高等数学复习重要要点不挂科

高等数学复习要点

第一讲 极限理论

一 基本初等函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性和图象，其中函数图像是重中之重，由函

数图像可以轻易的得到函数的其它要素（P17-20） 二 求极限的各种方法

⑴当f(x)为连续函数时,x0?Df,则有limf(x)?f(x0)

x?x0例1 计算极限limxarcsinx

2x?2 ⑵设m,n为非负整数,a0?0,b0?0则

?0,当n?ma0x?a1x???am?1x?am??a0lim?,当n?m ?nn?1x??bx?bx???bn?1x?an01?b0???,当n?mmm?197?3? 例2 计算极限：⑴ lim3x?1 ⑵ lim?3x?2??2x16x???2x?4x???4x?1?⑶用两个重要极限求

①limsinx?1 （limsinx?0，limsinf(x)?1）

x?0x??xxf(x)?0f(x)x2 结论：当x?0时，x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx，1?cosx~。

2 ②lim(1?1)x?e （lim(1?x)x?e，lim(1?1)f(x)?e）

x?0x??f(x)??xf(x)实质：外大内小，内外互倒

例4 计算极限：⑴ lim(1?2x) ⑵ lim(1?sinx)

x?0x?013x1x1 ⑷未定式的极限（， ①罗必达法则 例5 计算极限：

x?0?00?，???，0??，00，?0） ?limsinxlnx lim(sinx)x lim(x?0?x?011?) sinxx②设法消去零因子（分子有理化，分母有理化，分子分母同时有理化等方法）

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例6 计算极限：⑴ lim1?x?1 ⑵ lim3?x?2

x?0xx?1x?1 ③用等价无穷小量代换（切记：被代换的部分和其他部分必须是相乘关系！）

22sinxtanx 例7 计算极限lim2x?0x(1?cosx) ⑸无穷小量乘有界变量仍是无穷小量。

例8 计算极限：⑴ limx2sin1 ⑵ limxcos2x

x?0xx???1?x三 连续和间断 1.连续的定义

2.间断点的定义和分类

四 闭区间上连续函数的性质（这里有一些证明题值得注意）。

第二讲 微分学

一 导数概念

导数：f?(x)?limf(x0??x)?f(x0)?limf(x)?f(x0)

?x?0?xx?x0x?x0左导数：f??(x)?limf(x0??x)?f(x0)?limf(x)?f(x0)

?x?0??xx?x0?x?x0右导数：f??(x)?limf(x0??x)?f(x0)?limf(x)?f(x0)

?x?0??xx?x0?x?x0 实质：差商的极限。

例1 计算极限：⑴ limf(x0?h)?f(x0) ⑵ limf(x0)?f(x0??x)

h?0h?x?0?x二 各种求导法

⑴导数公式表（P94）和四则运算法则（P85） 例2设f(x)?4x?3x?x4?5logax?sin2，求f?(x)； 例3设f(x)?1sinx?arctanx?cscx，求f?(x)，f?(?)；

x4 ⑵复合函数的求导（P90） 例4 求下列函数的导数

①f(x)?arctane2x ②f(x)?etanx ⑶隐函数求导（方法：把y当作x的函数，两边对x求导） 例5 求下列隐函数的导数

①xy?ex?y?0 ②2y?3x?5lny ⑷对数求导法（多用于幂指函数和由多因子相乘构成的函数的求导） 例6 求下列函数的导数

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① y?xsinx ②y? ⑸由参数方程确定的函数的求导 重点：由参数方程?? 例7 设??x?ln(1?t)x??(t)?y??(t)2x?1(x?1)(3?2x)

确定的函数y?f(x)的导数为dy???(t)；

dx??(t)?y?t?arctant，求dy；

dx三 高阶导数

例8 设y?2arctanx，求y??； 例9 设y?ex?xn，求y(n)； 四 微分

重点：函数y?f(x)的微分是dy?f?(x)dx

例10 设y?3x2?e2x，求dy； 例11设y?2x?ey，求dy； 五 单调性和极值

重点：⑴由f?(x)的符号可以判断出f(x)的单调性；

⑵求f(x)的极值方法：①求出f?(x)，令其为零，得到驻点及不可导点，姑且统称为可疑点；

②判断在可疑点两侧附近f?(x)的符号，若左正右负，则取得极大值；若左负右正，则取得极小值；若同号，则不取得极值。

例12 求函数y?x?ln(x?1)的单调区间和极值点。 例13 证明：当0?x?六 最值问题

求函数f(x)在区间[a,b]上的最值之步骤：①求出f?(x)，令其为零，得到可疑点（驻点和不可导点），

并求出函数在这些点处的取值；②求出函数在区间端点取值f(a)，f(b)；

③比较函数在可疑点和区间端点上的取值，最大者即为最大值，最小者即为最小值。 例14 求下列函数在指定区间上的最值。

⑴f(x)?x4?2x2?5，[?2,3] ⑵y?x?1，[0,4]

x?1?2时，恒有x?sinx。

七 凹凸性和拐点 重点：

⑴凹凸性概念：设f(x)在区间(a,b)内连续，若对?x1,x2?(a,b)（x1?x2），有

f(x1?x2f(x1)?f(x2)x?x2f(x1)?f(x2) （f(1） )?)?2222则称f(x)在(a,b)内是凹函数（凸函数）。（用此定义可以证明一些不等式，见下例）。

⑵由f??(x)的符号可以判断出f(x)的凹凸性。f??(x)为正号则f(x)是凹函数，f??(x)为负号则f(x)是凸函

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数。

⑵判断f(x)的拐点之方法：①求出f??(x)，令其为零，得到f??(x)等于0的点和f??(x)不存在的点；②

判断在这些点两侧附近f??(x)的符号，若为异号，则该点是拐点；若同号，则该点不是拐点。 例15 求下列函数的凹凸区间和拐点。

⑴y?x4?2x3?1 ⑵y?3x 例16 证明：当x1?x2时，必有a

x1?x22ax1?ax2（a?0）。 ?2第三讲 积分学

一 不定积分与原函数的概念与性质

⑴原函数：若F?(x)?f(x)，则称F(x)为f(x)的一个原函数。 ⑵不定积分：f(x)的全体原函数称为f(x)的不定积分，即

?f(x)dx?F(x)?c，这里F?(x)?f(x)

⑶不定积分的性质（P174,共2个）

特别强调：?F?(x)dx?F(x)?c；?dF(x)?F(x)?c（切记常数c不可丢） 二 定积分的概念与性质

⑴定积分概念：?bf(x)dx?lim?f(?i)?xi

an??0i?1 ⑵定积分和不定积分的区别：定积分是和式的极限，计算结果是个常数；不定积分是由一族函数（被

积函数的原函数）构成的集合。 ⑶f(x)在[a,b]上可积的必要条件：f(x)在[a,b]上有界； 充分条件：f(x)在[a,b]上连续；

⑷定积分的几何意义：设f(x)?0，x?[a,b]，则?f(x)dx表示由x?a，x?b，y?0及y?f(x)围成

a的曲边梯形的面积。

⑸定积分的性质（P210,共7个）注意结合定积分的几何意义理解之。 例：⑥若对?x?[a,b]，有m?f(x)?M，则有m(b?a)??f(x)dx?M(b?a)。

abb ⑦若f(x)在[a,b]上连续，则存在??[a,b]，使得满足?f(x)dx?f(?)(b?a)。

ab 另：若f(x)是奇函数，则?f(x)dx?0。

?aa三 由变上限积分确定的函数

⑴定义：设f(t)在[a,b]上连续，则称函数

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?(x)??f(t)dt，a?x?b

ax 为变上限积分确定的函数。

dx ⑵求导问题：??(x)?[?f(t)dt]?f(x)

dxa 例1 求下列函数的导数f?(x)。

①f(x)??tedt ②f(x)??4?2tln4xx201?t2dt

⑶与罗必达法则结合的综合题 例2 求下列极限： ①

t?lim0x?0x2sintdtx4sin3tdt? ②lim

?tedt0x?0x3?t0x2四 求积分的各种方法

⑴直接积分法（两个积分表P174和P185）

cos2x1?x?x2 例3 计算积分：①? ②dx dx2?x(1?x)sinx?cosx ⑵第一换元法（凑微分法）

重点：?f(x)dx?????g[?(x)]??(x)dx??g[?(x)]d?(x) ?????g(u)du???G(u)?c????G[?(x)]?c 常用凑微分公式：xndx?111d(xn?1)，dx?2d(x)，dx?d(lnx)，sinxdx??d(cosx) n?1xx令u??(x)积分变量还原整理f(x)cosxdx?d(sinx)，sec2xdx?d(tanx)，csc2xdx??d(cotx)，secxtanxdx?d(secx)，

cscxcotxdx??d(cscx)。

注意：在定积分的换元法中，要相应调整积分上下限。

例4 计算积分：

?①?tanxdx ②?2sin?cos2?d? ③?01?lnx2x?4 ④dx dx42?(1?xlnx)x?4x?8 ⑶第二换元法 重点：?f(x)dx????令x??(t)dx???(t)dt?f[?(t)]??(t)dx

积分变量还原 ????????g(t)du???G(t)?c????G[??1(x)]?c 常用换元方法：

①被积函数中若有nax?b，令t?nax?b；若有kx和lx，令x?tm，这里m是k，l的最小公倍数。 ②被积函数中若有a2?x2，令x?asint； ③被积函数中若有a2?x2，令x?atant；

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整理f[?(t)]??(t)

④被积函数中若有x2?a2，令x?asect；

注意：在定积分的换元法中，要相应调整积分上下限。 例5 计算积分：⑴ ?a0a2?x2dx ⑵ ?41dx 1?x例6 设f(x)是定义于实数集上的连续函数，证明 ⑴?f(x)dx??ababb?ca?cf(x?c)dx， f(a?b?x)dx

⑵ ?f(x)dx???ba?2b ⑷分部积分法 ?u?vdx?uv??uv?dx

关键：适当选择u?，v。选择的技巧有①若被积函数是幂函数乘易积函数，令u?为易积函数，v为幂

函数。②若被积函数是幂函数乘不易积函数，令u?为幂函数，v为不易积函数。 例7 计算积分：?arctanxdx

⑸有理分式函数的积分

步骤：①若是假分式，先用分式除法把假分式化为多项式与真分式的和，多项式积分非常容易，下

面重点考虑真分式P(x)的积分。

Q(x)②把Q(x)分解成如下形式

Q(x)?b0(x?a)??(x?b)?(x2?px?q)??(x2?rx?s)?

这里p2?4q?0，……，r2?4s?0。 ③把P(x)化为如下形式

Q(x)A? A1A2P(x)?????Q(x)(x?a)?(x?a)??1(x?a) ?????? ? ?B?B1B2 ???????1(x?b)(x?b)(x?b)M?x?N?M1x?N1M2x?N2 ????(x2?px?q)?(x2?px?q)??1(x2?px?q) ?????? ?R?x?S?R1x?S1R2x?S2???? 2?2u?12(x?rx?s)(x?rx?s)(x?rx?s)这里Ai,Bi,Mi,Ni,Ri,Si为待定系数，通过对上式进行通分，令等式两边的分子相等，即可解得这些待定系数。

④于是对P(x)的积分就转化成对上面等式的右端积分了，然后再对上式右端积分。

Q(x) - 6 -

x3?2x2例8 计算积分：⑴ ?2dx ⑵

x?2x?10x?3?x2?5x?6dx

五 定积分的分段积分问题

例9 计算积分：⑴?x?3dx。 ⑵?sin2xdx

004?六 定积分的应用：重点是再直角坐标系下求平面图形的面积。

⑴由曲线y?f(x)，y?g(x)[f(x)?g(x)]及直线x?a，x?b[a?b]围成的图形的面积为：

S??[f(x)?g(x)]dx。

ab⑵由曲线x??(y)，x??(y)[?(y)??(y)]及直线y?a，y?b[a?b]围成的图形的面积为：

S??[?(y)??(y)]dy。

ab例10 求由下列曲线围成的图形的面积。 ⑴y?lnx，y?1?x，y?2； ⑵x?0，x??2，y?sinx，y?cosx；

七 广义积分

沿着定积分的概念的两个限制条件（积分区间有限和被积函数在积分区间上有界）进行推广，就

得到两种类型的广义积分。 ⑴第一类广义积分 ①定义：???abf(x)dx?lim?f(x)dx

b??aa???a0b ?f(x)dx?lim?????bf(x)dx

?? ?f(x)dx??f(x)dx??f(x)dx?lim????0 ②计算方法：先计算定积分，在取极限。

⑵第二类广义积分（暇积分） ①定义：?f(x)dx?limabba???a?0f(x)dx?limb???0?bf(x)dx

??0?a??b???bf(x)dx（a是暇点） f(x)dx（b是暇点）

bc?? ?f(x)dx?lim?aa??0?cb ?f(x)dx??f(x)dx??f(x)dx?lim?aaca??0?f(x)dx?lim??0?c???bf(x)dx（c是暇点）

②计算方法：先计算定积分，在取极限。

例11 判断下列广义积分的敛散性，若收敛，收敛于何值。 ①?

??1`1dx ②x5?211dx (x?1)5 - 7 -

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