第八章数字信号的最佳接收

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第八章 数字信号的最佳接收

8. 0、概述

数字信号接收准则：?

??→→相关接收机最小差错率匹配滤波器最大输出信噪比

8. 1、最佳接收准则

最佳接收机：误码率最小的接收机。

一、似然比准则

0 ≤ t ≤ T S ，i = 1、2、…、M ，

其中：S i (t) 和n (t)分别为接收机的输入信号与噪声，n(t) 的单边谱密度

为n 0

n(t)的k 维联合概率密度：

()似然函数→?

??

???-=?

S

T k

n dt t n n n f 0

20

1exp )2(1

)(σπ

式中：k = 2f H T S 为T S 内观察次数，f H 为信号带宽

出现S 1(t)时,y(t)的联合概率密度为:

[]?

??

???--=

?S

T k

n S dt t s t y n y f 0

2

10

1)()(1exp )2(1

)(σπ → 发“1”码 出现S 2(t)时, y(t)的联合概率密度为:

[]?

??

???--=

?S

T k

n S dt t s t y n y f 0

2

20

2)()(1exp )2(1

)(σπ→ 发“0”码 误码率：

f S2(y) f S1(y)

a 1 y T a 2 y

()()()()

()

()()

{t n t s t n t s i t n t s t y ++=

+=12()()()()?

?∞

-∞

++=i T i

T V V S S e dy

y f s p dy y f s p S P S S P S P S S P P )()()()(2211221112

要使P e

最小，则：0=??T e y p 即：()()()()02211=+-T S T S y f s p y f s p

故：P e 最小时的门限条件为 ：最小满足e T T S T S P y s p s p y f y f →=)

()()()(1221 判定准则： 似然比准则判判→???

????→<→>2122111221)()()()()()()()(S s p s p y f y f S s p s p y f y f S S S S 二、最大似然比准则

最大似然比准则判判如时当→?

??→<→>=22112112)()()()(:

,)()(S y f y f S y f y f s p s p S S S S 用上述两个准则来构造的接收机即为最佳接收机。

8. 2、确知信号的最佳接收

确知信号：在接收端可以知道S 1、S 2、…、S M 的具体波形，但不知道在某一

码元内出现的是哪个信号。

随参信号：在接受端接收到的信号其振幅和频率是已知的，相位是随机的，此为随相信号；频率是已知，但振幅和相位都是随机的，此为起伏信号。

一、二进制确知信号的最佳相干接收机

设 p(S 1)=p(S 2)=1/2

1、等能量信号

b T T E dt t s dt t s S S ==??002

221)()( 将此条件代入最大似然比准则得： →>??S S

T T dt t s t y dt t s t y 0021)()()()(判为S 1 →

S

T T dt t s t y dt t s t y 0021)()()()(判为S 2 由此最佳接收机方框图如图所示：

相乘器和积分器构成相关器，此为最佳接收机的相关器形式。

比较器判决准则：a[KT S ] > b[KT S ]判为s 1 ，否则判为s 2，比较完后立刻将积分器的积分值清除，故积分器实为积分清除器。 2、一个信号为0的二进制信号最佳相干接收机

当s 2(t)=0，b E t S T =?)(0

2

1时

，

??

→<→>S

S

T b T b S E dt t s t y S E dt t s t y 0

210

1

121)()(,21)()(判为判为

此时最佳相干接收机方框图仍如图所示：

二、二进制确知信号最佳接收机的抗噪性能

分析结论： p e = Q (A) []?-=

S

T dt t s t s n A 02

21

)()(21

1、 等能量

→==

?

?S

S

T b

T dt t s t s E E E dt t s t s 0

212

10

21)()(1

)()(ρ 为S 1

(t)、S 2

(t)相关系数

[]

2

221210

2)

22()()()(2)(21n E E dt t s t s t s t s

n A b b T S ρ-=

+-=?

=

)1(n E b ρ-

???????→=???

??

?→-=??

????=???? ??-=∴情况

情况

FSK n E Q PSK n E Q n E Q p b b b e 012)1(000ρρρ 2、 s 2(t) = 0

[]

2

1

2

2

1

2

)(

2

1

)(

)(

2

1

n

E

dt

t

s

n

dt

t

s

t

s

n

A b

T

T S

S=

=

-

=?

?

情况

ASK

n

E

Q

p b

e

→

?

?

?

?

?

?

=

∴

2

三、讨论

1、二进制确知信号的最佳形式

等能量且ρ= -1，此时两信号相反，最易于识别。

设s

1

(t)=-s

2

(t)=s(t)，则最佳相干接收机可简化为如下图所示。判决准则

为：r(k

T

)>0，判为s

1

；否则判为s

2

。

2、2PSK信号的最佳相干接收机

因为可以从接收信号中提取相干载波，故每个码元内接收信号的相位是确知的，可认为2PSK为确知信号。同理也可以认为2ASK、2FSK为确知信号。

对于2PSK通信系统，若假设接收到的2PSK信号为恒包络信号，则

s

1

(t) = cosω

C

(t)，s

2

(t) = -cosω

C

(t)

∴ρ= -1

此时最佳接收机如图所示：

2PSK相干接收机如图所示：

y(t) x(t) r(t)

cp(t)

抽样判决

低通

载波

同步

位同步器

BPF

cos(ωc t)

y(t) x(t) r(t)

cp(t)

抽样判决

积分器

载波

同步位同步

cos(ωc t)

图中设n(t) = 0，乘法器输入为恒包络2PSK 信号。相干接收机中cp(t)对准码元中间；最佳接收机中，cp(t)对准码元结束时刻。

3、2FSK 信号的最佳相干接收

s 1(t) = cos ω1t ，s 2(t) = cos ω2t 属于等能量信号

当 f 1 + f 2 = nR b / 2，f 1 - f 2 = kR b / 2时ρ= 0，当f 1+f 2 >> 1且f 1-f 2 >> 1时ρ≈0

4、2ASK 信号的最佳相干接收

s 1(t) = cos ωc t s 2(t) = 0

四、M 进制信号的最佳接收机

设 p(s i ) = 1/M i = 1、2、…、M

???=≠=?j i E j i 0dt )t (s )t (s S T 0

j i S

则

??>S S T j T i dt t s t y dt t s t y 0

0)()()()( 判为s i (i ≠j)

发信号为相同波形随机序列，即 s i (t) = k i s(t) i = 1、2、…、M ； 则最佳接收机为：

E b y (t) x (t) r (t) cp(t 1 0 1 1 1 0 1 1 -E b 最佳接收 相干接收

S(t)

cp(t) 积分 抽样 判决

y(t) ×

p e ：将M 进制相干解调接收机误码公式中的S/N 换为 E S /n 0；将M 进制双极性基带系统误码率公式中的S/N 换为E S /n 0

8. 3、随参信号的最佳接收

只介绍随相信号的最佳接收。常见的随相信号是MFSK 、2ASK ，其最佳接收机

称为最佳非相干接收机。 1、 2FSK 的最佳非相干解调

若收端提取的两个载波仅与发载波同频但不同相，则2FSK 信号为随相信号。 设cos ω1t 、cos ω2t 正交，b T T E dt t s dt t s S

S

??==0

220

21)()(，且φ1、φ2在（0，2

π）

内均匀分布，则最佳接收机形式为：

无噪声时，抽样时刻M 1值为s 1(t)的能量（发“1”码），抽样时刻的M 2值为

s 2(t)的能量（发“0”码）。

发“1”码，因

?

=S

T tdt t 0

210cos cos ωω 且 ?=S

T 0

210tdt sin t cos ωω，故M 2 = 0

1b T 0

111T 0

12

1

T 0

111cos E tdt cos t sin sin tdt cos cos t cos t cos(S

S

S

φφφ）φ=-=+???ωωωωω

1b T 0

12

1T 0

111

T 0

111sin E tdt sin sin tdt sin t cos cos t sin t cos(S

S S φφφ）φ-=-=+???ωωωωω

b 12

2

b 122b 1E cos E sin E M =+=φφ

同理，发“0”码时 M 1 = 0 ，M 2 = E b

S 1(t ,φ1) = cos(ω1t+φ1) 发“1”码 S 2(t ,φ2) = cos(ω2t+φ2) 发“0”码

S 2FSK (t)=

据上述分析，可将2FSK 信号的最佳非相干接收机改为以下形式

2

为2FSK 最佳非相干接收机的上半部分，比较电平为E b /2。

3、2DPSK 信号的最佳非相干接收机

S 1’(t)为发“1”时低通滤波器输出波形，可近似为宽度等于T S 的矩形脉冲。

4、MFSK 最佳非相干接收机

5、抗噪性能

分别将2DPSK 差分相干解调，MFSK 包络检波及2ASK 包络检波接收机的误码率公式中的S/N 换为E b /n 0即可得到2DPSK 、MFSK 、2ASK 最佳非相干接收机的误码率。

8. 4、普通接收机与最佳接收机的性能比较

普通接收机指相干解调2PSK 、2FSK 、2ASK 接收机，包络检波2FSK 、2ASK 及差分相干解调2DPSK 接收机，最佳接收机指最佳相干接收机和最佳非相干接收机。

误码率公式如下表所示：

普通接收机与最佳接收机的误码率公式很类似。普通接收机的信噪比r

=S/N ，等于接收机带通滤波器输出信号功率与噪声功率之比。最佳接收机的信噪比用E b /n 0表示。若E b /n 0>S/N 则最佳接收机的抗噪性能优于普通接收机。

在M 进制中，将普通接收机误码率公式中的S/N 换为Es/n 0，即为最佳接收 机的误码率，E S =E b log 2M 为一个码元内的信号能量。

设普通接收机输入端带通滤波器带宽为B ，则：N = n 0B ，B n S

N S 0=。 设M 进制信号码元宽度为T S ，则：)1(000

S

S

S T n S

n ST n E ==

M 进制线性调制系统的最大信道频带利用率为1波特/Hz ，码速率R B =1/T S ，

故接收机输入端带通滤波器最小带宽为1/T S ，即 B ≥1/T S 。

MFSK 为非线性调制，其信道频带利用率大于1波特/Hz ，但接收机分M 个支路对MFSK 中的M 个2ASK 信号进行解调，每条支路的输入带通滤波器最小带宽仍可为1/T S ，故亦有：B ≥1/T S

总之，普通接收机误码率不可能优于最佳接收机，即最佳接收机的抗噪性能优于（至少等于）普通接收机。

8. 5、匹配滤波器—输出信噪比最大线性滤波器

一、频域表达式

s(t)：存在时间为0~T ，能量： ?

=

T

dt t s E 0

2)(

n(t)：单边功率谱密度为n 0的带限白噪声

()()()()()()()()2

22

0020df

e

f h f S t S S df

e f h f S t h t S t S ft

j ft

j ππ

?

?∞

∞

-∞

∞

-?=

=?=*=

输出噪声功率：()()()df

f P f H df f P N n n ??

∞

∞

-∞

∞

-==

02

00

()()()()()()()()()()

()().

:,222max

00

0max

002

2

2222

20

0共轭一致传递函数与信号频谱复则要使当MF e f KS f H N S N

S n E N S n E f P df f S df

f H f P df

f H df

f S df

f P f H df

e

f H f S N S T t S S

fT j S S n n n fT j s

→=???? ??=???? ??=???? ??∴==≤

?=???

? ??=-*∞∞

-∞∞

-∞

∞

-∞

∞

-∞

∞

-∞

∞

-?

??

?

??

ππ

二、时域表达式

()()()()()()()()()()()()()()

()()()()()()()()()

S S S S S T t f j t T f j f j t T f j t

j t T f j ft j T t R K d T S t S K d h t S t h t S t S 。

，，T t h t T KS t h d S T t K d S df e K df

e d e S K d

f e d e

S K df

e f S K df e f H t h S S S S -?=--=-=*=-=∴+-=??

?????=??=??

?????=?==???????????∞

∞

-∞

∞-∞∞-∞

∞-+-∞∞---∞∞-∞

∞---*

∞∞-∞

∞

----∞

∞

-*∞∞

-ττττ

τττ

ττδτττττττππτπππτππ02222222.2.1:信噪比最大则输出满足此条件为输入信号折叠平移传递函数冲激响应结论

其中： R(t)为s(t)的自相关函数 例1

h (t) = S(T - t) =S (t) ， S 0(t) = S(t)*h(t)

例2：

T=2τ τ为射频信号周期

h(t)=s(t) s 0(t) = s(t)*h(t) t =T 时，瞬时值最大T/2，

二、 二进制确知信号最佳接收机的匹配滤波器形式

用匹配滤波器实现相关运算

s 0(t)+n 0(t)=y(t)*h(t)?∞∞--=τττd t h y )()( h(t)为物理可实现系统，积分式中t –τ> 0，即t >τ，故： ?∞

--=+t d t h y t n t s τττ)()()()(00 ?∞---=t d t T s y τττ)]([)(

S(t)存在时间为：0 ~ T ，故：T- (t -τ) > 0 即τ> t – T ?-+-=+t

T t d t T S y t n t s τ

ττ)()()()(00

)1(1)()(T j t j e j dt e t s s ω

ωωω-∞∞---==?0max 02n T r =

()()()?∞∞--=*==τττd h t s t h

t S

t S )()(00

max 0n T r =)()1(1)()(*ωωωωωωωs e e j e s H T j T j T j =-==--

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