流体力学例题及思考题-第二章

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第二章流体静力学

1o 研究任务：流体在静止状态下的平衡规律及其应用。根据平衡条件研究静止状态下压力的分布规律，进而确定静止流体作用在各种表面的总压力大小、方向、作用点。

2o 静止：是一个相对的概念，流体质点对建立的坐标系没有相对运动。 ① 绝对静止：流体整体相对于地球没有相对运动。

重力压力

② 相对静止：流体整体（如装在容器中）对地球有相对运动，但液体各部分之间没有相对运动。

重力压力

重力直线惯性力压力

质量力

重力离心惯性力压力

质量力

共同点：不体现粘性，无切应力 3o 适用范围：理想流体、实际流体 4o 主要内容：

? 流体平衡微分方程式

? 静力学基本方程式（重点） ? 等压面方程（测压计）

? 作用于平面和曲面上的力（难点）

第一节流体静压强及其特性

一、基本概念

1、流体静压强：静止流体作用在单位面积上的力。p 设微小面积?A上的总压力为?P，则

p?平均静压强：

?P?A

ΔP

?A?0点静压强：

即流体单位面积上所受的垂直于该表面上的力。单位：N/m2 (Pa)

p?lim?P?A

ΔA 2、总压力：作用于某一面上的总的静压力。P 单位：N (牛) 3、流体静压强单位：

国际单位：N/m2＝Pa 物理单位：dyn/cm2

1N=105dyn ，1Pa=10 dyn/cm2 工程单位：kgf/m2

混合单位：1kgf/cm2 = 1at (工程大气压) ≠ 1atm (标准大气压)

1 at=1 kgf/cm2 =9.8×104Pa=10m水柱 1atm＝1.013×105Pa＝10.3 m水柱二、流体静压强特性

1、静压强作用方向永远沿着作用面内法线方向——方向特性。

（垂直并指向作用面）

证明：反证法证明之。

有一静止流体微团，用任意平面将其切割为两部分，取阴影部分为隔离体。设切割面上任一点m处静压强方向不是内法线方向，则它可分解为pn和切应力?。而静止流体既不能承受切应力，也不能承受拉应力，如果有拉应力或切应力存在，将破坏平衡，这与静止的前提不符。所以静压强p的方向只能是沿着作用面内法线方向。

2、静止流体中任何一点上各个方向的静压强大小相等，而与作用面的方位无关，即p只是位置的函数

p=p( x , y , z ) ——大小特性。（各向相等）证明思路：

1、选取研究对象（微元体） 2、受力分析（质量力与表面力）

3、导出关系式

?F?0

4、得出结论

1、选取研究对象（微元体）

从静止流体中取出一微小四面体OABC，其坐标如图，三个垂直边的长度分别为dx、dy、dz，设px、

py、pz、pn（n方向是任意的）分别表示作用在?OAC、?OBC、?OAB、?ABC表面上的静压强，pn与x、y、z轴的夹角为?、?、?。 2、受力分析（质量力与表面力）

流体微元所受力分为两类：表面力和质量力。（1）表面力

表面力与作用面的面积成正比。作用在?OAC、?OBC、?OAB、?ABC面上的总压力分别为：（特性一：垂直并指向作用面）

（2）质量力

质量力与微元体的体积成正比。四面体的体积：

1pxdydz2 1Py?pydxdz2 1Pz?pzdxdy2

Pn?pnS?ABC?pn?dA

Px?1dxdydz6

VOABC?M?四面体的质量：

设单位质量流体的质量力在坐标轴方向上的分量为X、Y、Z，则质量力F在坐标轴方向的分量是：

1?dxdydz6

1?dxdydz?X6 1Fy??dxdyd?zY6

Fx?

Fz?1?dxdyd?zZ6

F?0 3、导出关系式

因流体微团平衡，据平衡条件，其各方向作用力之和均为零。则在x方向上，有：

将上面各表面力、质量力表达式代入后得

?Px?Pncos(n,x)?Fx?0

11pxdydz?pn?dA?cos???dxdydz?X?026

又dA?cos?即为?ABC在yoz平面上的投影面积， ??1pndydz2

111pxdydz?pndydz??dxdydz?X?0226

1px?pn??dx?X?03 pndAcos???则当dx、dy、dz趋于零时也就是四面体缩小到o成为一个质点时，有： px?pn 同理： py?pn pz?pn

即： px?py?pz?pn 4、得出结论

因n方向是任意选定的，故上式表明，静止流体中同一点各个方向的静压强均相等。在连续介质中，p仅是位置坐标的连续函数p=p( x , y , z ).

同一点受力各向相等，但位置不同，大小不同。呈什么关系？＝》第二节中讨论

说明：

以上特性不仅适用于流体内部，而且也适用于流体与固体接触的表面。如：

第二节流体平衡微分方程式

一、方程式的建立

它是流体在平衡条件下，质量力与表面力所满足的关系式。

? 根据流体平衡的充要条件，静止流体受的所有力在各个坐标轴方向的投影和都为零，可建

立方程。 ? 方法：微元分析法。在流场中取微小六面体，其边长为dx、dy、dz，然后进行受力分析，

列平衡方程。

?fi?0

以x轴方向为例，如图所示

1、取研究对象

微元体：无穷小平行六面体， dx、dy、dz → 0 微元体中心：A(x, y, z)

A1点坐标： A1(x-dx/2，y，z) A2点坐标： A2(x+dx/2，y，z) 2、受力分析

（1）表面力

设A 处压强： p(x，y，z)

因压强分布是坐标的连续函数，则A1点、A2点的压强p1、p2可按泰勒级数展开，

略去二阶以上无穷小量，得到A1、A2处的压强分别为：

dx?p?dx?1?2p?dx?1?np?dx???p1?x?,y,z??p?x,y,z??????????????2?n?2?x?2?2?x?2?n!?x?2? ???pdxp1?p??x2?pdx?x2 2np2?p＋

则表面力在x方向的合力为：

?pdx???pdx???p??p1?p2??dy?dz??p??p??dy?dz??dx?dy?dz?????????x2???x2???x（2）质量力

微元体质量：M＝ρdxdydz

设作用在单位质量流体的质量力在x方向上的分量为X。则质量力在x方向的合力为：X·ρdxdydz

3、导出关系式：

对微元体应用平衡条件

?F?0，则

X??dxdydz??pdxdydz?0?x

4、结论：

X?同理，在y和z方向可求得：

1?p?0??x

Y?1?p?0??y 1?pZ??0??z （Ⅰ）

——欧拉平衡微分方程式

X、Y、Z——单位质量力在x、y、z轴方向的分量

?1?p1?p1?p????x、??y、??z单位质量流体所受的表面力在x、y、z轴方向上的分量

说明：

（1）公式的物理意义：

平衡流体中单位质量流体所受的质量力与表面力在三个坐标轴方向的分量的代数和为零。（2）公式适用条件：

理想流体、实际流体；绝对、相对静止；可压缩与不可压缩流体。二、方程的积分（压强分布公式）

1、利用Euler平衡微分方程式求解静止流体中静压强的分布，可将Euler方程分别乘以dx，dy，dz，然后相加，得

?p?p?pdx?dy?dz??(Xdx?Ydy?Zdz)?x?y?z （1）

因为 p＝p（x，y，z），所以上式等号左边为压强p的全微分dp，则上式可写为

dp??(Xdx?Ydy?Zdz) （Ⅱ）

2、势函数（力函数）

对于不可压缩流体：ρ＝const

因为Ⅱ式左边是压强p的全微分，从数学角度分析，方程式的右边也应该是某个函数U(x,y,z)的全微分，即：

Xdx?Ydy?Zdz?dU

?U?U?UdU?dx?dy?dz?x?y?z又因为

?U?U?UY?X?Z??y ?x ?z （Ⅲ）则有

该函数 U(x,y,z) 称为势函数。

显然， U(x,y,z)在 x，y，z 方向的偏导数正好等于单位质量力分别在各坐标轴上的投影。因为在所有的空间上的任一点都存在质量力，因此，这个空间叫质量力场或势力场。

?U?U?Udx?dy?dz?x?y?z把代入Ⅱ式得

dp??dU

所以 p??U?C

dU?令 p＝p0时，U＝U0 ，则 C＝p0－ρU0

p?p0???U?U0? （Ⅳ）

——帕斯卡（Pascal）定律：

在平衡状态下的不可压缩流体中，作用在其边界上的压力，将等值、均匀地传递到流体的所有各点。

三、等压面

1、定义：同种连续静止流体中，静压强相等的点组成的面。（p＝const） 2、方程：

由Ⅱ式 dp??(Xdx?Ydy?Zdz) 由 p＝const → dp＝0 得 Xdx?Ydy?Zdz?0 3、等压面性质

① 等压面就是等势面。因为。

② 作用在静止流体中任一点的质量力必然垂直于通过该点的等压面。

dp??dU????证明：沿等压面移动无穷小距离dL?idx?jdy?kdz

则由空间解析几何：单位质量力做的功应为

所以，质量力与等压面相垂直。 ③ 等压面不能相交

相交 → 一点有2个压强值：错误 ④ 绝对静止流体的等压面是水平面 X＝Y＝0，Z＝－g + 性质②

⑤ 两种互不相混的静止流体的分界面必为等压面

证明：在分界面上任取两点A、B，两点间势差为dU，压差为dp。因为它们同属于两种流体，设一种为ρ1，另一种为ρ2，则有：

dp＝ ρ1 dU 且 dp＝ ρ2 dU 因为 ρ1≠ ρ2≠0

所以只有当dp、 dU均为零时，方程才成立。说明：

等压面可能是水平面、斜面、曲面、分界面。

??F?ds??X,Y,Z???dx,xy,dz??Xdx?Ydy?Zdz?0

第三节重力作用下的流体平衡

本节只研究流体相对于地球没有运动的静止状态。一、静力学基本方程式

1、坐标系的原点选在自由面上，z轴垂直向上，液面上的压强为p0，则

X＝0，Y＝0，Z＝－g 代入公式： dp??(Xdx?Ydy?Zdz) （1）得： dp??(?g)dz???dz

dz?1 （2）

对于不可压缩流体(公式使用条件之一)，γ＝const，积分（2）式得：

?dp?0z?z1?p???C

p1?z2?p2 （3）

——静力学基本方程形式之一 2、由（3）式得 p???z?C? 代入边界条件：z＝0时，p＝p0 则 p0＝C’

所以 p?p0??z （4）令 -z＝h（点在液面以下的深度h）

0则（5）

——静力学基本方程形式之二。

3、说明：

（1）适用条件：静止、不可压缩流体。

（2）静止流体中任一点的压强p由两部分组成，即液面压强p0与该点到液面间单位面积上

?p?p??h的液柱重量?h。

推广：已知某点压强求任一点压强

（3）静止流体中，压强随深度呈线性变化

用几何图形表示受压面上压强随深度而变化的图，称为压强分布图。大小：静力学基本方程式

方向：垂直并且指向作用面（特性一）例题：

p2?p1???h

（4）同种连续静止流体中，深度相同的点压力相同。连通器：

二、几种压强的表示（基准不同）

1、绝对压强： p绝

是以绝对真空为零点而计量的压强。

2、相对压强（表压）：p相或 p表

是以当地大气压为零点而计量的压强。

3、真空压强（真空度）： pv或p真

当绝对压强小于当地大气压时，当地大气压与绝对压强的差值。

p绝＝pa??h?0

p表＝p绝－pa??h

p真＝pa－p绝??p表??h真?0

注：① 只有当p表?0时，才用真空度的概念

② 气体的压强都是绝对压强

③ 尽可能用表压：pa在液体内部等值传递的

三、压强的度量

1、应力单位： Pa ， Kgf/cm2（即at），dyn/cm2 2、大气压单位：

1atm＝760mmHg＝1.0336 Kgf/cm2= 10.336mH2O=1.013×105N/m2 1at＝735mmHg＝1 Kgf/cm2＝9.8×104Pa＝10mH2O=9.8×104Pa 3、液柱高单位：mmHg，mH2O

四、静力学基本方程式的意义

z?p

1、几何意义

z——位置水头：该点到基准面的高度。

??Cp?——压力水头:该点压强的液柱高度。

z?p? ——测压管水头：为一常量

静止流体中各点的测压管水头是一个常数。

2、物理意义

z——比位能：单位重量流体所具有的位能。pz?GzG

?——比压能：单位重量流体从大气压力为基点算起所具有的压力势能。

是一种潜在的势能，若在某点压力为p，接出一测压管，则在该压力作用

p下，液面上升的高度为?

z?p?——总势能：为一常量

静止流体中，单位重量流体的总势能是恒等的。

五、测压计

1、分类：根据适用范围、适用条件的不同，分为液式、金属式、电测式。 2、液式测压计 0原理：（p、p0的标准必须一致，用表压）

方法：找等压面（性质5：两种互不相混的静止流体的分界面必为等压面）特点：结构简单、使用方便、制造简单，常用于实验室中。 a. 液面计

p?p??h

b. 测压管

pA??hA

c．U形管测压计

p??h1?p1???p??Hg?h2??h1??h2?p2? Hg

0?p??h1??Hg?h2

d．组合式U形管测压计

p???h1??Hg?h2?0抽真空

p??h1??Hg?h2??Hg?h3

e．U形管压差计

p??Hg?h2?h3??h1??

p1??h1?p2??h2

f．组合式U形管压差计

?p??h1?h2??

先找等压面： a—a面、b－b面写出等压面压力表达式：a－a面上

所以 p1?p2??Hg?h???h2?h1? 当两测点在同一水平面上时： ?h?h2?h1

p1??h1?p2??h2??Hg?h

所以 ?p?p1?p2??Hg???h

3、金属测压计

（1）原理：弹性元件在压力作用下产生弹性变形。（2）分类：弹簧管式、薄膜式压力表。（3）缺点：易坏（超量程操作）

4、电测式测压计

电量 → 数字信号

??第四节几种质量力作用下的流体平衡

1o 研究对象：相对于坐标系静止的流体称为相对平衡流体。本节讨论两种情况：

? 等加速直线运动 ? 等角速旋转运动质量力包括重力和惯性力 2o 研究方法：利用达朗贝尔原理

?F?ma的动力学问题变为 ?F?0的静力学问题

达朗贝尔原理：

如果在运动的质点上加上惯性力，则作用在质点上的主动力、约束力与惯性力平衡。 3o 研究目的：

? 压强分布公式 ? 等压面方程 ? 自由液面方程

一、等加速水平运动容器中流体的相对平衡

1、问题描述：

如图，作用在流体上的质量力除重力外，还有一个与加速度方向相反的惯性力。显然，

???aF?ma在不变时，亦不变化。这时，流体相对于容器不动。如果把坐标固定在容器上，

??F?ma据达朗贝尔原理，把惯性力加在液体质点上，容器内液体在重力mg 和惯性力 F 的

作用下，处于相对平衡。

2、等加速直线运动流体的压强分布及等压面方程。

取坐标如图。任取一点m，作用在质点上的质量力为 mg( ↓)，ma(←)，合力R与z轴成α角。

X＝-a，Y＝0，Z＝-g 代入公式 dp??(Xdx?Ydy?Zdz) 则： dp???(adx?gdz) （1） ① 等压面方程

令dp＝0，则 adx + gdz＝0 所以结论：

a. 等压面是一簇平行斜平面

ax?gz?C （2）

b. 等压面与x轴夹角为：

??tg?1?????a??g?（等压面与重力和惯性力的合力垂直）

② 自由液面：x＝0，z＝0 → C＝0 则自由液面方程为：

ax?gzs?0

zs??axg （3）

zs——自由液面上点的z坐标 ③ 静压强分布

设ρ＝const，对（1）式积分，得

p???(ax?gz)?C （4）

由边界条件： x＝0，z＝0时，p＝p0 得： C＝p0

则： p?p0??(ax?gz) （5）

p?p0??g(?ax?z)?p0??(zs?z)?p0??hg——符合静力学基本方程式

例1：如图，汽车上有一长方形水箱，高H＝1.2m，长L＝4m，水箱顶盖中心有一供加水用的通大气压孔，试计算当汽车以加速度为3m/s2向前行驶时，水箱底面上前后两点A、B的静压强（装满水）。

解：

分析：自由液面在哪里？

水箱处于顶盖封闭状态，当加速时，液面不变化，但由于惯性力而引起的液体内部压力分布规律不变，自由液面仍为一倾斜平面，符合ax?gzs

tg??等压面与x轴方向之间的夹角

L??pA??hA???H?tg????17755Pa2?? L??pB??hB???H?tg????5760Pa2??

二、等角速旋转容器中液体的相对平衡

③ 形心yc 若p0≠0 折算成水柱高度： p0＝0（等效自由液面）

yc=? 5m? 10m ? 2.5m? 7.5m?

注意坐标！若接测压管，高15m（折算液面）所以，yc= 10m

yc=5m+8m＝13m

总结：若液面上表压强不为0时，即p0≠pa，可将表压换算成液柱高加到原来的液面上，以一个表压为0的假想液面来计算总压力大小、方向、作用点。

4、图解法求总压力

它是利用画出流体静压强的分布图来计算作用在平面上总压力的方法。此法适用于沿深度为等宽的矩形平面。

如图： P＝Ωb （9） B —— 受压面宽

Ω——压强分布图面积

Ω在如图情况下的计算方法：

压力方向：水平向右。

压力作用点：在受压面对称轴上，且作用线通过压强分布图的形心。

5、例题：

11???H?H??H222

闸门宽1.2m，铰在A点，压力表G的读数为－14700Pa，在右侧箱中装有油，其重度γ0＝8.33KN/m3，问在B点加多大的水平力才能使闸门AB平衡？解：把p0折算成水柱高：

h?p0???14700??1.5m9800 相当于液面下移1.5m，如图示虚构液面 1.2?23J12?hc?c??2?1???3?0.11?3.11mhcA3?1.2?2 1.2?2??70560N 1??hcA?9800??2?1???则左侧：PhD1压力中心距A点：3.11－2＝1.11m 2P2??ohcA?8.33??2?1.2?19.992KN2右侧： hD21.2?23J12?hc?c?1??1.33mhcA1?1.2?2

设在B点加水平力F使闸门AB平衡，对A点取矩 ∑ MA＝0

??1hD1?P2hD2?FAB 即 PF?70.56?1.11?19.992?1.33?25.87KN2

第六节静止流体作用在曲面上的总压力

它包括压力的大小、作用点及作用方向三个方面。求解时，通常将总压力分解成空间坐

标系的三个分量，求出各分量后再合成。工程上遇到最多的是二向曲面（柱面）。因此，我们只推导如图所示曲面总压力计算公式。

求总压力问题就是空间力系的合成问题。取坐标如图，

原点——自由液面上；

y轴——与二向曲面的母线平行。设α为dA法线方向与x轴方向夹角，则

一、总压力大小

①化整为零

②变不平行为平行

即曲面上所受的液体总静压力P可分解为在ox轴方向的水平分力Px和在oz轴方向的垂直分力Pz。