平面向量及应用经典例题

专题9 平面向量及应用

★★★自我提升

????1．如图1所示，D是?ABC的边AB上的中点，则向量CD?（ ）

??2．已知向量a?(3,1)，b是不平行于x轴的单位向量，且a?b?3，则b?（）

3113133） C．（,） D．（1,0） ,） B．（,222244??3. ?ABC的三内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c设向量p?(a?c,b),

????q?(b?a,c?a),若p//q,则角C的大小为（ ） ???2?A. B. C. D. 6323???????24．已知|a|?2|b?|0,且关于x的方程x?|a|x?a?b?0有实根,则a与b的夹角的取值范围是

A．（( )

????1????????1????????1????????1????A.?BC?BA B. ?BC?BA C. BC?BA D. BC?BA

222???2???2??] D.[,?] ] B.[,?] C.[,63336115．若三点A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab?0)共线，则?的值等于__________.

ab6．已知向量a=(cos?,sin?),b=(cos?,sin?),且a??b，那么a+b与a-b的夹角的大小

A.[0,

是 .

7．已知c?ma?nb??23,2，a与c垂直，b与c的夹角为120，且b?c??4，a?22，求实数m,n的值及a与b的夹角．

8．已知定点F(1,0)，动点P在y轴上运动，过点P作PM交x轴于点M，并延长MP到点N，且??????????????????PM?PF?0,PM?PN．

（Ⅰ）求点N的轨迹；

????????（Ⅱ）直线l与N的轨迹交于A、B两点，若OA?OB??4，且46?AB?430，求直线l的斜率k的取值范围．

【文】a??0?(x,y?2),b?(x,y?2),a?b?8,

（Ⅰ）求M(x,y)的轨迹C；

(Ⅱ)过点（0，3）作直线l与曲线交于A,B两点，OP?OA?OB，是否存在直线l使OAPB为矩形．

1、如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是 （） （A）AB＝DC； （B）AD＋AB＝AC； （C）AB－AD＝BD； （D）AD＋CB＝0． （A）充分而不必要条件 （C）充分必要条件

??????

???????????????D A B

C

????????????????????2、若a与b?c都是非零向量，则“a?b?a?c”是“a?(b?c)”的（ ）

（B）必要而不充分条件

（D）既不充分也不必要条件

????????????????3、已知三点A(2,3),B(?1,?1),C(6,k)，其中k为常数.若AB?AC，则AB与AC的夹角为（ ）

?2424) （B）或arccos

22525?2424（C）arccos （D）或??arccos

22525????4、已知向量a?(1，sin?)，b?(1，cos?)，则a?b的最大值为__．

?????????????5、设向量a，b，c满足a?b?c?0，(a?b)?c，a?b，若｜a｜=1,则

?2?2?2｜a｜?|b|+｜c｜的值是 .

??????6、设函数f(x)?a?其中向量a?(sinx,?cosx)，b?(sinx,?3cosx)，c?(?cosx,sinx)，(b?c)，x?R。

（Ⅰ）、求函数f(x)的最大值和最小正周期；

??（Ⅱ）、将函数f(x)的图像按向量d平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度??最小的d。

（A）arccos(?

【例1】出下列命题：①若a?b，则a?b；

②若A、B、C、D是不共线的四点，则AB?DC是四边形为平行四边形的充要条件； ③若a?b,b?c，则a?c； ④a?b的充要条件是a?b且a∥b；

⑤若a∥b，b∥c，则a∥c。 其中，正确命题材的序号是_________________.

【例2】平面内给定三个向量：a?(3,2),b?(?1,2),c?(4,1)。回答下列问题： （1）求3a?b?2c； （2）求满足a?mb?nc的实数m和n ； （3）若(a?kc)∥(2b?a)，求实数k；

?（4）设d?(x,y)满足(a?b)∥(d?c)且|d?c|?1，求d

【范例3】已知射线OA、OB的方程分别为y?在OA、OB上滑动，且MN?43。

（1）若MP?PN，求P点的轨迹C的方程；

（2）已知F1(?42,0)，F2(42,0)，请问在曲线C上是否存在动点P满足条件PF1?PF2?0，若存在，求出P点的坐标，若不存在，请说明理由。

【文】设向量a＝(sinx，cosx)，b＝(cosx，cosx)，x∈R，函数f(x)＝a·(a＋b). （Ⅰ）求函数f(x)的最大值与最小正周期；

（Ⅱ）求使不等式f(x)≥

【范例4】已知a=（x,0），b=（1，y），（a+3b）?（a–3b）． （I） 求点?（x，y）的轨迹C的方程；

（II） 若直线l： y=kx+m (m?0)与曲线C交于A、B两点，D（0，–1），且有|AD|=|BD|，试求m的取值范围．

【文】在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点M(1,?3)，N(5,1)，若点C满足

??????33x(x?0)，y??x(x?0)，动点M、N分别333成立的x的取值集。 2?????????????OC?tOM?(1?)tON(?t，点)RC的轨迹与抛物线y2?4x交于A、B两点；

（1）求点C的轨迹方程；

????????（2）求证：OA?OB；

（3）在x轴正半轴上是否存在一定点P(m,0)，使得过点P的任意一条抛物线的弦的长度是原点到该弦中点距离的2倍，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.

★★★自我提升

1. A 2. B 3. B 4. B

1 2?6.

25.

7.解：设a??x1,y1?，b??x2,y2?，则a?c??23x1?2y1?0；

b?c??23x2?2y2??4； a解得?2?x1?y1?8；b?x2?y2?4．

22222?x?3?x2?0，或?2，

?y2??2?y1?6?y1??6?y2?1??5分别代入c?ma?nb??23,2，解得n??4,m??6；?a,b???.

6，或?，对应的b分别为??x1?2?x1??2??8.

b解：（1）设P(0,b),M(a,0)，则kPF??b,kPM??

a??????????PM?PF?0?kPF?kPM??1?a??b2

??????????M(?b2,0)，又PM?PN，即P为MN的中点，?N(b2,2b) 因此，N的轨迹方程为：y2?4x，其轨迹为以F(1,0)为焦点的抛物线.

k（2）设l:y?kx?b，与y2?4x联立得：y2?y?b?0(*)

44b设A(x1,y1),B(x2,y2)，则y1、y2是（*）式的两根，且y1y2?

k????????y12y22由OA?OB??4得：x1x2?y1y2??4，即??y1y2??4,?y1y2??8

444b???8?b??2k.因此，直线方程可写为：y?kx?2k?k(x?2) kk4（*）式可化为：y2?y?2k?0?y1?y2?,y1y2??8

4k111?而AB?1?2?(y1?y2)2?4y1y2?1?2?16(2?2)???46,430? kkk11即：6?(1?2)(2?2)?30

kk1111令x?1?2，解得2?x?5?1?2?4??1?k??或?k?1

kk22文:

解：（Ⅰ）a?b?8???x2?(y?2)2?x2?(y?2)2?8

设F1(0,?2),F2(0,2)，则MF1?MF2?8

x2y2因此，点M的轨迹是以F1、F2为焦点，长轴长为8的椭圆，其方程为??1

1216（Ⅱ）假设存在这样的直线，使得OAPB为矩形，并设l:y?kx?3

与椭圆方程联立得：(3k2?4)x2?18kx?21?0(*) 设A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1、x2是（*）的两根，

18k21且x1?x2??2 ,x1x2??23k?43k?4因为OAPB为矩形，故OA?OB

则x1x2?y1y2?0，x1x2??kx1?3??kx2?3??0

?k2?1x1x2?3k?x1?x2??9?0

?21k2?13?18k2?2?9?0 由此可得：?23k?43k?45 45因此，当直线的斜率为?时，可使OAPB为矩形．

4??解得：k2?516?k??

1. C 2. C 3. D 4.2 5. 4

lyPBAOx???6. (Ⅰ)由题意得f(x)?a?(sinx－cosx，sinx－3cosx) (b?c)=(sinx，－cosx)·

3? ＝sin2x－2sinxcosx+3cos2x＝2+cos2x－sin2x＝2+2sin(2x+).

42?所以，f(x)的最大值为2+2，最小正周期是＝?.

23?k?3?3??（Ⅱ）由sin(2x+)＝0得2x+＝k?，即x＝,k∈Z，

4428k?3?k?3?2??)?4,k∈Z. 于是d＝（，－2），d?(2828

因为k为整数，要使d最小，则只有k＝1，此时d＝（―?8，―2）即为所求.

【例1】

解析：①不正确性。两个向量长度相同，但它的方向不一定相同。

②正确。∵AB?DC且AB//DC，又A、B、C、D为不共线的四点， ∴ 四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形为平行四边形， 则AB//DC且AB?DC，因此AB?DC。

③正确。∵a?b，∴a、b的长度相等且方向相同，又b=c，

∴b、c的长度相等且方向相同，∴a、c的长度相等且方向相同，故a?c。 ④不正确。当a∥b且方向相同，即使a?b，也不能得到a?b。 ⑤不正确。考虑b?0这种极端情况。 答案：②③。

【例2】解：（1）依题意，得3a?b?2c=3（3，2）+（-1，2）-2（4，1）=（0，6） （2）∵a?mb?nc,m,n?R，∴（3，2）=m（-1,2）+n（4,1）=（-m+4n,2m+n）

?5∴???m?4n?3?m?,?2m?n?2, 解之得??9

???n?89;（3）∵(a?kc)∥(2b?a)，且a?kc=（3+4k，2+k），2b?a=（-5，2）

∴（3+4k）×2-（-5）×（2+k）=0，∴k??1613； （4）∵d?c=（x-4，y-1），a?b=（2，4）， 又∵(a?b)∥(d?c)且|d?c|?1，

?20?∴??4(x?4)?2(y?1)?0??x??55??x?20?5?(x?4)2?(y?1)2?1,解之得?或?5?25?5 ??5?25?y?5??y?5∴d?=（20?55，5?255）或d?=（20?55?255，5）

【例3】解：（1）设M(x31,3x31)(x1?0),N(x2,?3x2)(x2?0)，P(x,y)， 则MP?(x?x31,y?3x(x31)，PN?2?x,?3x2?y)， ?x?x1?x2?x所以????y?33x?33x，即??x1?x2?2x。 1?2?y?x1?x2?23y又因为

MN?43，所以

(x1?x2)2?[33(x1?x2)]2?48，代入得x2y236?4?1(?3?x?3,y?0)。 ：（2）P(x0,y0)，所以PF1?(?42?x0,?y0)，PF2?(42?x0,y0)

2因为PF1?PF2?0，所以?(42?x0)(42?x0)?y0?0，得x0?yo?32，

22xy6363又0?0?1，联立得x0??，因为?3，所以不存在这样的P点。 36422【点晴】本题是一道综合题，重在考查向量的概念及轨迹方程的求法。

【例4】解:（I）a+3b=（x,0）+3(1,y)=(x+3,3 y),

????22a–3b=（x, 0）?3(1,y)= (x?3,–3 y)

????????(a?3b)=0, 3b), ?(a+3b)·

?(x+3)( x?3)+3y·(?3y)=0,

x2?y2?1． 故P点的轨迹方程为3（II）考虑方程组??y?kx?m, 消去y，得（1–3k2）x2-6kmx-3m2-3=0 (*) 2?x2??y?1,?3.?(a+3b)?(a?显然1-3k2?0, ?=(6km)2-4(1-3k2)( -3m2-3)=12(m2+1-3k2)>0.

设x1,x2为方程*的两根，则x1+x2=6km，x0=x1?x2?3km, y0=kx0+m=

221?3k21?3km,

1?3k2故AB中点M的坐标为（3km，

1?3k2m）, 21?3k?线段AB的垂直平分线方程为y?m=（?1）3km,

(x?)k1?3k21?3k2将D（0，–1）坐标代入，化简得 4m=3k2?1,

?m2?1?3k2?0,22

?4m>0, 解得 m<0或m>4. 故m、k满足? 消去k得 m2?4m?3k?1,11又?4m=3k2?1>?1, ? m??, 故m?(?,0)?(4,+?)．

44【点睛】本题用向量语言来表达平面几何问题，是亮点。

【例4】文

?????????????解：（1）设C(x,y)，由OC?tOM?(1?t)ON知，点C的轨迹为y?x?4.

?y?x?42（2）由?2消y得：x?12x?16?0

?y?4x设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1x2?16，x1?x2?12,

????????所以y1y2?(x1?4)(x2?4)??16，所以x1x2?y1y2?0，于是OA?OB

（3）假设存在过点P的弦EF符合题意，则此弦的斜率不为零，设此弦所在直线的方程为x?ky?m,由??x?ky?m2消x得：y?4ky?4m?0，设E(x3,y3)，F(x4,y4)， 2?y?4x则y3?y4?4k，y3y4??4m.

????????因为过点P作抛物线的弦的长度是原点到弦的中点距离的2倍，所以OE?OF即x3x4?y3y4?0,

y32y42?y3y4?0得m?4，所以存在m?4. 所以

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