高等数学同济第五版第6章答案

习题6?2?

1? 求图6?21 中各画斜线部分的面积? (1)

解 画斜线部分在x轴上的投影区间为[0? 1]? 所求的面积为

311. A??(x?x)dx?[2x2?1x2]1?00326 (2)

解法一 画斜线部分在x轴上的投影区间为[0? 1]? 所求的面积为 A??0(e?ex)dx?(ex?ex)|10?1?

解法二 画斜线部分在y轴上的投影区间为[1? e]? 所求的面积为

e?dy?e?(e?1)?1? A??1lnydy?ylny|1?1ee1 (3)

解 画斜线部分在x轴上的投影区间为[?3? 1]? 所求的面积为 A??[(3?x2)?2x]dx?32?

?331 (4)

解 画斜线部分在x轴上的投影区间为[?1? 3]? 所求的面积为

32? A??(2x?3?x2)dx?(x2?3x?1x3)|3??1?1333 2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积? (1) y?1x2与x2?y2?8(两部分都要计算)?

2 解?

22222?1x2)dx?22dx?x2dx?2 A?2(8?x8?x8?x2dx?8 1?0???00023 ?16?04cos2tdt?8?2??4?

33? A2?(22)2??S1?6??4?

3 (2)y?1与直线y?x及x?2?

x 解?

所求的面积为

A??(x?1)dx?3?ln2?

0x22 (3) y?ex? y?e?x与直线x?1?

解?

所求的面积为

A??(ex?e?x)dx?e?1?2?

0e1 (4)y=ln x, y轴与直线y=ln a, y=ln b (b>a>0).

解

所求的面积为

lnb A??lnaeydy?eylna?b?a

lnb3? 求抛物线y??x2?4x?3及其在点(0? ?3)和(3? 0)处的切线所围成的图形的面积? 解?

y???2 x?4?

过点(0, ?3)处的切线的斜率为4? 切线方程为y?4(x?3)? 过点(3, 0)处的切线的斜率为?2? 切线方程为y??2x?6? 两切线的交点为(3, 3)? 所求的面积为

2 A??02[4x?3?(?x2?4x?3)]??3[?2x?6?(?x2?4x?3]dx?9?

4233p 4? 求抛物线y2=2px及其在点(,p)处的法线所围成的图形的面积?

2 解

2y?y??2p ?

pp 在点(,p)处? y??(p,p)?1? 法线的斜率k??1?

y22p3p法线的方程为y?p??(x?)? 即x??y?

22p求得法线与抛物线的两个交点为(,p)和(9p,?3p)?

22法线与抛物线所围成的图形的面积为 A??(?3p(1)??2acos? ??? 解?

p3py23pp?y?)dy?(y?1y2?1y3)?3p?16p2? 22p226p35? 求由下列各曲线?所围成的图形的面积?

所求的面积为

A?1?2?(2acos?)2d??4a2?02cos2?d???a2? 2?2 (2)x?acos3t, y?asin3t; 解

?? 所求的面积为 A?4?0ydx?4?

a332224?(asint)d(acost)?4a03costsintdt 20???12a2[02sin4tdt?02sin6tdt]?3?a28?????

(3)?=2a(2+cos? )? 解

所求的面积为

2?2? A??1[2a(2?cos?)]2d??2a2?(4?4cos??cos2?)d??18?a2?

020 6? 求由摆线x?a(t?sin t)? y?a(1?cos t)的一拱(0?t?2?)与横轴?所围成的图形的面积?

解?

所求的面积为 A??02a?ydx??0a(1?cost)a(1?cost)dt?a2?0(1?cost)2dt

2a2a2a ?a2?(1?2cost?1?cost)dt?3a2??

02 7? 求对数螺线??ae?(??????)及射线???所围成的图形面积?

解

所求的面积为

2?? A?1?(ae?)2d??1a2?e2?d??a(e2??e?2?)?

2??2??48? 求下列各曲线所围成图形的公共部分的面积?

(1)??3cos? 及??1?cos?? 解

曲线??3cos? 与??1?cos??交点的极坐标为A(3,?)? B(3,??)? 由对称性? 所求的面积为

2323 A?2[1?03(1?cos?)2d??1??2(3cos?)2d?]?5??

2234 (2)??2sin?及?2?cos2?? 解

?? 曲线??2sin?与?2?cos2?的交点M的极坐标为M(2,?)? 所求的面积为

26?? A?2[1?06(2sin?)2d??1??4co2s?d?]???1?3?

22662

9? 求位于曲线y=ex下方??该曲线过原点的切线的左方以及x轴上方之间的图形的面积? 解 设直线y?kx与曲线y?ex相切于A(x0? y0)点? 则有

?y0?kx0?x? ?y0?e0x0??y(x)?e?k?0求得x0?1? y0?e? k?e ?

所求面积为

1y?lny)dy?1y2e?ylnye?ey?1dy?e? (?0e0?02e0y2e10? 求由抛物线y2?4ax与过焦点的弦所围成的图形的面积的最小值?

解 设弦的倾角为?? 由图可以看出? 抛物线与过焦点的弦所围成的图形的面积为

A?A0?A1?

显然当???2a时? A1?0? 当???2时? A1?0?

因此? 抛物线与过焦点的弦所围成的图形的面积的最小值为

A0?2?0a8832axdx?ax?a2?

03311? 把抛物线y2?4ax及直线x?x0(x0?0)所围成的图形绕x轴旋转? 计

算所得旋转体的体积?

解 所得旋转体的体积为 V2? ???ydx???4axdx?2a?x200?2a?x0200x0x0x

12? 由y?x3? x?2? y?0所围成的图形? 分别绕x轴及y轴旋转? 计算所得两个旋转体的体积?

解 绕x轴旋转所得旋转体的体积为 Vx?1?x7?128?? 6?ydx??xdx???022220077 绕y轴旋转所得旋转体的体积为

Vy?22???8???xdy?32????ydy

2008823

8353?32???y?64?? 05513? 把星形线x2/3?y2/3?a2/3所围成的图形? 绕x轴旋转? 计算所得旋转体的体积? 解 由对称性? 所求旋转体的体积为 V?2??ydx?2??(a?x)dx

200a243232343aa23233

?2??(a?3ax?3ax?x2)dx?32?a3?

0105 14? 用积分方法证明图中球缺的体积为

V??H2(R?H)? 3 证明 V

??RR?H?x(y)dy???2RRR?H(R2?y2)dy

??(R2y?1y3)R?H??H2(R?H)?

33

15? 求下列已知曲线所围成的图形? 按指定的轴旋转所产生的旋转体的体积? (1)y?x2? 解 V??1x?y2? 绕y轴?

11y2?1y5)1?3?? 22ydy??(y)dy??(?0?025010x? x?0? x?a? y?0? 绕x轴?

a2a22 (2)y?ach令x?au312xdx ?a?chudu 解 V???y(x)dx???ach000aa313?a?a1e2u?2u?1e?2u)1 2u?2u ?(e?2?e)du?(?0404223?a ?(2?sh2)?

4 (3)x2?(y?5)2?16? 绕x 轴? 解 V

???(5?16?x)dx???(5?16?x2)2dx

22?4?44044?40?16?x2dx?160?2? ???32a? (4)摆线x?a(t?sin t)? y?a(1?cos t)的一拱? y?0? 绕直线y?2a ? 解 V

02(2a)dx???22?02a2a?0(2a?y)2dy

?8a????[a(1?cost)2]2da(t?sint) ?8a??a??(1?cost)sin2tdt?7a3?2?

3230 16? 求圆盘x2?y2?a2绕x??b(b>a>0)旋转所成旋转体的体积? 解 V

???(b?a?y)dy???(b?a2?y2)2dy

222?aa?a0aa?8b??a2?y2dy?2a2b?2?

17? 设有一截锥体? 其高为h? 上、下底均为椭圆? 椭圆的轴

长分别为2a、2b和2A、2B? 求这截锥体的体积?

解 建立坐标系如图? 过y轴上y点作垂直于y轴的平面? 则平面与截锥体的截面为椭圆? 易得其长短半轴分别为

A?A?ay? B?B?by?

hhA?ay)?(B?B?by)?hh?

截面的面积为(A?于是截锥体的体积为

V??(A?A?ay)?(B?B?by)?dy?1?h[2(ab?AB)?aB?bA]?

0hh6h 18? 计算底面是半径为R的圆? 而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角形的立体体积?

解 设过点x且垂直于x轴的截面面积为A(x)? 由已知条件知? 它是边长为

R2?x的等边三角形的面积? 其值为

A(x)?3(R2?x2)?

所以 V??R?R3(R2?x2)dx?43R3?

3 19? 证明 由平面图形0?a?x?b? 0?y?f(x)绕y轴旋转所成的旋转体的体积为 V?2??xf(x)dx?

ab 证明 如图? 在x处取一宽为dx的小曲边梯形? 小曲边梯形绕y轴旋转所得的旋转体的体积近似为2?x?f(x)dx? 这就是体积元素? 即 dV?2?x?f(x)dx?

于是平面图形绕y轴旋转所成的旋转体的体积为 V??2?xf(x)dx?2??xf(x)dx?

aabb 20? 利用题19和结论? 计算曲线y?sin x(0?x??)和x轴所围成的图形绕y轴旋转所得旋转体的体积? 解

V?2??xsinxdx??2??xdcosx?2?(?xcosx?sinx)0?2?2?

00??? 21? 计算曲线y?ln x上相应于 解 s?3?x?8的一段弧的长度?

8381?x2121?()dx??dx?

3xx?831?y?(x)dx??2令

1?x2?t? 即x?t2?1? 则

s??322331t1ln3?

?dt?dt?dt?dt?1??2t2?1?2?2t2?122t2?1t2?13tt 22? 计算曲线y?弧的长度? 解

x(3?x)上相应于31?x?3的一段

y?x?1xx? y??1?1x?

32x2y?2?1?1?1x? 1?y?2?1(x?1)?

24x24x331s??(x?1)dx?1(2xx?2x)1?23?4?

21233x

所求弧长为

23? 计算半立方抛物线y2?2(x?1)3被抛物线y2?x截得的一段弧的长度?

33?y2?2(x?1)3?6)? (2, ?6)? 3 解 由?得两曲线的交点的坐标为(2, x33?y2?3?所求弧长为s?2 因为

?211?y?2dx?

2(x?1)y??y2yy??2(x?1)2? ?

44(x?1)(x?1)3(x?1)? y????2(x?1)32y232所以

s?2?213232851?(x?1)dx?3x?1d(3x?1)?[()2?1]? ?292321 24? 计算抛物线y2?2px 从顶点到这曲线上的一点M(x? y)的弧长? 解 s??y01?x?(y)dy??2y0yy211?()dy??p2?y2dy

pp0

yy22p21?[p?y?ln(y?p2?y2)]0

p22

ypy?p2?y222?p?y?ln2p2p?

25? 计算星形线x?acos3t? 解 用参数方程的弧长公式?

y?asin3t的全长?

s?4?2x?2(t)?y?2(t)dt

0?

?4?2[3acos2t?(?sint)]2?[3asin2t?cost]2dt

0?

?12?2sintcostdt?6a?

0? 26? 将绕在圆(半径为a)上的细线放开拉直? 使细线与圆周始终相切? 细线端点画出的轨

迹叫做圆的渐伸线? 它的方程为

x?a(cost?tsint)? y?a(sint?tcost)?

计算这曲线上相应于t从0变到?的一段弧的长度? 解 由参数方程弧长公式

s??[x?(t)]?[y?(t)]dt??220??0(atcost)2?(atsint)2dt

?a?tdt?a?2?

02? 27? 在摆线x?a(t?sin t)? y?a(1?cos t)上求分摆线第一拱成1? 3的点的坐标?

解 设t从0变化到t0时摆线第一拱上对应的弧长为s(t0)? 则

s(t0)??t00[x?(t)]2?[y?(t)]2dt??t00[a(1?cost)]2?[asint]2dt

t0t?2a?sintdt?4a(1?cos0)?

022 当t0?2?时? 得第一拱弧长s(2?)?8a? 为求分摆线第一拱为1? 3的点为A(x? y)? 令

t4a(1?cos0)?2a?

2解得t0?2?3? 因而分点的坐标为?

横坐标x?a(2??sin2?)?(2??3)a? 3332 纵坐标y?a(1?cos2?)?3a?

32故所求分点的坐标为((2?33?)a, a)? 322 28? 求对数螺线??ea?相应于自??0到???的一段弧长??? 解 用极坐标的弧长公式? s???0?0?(?)???(?)d???222a??0(ea?)2?(aea?)2d?

??1?a2a?1?aed??(e?1)?

a34至??的一段弧长? 434334 29? 求曲线???1相应于自?? 解 按极坐标公式可得所求的弧长 s??4334?(?)???(?)d???2211()2?(?2)2d?

??

??121??2d??5?ln3?

?1224334 30? 求心形线??a(1?cos ???的全长??? 解 用极坐标的弧长公式? s?2 ?4a

??0?2(?)???2(?)d??2?cosd??8a?

2?0a2(1?cos?)2?(?asin?)2d?

???0习题6?3

1? 由实验知道? 弹簧在拉伸过程中? 需要的力F(单位? N)与伸长量s(单位? cm)成正比? 即F?ks (k为比例常数)? 如果把弹簧由原长拉伸6cm? 计算所作的功?

解 将弹簧一端固定于A? 另一端在自由长度时的点O为坐标原点? 建立坐标系? 功元素为dW?ksds? 所求功为

126 W??ksds?ks?18k(牛?厘米)?

0206 2? 直径为20cm、高80cm的圆柱体内充满压强为10N/cm2的蒸汽? 设温度保持不变? 要

使蒸汽体积缩小一半? 问需要作多少功？ 解 由玻?马定律知?

PV?k?10?(?102?80)?80000??

P(x)?[(?102)(80?x)]?80000?? P(x)?80080?? 设蒸气在圆柱体内变化时底面积不变? 高度减小x厘米时压强 为P(x)牛/厘米2? 则

?

功元素为dW?(??102)P(x)dx? 所求功为 W??400408001dx?800?ln2(J)?

(??10)?dx?80000??080??80??2 3? (1)证明? 把质量为m的物体从地球表面升高到h处所作的功是 W?mgRh?

R?h其中g是地面上的重力加速度? R是地球的半径?

(2)一颗人造地球卫星的质量为173kg? 在高于地面630km处进入轨道? 问把这颗卫星从地面送到630的高空处? 克服地球引力要作多少功？已知g?9?8m/s2? 地球半径R?6370km? 证明 (1)取地球中心为坐标原点? 把质量为m的物体升高的功元素为

dW?kMmdy? 2yR?h所求的功为 W??RkMmdy?k?mMh? y2R(R?h)

243173?5.98?10?630?105?9.75?10 (2)W?6.67?10?(kJ)?

6370?103(6370?630)?103?11 4? 一物体按规律x?ct3作直线运动? 媒质的阻力与速度的平方成正比? 计算物体由x?0移至x?a时? 克服媒质阻力所作的功? 解 因为x?ct3? 所以

v?x?(t)?3cx22? 阻力

2xf??kv??9kct? 而t?()3? 所以 c224

424xf(x)??9kc()3??9kc3x3? c 功元素dW??f(x)dx? 所求之功为 W??[?f(x)]dx??9kcxdx?9kc00aa23432a30?2727xdx?kc3a3? 743 5? 用铁锤将一铁钉击入木板? 设木板对铁钉的阻力与铁钉击入木板的深度成正比? 在击第一次时? 将铁钉击入木板1cm? 如果铁锤每次打击铁钉所做的功相等? 问锤击第二次时? 铁钉又击入多少？

解 设锤击第二次时铁钉又击入hcm? 因木板对铁钉的阻力f与铁钉击入木板的深度x(cm)成正比? 即f?kx? 功元素dW?f dx?kxdx? 击第一次作功为 W1?1k?

kxdx??0211?h击第二次作功为 W2??1kxdx?1k(h2?2h)?

2 因为W1?W2? 所以有

1k?1k(h2?2h)? 222?1(cm)?

解得h? 6? 设一锥形贮水池? 深15m? 口径20m? 盛满水? 今以唧筒将水吸尽? 问要作多少功？

2 解 在水深x处? 水平截面半径为r?10?3x? 功元素为

dW?x??r2dx??x(10?23x)2dx?

所求功为 W??15 0?x(10?23x)2dx 15

???(100x?40x2?409x3)dx ?1875(吨米)?57785.7(kJ)?

7? 有一闸门? 它的形状和尺寸如图? 水面超过门顶2m? 求闸门上所受的水压力? 解 建立x轴? 方向向下? 原点在水面? 水压力元素为

dP?1?x?2dx?2xdx? 闸门上所受的水压力为 5

P?2?52xdx?x22?21(吨)=205? 8(kN)?

8? 洒水车上的水箱是一个横放的椭圆柱体? 尺寸如图所示? 当箱装满水时? 计算水箱的一个端面所受的压力?

解 建立坐标系如图? 则椭圆的方程为

(x?3)2

y(34?2?1?212

4) 压力元素为

dP?1?x?2y(x)dx?x?83(34)2?(x?34)2dx?

所求压力为 3?

P??280x?3(34)2?(x?34)2dx?83?23??(1?sint)?3cost?3costdx 2444水

?9?2cos2tdx?9?(吨)?17.3(kN)? 4016?(提示? 积分中所作的变换为x?3?3sint)

44 9? 有一等腰梯形闸门? 它的两条底边各长10m和6m? 高为20m? 较长的底边与水面相齐? 计算闸门的一侧所受的水压力?

解 建立坐标系如图? 直线AB的方程为

y?5?1x?

10dP?1?x?2y(x)dx?x?(10?1x)dx?

5P??x?(10?1x)dx?1467(吨)?14388(千牛)?

0520 压力元素为

所求压力为

10? 一底为8cm、高为6cm的等腰三角形片? 铅直地沉没在水中? 顶在上? 底在下且与水

面平行? 而顶离水面3cm? 试求它每面所受的压力? 解 建立坐标系如图? 腰AC的方程为y?2x? 压力元素为 3

dP?(x?3)?2?2x?dx?4x(x?3)dx?

33所求压力为

4413326P??x(x?3)dx?(x?x)0?168(克)?????(牛)?

033326 11? 设有一长度为l、线密度为?的均匀细直棒? 在与棒的一端垂直距离为a单位处有一质量为m的质点M? 试求这细棒对质点M的引力?

解 建立坐标系如图? 在细直棒上取一小段dy? 引力元素为

dF?G?m?dyGm??22dy? 22a?ya?ydF在x轴方向和y轴方向上的分力分别为

ydFx??adF? dFy?dF?

rrl

lGm?Gm?laFx??(??22)dy??aGm??22122dy??00(a?y)a?yra?yaa2?l2l?

lyGm?1)? Fy???22dy?Gm??22122dy?Gm?(1?20ra?y0(a?y)a?yaa?l2 12? 设有一半径为R、中心角为 ??的圆弧形细棒? 其线密度为常数???? 在圆心处有一质量

为m的质点F? 试求这细棒对质点M的引力? 解 根据对称性? Fy?0?

dFx??G?m??ds?co?s 2R

Gm?(Rd?)Gm??cos??cos?d??

R2RGm?cos?d?

?R2??

Fx??2?

2Gm?22Gm???co?sd??sin?0RR2?

引力的大小为

2Gm??sin? 方向自M点起指向圆弧中点? R2总 习 题 六

1? 一金属棒长3m? 离棒左端xm处的线密度为?(x)?(kg/m)? 问x为何值时? [0? x]一段的质量为全棒质量的一半? 解 x应满足

1

x?1?x01dt?131dt?

2?0t?1t?1 因为

?x01dt?[2t?1]x?2x?1?2? 131dt?1[2t?1]3?1?

002?0t?12t?1所以

2x?1?2?1?

x?5(m)?

43? 2? 求由曲线??asin?? ??a(cos??sin?)(a>0)所围图形公共部分的面积? 解

S?1??(a)2?1??4a2(cos??sin?)2d?222282

22?aa? ???3?42(1?sin2?)d????1a2?

4 3? 设抛物线

y?ax2?bx?c通过点(0? 0)? 且当

x?[0? 1]时? y?0? 试确定a、b、c的值? 使得抛物线

y?ax2?bx?c与直线x?1? y?0所围图形的面积为4?

9且使该图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积最小?

解 因为抛物线y?ax2?bx?c通过点(0? 0)? 所以c?0? 从而

y?ax2?bx?

抛物线y?ax2?bx与直线x?1? y?0所围图形的面积为

S??(ax2?bx)dx?a?b?

0321令

a?b?4? 得b?8?6a?

32991 该图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积为

22ab V???(ax?bx)dx??(??ab)

053222

2a??[?1(8?6a)2?a(8?6a)]? 53929 令

dV??[?a?12?6a?8?1(8?12a)]?0? 得a??5? 于是b?2? d538118332 4? 求由曲线y?x与直线x?4? x轴所围图形绕y轴旋转而成的旋转体的体积? 解 所求旋转体的体积为

742512??

V?2??x?xdx?2??x2?0707432 5? 求圆盘(x?2)2?y2?1绕y轴旋转而成的旋转体的体积? 解 V

?2?2??x?1?(x?2)2dx

13令x?2?sint 4? 6? 抛物线y?部分的弧长?

??22??(2?sint)cos2tdt?4?2?

1x2被圆x2?y2?3所需截下的有限222x?y?3?? 解 由?解得抛物线与圆的两个交点为(?2, 1)? (2, 1)? 于是所求的弧长12y?x??2为

s?2?2021?x2dx?2[x1?x2?1ln(x?1?x2)]0

22

?6?ln(2?3)?

7? 半径为r的球沉入水中? 球的上部与水面相切?

球的比重与水相同? 现将球从水中取出? 需作多少功? 解 建立坐标系如图? 将球从水中取出时? 球的各点上升的高度均为2r? 在x处取一厚度为dx的薄片? 在将球从水中取出的过程中? 薄片在水下上升的高度为r?x?

在水上上升的高度为r?x? 在水下对薄片所做的功为零? 在水上对薄片所做的功为

dW?g?(r?x)(r2?x2)dx?

对球所做的功为 W?g??(r?x)(r2?x2)dx?4?r2g?

?r3r 8? 边长为a和b的矩形薄板? 与液面成??角斜沉于液体内?

长边平行于液面而位于深h处? 设a>b? 液体的比重为?? 试求薄板每面所受的压力?

解 在水面上建立x轴? 使长边与x轴在同一垂面上? 长边的上端点与原点对应? 长边在x轴上的投影区间为[0? bcos?]? 在x处x轴到薄板的距离为h?xtan?? 压力元素为

?gadP??g?(h?xtan?)?a?dx?(h?xtan?)dx?

cos?cos?薄板各面所受到的压力为

?gabcos?1?gab(2h?bsin?)? P?(h?xtan?)dx?cos??02y?asin3t上每一点处的线密度的大小等于该点到原点距离

9? 设星形线x?acos3t?

的立方? 在原点O处有一单位质点? 求星形线在第一象限的弧段对这质点的引力?

解 取弧微分ds为质点? 则其质量为

(x2?y2)3ds?(x2?y2)3ds?

[(acos3t)?]2?[(asin3t)?]2dt?3asintcostdt?

?其中ds? 设所求的引力在x轴、y轴上的投影分别为Fx、Fy? 则有

?2231?(x?y)3Ga2? x224?3Gacostsintdt?Fx??2G??ds?005(x2?y2)x2?y2

Fx???20?1?(x2?y2)3y3Ga2? 224?3Gacostsintdt?G??ds?05(x2?y2)x2?y2所以F?(

3Ga2, 3Ga2)? 55

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