2015-2016学年高中数学 第2章 数列章末过关检测卷 苏教版必修5

末过关检测卷(二) 第2章 数 列

(测试时间：120分钟 评价分值：150分)

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)

1．在等差数列{an}中，已知a6＝8，则前11项和S11＝(B)

A．58 B．88 C．143 D．176

解析：因为在等差数列中S11＝11a6＝11×8＝88.

2．首项为－24的等差数列，从第10项开始为正数，则公差d的取值范围是(D)

??????A.?，＋∞? B．(3，＋∞) C.?，3? D.?，3? 333?

?

?

?

?

?

??a9≤0，??－24＋8d≤0，解析：依题意可知?即?

?a10＞0，??－24＋9d＞0，?

888

8

解得＜d≤3.

3

3．现有200根相同的钢管，把它们堆放成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为(B)

A．9根 B．10根 C．19根 D．29根

n（n＋1）

解析：设钢管被放成n层，则钢管数为Sn＝，当n＝19时，钢管数为190，

2当n＝20时，钢管数为210＞200，故知只能放19层，剩余钢管为10.

4．(2014·天津卷)设{an}是首项为a1，公差为－1的等差数列，Sn为其前n项和．若S1，S2，S4成等比数列，则a1＝(D)

A．2 B．－2 C. D．－

解析：根据等差数列的前n项和公式求出S1，S2，S4的表达式，然后利用等比数列的性质求解．

n（n－1）

因为等差数列{an}的前n项和为Sn＝na1＋d，所以S1，S2，S4分别为a1，2a1

2－1，4a1－6.

1212

1

12

因为S1，S2，S4成等比数列，所以(2a1－1)＝a1 ·(4a1－6)．解得a1＝－.

2

5．等差数列{an}共有2n项，其中奇数项的和为90，偶数项的和为72，且a2n－a1＝－33，则该数列的公差为(B)

A．3 B．－3 C．－2 D．－1

解析：依题意，可知n·d＝72－90＝－18，由a2n－a1＝－33得，(2n－1)·d＝－33，∴－36－d＝－33，∴d＝－3.

6．等差数列{an}中，a1＝－5，它的前11项的平均值是5，若从中抽取1项，余下的10项的平均值是4，则抽取的是(A)

A．a11 B．a10 C．a9 D．a8

a1＋a11

解析：∵数列{an}的前11项的平均值是5，即＝5，故得a11＝15，又数列前11

2项的和为55，抽取1项后，余下10项的和为40，故知抽取的项是15，即抽取的项是a11.

7．数列{an}前n项的和Sn＝3＋b(b是常数)，若这个数列是等比数列，那么b为(C)

n

A．3 B．0 C．－1 D．1

解析：当n＝1时，a1＝S1＝3＋b，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3－3{an}成等比数列，则an＝2×3

n－1

n

n－1

＝2×3

n－1

.若数列

，对于n＝1时也要成立，即3＋b＝2，∴b＝－1.

2

8．若{an}，{bn}满足an·bn＝1，an＝n＋3n＋2，则{bn}的前10项和为(B)

A. B. C. D.

1115

解析：bn＝＝2＝，用裂项法可求{bn}的前10项和为. ann＋3n＋2（n＋1）（n＋2）129．已知正整数对按如下规律排成一列：(1，1)，(1，2)，(2，1)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，…，则第60个数对是 (D)

1

251213712

A．(6，5) B．(5，6) C．(6，7) D．(5，7)

解析：按规律分组，第1组1个数对，第2组2个数对……第n组n个数对，前10组10×11共有＝55个 数对，因此第60个数对应是第11组中的第5个，即(5，7)．

2

10．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若a、b、c成等比数列，且c＝2a，则cos B＝(B)

A. B. C.

143422 D. 43

2

解析：∵a、b、c成等比数列，∴b＝ac.又c＝2a，

2

a＋c－ba＋4a－ac5a－2a3

∴cos B＝＝＝＝，故选B. 2

2ac2ac4a4

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) Sn3n＋4a6

11．设Sn和Tn分别是等差数列{an}和{bn}的前n项和，且＝，则＝________．

Tnn＋2b6解析：因为在等差数列中S2n－1＝(2n－1)an， anS2n－13（2n－1）＋46n＋1

∴＝＝＝. bnT2n－1（2n－1）＋22n＋1a66×6＋137∴＝＝. b62×6＋11337答案： 13

1

12．(2014·新课标全国卷Ⅱ)数列{an}满足an＋1＝，a8＝2，则a1＝________．

1－an解析：先求出数列的周期，再进一步求解首项． 1

∵an＋1＝，

1－an1

∴an＋1＝＝1－an

111－

1－an－1

1－an－1

＝ 1－an－1－1

2222222

1－an－11 ＝＝1－ －an－1an－1 ＝1－

1

＝1－(1－an－2)＝an－2. 11－an－2

∴周期T＝(n＋1)－(n－2)＝3. ∴a8＝a3×2＋2＝a2＝2. 而a2＝

11，∴a1＝. 1－a12

1

答案： 2

13．设等差数列{an}满足3a8＝5a13，且a1＞0，Sn为其前n项和，则Sn中最大的是________． 2

解析：3a8＝5a13，且a1＞0，即3(a1＋7d)＝5(a1＋12d)，∴d＝－a1＜0，令an＝a1＋

3941?41?2??2

(n－1)d＝a1＋(n－1)?－a1?＝a1?－n＋?＞0，解得n＜，∴{an}中前20项和最大．

2?39??3939?

答案：S20

1n*

14．(2013·湖南卷)设Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝(－1)an－n，n∈N，则a3＝

2________．

3

1111

解析：S＝a1＋a2＋a3＋a4＝a4－，即a1＋a2＋a3＝－，而S3＝－a3－，解得a3＝－.

16168161

答案：－

16

三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤) 15．(本小题满分12分)(2013·四川卷)等差数列{an}中，a1＋a3＝8，且a4为a2和a9的等比中项，求数列{an}的首项、公差及前n项和．

解析：设{an}的分差为d，前n项和为Sn， 由已知，可得2a1＋2d＝8， (a1＋3d)＝(a1＋d)(a1＋8d)， 所以a1＋d＝4，

??a1＝4，??a1＝1，

?d(d－3a1)＝0，解得或? ?d＝0?d＝3.??

2

3n－nSn＝4n或Sn＝. 2

16．(本小题满分12分)(2014·大纲全国卷)等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝10，a2为整数，且Sn≤S4.

(1)求{an}的通项公式； (2)设bn＝

1

2

anan＋1

，求数列{bn}的前n项和Tn.

解析：(1)由a1＝10，a2为整数，知等差数列{an}的公差d为整数．又Sn≤S4，故a4≥0，

a5≤0，于是10＋3d≥0，10＋4d≤0.解得－≤d≤－.因此d＝－3.

数列{an}的通项公式为an＝13－3n(n∈N)．

*

10352

1?11?1

－(2)bn＝＝??，则

（13－3n）（10－3n）3?10－3n13－3n?

Tn＝b1＋b2＋…＋bn

1??11??11??1－1?? ＝??－?＋?－?＋…＋???3??710??47??10－3n13－3n??11?1n－? ＝?＝. ?3?10－3n10?10（10－3n）

17．(本小题满分14分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn＝pn－2n＋q(p，q∈R，n∈N)．

(1)求q的值；

(2)若a1与a5的等差中项为18，bn满足an＝2log2bn，求数列{bn}的前n项和．

4

*

2

解析：(1)当n＝1时，a1＝S1＝p－2＋q；

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－2n＋q－p(n－1)＋2(n－1)－q＝2pn－p－2. ∵{an}是等差数列， ∴p－2＋q＝2p－p－2. ∴q＝0. (2)∵a3＝

2

2

a1＋a5

2

，∴a3＝18.又a3＝6p－p－2，

∴6p－p－2＝18. ∴p＝4.∴an＝8n－6. 又an＝2log2bn，得bn＝2

4n－3

.

bn＋124（n＋1）－34

∴b1＝2，＝4n－3＝2＝16，

bn2

即{bn}是等比数列．

2（1－16）2n∴数列{bn}的前n项和Tn＝＝(16－1)．

1－1615

2Sn18．(本小题满分14分)(2013·广东卷)设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，＝

nnan＋1－n2－n－，n∈N*.

(1)求a2的值； (2)求{an}的通项公式．

2Sn122*

解析：(1)∵＝an＋1－n－n－，n∈N，

n3312

∴当n＝1时，2a1＝2S1＝a2－－1－＝a2－2.

33又a1＝1，∴a2＝4.

(2)已知式可变为2Sn＝nan＋1－

1

323

n（n＋1）（n＋2）

3

，①

（n－1）n（n＋1）

∴当n≥2时，2Sn－1＝(n－1)an－.②

3①－②得2Sn－2Sn－1＝nan＋1－(n－1)an－n(n＋1)． 又∵an＝Sn－Sn－1，

∴2an＝nan＋1－(n－1)an－n(n＋1)， 即nan＋1－(n＋1)an＝n(n＋1)，即

an＋1an－＝1. n＋1n?an?a1

∴??是首项为＝1，公差为1的等差数列．

1?n?

5

∴＝n，即an＝n(n≥2)．

当n＝1时显然也成立，故an＝n，n∈N.

19．(本小题满分14分)某企业2011年初投入资金1 000万元经营某种产品，如果预计每年经过经营，资金的增长率为50%，但每年年底应扣除相同的消费基金x万元，剩余资金全部投入再经营．为了实现到2015年年底扣除当年消费基金后的资金达到2 000万元的目标，问每年扣除的消费基金x应不大于多少万元(精确到万元)?

2

*

ann2

?3?解析：依题意，2011年底扣除消费基金后的资金有1 000(1＋50%)－x＝?×1 000－x??2?

(万元)．

2012年年底扣除消费基金后的资金有 3

(×1 000－x)(1＋50%)－x＝ 2

??3?23????×1 000－?1＋???x?(万元)． 22??????

2013年底扣除消费基金后的资金有

??3?23?????×1 000－?1＋?2?x?(1＋50%)－x＝

?????2?

??3?3?3?2?????×1 000－?1＋3＋??x?(万元)． ??2???2?2????

3?3??3??3?于是有：??×1 000－[1＋＋??＋??＋

2?2??2??2?

5

2

3

?3?]x≥2 000.

?2???

?3?∴??×1 000－

3?2?

∴

5

4

?3?－1?2???

2－1

5

x≥2 000.

422179x≤1 000×. 3232

179

∴x≤1 000×≈424(万元)．

422

因此每年扣除的消费基金应不大于424万元．

20．(本小题满分14分)(2013·江西卷)正项数列{an}的前n项和Sn满足：Sn－(n＋n2

2

6

－1)Sn－(n＋n)＝0.

(1)求数列{an}的通项公式；

2

n＋15*

(2)令bn＝数列{bn}的前n项和为Tn，证明：对任意的n∈N，都有Tn＜. 22，（n＋2）an(1)解析：由S2

2

2

n－(n＋n－1)Sn－(n＋n)＝0， 得[S2

n－(n＋n)](Sn＋1)＝0，

由{a2

n}是正项数列，∴Sn＞0，故Sn＝n＋n. 于是a1＝S1＝2，n≥2时an＝Sn－Sn－1＝2n， 综上a*

n＝2n(n∈N)．

(2)证明：由an＋1n＋111n＝2n，bn＝?1?（n＋2）2a2＝22＝

n4n（n＋2）16??n2－（n＋2）2??， ∴T116??1－1111n＝?132＋22－42＋…＋n2－（n＋2）2???

＝1?16??1＋11122－（n＋1）2－（n＋2）2???

＜1?16?1?1＋22??5?＝64.

64

7

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/go1.html