)有一串单项式错误！未找到引用源。

(1)请你写出第100个单项式； ⑵请你写出第n个单项式. 11．（安徽）一个含有x、y的五次单项式，x的指数为3,且当x＝2，y＝－1时，这个单项

式值为32，求这个单项式. 12．（天津）已知x＝3时多项式错误！未找到引用源。的值为－1，则当x＝－3时这个多项

式的值为多少？

13．若关于x、y的多项式错误！未找到引用源。与多项式错误！未找到引用源。的系数相

同，并且最高次项的系数也相同，求a－b的值.

14．某地电话拨号入网有两种方式，用户可任取其一.

A：计时制：0.05元/分

B：包月制：50元/月（只限一部宅电上网）. 此外，每种上网方式都得加收通行费0.02元/分.

⑴某用户某月上网时间为x小时，请你写出两种收费方式下该用户应该支付的费用； (2)若某用户估计一个月内上网时间为20小时，你认为采用哪种方式更合算.

培优升级·奥赛检测

01．（扬州）有一列数错误！未找到引用源。,从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面

那个数的倒数的差.若错误！未找到引用源。,则错误！未找到引用源。为（ ）

15

A．2007 B．2 C．错误！未找到引用源。 D．－1 02．（华师一附高招生）设记号*表示求a、b算术平均数的运算，即错误！未找到引用源。,

则下列等式中对于任意实数a、b、c都成立的是（ ）

①错误！未找到引用源。 ②错误！未找到引用源。 ③错误！未找到引用源。 ④错误！未找到引用源。 A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②④

03．已知错误！未找到引用源。,那么在代数式错误！未找到引用源。中，对任意的a、b，

对应的代数式的值最大的是（ ）

A．错误！未找到引用源。 B．错误！未找到引用源。 C．错误！未找到引用源。 D．错误！未找到引用源。

04．在一个地球仪的赤道上用铁丝箍半径增大1米，需增加m米长的铁丝，假设地球的赤

道上一个铁丝箍，同样半径增大1米，需增加n米长的铁丝，则m与n大小关系（ ） A．m＞n B．m＜n C．m＝n D．不能确定 05．（广安）已知错误！未找到引用源。_____________.

06．某书店出售图书的同时，推出一项租书业务，每租看一本书，租期不超过3天，每天租

金a元，租期超过3天，从第4天开始每天另加收b元，如果租看1本书7天归还，那么租金为____________元.

07．已知错误！未找到引用源。＝_____________.

08．有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，错误！未找到引用源。化简后的结果是

______________.

09．已知错误！未找到引用源。＝______________. 10．（全国初中数学竞赛）设a、b、c的平均数为M,a、b的平均数为N,又N、c的平均数为

P，若a＞b＞c，则M与P大小关系______________.

11．(资阳)如图，对面积为1的△ABC逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长AB，BC，

CA至点A1，B1，C1，使得A1B＝2AB，B1C＝2BC，C1A＝2CA，顺次连接A1，B1，C1，得到△A1B1C1，记其面积为S1；第二次操作，分别延长A1B1，B1C1，C1A1至点A2，B2，C2，使得A2B1＝2A1B1，B2C1＝2B1C1，C2A1＝2C1A1，顺次连接A2，B2，C2，得到△A2B2C2，记其面积为S2；…；按此规律继续下去，可得到△A5B5C5，则其面积S5＝________________． 12．（安徽）探索n×n的正方形钉子板上(n是钉子板每边上的钉子数)，连接任意两个钉子

所得到的不同长度值的线段种数：

当n＝2时，钉子板上所连不同线段的长度值只有1与2，所以不同长度值的线段只有2种，若用S表示不同长度值的线段种数，则S＝2；

当n＝3时，钉子板上所连不同线段的长度值只有1，2，2，5，22五种，比n＝2时增加了3种，即S＝2+3＝5.

16

(1) 观察图形，填写下表：

钉子数(n×n) 2×2 3×3 4×4 n=2

n=3

n=4

n=5

5×5

S值 2 2+3 2＋3＋( ) ( ) (2) 写出(n－1)×(n－1)和n×n的两个钉子板上，不同长度值的线段种数之间的关系；(用

式子或语言表述均可)

(3)对n×n的钉子板，写出用n表示S的代数式. 13．（青岛）提出问题：如图①，在四边形ABCD中，P是AD边上任意一点，△PBC与△ABC

和△DBC的面积之间有什么关系？

探究发现：为了解决这个问题，我们可以先从一些简单的、特殊的情形入手：

1⑴当AP＝AD时（如图②）： D2PA1∵AP＝AD，△ABP和△ABD的高相等，

21∴S△ABP＝S△ABD ．

2BC1图①∵PD＝AD－AP＝AD，△CDP和△CDA的高相等，

21∴S△CDP＝S△CDA ．

2DP∴S△PBC ＝S四边形ABCD－S△ABP－S△CDP A11＝S四边形ABCD－S△ABD－S△CDA

2211＝S四边形ABCD－(S四边形ABCD－S△DBC)－(S四边形ABCD－S△ABC)

22CB图②11＝S△DBC＋S△ABC ． 22

17

1⑵当AP＝AD时，探求S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系，写出求解过程；

31⑶当AP＝AD时，S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系式为：________________；

61⑷一般地，当AP＝AD（n表示正整数）时，探求S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系，

n写出求解过程；

mm问题解决：当AP＝AD（0≤≤1）时，S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系式为：

nn___________．

第05讲 整式的加减

考点·方法·破译

1．掌握同类项的概念，会熟练地进行合并同类项的运算. 2．掌握去括号的法则，能熟练地进行加减法的运算.

3．通过去括号，合并同类项和整式加减的学习，体验如何认识和抓住事物的本质特征.

经典·考题·赏析

【例１】（济南）如果

1a?23xy和-3x3y2b?1是同类项，那么a、b的值分别是（ ） 3?a?0 b?2?C．?A．??a?1 b?2?B．??a?2?a?1 D．? b?1b?1??【解法指导】同类项与系数的大小无关，与字母的排列顺序也无关，只与是否含相同字

母，且相同字母的指数是否相同有关.

解：由题意得??a?1?a?2?3，∴?

?b?2?2b?1?318

【变式题组】

01.（天津）已知a＝2,b＝3,则（ ）

A．ax3y2与b m3n2是同类项 B．3xay3与bx3y3是同类项

＋＋

C．Bx2a1y4与ax5yb1是同类项 D．5m2bn5a与6n2bm5a是同类项 02．若单项式2Xym与－

2

1n3

xy是同类项，则m＝___________，n＝___________. 303．指出下列哪些是同类项

22222

⑴ab与－ab ⑵xy与3yx (3)m－n与5（n－m） ⑷5ab与6ab

【例２】(河北石家庄）若多项式合并同类项后是三次二项式，则m应满足的条件是___________.

【解法指导】合并同类项时，把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变.

3

解：因为化简后为三次二项式，而5x＋3已经为三次二项式，故二次项系数为0，即－2m－2＝0,∴m＝－1

【变式题组】

222

01.计算：－（2x－3x－1)－2(x－3x＋5)＋(x＋4x＋3)

02．(台州）

1（2x－4y）＋2y 3 03．（佛山）m－n－(m＋n)

22

【例３】（泰州）求整式3x－5x＋2与2x＋x－3的差.

【解法指导】在求两个多项式的差时，应先将这两个多项式分别用括号括起来，再去括号，而去括号可以用口诀：去括号，看符号，是“＋”号，不变号，是“－”号，全变号，去了括号后，有同类项再合并同类项．

22222

解：（3x－5x＋2)－（2x＋x－3)＝3x－5x＋2－2x－x＋3＝x－6x＋5 【变式题组】

22

01．一个多项式加上－3x＋2xy得x－3xy＋y,则这个多项式是___________．

2

02．减去2－3x等于6x－3x－8的代数式是___________．

【例４】当a＝-3122

，b＝时，求5（2a＋b)－3(3a＋2b)＋2(3a＋2b)的值. 422

【解法指导】将（2a＋b)，（3a＋2b)分别视为一个整体，因此可以先合并“同类项”

再代入求值，对于多项式求值问题，通常先化简再求值.

222

解：5（2a＋b)－3(3a＋2b)－3(2a＋b)＋2(3a＋2b)＝(5－3)(2a＋b)＋(2－3)(3a＋2b)＝2(2a＋b)－(3a＋2b)∵a＝-2

3113

，b＝∴原式＝424【变式题组】

2

01．（江苏南京）先化简再求值：（2a＋1)－2(2a＋1)＋3,其中a＝2.

19

02．已知a＋bc＝14,b－2bc＝－6,求3a＋4b－5bC．

【例５】证明四位数的四个数字之和能被9整除，因此四位数也能被9整除.

【解法指导】可用代数式表示四位数与其四个数之和的差，然后证这个差能被9整除. 证明：设此四位数为1000a＋100b＋10c＋d,则

1000a＋100b＋10c＋d－（a＋b＋c＋d)＝999a＋99b＋9c＝9(111a＋11b＋c)

∵111a＋11b＋c为整数，∴1000a＋100b＋10c＋d＝9(111a＋11b＋c)＋（a＋b＋c＋d) ∵9(111a＋11b＋c)与（a＋b＋c＋d)均能被9整除 ∴1000a＋100b＋10c＋d也能被9整除

【变式题组】

01．已知a＜b＜c,且x＜y＜z,下列式子中值最大的可能是（ ）

A．ax＋by＋cz B．ax＋cy＋bz C．bx＋cy＋az D．bx＋ay＋cz 02．任何三位数减去此三位数的三个数字之和必为9的倍数.

2612112

【例６】将（x－x＋1)展开后得a12x＋a11x＋??＋a2x＋a1x＋a0,求a12＋a10＋a8＋??＋a4＋a2＋a0的值.

【解法指导】要求系数之和，但原式展开含有x项，如何消去x项，可采用赋特殊值法. 解：令x＝1得a12＋a11＋??＋a1＋a0＝1

令x＝－1得a12－a11＋a10－??－a1＋a0＝729 两式相加得2（a12＋a10＋a8＋??＋a2＋a0）＝730 ∴a12＋a10＋a8＋??＋a2＋a0＝365 【变式题组】

55432

01.已知（2x－1)＝a5x＋a4x＋a3x＋a2x＋a1x＋a0

(1)当x＝0时，有何结论; (2)当x＝1时，有何结论; (3)当x＝－1时，有何结论; (4)求a5＋a3＋a1的值.

4324

02.已知ax＋bx＋cx＋dx＋e＝(x－2)

(1)求a＋b＋c＋d＋e.

(3) 试求a＋c的值.

3223

【例７】(希望杯培训题）已知关于x的二次多项式a(x－x＋3x)＋b(2x＋x)＋x－5,当x＝2时的值为－17.求当x＝－2时，该多项式的值.

【解法指导】设法求出a、b的值，解题的突破口是根据多项式降幂排列，多项式的次数等概念，挖掘隐含a、b的等式.

3223

解：原式＝ax－ax＋3ax＋2bx＋bx＋x－5

32

＝(a＋1)x＋(2b－a)x＋(3a＋b)x－5 ∵原式中的多项式是关于x的二次多项式

2222

20

∴??a?1?0

?2b?a?0∴a＝－1

又当x＝2时，原式的值为－17.

∴(2b＋1)?2＋?3?（-1）?b??2?5＝－17,∴b＝－1

2

∴原式＝－x－4x－5

2

∴当x＝－2时，原式＝－（－2）－4?（－2）－5＝－1 【变式题组】

33

01．（北京迎春杯）当x＝－2时，代数式ax－bx＋1＝－17.则x＝－1时，12ax－3bx－5

＝___________．

753

02．(吉林竞赛题）已知y＝ax＋bx＋cx＋dx＋e,其中a、b、c、d、e为常数，当x＝2,y＝

3

2,x＝－2,y＝－35,则e为（ ） A．－6 B． 6 C．－12 D．12

2

演练巩固·反馈提高

01．（荆州）若－3x2my与2xyn是同类项，则m?n的值是（ ）

3

4

A．0 B．1 C．7 D．－1

2222

02．一个单项式减去x－y等于x＋y,则这个单项式是（ ）

A．2x2 B．2y2 C．－2x2 D．－2y2

03．若M和N都是关于x的二次三项式，则M＋N一定是（ ）

A．二次三项式 B．一次多项式 C．三项式 D．次数不高于2的整式

53

04．当x＝3时，多项式ax＋bx＋cx－10的值为7.则当x＝－3时，这个多项式的值是（ ）

A．－3 B．－27 C．－7 D．7

222222

05．已知多项式A＝x＋2y－z,B＝－4x＋3y＋2z,且A＋B＋C＝0,则多项式c为（ ）

A．5x2－y2－z2 B．3x2－y2－3z2 C．3x2－5y2－z2 D．3x2－5y2＋z2 06．已知

y3x?y等于（ ） ?3，则

xxB．1 C．2

A．

4 33 D．0

07．某人上山的速度为a千米/时，后又沿原路下山，下山速度为b千米/时，那么这个人上

山和下山的平均速度是（ ）

A．

a?b千米/时 22

2

B．

2

aba?b千米/时 C．千米/时 22ab2

2

2

D．

2ab千米/时 a?b08．使（ax－2xy＋y)－(－ax＋bxy＋2y)＝6x－9xy＋cy成立的a、b、c的值分别是（ ）

A．３，７，１ B．－３，－７，－１ C．３，－７，－１ D．－３，７，－１ 09．k＝___________时，多项式3x2－2kxy＋3y2＋

1xy－4中不含ｘy项． 210．(宿迁）若2a－b＝2,则6＋8a－4b＝___________

11．某项工程，甲独做需m天完成，甲乙合作需n天完成，那么乙独做需要___________天

21

完成．

2222

12．x－xy＝－3,2xy－y＝－8,则2x－y＝___________．

13．设ａ表示一个两位数，ｂ表示一个三位数，现在把ａ放ｂ的左边组成一个五位数，设为

ｘ，再把ｂ放a的左边，也组成一个五位数，设为y,试问x－y能被9整除吗？请说明理由.

22

14．若代数式（x＋ax－2y＋7)－(bx－2x＋9y－1)的值与字母x的取值无关，求a、b的值.

222222

15．设A＝x－2xy－y,B＝－2x＋xy－y,B＝－2x＋xy－y,当x＜y＜0时，比较A与B的值

的大小.

培优升级·奥赛检测

01．A是一个三位数，b是一位数，如果把b置于a的右边，则所得的四位数是（ ）

A．ab B．a＋b C．1000b＋a D．10a＋b

02．一个两位数的个位数字和十位数字交换位置后，所得的数比原来的数大9，这样的两位

数中，质数有（ ） A．1个 B．3个 C．5个 D．6个

03．有三组数x1,x2,x3;y1,y2,y3;z1,z2,z3,它们的平均数分别是a、b、c，那么x1＋y1－z1,x2＋

y2－z2,x3＋y3－z3的平均数是（ ）

A．

a?b?ca?b-c B． C．A＋b－c D．3(a＋b－c) 3304．如果对于某一特定范围内x的任何允许值P＝1?2x＋1-3x＋??＋1-9x＋1-10x的值恒为一常数，则此值为（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5

05．（江苏竞赛）已知a＋b＝0,a≠0,则化简b(a?1)?a(b?1)得（ ）

abA．2a B．2b C．2 D．－2

06．如果a个同学在b小时内共搬运c块砖,那么c个同学以同样速度搬a块砖，所需的小

时数（ ）

22

c2A．2

abc2a2babB． C．2D．2

abcc＋2

－2

3

＋2

3

＋2

07．如果单项式3xayb与5xya的和为8xya,那么a?b?b?a＝_________． 08．（第１６届“希望杯”邀请赛试题）如果x＋2x＝3则x＋7x＋8x－13x＋15＝_________．

09．将1,2,3??100这100个自然数，任意分为50组，每组两个数，现将每组的两个数中

任一数值记作a,另一个记作b,代入代数式

2

4

3

2

1（a?b?a?b）中进行计算，求出其结2果，50组数代入后可求的50个值，则这50个值的和的最大值时_________．

＋43－3＋4432

10．已知两个多项式A和B，A＝nxn＋xn－x＋x－3,B＝3xn－x＋x＋nx－2x－1,试判

断是否存在整数n,使A－B为五次六项式．

11．设xyz都是整数，且11整除7x＋2y－5z.求证：11整除3x－7y＋12z.

12．(美国奥林匹克竞赛题）在一次游戏中，魔术师请一个而你随意想一个三位数abc(a、b、

c依次是这个数的百位、十位、个位数字）并请这个人算出5个数acb，bac，bca，

cab与cba的和N，把N告诉魔术师，于是魔术师就可以说出这个人所想的数abc，现

在设N＝3194，请你当魔术师，求出abc来.

13．(太原市竞赛题）将一个三位数abc的中间数去掉，成为一个两位数ac，且满足abc＝

23

9ac＋4c（如155＝9?15＋4?5）.试求出所有这样的三位数.

第06讲 一元一次方程概念和等式性质

考点·方法·破译

1．了解一元一次方程、等式的概念，能准确进行辨析． 2．掌握一元一次方程的解、等式的性质并会运用．

经典·考题·赏析

【例１】 下面式子是方程的是( )

A．x＋3 B． x＋y＜3 C．2x2 ＋3 ＝0 D．3＋4 ＝2＋5

【解法指导】判断式子是方程，首先要含有等号，然后看它是否含有未知数，只有同时具有这两个条件的就是方程．2x2 ＋3 ＝0是一个无解的方程，但它是方程，故选择C．

【变式题组】 01．在①2x ＋3y －1．②2 ＋5 ＝15－8，③1－

1x＝x＋l，④2x ＋y＝3中方程的个数是3( )

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 02．（安徽舍肥）在甲处工作的有272人，在乙处工作的有196人，如果要使乙处工作的人

数是甲处工作人数的

1，应从乙处调多少人到甲处？若设应从乙处调多少人到甲处，324

则下列方程正确的是( )

11 (196－x) B． (272－x) ＝196 –x 3311C．×272 ＋x ＝196－x D． (272 ＋x) ＝196－x

32A． 272＋x＝

03．根据下列条件列出方程：

⑴3与x的和的2倍是14 ⑵x的2倍与3的差是5 ⑶x的1

【例２】下列方程是一元一次方程的是( ) A．x－2x－3＝0 B．2x－3y＝4 C．

2

1与13的差的2倍等于51＝3 D．x＝0 x【解法指导】判断一个方程是一元一次方程，要满足两个条件：①只含有一个未知数；②未知数的次数都是1，只有这样的方程才是一元一次方程．故选择D．

【变式题组】 01．以下式子：①－2 ＋10＝8；②5x ＋3 ＝17；③xy；④x＝2；⑤3x ＝1；⑥

x?3＝4x；x⑦（a＋b）c＝ac＋bc；⑧ax＋b其中等式有___________个；一元一次方程有___________个．

02．（江油课改实验区）若（m－2）xm2?3＝5是一元一次方程，则m的值为( )

A．±2 B．－2 C．2 D．4 03．（天津）下列式子是方程的是( )

A．3×6＝ 18 B．3x－8 c．5y＋6 D．y÷5＝1

【例3】若x＝3是方程－kx＋x＋5 ＝0的解，则k的值是( ) A．8 B．3 C．?88 D．

33【解法指导】 方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，所以－3k＋3 ＋5 ＝0，k＝

8故选择D． 3 【变式题组】 01．（海口）x＝2是下列哪个方程的解( )

A．3x＝2x－1 B．3x －2x＋2 ＝0 C．3x －1 ＝2x＋1 D．3x＝2x－2 02．（自贡）方程3x ＋6 ＝0的解的相反数是( )

A．2 B．－2 C．3 D．－3 03．（上海）如果x＝2是方程

1x?a??1的根，那么a的值是( ) 2A．0 B．2 C．－2 D．－6 04．（徐州）根据下列问题，设未知数并列出方程，然后估算方程的解：

(1)某数的3倍比这个数大4；

(2)小明年龄的3倍比他的爸爸的年龄多2岁，小明爸爸40岁，问小明几岁？

(3)一个商店今年8月份出售A型电机300台，比去年同期增加50%，问去年8月份出

25

售A型电机多少台？

【例4】 （太原）c为任意有理数，对于等式果仍然是等式的是( )

A．两边都减去－3c B．两边都乘以

1a＝2×0.25a进入下面的变形，其结21 cC．两边都除以2c D．左边乘以2右边加上c

【解法指导】等式的性质有两条：①等式两边都加（或减）同一个数（或式子）结果仍相等；②等式两边都乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，故选择A．

【变式题组】 01．（青岛）如果ma＝ mb，那么下列等式不一定成立的是( )

A．ma＋1＝mb＋1 B．ma?3＝mb?3 C．?11ma＝?mb D．a＝b 2202．（大连）由等式3a ?5 ＝2a＋b得到a＝11的变形是( )

A．等式两边都除以3 B．等式两边都加上（2a －5） C．等式两边都加上5 D．等式两边都减去（2a －5） 03．（昆明）下列变形符合等式性质的是( )

A．如果2x?3 ＝7，那么2x ＝7?x B．如果3x?2＝x＋l，那么3x?x ＝1?2

C．如果－2x ＝5，那么x＝－5＋2 D．如果－【例5】 利用等式的性质解下列方程： ⑴x ＋7 ＝19 ⑵－5x ＝30 ⑶ －⑴解：两边都减去7得 x＋7 ?7 ＝19 ?7 合并同类项得 x＝12

1x ＝1，那么x＝－3 31x?5 ＝4 31得x＝ －6 51⑶解：两边都加上5得－x?5＋5 ＝4 ＋5

31 合并同类项得－x ＝9

3⑵解：两边都乘以? 两边都乘以－3得x＝－27 【解法指导】 要使方程x＋7 ＝19转化为x＝a（常数）的形式，要去掉方程左边的7，因此要减7，类似地考虑另两个方程如何转化为x＝a的形式．

【变式题组】 01．（黄冈）某人在同一路段上走完一定的路程，去的速度是v1，回来的速度是v2，则他的

平均速度为( ) A．

v1?v22vvv?v2vv B．12 C．1 D．12 2v1?v22v1v2v1?v226

02．（杭州）已知??x?1是方程2x?ay＝3的一个解，那么a的值是( )

?y??1A．1 B．3 C．－3 D．－1 03．（郑州）下列变形正确的是( )

A．由x＋3＝4得x＝7 B．由a＋b＝0，得a＝b

C．由5x＝4x－2得x＝2 D．由04．（南京）解方程?x＝0，得x＝0 623x? ( ) 322333A．同乘以? B．同除以 C．同乘以－ D．同除以

3222【例6】 根据所给出的条件列出方程：小华在银行存了一笔钱，月利率为2%，利息

税为20%，5个月后，他一共取出了本息1080元，问他存人的本金是多少元？（只列方程）

【解法指导】 生活中常碰见的储蓄问题是中考中常见的一种题型，应正确理解利息税的含义，清楚本息和：本金＋利息（除税后）是解题的关键．题中的利息税是把利息的20%扣除作为税上交国家．

解：设他存入的本金是x元，则5个月的利息是2%×5x＝0.1x元，需交利息税0.lx×20%＝0.02x元，根据题意得：x ＋0. lx?0.02x＝ 1080． 【变式题组】 01．（甘肃）商场在促销活动中，将标价为200元的商品，在打八折的基础上，再打八折销

售，则该商品现在售价是( )

A．160元 B．128元 C．120元 D．8元 02．（辽宁）根据下列条件，列出方程并解之：

(1)某数的5倍减去4等于该数的6倍加上7，求某数；

(2)长方形的周长是50厘米，长与宽之比为3∶2，求长方形面积， 【例7】 （“希望杯”邀请赛试题）已知p、q都是质数，并且以x为未知数的一元一次方程px ＋5q ＝97的解是l．求代数式40p ＋l0lq ＋4的值． 【解法指导】用代入法可得到p、q的关系式，再综合运用整数知识：偶数＋奇数＝奇数、奇数＋奇数＝偶数、偶数＋偶数＝偶数．

解：把x＝l代入方程px ＋5q ＝97，得p＋5q ＝97，故p与5q中必有一个数是偶数：

(1)若p＝2，则Sq＝ 95，q＝19，40p ＋l01q ＋4 ＝40×2 ＋101×19 ＋4＝ 2003； (2)若5q为偶数，则q＝2，p＝87，但87不是质数，与题设矛盾，舍去．∴40p ＋

l0lq ＋4的值为2003.

【变式题组】 01．（广东省竞赛题）已知x＝3x ＋1，则（64x2 ＋48x ＋9）2009＝_______．

02．（第18届“希望杯”竞赛题）对任意四个有理数a、b、c、d，定义新运算：

ab＝ ad? cd

27

bc，已知

2x?4x1＝18，则x＝( )

A．－1 B．2 C．3 D．4

演练巩固 反馈提高

01．下面四个式子是方程的是( )

A．3 ＋2 ＝5 B．x＝2 C．2x ?5 D．a2 ＋2ab≠b2 02，下列方程是一元一次方程的是( )

A．x2 ?2x?3＝0 B．2x?3y＝3 C．x2?x?1＝ x2＋1 D．

1?1?0 x03．“x的一半比省的相反数大7”用方程表达这句话的意思是( )

A．

1111x ＝7?x B．x＋7 ＝?x C．＋7 ＝x D．＝x＋7 222204．（石家庄）把1200g洗衣粉分别装入5个大小相同的瓶子中，除一瓶还差15g外，其余四瓶都装满了，问装满的每个瓶子中有洗衣粉多少克？若设装满的每个瓶子有xg洗衣粉，列方程为( )

A．5x ＋15＝ 1200 B．5x －15 ＝1200 C．4x ＋15＝ 1200 D．4（x＋15)＝1200

05．在方程①3x?4 ＝7；②

x＝3；③5x?2 ＝3；④3（x＋1）＝2（2x＋1）中解为x＝1的2方程是( )

A．①② B．①③ C．②④ D．③④

06．如果方程2n＋b＝n?1的解是n＝－4，那么b的值是( )

A．3 B．5 C．－5 D．－13

07．若“△”是新规定的某种运算符号，设a△b＝ a2 ＋b则（－2）△x＝10中x为( )

A．－6 B．6 C．8 D．－8 08．（武汉）小刚每分钟跑am，用6分钟可以跑完3000m，如果每分钟多跑l0m，则可以提

前1分钟跑完3000m，下列等式不正确的是( ) A．(a＋10)(b－1) ＝ab B．（a?10)(b＋l) ＝3000

C．

30003000＝a＋10 D．＝b?1 b?1a?1009．已知关于x的方程(m＋2)xm＋4 ＝2m－1是一元一次方程，则x＝_______．

10．在数值2，－3，4，－5中，是方程4x?2＝ 10 ＋x的解是_______． 11．（福州）已知

33m?1＝n，试用等式的性质比较m、n的大小． 44

12.（西宁）已知方程a?2x＝－4的解为x＝4，求式子a3?a2?a的值．

13．三个连续自然数的和是33，求这三个数．

28

14．某班有70人，其中会游泳的有52人，会滑冰的有33人，这两项都不会的有6人，这

两项都会的有多少人？

15．甲车队有司机80人，乙车队有50人，要使两个车队的司机人数一样多，应该从甲车队

调多少个司机到乙车队？

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01．下列判断中正确的是( )

A．方程2x －3 ＝1与方程x(2x －3)＝x同解，

B．方程2x －3 ＝1与方程x(2x －3)＝x没有相同的解． C．方程x(2x －3)＝x的解是方程2x －3 ＝1的解． D．方程2x ?3 ＝1的解是方程x(2x －3)＝x的解． 02．方程

xxx???????2009的解是( ) 1?22?32009?2010A．2008 B．2009 C．2010 D．2011

03．（江苏省竞赛题）已知a是任意有理数，在下面各题中

(1)方程ax ＝0的解是x＝l (2)方程ax ＝a的解是x＝l

(3)方程ax ＝1的解是x＝

1 (4)ax?a的解是x＝±1 a结论正确的的个数是( )

A．0 B．1 C．2 D．3 04．（“希望杯”邀请赛）已知关于x的一元一次方程(3a ＋8b)x＋7 ＝0无解，则ab是( )

A．正数 B．非正数 C．负数 D．非负数 05．（第十一届“希望杯”邀请赛试题）已知a是不为0的整数，并且关于x的方程ax＝2a3?3

a2?5a ＋4有整数解，则a的值共有( ) A．1个 B．3个 C．6个 D．9个

29

06．（“祖冲之杯”邀请赛）方程x?5＋（x?5）＝0的解的个数为( )

A．不确定 B．无数个 C．2个 D．3个 07．若x＝9是方程

11x?2?a的解，则a＝______；又若当a＝1时，则方程x?2?a33的解是______．

x13?1的解是_____． 08．方程y?2?2y??0的解是_____，方程3?x?1??53509．（北京市“迎春杯”竞赛试题）已知3990x?1995 ＝1995，那么x＝____． 10．（“希望杯”邀请赛试题）已知x?x?2，那么19x99 ＋3x＋27的值为____． 11．（广西竞赛）解关于x的方程

x?a?bx?b?cx?a?c??＝－3． cabax1x??x?6?有无数个解． 12．a为何值，方程?a?326

13．（“五羊杯”竞赛题）若干本书分给小朋友，每人m本，则余14本；每人9本，则最后

一人只得6本，问小朋友共几人？有多少本书？ 14．（上海市竞赛题）甲队原有96人，现调出16人到乙队，调出人数后，甲队人数是乙队

人数的k（是不等于1的正整数）倍还多6人，问乙队原有多少人？

30

第07讲 一元一次方程解法

考点·方法·破译

1．熟练掌握一元一次方程的解法步骤，并会灵活运用． 2．会用一元一次方程解决实际问题

经典·考题·赏析

【例１】解方程：5x＋2＝7x－8

【解法指导】 当方程两边都含有未知数时，通常把含未知数项移到方程的左边，已知数移到方程的右边，注意移项要变号．

解：移项，得 5x－7x＝－8－2 合并同类项，得 －2x＝－10 系数化为1，得 x＝5 【变式题组】

01．(广东)关于x的方程2(x－1)－a＝0的根是3，则a的值是（ ）

A．4 B．－4 C．2 D．－1 02．（陕西）如果a、b是已知数，则－7x＋2a＝－5x＋2b的解是（ ）

A． a－b B． －a－b C． b－a D． b＋a 03．解下列方程：

⑴2x＋3x＋4x＝18 (2)3x＋5＝4x＋1

31

【例２】解方程： 11－2(x＋1)＝3x＋4(2x－3)

【解法指导】 此题中含有括号，应先按去括号法则去掉括号，去括号时，要注意符号，括号前是“＋”号不变号；括号前是“－”，各项均要变号，有数字因数使用乘法分配律时，不要漏乘括号里的项，再通过移项、合并系数化为1，从而求出方程的解．

解： 去括号，得 11－2x－2＝3x＋8x－12 移项，得 －2x－3x－8x＝－12－11＋2 合并同类项，得 －13x＝－21

系数化为1，得 x?21 13【变式题组】 01．（广州）下列运算正确的是（ ）

A． －3（x－1）＝－3x－1 B． －3(x－1)＝－3x＋1 C． －3(x－1)＝－3x－3 D． －3(x－1)＝－3x＋3

02．(黄冈)解方程：－2(x－1)－4(x－2)＝1去括号结果，正确的是（ ）

A． －2x＋2－4x－8＝1 B． －2x＋1－4x＋2＝1 C． －2x－2－4x－8＝1 D． －2x＋2－4x＋8＝1 03．（广州）方程2x＋1＝3(x－1)的解是（ ）

A． x＝3 B． x＝4 C． x＝－3 D． x＝－4 04．解下列方程：

⑴7(2x－1)－3(4x－1)＝5(3x＋2)－1 (2)3(100－2x)＝400＋15x

【例３】解方程：

2x?110x?12x?1???1 364【解法指导】方程中含有字母，去分母是首先要考虑的，去掉分母后可能出现括号，去

分母时，方程两边同乘以各分母的最小公倍数时，不要漏乘没有分母的项

解： 去分母时，得 4(2x－1)－2(10x＋1)＝3(2x＋1)－12 去括号，得 8x－4－20x＝6x＋3－12 移项，得 8x－20x－6x＝3－12＋4＋2 合并，得 －18x＝－3

系数化为1，得 x?1 6回顾小结：我们已经学习了解一元一次方程的基本方法步骤： （1） 去分母；⑵去括号；⑶移项；⑷合并；⑸系数化为1． 这五个步骤要注意灵活运用．

【变式题组】 01．（厦门）如果关于x的方程

2x?a4x?b?的解不是负值，那么a与b的关系是（ ） 3533A． a?b B． b?a C． 5a≥3b D． 5a＝3b

5502．(银川)甲、乙两船航行于A、B两地之间，由A到B航行的速度为每小时35千米，由B

到A航速为每小时25千米，今甲船由A地开往B地，乙船由B地开往A地，甲先航行2小时，两船在距B地120千米处相遇，求两地的距离，若设两地的距离为x千米，根据题意可列方程（ ）

32

x?120120x?120120??2 B．?2? 35253525x?120120x?120120??2 D．?2?C． 253525354?6x2x?1?1?03．（四川）解方程： 32A．

04．（大连）若方程

x?12x?116a?xa??x?1与方程2x???2x的解相同，求25223a2?2a的值． a

【例４】解方程：

0.1x?0.2x?1??3

0.020.5【解法指导】原方程的分子、分母有小数，可先利用分数的性质把小数化成整数，再按

解方程步骤来解，注意：分数的性质是一个分数的分子、分母而言，而等式的性质是对一个等式的左边、右边而言，要注意区别防止出错．

解：原方程变形为：

100(0.1x?0.2)10(x?1)??3

100?0.0210?0.5即 50（0.1x－0.2）－2(x＋1)＝3

去括号，得 5x－50－2x－2＝3 移项，得 5x－2x＝3＋10＋2 合并，得 3x＝15 系数化为1，得 x＝5 【变式题组】

x?10.1x?0.2?2x?变形正确的是（ ） 0.30.7x?1x?2x?1x?2?2x??20x?A． B． 373710x?1x?210x?10x?2?2x??2x?C． D． 3737x?1x?2??1.2 02．（郑州）解方程：0.30.501．对方程

33

【例５】解方程：

12x?107x?92?x8x?9??? 21201514【解法指导】对于解一元一次方程五步骤应灵活运用，有取有舍，灵活运用，此题如果

直接去分母，计算量较大，观察分母的数字特征分类通分，可以减少计算量．

12x?108x?92?x7x?9??? 21141520735?25x? 两边分别通分得： 426017?5x 即 ?

612解： 移项得

解得 x＝1

【变式题组】 01．(大连)解方程

45(x?30)?7，较简便的是（ ） 5444A．先去分母 B．先去括号 C． 先两边都除以 D． 先两边都乘以

5502．解方程：

1?11x?2?[(?4)?6]?8???1 9?753?1xxxxx?????6 2612204203．解方程：

【例６】有一些分别标有6，12，18，24，?的卡片，后一张卡片上的数比前一张卡片上的数大6，小明拿到了相邻的三张卡片，且这些卡片的数之和为342．

（1） 小明拿到了哪3张卡片？

（2） 你能拿到相邻3张卡片，使得这些卡片上的数之为是86吗？

【解法指导】⑴先用含字母的式式表示出这三张卡片的数字，然后用一元一次方程求解．⑵属于开放式问题，要注意体会这类问题的思维方式，掌握解题技巧及策略．

解：设小明拿到的三张卡上的数字为x,x＋6,x＋12 （1） 依题意得： x＋x＋6＋x＋12＝342

合并，得 3x＋18＝342 移项，得 3x＝324 系数化为1，得x＝108

答：这三个数为108，114，120

（2） 不能使这三张卡片上的数字和为86，理由是 （3） 假设 x＋x＋6＋x＋12＝86

合并，得 3x＋18＝86 移项，得 3x＝324

系数化为1，得 x?68 3 因为这些卡片上的数字都是6的倍数，故不可能为

68． 3

34

【变式题组】

01．下图是按一定规律排列的数构成的一个数表：

1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 55 58 61 64 67 70 ?

⑴用一方框按上图框的样子，任意框住9个数，若这9个数的和是549，求方框中最后一个数；

⑵若按如图所示的斜框任意框住9个数，且这9个数的和是360，则斜框中的第一个数是什么？

× × × × × × × × ×

【例７】（河南省竞赛题）若关于x的方程9x－17＝kx的解为正整数，则k的值为k＝_____

【解法指导】把x的值用k的代数式表示，利用整除性求出k的值. 解：∵ 9x－17＝kx ∴ (9－k)x＝17

∴ x?17 9?k ∵ x为正整数，∴9－k为17的正整数因数 ∴ 9－k＝1 或 9－k＝17

∴ k＝8 或 k＝－8 故k＝±8 【变式题组】

01．(成都)要使一元一次方程－kx＝k的解为x＝－1，必须满足的条件是（ ）

A．可取一切数 B． k＜ 0 C． k≠0 D． k＞0

02．(“五羊杯”竞赛题)已知关于x的方程9x－3＝kx＋14有整数解，那么满足条件的所有

整数k＝___________

演练巩固·反馈提高

01．（苏州）某商品现在售价为34元，比原售价降低了15%，则原价是（ ）

A． 40元 B．35元 C． 28.9元 D． 5.1元 02．（新疆）汽车以72千米/时的速度在公路上行驶，开向寂静的山谷，驾驶员掀一下喇叭，

4秒后听到回响，这时汽车离山谷多远？已知空气中声音的传播速度约为340米/秒，汽车离山谷x米，根据题意，列出方程为（ ）

35

A． 2x＋4×20＝4×340 B．2x－4×20＝4×340 C． 2x＋4×72＝4×340 D． 2x－4×20＝4×340

03．(陕西)一件标价为600元的上衣，按8折销售仍可获利20元，设这件上衣的成本为x

元，根据题意，下面所列的方程正确的是（ ）

A． 600×0.8－x－20 B．600×0.8＝x－20 C．600×8－x＝20 D．600×8＝x－20 04．(长沙)一轮船往返于A、B两港之间，逆水航行需3小时，顺水航行需2小时，水流速

度是3千米/时，则轮船在静水中速度是（ ）

A． 18千米/时 B． 15千米/时 C． 12千米/时 D． 20千米/时 05．（武汉）已知关于x的方程4x－3m＝2的解是x＝m，则m的值是（ ）

A．2

B．－2

C．

2 7D． ?2 706．（陕西）中国人民银行宣布，从2007年6月5日起，上调人民币存款利率，一年定期存

款利率上调到3.06%．某人于2007提6月5日存入定期为1年的人民币5000元（到期后银行将扣除20%的利息税），设到期后银行向储户支付现金为x元，则所列方程正确的是（ ）

A． x－5000＝5000×30.6% B．x＋5000×20%＝5000(1＋3.06%) C． x＋5000×3.06%×20%＝5000(1＋3.06%) D． x＋5000×3.06%×20%＝5000×30.6%

07．(南通)关于x的方程mx－1＝2x的解为正数，则m的取值范围是（ ）

A． m≥2 B．m≤2 C．m＞2 D．m＜2

08．若x＝2不是方程2x＋b＝3x的解，则b不等于（ ）

A．?1 2B．

3?k21 2C．2 D．－2

09．（天津）若kx?2k?3是关于x的一元一次方程，则这个方程的解为x＝_______

xx?3与式子??1满足下列条件： 2310．(广东)若2x－1＝3,3y＋2＝8，则2x＋3y＝_________ 11．(南京)x为何值时，式子

⑴相等

⑵互为相反数 ⑶式子

xx?3比式子??1的值小1 23

12．（随州）一个两位数，个位数是十位上的数的2倍，如果把十位上的数与个位上的数对

调，那么所得到的两位数比原两位数大36，求原两位数，根据下列设法列方程求解． ⑴设十位数上的数为x； ⑵设个位数上的数为y.

36

13．(北京)国外营养学家做了一项研究，甲组同学每天正常进餐，乙组同学每天除正常进餐

外，每人还增加六百亳升牛奶．一年后发现，乙组同学平均身高的增长值比甲组同学平

均身高的增长值多2.01cm，甲组同学平均身高的增长值比乙组同学平均增长值的

3少40.34cm，求甲、乙两组同学平均身高的增长值． 14．（北海）某校一、二两班共有95人，体育锻炼的平均达标率（达到标准的百分率）是

60%，如果一班达标率是40%，二班达标率是78%，求一、二班的人数各是多少？

15．某车间有60名工人，生产一种螺栓和螺帽，平均每人每小时生产螺栓15个或螺帽10

个，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺帽，才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套？（每个螺栓配两个螺帽）

培优升级·奥赛检测

01．（南昌）把a千克的纯酒精溶在b千克水里，再从中取b千克溶液，在这b千克溶液中

含酒精的千克数为（ ）

A． a

abb2B． C．

a?ba?b D．

2b a?b02．下列四组变形中属于移项变形的是（ ）

y?5得y＝10 2411C． y?(3?2y)?4则y?3?2y?4 D．3x＝4则x?

355A． 5x＋4＝0 则5x＝－4 B．

03．（第18届“希望杯”赛题）方程

xxxx??????1的解是x＝____ 315352005?20072006200720071003A． B． C． D．

2007200610032007

22

04．(广西竞赛题)若方程(m－1)x－mx＋8＝x是关于 x的一元一次方程，则代数式m2008

－|m－1|的值为（ ） A． 1或一1 B．1 C． －1 D．2

05．如果2005－200.5＝x－20.05，那么x等于（ ）

A．1814.25 B． 1824.55 C．1774.45 D．1784.45

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06．若x＝0是关于x的方程x－3n＝1的根，则n等于（ ）

A．?1 3B．

1 3 C．3 D．－3

07．（第十三届“五羊杯”竞赛题）五羊中学学生郊游，沿着与笔直的铁路线并列的公路匀

速前进，每小时走4500米，一列火车以每小时120千米的速度迎面开来，测得从车头与队首学生相遇，到车尾与队末学生相遇，共经过60秒，如果队伍长500米，那么火车长（ ）米 A． 2070 B． 1575 C． 2000 D．1500 08．（武汉市选拔赛试题）一只小船从甲港到乙港逆流航行需2小时，水流速度增加一倍后，

再从甲港到乙港航行需3小时，水流速度增加后，则乙港返回甲港需航行（ ） A．0.5小时 B．1小时 C． 1.2小时 D．1.5小时 09．（北京市“迎春杯”竞赛题）光明中学初中一年级一、二、三班，向希望学校共捐书385

本，一班与二班捐出的本数之比为4：3，班与三班捐书的本数之比为6：7，那么二班捐出_________本． 10．（武汉市选拔赛试题）甲、乙两地相距70千米，有两辆汽车同时从两地相向出发，并连

续往返于甲、乙两地，从甲地开出的为第一辆汽车，每小时行30千米，从乙地开出的为第二辆汽车，每小时行40千米，当从甲地开出的第一辆汽车第二次从甲地出发后与第二辆汽车相遇，这两辆汽车分别行驶了______千米和_____千米．

11．（宁波）已知关于x的方程

aba?xbx?3?的解是x＝2，其中a≠0且b≠0,求代数式?ba23的值．

12．（湖北孝感市竞赛题）某人从家里骑摩托车到火车站，如果每小时行30千米，那么比火

车开车时间早到15分钟，若每小时行18千米，则比火车开车时间迟到15分钟，现在此人打算在火车开车前10分钟到达火车站，求此人此时摩托车的速度应该是多少？

38

13．（“希望杯”邀请赛）铁路旁有一条平行小路上有一行人与一骑车人同时向东行进，行人

速度为3.6千米/时，骑车人速度为10.8千米/时，如果有一列火车从他们背后过来，它通过行人用22秒，通过骑车人用26秒，问这列火车的车身长为多少米？

第08讲 实际问题与一元一次方程

考点·方法·破译

1．会分析实际问题中的数量关系，从而建立数学模型? 2．熟练掌握运用方程解决实际问题?

经典·考题·赏析

【例１】（贵阳）根据调查的统计，个体服装店销售衣服只要高出进价的20%便可盈利，但老板们常以高出进价50%～100％标价，假如购买一件衣服标价为300元的服装，应在什么范围内还价？

【解法指导】市场营销中涉及的数量关系：⑴商品利润＝商品售价－商品进价：⑴商品利润率＝

商品利润；⑶商品售价＝进价×（1+利润率）

商品进价800 3解：设原进价为x元，根据题意得

① 当利润为50%时：（1+50%)x＝400 解得x＝

② 当利润为100%时：（1+100%)x＝400 解得x＝200 所以：

800×（1+20%）＝320（元） 200×（1+20%）＝240（元） 3答：应在240～320元范围内还价? 【变式题组】

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01．（黑龙江）某超市推出如下的优惠方案：⑴一次性购物不超过100元不享受优惠；⑵一

次性购物超过100元但不超过300元一律九折；⑶一次性购物超过300元一律八折?王波两次购物分别付款80元、252元?如果王波一次性购买与上两次相同的商品，则应付款（ ）

A．288元 B．322元

C．288或316元 D．332或363元 02．（北京市海淀区）白云商场购进某种商品的进价是每件8元售价是每件10元?为了扩大

销售量把每件商品的售价降低百分之x出售要求卖出一件所获得的利润是降价前所获得的利润的百分之90，则x等于（ ）

A．1 B．1.8 C．28 D．29 03．（菏泽）某书店把一本新书按标价的九折出售，仍可获利20%，若该书的进价为21元，

则标价为（ ）

A．26元 B．27元 C．28元 D．29元 【例２】（南京）某停车场收费标准如下：中型汽车的停车费为6元/辆，小型汽车的停车费为4元/辆，某天有45辆中小型车中、小型汽车，这些车共缴纳停车费230元，停车场中、小型汽车各有多少辆？

【解法指导】本题中的等量关系：缴费停车总数＝中型停车费+小型停车费?

解：设中型车辆有x辆，则小型车辆有(50－x)辆，根据题意得6x+4(50－x)＝230，解得x＝15 50－x＝35

答：中小型车辆分别是15辆、35辆? 【变式题组】

01．(东营) 学校计划将若干名学生平均分成24个读书小组,若每个小组比原计划多1人,

则要比原计划少分出6个小组,那么学生总数是（ ） A．144 人 B．72人 C．48 人 D．36人 02．(湖南) 某学校在对口援助边远山区学校活动中,原计划赠书3000册,由于学生的积极响

应,实际赠书3780册 其中初中部比原计划多赠了20%,高中部比原计划多赠了30%,问该校初、高中原计划各赠书多少册？

03．(佛山) 小敏准备用21元钱买笔和笔记本，已知每只笔3元，每本笔记本2元2角，他

买了两本笔记本之后，还可以买几支笔（ ） A．1支 B．2支 C． 3支 D．4支

【例3】(北京) 京津城际铁路于2008年8月1日开通运营，预计高速列车在北京、

天津间单程直达运行的时间为半小时?某次试车时，试验列车有北京到天津的行驶时间比预计时间多用了6分，由天津返回北京的行驶时间与预计时间相同?如果这次试车时，由天津返回北京比去天津市平均每小时多行驶40千米，那么这次是车是由北京到天津的平均速度是每小时多少千米？

【解法指导】在行程问题中，通常要运用“路程＝速度×时间”关系探求数量关系和相等关系

解：设这次试车时，由北京到天津的平均速度是每小时x千米，由天津返回北京的平均速度是每小时(x+40)千米

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