完整状态转移图法求三桶分油问题全部解

５６数学通报２０１５年第５４卷第１期完整状态转移图法求三桶分油问题全部解彭世康１李春梅２彭金瑾２（１．许昌许继软件技术有限公司１０００８５；２．北京市海淀区西二旗小学１０００８５）１三桶分油问题概述形状更直观，能轻松地找出最优解及其它要求的《轻巧夺冠优化训练．三年级数学（上）（北师解．但是，它们之间还是有关联的，即借助于几何大版）》［１３有一道动脑筋题：有Ａ、Ｂ、Ｃ三个油桶，坐标状态图可以快捷地绘制出完整状态转移图．Ａ桶可装１２千克油，Ｂ桶可装８千克油，Ｃ桶可为了便于说明完整状态转移图解法，本文先装５千克油，现有１２千克油全部装在Ａ桶中，要对下列术语进行解释．将它分成两个６千克油，请问该如何来倒？最大桶：指三个桶之间容积最大的一个桶．该题实质是，没有可计量的量器，只有三个不非最大桶：指三桶中不是最大桶的任意一个规则的油桶，已知每个桶的容积，通过将油在三个桶，它又分为最小桶和中间桶．桶之间倒来倒去，把最大桶的满桶油均分为两等特殊装油桶：简称特殊桶，指一眼就能看出其份，该如何进行倒油操作．这里的“桶”是指一类不现有装油量的桶．有两种特殊桶，即满油桶和空油规则容器，可以代指缸、罐、瓢、箩等其他容器；桶．满油桶简称满桶，指装满了油的桶，其装油量“油”是指一类可细分的物品，可以换为酒、盐、米、为该桶的容积；空油桶简称空桶，指没有装油豆等物品．本文以此题为例，论述了三桶分油问题的桶．的简便解法，以及如何求取其全部的解．普通装油桶：简称普通桶，指不能一眼就看出对于三桶分油问题，文献［２卅］论述了不定方其现有装油量的桶．普通桶的装油量比空桶多，比程法，即通过求解一个二元一次不定方程式的整满桶少，只有通过分析计算才能得到其精确值．数解来获得最优的分油过程．文献‘４￣５３提出图解各桶装油状况：又称为油量状态，简称状态或法，图解法也称为几何坐标法，分为二维平面坐标状态点，指当前时刻三个桶的各桶实际装油量情法和三维立体坐标法，是通过在直角坐标系中各况．按照容积从大到小排列的三个桶的实际装油个状态点的转移关系图来求解．量次序，用三维坐标值表示各桶装油状况．本文提出了一种新的解法——完整状态转移特殊状态：包括初始状态、最终状态和特殊中图法．根据三个油桶所有可能的中间阶段各桶装间状态．初始状态指分油前各桶初始的装油状况；油状况，以及这些中间装油状况之间的转移关系，最终状态指分油要求达到的最终的目标装油状可以绘制出全部中间装油状况之间的完整的状态况；特殊中间状态指分油过程中出现的三个桶中转移路线图，即完整状态转移图．利用该图可以轻至少含有两个特殊桶的装油状态．松地求取三桶分油问题的全部解和各种特殊要求普通状态：又称为普通中间状态，指分油过程的解，如最优解、最长解、经过某一油量状态的最中出现的三个桶中只含有一个特殊桶的装油优解或全部解、经过某一倒油操作的最优解或全状态．部解、符合指定倒油次数的全部解，等等．顺序解：又称为从小到大次序分油解，指持续图解法的几何坐标状态图只能求解三桶分油而循环地按照从小桶往大桶倒油的规则来分油而问题的顺序解与逆序解，并通过比较二者的倒油获得的解．次数来获取问题的最优解．完整状态转移图比几逆序解：又称为从大到小次序分油解，指持续何坐标状态图具有两大优势：一是功能更强大，能而循环地按照从大桶往小桶倒油的规则来分油而求取问题的全部解以及各种特殊要求的解；二是获得的解．万方数据２０１５年第５４卷第１期数学通报５７最优解：又称为最短解，指倒油操作次数最少的解．最长解：指倒油操作次数最多的解．对于三桶分油问题，本文约定一个正确的解为一个开环解，即整个倒油过程中任意一种中间阶段油量状态只能出现一次，不能出现两次以上．如果某一个倒油过程中出现了重复的油量状态（称之为一个闭环解），则必须将通往重复的油量状态方向转移的倒油操作全部删除掉，从而获得一个开环解．本文不考虑闭环解，只考虑开环解，并认为只有开环解才是正确的解．一个三桶分油问题可以存在多个解，不同的解对应于不同的的油量状态序列．２完整状态转移图根据三桶分油问题的倒油规律，可以求出三个油桶所有可能的中间油量状态，并得知这些中间油量状态之间的转移关系．采用一个点线图来表示，将中间油量状态用圆点表示，油量状态之间的转移关系用线段表示，就可以得到一个完整的中间油量状态的转移图．对该图进行整理和简化，就得到了最终的完整状态转移图．本文示例分油个特殊状态中的一个或两个点．这种单向转移关系，通过图中与状态点对应的状态值下面的“一”之后的特殊状态点编号来标示．例如中间状态值（２，８，２）下面的“一Ｃ，Ｄ”，表示该状态点可以单向转移到特殊状态Ｃ点和Ｄ点．由完整状态转移图可知：本文示例分油问题的任何一个从Ｏ点至Ｅ点的解，必定首先经过Ａ点或Ｄ点，最后到达Ｃ点或Ｄ点，并经由以下两条路径之一抵达Ｅ点．路径１：Ｃ一（８，Ｏ，４）一（８，４，０）一（３，４，５）一（３，８，１）一（１１，０，１）一（１１，１，Ｏ）一（６，１，５）—，Ｅ路径２：Ｄ一（４，３，５）一（９，３，０）一（９，Ｏ，３）一（１，８，３）一（１，６，５）一Ｅ本文以“［Ｃ…Ｅ］”代表８步倒油操作的路径１，以“［Ｄ…Ｅ］”代表７步倒油操作的路径２．根据完整状态转移图，可以轻松地求取三桶分油问题的全部解及各种要求的解，能很直观地得出分油问题的最优解、最长解及其它特殊要求的解．３完整状态转移图的绘制文献［４￣５］提出了图解法，它通过直角坐标系中的油量状态点及状态点之间的状态转移关系图来求解三桶分油问题．本文将这种直角坐标系中状态点之间的状态转移关系图称为几何坐标状态图．问题的完整状态转移图如图１所示．（７、０、５）（Ａ）（７、５、Ｏ）（２、５、５）（２、８、２）一Ｄ—Ｂ—Ｃ、Ｄ（１２、０、Ｏ（０）ｌ、Ｉ、０）完整状态转移图是一种不同于几何坐标状态图的新图形．前者是一个基于多边形轮廓线的空心的状态转移图，后者是一个网络状的基于直角坐标系的往返折线式状态转移图；前者考虑了单向转移和双向转移的线路，后者只考虑双向转移的线路．因此，前者可以求解三桶分油问题的全部解及各种特殊要求的解；而后者只用于求解三桶分油问题的顺序解与逆序解，并比较这两个解来获得最优解．此外，基于多边形轮廓线的空心状态转移图比基于直角坐标点的网孑Ｌ式状态转移图更直观、更易于找出最优解．虽然完整状态转移图与几何坐标状态图是不同的状态转移图，但它们之间是有关联的，即在双向转移路线上，它们的走势是一样的．因此借助于几何坐标状态图中各状态点转移路线的走势，可以快捷地绘制出完整状态转移图．根据几何坐标一Ｄ６、ｌ、５）—卜Ｂ（４、３、５）（９、Ｏ、３）（Ｉ、８、３）—．Ａ、Ｂ—－Ａ—－Ｃ图１（６、６、Ｏ）（Ｅ）本文不例分油ｌ司题的完整状态转移图图中，实心圆圈分别代表初始状态（以０表示）和最终状态（以Ｅ表示），空心圆圈代表中间状态．每一条线段表示一个状态转移关系，对应于一次倒油操作．不带箭头的线段表示双向状态转移关系；带箭头的线段表示单向状态转移关系．除了初始状态Ｏ和最终状态Ｅ以外，还有四个特殊状态，即图１中的Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ点，分别对应于油量状态为（７，ｏ，５）、（ｏ，７，５）、（Ｏ，８，４）、（４，８，Ｏ）．其他中间状态为普通状态，它们可以单向转移到这四万方数据５８数学通报２０１５年第５４卷第１期状态图绘制完整状态转移图的一般步骤如下：第一步，绘制常规的二维几何坐标状态图，如图２所示．图３改造后的几何坐标状态图（７．０，５）（Ａ）图２原始的几何坐标状态图第二步，改造这个二维几何坐标状态图：（１）将每一个状态点的三维状态值标示上去．（２）找出特殊的状态点，并标示出来．对于初始状态点和最终状态点，将它们以实心圆点标示，并分别编号为Ｏ、Ｅ；矩形或缺角矩形的每一个顶点也是特殊状态点，除初始状态点以外，将它们按顺时针进行编号Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ．（３）矩形或缺角矩形每一条边线上的普通状态点，均可以单向转移到所在边线两端的特殊中间状态点（即编号为Ａ～Ｄ的状态点）．将每一个普通状态点的单向转移关系以类似“一Ａ，Ｂ”的形式标示在自身的状态值下面．对于本文示例的分油问题，经改造后的几何坐标状态图如图３所示．第三步，将改造后的几何坐标状态图转化为初始的完整状态转移图：（１）除最终状态点Ｅ以外，将其它特殊状态点排列为一个竖立的等腰三角形．初始状态点（）放置在最左边的顶点处；编号的状态点放置在右边的竖线上，从上往下依次放置编号为Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ的状态点，如图４所示．（２）从编号状态点Ａ开始，根据几何坐标状态图，往后寻找其后续的状态点，直到找到一个特殊状态点为止．如果这个特殊状态点为状态点Ｂ，则将状态点Ａ、Ｂ以及它们之间的普通状态点，以图５从一个编号点转移到另一编号点ｆＩ２．０．０ｆ０１４，８．０）（Ｄ１（０．８，４）（Ｃ）ｒＩ２．Ｏ（０）（Ｏ．７，５）（Ｂ、图４特殊状态点排列成三角形不带箭头的线段连接成一个矩形，标示在刚才建立的三角形右边（如图５）；然后再从下一个状态点Ｃ开始，在几何坐标状态图上往后继续寻找它的后续状态点．如果找到的特殊状态点为最终状态点Ｅ，则将状态点Ｅ放置在图中最右方，并以带万方数据２０１５年第５４卷第１期数学通报５９箭头的线段表示状态转移关系（如图６）掉．例如，图７中，“Ｃ一（８，ｏ，４）一…一Ｅ”路线的（７．Ｏ．ｊ）（７，５，ｎ）（２．Ｓ，ｊ）（２，８，２）普通状态点不能单向转移到特殊状态Ｃ点和ＡＩＡ）一Ｄ—Ａ．Ｂ—Ｃ．Ｄ点．“Ｄ一（４，３，５）一…一Ｅ”路线的普通状态点不能单向转移到特殊状态Ｄ点．这样处理后，就得到了最终的完整状态转移ｆ１２．Ｏ图（如图１）．（Ｏ）４完整状态转移图的用法问题ｌ求本文示例分油问题的最优解？解观看图ｌ，可以立即找出其最优解为７步倒油操作，即：（）一Ｄ一（４，３，５）一（９，３，０）一（９，Ｏ，３）一（１，８，３）一（１，６，５）一Ｅ（简写为：（）一图６从一个编号点转移到最终状态点［Ｄ…Ｅ］）．（３）从最后一个编号状态点Ｄ开始，根据几问题２小李在本文示例问题的倒油过程何坐标状态图，往后寻找其后续的状态点，直到找中，出现过中间桶为空桶、最小桶为满桶的情况，到一个特殊状态点为止．将这两个特殊状态点之请问小李最少需要经过多少次倒油才能使最大桶间的普通状态点，以一条直线的方式标示在图中．的油均分为两半？这样就绘制了初始的完整状态转移图（如图７）．解本题实质是求经过状态点Ａ（７，ｏ，５）的（７，Ｏ，５）（７，５．０）（２，５．５）（２，８，２）最优分油解．观看图１，从初始点（）开始经状态点（Ａ）一ｒ）一ＡＲ—卜ｒｎＡ，直线往下经过状态点Ｂ、Ｃ、Ｄ点，最终抵达状态点Ｅ，需要１０步倒油操作．仔细检查状态点Ａ的后继状态点，发现后继状态点（７，５，Ｏ）可以直接２．Ｏ跳转到状态点Ｄ．因此经过状态点Ａ的最优分油（Ｏ）解为９步操作，即：Ｏ—Ａ一（７，５，Ｏ）一［Ｄ…Ｅ］．问题３求本文示例分油问题的最长解？解三桶分油问题的最长解，指经过了所有可能出现的中间状态点的、无重复路径的解．从周（４，８，ＯＪ（４．３，５）（９，３，Ｏ）（９，（）．３）（１．８、３）（１．６，５）（Ｄ）一Ａ，Ｂ—Ｄ—Ａ一（’，Ｄ—Ａ，Ｂ１分析，其最长解为２４步操作，有四个解，分别为：图７初始的完整状态转移图解１：（）一Ｄ一（４，３，５）一（９，３，Ｏ）一（９，０，３）第四步，将初始的完整状态转移图修正为最一（１，８，３）一（１，６，５）一Ａ一（７，５，０）一（２，５，５）终的完整状态转移图．根据“任意一个中间状态点一（２，８，２）一（１０，Ｏ，２）一（１０，２，Ｏ）一（５，２，５）在一个解中只能出现一次”的约束条件，修正初始一（５，７，ｏ）一Ｂ一［Ｃ…Ｅ］．的完整状态转移图中各个中间状态点的转移关解２：０一Ｄ一（４，３，５）一（９，３，Ｏ）一（９，Ｏ，３）系，使得每一个转移关系均能得到正确的解．一（１，８，３）一（１，６，５）一Ａ一（７，５，０）一（２，５，５）一（１）检查各中间状态点之间的双向转移关系，Ｂ一（５，７，Ｏ）一（５，２，５）一（１０，２，Ｏ）一（１０，０，２）将只能单向状态转移的线路以箭头标示．例如，图一（２，８，２）一［ｃ…Ｅ］．７中，“Ａ一（７，５，ｏ）”为单向转移关系，“Ｃ一（８，ｏ，解３：（）一Ｄ一（４，３，５）一（９，３，０）一（９，Ｏ，３）４）一…一Ｅ”、“Ｄ一（４，３，５）一…一Ｅ”路线均为单一（１，８，３）一（１，６，５）一Ｂ一（５，７，Ｏ）一（５，２，５）向转移路线．一（１０，２，Ｏ）一（１０，Ｏ，２）一Ａ一（７，５，０）一（２，５，（２）检查每一个普通状态点，考虑将它单向转５）一（２，８，２）一［Ｃ…Ｅ］．移到特殊状态点后是否存在正确的路线解．将转解４：Ｏ—Ａ一（７，５，Ｏ）一（２，５，５）一（２，８，２）移后不存在正确解的单向转移关系从图中删除一（１０，０，２）一（１０，２，Ｏ）一（５，２，５）一（５，７，Ｏ）万方数据６０数学通报２０１５年第５４卷第１期一Ｄ一（４，３，５）一（９，３，０）一（９，０，３）一（１，８，３）一（１，６，５）一Ｂ一［Ｃ…Ｅ］．问题４张三在本文示例问题的倒油过程中，遇到状态（０，７，５）后，他将中间桶的油倒入最大桶，最终他将油均分为两半．在整个倒油过程中，张三没有经历重复的状态，请问他是怎样分油的？解本题实际上求解的是，在图１中经过了“Ｂ—Ａ”倒油操作的、所有可能的分油解．根据图１可知，本题的倒油过程必须符合以下过程：０一Ｄ一…一Ｂ—Ａ一…一［Ｃ…Ｅ］．只需求出每一个省略号处可能的解个数，就可以得出本问题的全部解．观察图１，局部操作“Ｄ一…一Ｂ”过程的解有两个（２步、６步操作），即：Ｄ一（４，３，５）一Ｂ，和Ｄ一（４，３，５）一（９，３，０）一（９，Ｏ，３）一（１，８，３）一（１，６，５）一Ｂ．局部操作“Ａ一…一Ｃ”过程的解只有一个（４步操作），即：Ａ一（７，５，ｏ）一（２，５，５）一（２，８，２）一Ｃ．局部操作“［Ｃ…Ｅ］”过程的解为一个８步操作的倒油过程．所以本问题的全部解个数为２个，即：１６步操作解，倒油过程为：Ｏ—Ｄ一（４，３，５）一Ｂ—Ａ一（７，５，ｏ）一（２，５，５）一（２，８，２）一［Ｃ…Ｅ］；２０步操作解，倒油过程为：０一Ｄ一（４，３，５）一（９，３，０）一（９，０，３）一（１，８，３）一（１，６，５）一Ｂ—Ａ一（７，５，ｏ）一（２，５，５）一（２，８，２）一［Ｃ…Ｅ］．问题５请求出本文示例分油问题的全部解？解采用枚举法求解．以每一个解经过的特殊状态点的数量和先后次序来分类枚举．首先枚举从一个特殊状态点转移到另一特殊状态点的局部解的数量．由图１分析，可得表１．万方数据表ｌ本文示例的两特殊点间转移的局部解序号首末状态点局部解数局部解步骤数列表１［ｃ…Ｅ］ｌ８２［Ｄ…Ｅ］１６３Ａ—，…一Ｂ４１，３，７，８４Ａ一…一Ｃ１４５Ａ…?—，Ｄ４２，４，６，８６Ｂ…?一Ａ３１，３，５７Ｂ—，…—，Ｃ２１，６８Ｂ一…一Ｄ４２，４，６，８９Ｃ—，…—，ＡＯ１０Ｃ?…?Ｂ３１，４，８１１Ｃ—，…—，Ｄ４１，３，５，７１２Ｄ一…—，Ａ３２，４，６１３Ｄ一…一Ｂ２２。６１４Ｄ—｝…—．．Ｃ２１。５然后以每个解经过特殊状态点的数量和先后表２本文示例分油问题的全部解列表序号特殊状态点次序解数解的步骤数列１０一［Ｄ…Ｅ］１７２ｏ＋Ａ一…一［Ｃ…１１３Ｅ］３０一Ａ一…一［Ｄ…４９，１１，１３，１５Ｅ］４０÷Ｄ一…一［Ｃ…２１０．１４Ｅ］５０一Ａ＋…Ｂ一…６１１，１３，１７，１８；一［Ｃ…Ｅ］１６。１８６０一Ａ一…Ｂ一…８１０，１２，１４，１６；一［Ｄ…Ｅ］１２，１４，１６；１６７０一Ａ’…Ｃ一…４１２，１４，１６，１８一［Ｄ…Ｅ］（下转第６３页）次序来分类，求出每一类解的数量．利用表１信息，对照图１，将每一类的所有解展示为表２．２０１５年第５４卷第１期数学通报６３对教学内容及其蕴含的数学思想方法的把握程度会直接影响对学生认知的分析；探寻数学知识发生发展过程的自然脉络，对数学家发现数学规律的过程进行“复盘”，并从中寻找指导这种发现的宏观思想，能给教师设置自然的、水到渠成的、直（上接第６０页）续表序号特殊状态点次序解数解的步骤数列８（）一Ａ一…Ｄ一…８１２，１４，１６，１８；一＋［ｃ…Ｅ］１６，１８．２０，２２９（）一Ｄ一…Ａ一…３１５，１７．１９一［ｃ…Ｅ］１０（）一Ｄ一…Ｂ一…４１２，１６；１７，２１一［ｃ…Ｅ］１ｌｏ—，Ａ…?Ｂ＿＋…Ｃ２４１０．１２，１６．１７，１５，一…一［Ｄ…Ｅ］１７；１２，１４，１８，１９，１７。１９；１４，１６，２０，２ｌ，１９，２１；１６，１８，２２，２３，２１，２３；１２０一Ａ一…Ｂ一…１６１３，１５，１７，１９；１５，ｐ…一［ｃ…Ｅ］１７，１９，１９；１７，１９，２１，２３；１９，２１。２３。２３１３（）一Ａ一…Ｃ一…６１４，１７，２１；１６，胁…一［Ｄ…Ｅ］１９，２３１４０一Ａ一…Ｄ一…１０１４，１８，１９，２３；Ｂ一…一［Ｃ…Ｅ］１６，２０；１８，２２；２０。２４１５ｏ—Ｄ一…Ａ一…１８１３，１５，１９，２０，１８，Ｂ一…一［Ｃ…Ｅ］２０；１５，１７，２１，２２，２０，２２；１７，１９，２３，２４，２２，２４１６（）一Ｄ一…Ｂ一…６１６，１８，２０；２０，Ａ一…一［ｃ…Ｅ］２２。２４最后对全部解列表中的每一类解的数量进行累加，可得到本文示例问题的全部解有１２１个．对全部解，按照解的步骤数分类统计，可得：万方数据击数学本质的教学过程提供方向；等等．所以，“面向教学的数学知识”不仅给数学教师的专业化发展、提高教学水平和教学能力指明了路径，而且也给出了师范生培养和教师职后培训的一种课程体系，应引起我国数学教育界的重视．表３本文示例问题全部解的按步骤数分类统计步骤数７８９ｌＯ１ｌ１２１３１４１５解个数１Ｏ１３２７５９７步骤数１６１７１８１９２０２１２２２３２４解个数１４１２１ｌ１３９８７８４从表３可知，本分油问题有１个７步操作的最优解，有４个２４步操作的最长解．５总结（１）本文提出了一种新的三桶分油问题求解方法——完整状态转移图法．它不同于普通的图解法，它比后者功能更强大，可以求解三桶分油问题的全部解及各种特殊要求的解；在形状上，它比后者更直观，更易于找出分油问题的最优解．（２）完整状态转移图法使三桶分油问题得到了拓展，能够对解提出各种特殊要求，如最优解、最长解、经过某一油量状态的最优解或全部解、经过某一倒油操作的最优解或全部解、符合指定倒油次数的全部解，等等．（３）根据图解法的几何坐标状态图，能够很轻松地绘制出完整状态转移图．从而使得功能强大的完整状态转移图法易于使用．参考文献１刘强．轻巧夺冠优化训练．三年级数学（上）（北师大版）［Ｍ］．北京：北京教育出版社。２０１２，８２ｈａｉｚｈｕｔｉａｎｄｉ．经典趣味数学题分油问题的一般性求解．ｈｔ—ｔｐ：／／ｂｌｏｇ．ｓｉｎａ．ｃｏｍ．ｃｎ／ｓ／ｂｌｏｇ一６９ｅ７６ｅａ７０１００ｋｘｋｗ．ｈｔｍｌ３常保田．由分油问题想到的［Ｊ］．晋中师范高等专科学校学报，１９９７，１４分油问题一百度文库．ｈｔｔｐ：／／ｗｅｎｋｕ．ｂａｉｄｕ＿ｃｏｍ／ｖｉｅｗ／ｄ６３０６８ｆｃ７００ａｂｂ６８ａ９８２ｆｂ３６．ｈｔｍｌ５赵翌，韦健．关于分油问题的数学模型［Ｊ］．桂林师范高等专科学校学报，２００４，４

２０１５年第５４卷第１期数学通报６３对教学内容及其蕴含的数学思想方法的把握程度会直接影响对学生认知的分析；探寻数学知识发生发展过程的自然脉络，对数学家发现数学规律的过程进行“复盘”，并从中寻找指导这种发现的宏观思想，能给教师设置自然的、水到渠成的、直（上接第６０页）续表序号特殊状态点次序解数解的步骤数列８（）一Ａ一…Ｄ一…８１２，１４，１６，１８；一＋［ｃ…Ｅ］１６，１８．２０，２２９（）一Ｄ一…Ａ一…３１５，１７．１９一［ｃ…Ｅ］１０（）一Ｄ一…Ｂ一…４１２，１６；１７，２１一［ｃ…Ｅ］１ｌｏ—，Ａ…?Ｂ＿＋…Ｃ２４１０．１２，１６．１７，１５，一…一［Ｄ…Ｅ］１７；１２，１４，１８，１９，１７。１９；１４，１６，２０，２ｌ，１９，２１；１６，１８，２２，２３，２１，２３；１２０一Ａ一…Ｂ一…１６１３，１５，１７，１９；１５，ｐ…一［ｃ…Ｅ］１７，１９，１９；１７，１９，２１，２３；１９，２１。２３。２３１３（）一Ａ一…Ｃ一…６１４，１７，２１；１６，胁…一［Ｄ…Ｅ］１９，２３１４０一Ａ一…Ｄ一…１０１４，１８，１９，２３；Ｂ一…一［Ｃ…Ｅ］１６，２０；１８，２２；２０。２４１５ｏ—Ｄ一…Ａ一…１８１３，１５，１９，２０，１８，Ｂ一…一［Ｃ…Ｅ］２０；１５，１７，２１，２２，２０，２２；１７，１９，２３，２４，２２，２４１６（）一Ｄ一…Ｂ一…６１６，１８，２０；２０，Ａ一…一［ｃ…Ｅ］２２。２４最后对全部解列表中的每一类解的数量进行累加，可得到本文示例问题的全部解有１２１个．对全部解，按照解的步骤数分类统计，可得：万方数据击数学本质的教学过程提供方向；等等．所以，“面向教学的数学知识”不仅给数学教师的专业化发展、提高教学水平和教学能力指明了路径，而且也给出了师范生培养和教师职后培训的一种课程体系，应引起我国数学教育界的重视．表３本文示例问题全部解的按步骤数分类统计步骤数７８９ｌＯ１ｌ１２１３１４１５解个数１Ｏ１３２７５９７步骤数１６１７１８１９２０２１２２２３２４解个数１４１２１ｌ１３９８７８４从表３可知，本分油问题有１个７步操作的最优解，有４个２４步操作的最长解．５总结（１）本文提出了一种新的三桶分油问题求解方法——完整状态转移图法．它不同于普通的图解法，它比后者功能更强大，可以求解三桶分油问题的全部解及各种特殊要求的解；在形状上，它比后者更直观，更易于找出分油问题的最优解．（２）完整状态转移图法使三桶分油问题得到了拓展，能够对解提出各种特殊要求，如最优解、最长解、经过某一油量状态的最优解或全部解、经过某一倒油操作的最优解或全部解、符合指定倒油次数的全部解，等等．（３）根据图解法的几何坐标状态图，能够很轻松地绘制出完整状态转移图．从而使得功能强大的完整状态转移图法易于使用．参考文献１刘强．轻巧夺冠优化训练．三年级数学（上）（北师大版）［Ｍ］．北京：北京教育出版社。２０１２，８２ｈａｉｚｈｕｔｉａｎｄｉ．经典趣味数学题分油问题的一般性求解．ｈｔ—ｔｐ：／／ｂｌｏｇ．ｓｉｎａ．ｃｏｍ．ｃｎ／ｓ／ｂｌｏｇ一６９ｅ７６ｅａ７０１００ｋｘｋｗ．ｈｔｍｌ３常保田．由分油问题想到的［Ｊ］．晋中师范高等专科学校学报，１９９７，１４分油问题一百度文库．ｈｔｔｐ：／／ｗｅｎｋｕ．ｂａｉｄｕ＿ｃｏｍ／ｖｉｅｗ／ｄ６３０６８ｆｃ７００ａｂｂ６８ａ９８２ｆｂ３６．ｈｔｍｌ５赵翌，韦健．关于分油问题的数学模型［Ｊ］．桂林师范高等专科学校学报，２００４，４

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/go3r.html