天津市南开区2018届高三上学期期末考试数学理试卷（有答案）

2017-2018学年天津市南开区高三（上）期末数学试卷（理科）

一、选择题

1．已知集合A={x|y=

}，B={x|

＞0}，则A∩B=（ ）

C．{x|﹣1＜x≤1} D．{x|x≥1} i

，则下列不等式恒成立的是（ ）

A．{x|﹣1＜x＜1} B．{x|x＞1} A．3

B．

C．

i D．

2．设复数z满足iz=|2+i|+2i（i是虚数单位），则|z|=（ ）

3．设x，y满足约束条件A．x≥3

B．y≥4

C．x+2y﹣8≥0 D．2x﹣y+1≥0

4．某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（ ）

A． B． C． D．

5．下列说法正确的是（ ）

A．“若a＞1，则a2＞1”的否命题是“若a＞1，则a2≤1” B．?x0∈（﹣∞，0），2C．“若tanα≠1，则

成立

”是真命题

D．{an}为等比数列，则“a1＜a2＜a3”是“a4＜a5”的既不充分也不必要条件

6．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线l：x=﹣，点M在抛物线C上，点A在准线l上，若MA⊥l，且直线AF的斜率kAF=﹣A．3 B．6 C．9 D．12

，则△AFM的面积为（ ）

），当x∈（﹣2，0）时，f（x）

7．已知y=f（x）是奇函数，当x∈（0，2）时，f（x）=lnx﹣ax（a的最小值为1，则a=（ ） A．﹣1 B．1

C．

D．e2

8．已知定义在R上的函数f（x）满足：①f（x）+f（2﹣x）=0；②f（x﹣2）=f（﹣x）；③当x∈[﹣1，1]时，f（x）=（ ） A．5

二、填空题

9．甲和乙两个城市去年上半年每月的平均气温（单位：℃）用茎叶图记录如下，根据茎叶图可知，两城市中平均温度较高的城市是 ．

B．6

C．7

D．8

；则函数y=f（x）﹣（）|x|在区间[﹣3，3]上的零点个数为

10．执行如图所示的程序框图，若输入的N是4，则输出p的值是 ．

11．设P是双曲线上一点，F1，F2分别是双曲线左右两个焦点，若|PF1|=9，则|PF2|等

于 ．

22

12．=4相交于M，N两点，直线y=kx+3与圆（x﹣4）+（y﹣3）|MN|，则k的取值范围是 ．

13．在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，点P是斜边AB上的一个三等分点，则

= ．

14．已知x，y均为正实数，且x+y=16，则

的最大值为 ．

15．已知函数f（x）=2sin2x+2（1）求f（x）的最小正周期；

sinx?sin（x+）

（2）若把函数y=f（x）的图象向左平移函数g（x）在区间[0，

个单位，再向上平移2个单位，得函数g（x）的图象，求

]上的取值范围．

16．在△ABC，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos2A=3cos（B+C）+1 （1）求角A的大小；

（2）若a=3，sinC=2sinB，求b，c的值．

17．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥面ABC，AB=BC=2BB1，∠ABC=90°，D为BC的中点． （1）求证：A1B∥平面ADC1； （2）求二面角C﹣AD﹣C1的余弦值；

（3）若E为A1B1的中点，求AE与DC1所成的角．

18．已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn=2（an﹣1），数列{bn}满足：对任意n∈N*有a1b1+a2b2+…+anbn=（n﹣1）?2n+1+2．

（1）求数列{an}与数列{bn}的通项公式； （2）记cn=

，数列{cn}的前n项和为Tn，证明：当n≥6时，n|Tn﹣2|＜1．

19．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点P（﹣1，﹣1），c为椭圆的半焦距，且c=b．过点P

作两条互相垂直的直线l1，l2与椭圆C分别交于另两点M，N． （1）求椭圆C的方程；

（2）若直线l1的斜率为﹣1，求△PMN的面积； （3）若线段MN的中点在x轴上，求直线MN的方程． 20．设函数f（x）=x2﹣2x+alnx（a∈R）

（1）当a=2时，求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程； （2）若函数f（x）存在两个极值点x1，x2（x1＜x2）

①求实数a的范围；②证明：．

2017-2018学年天津市南开区高三（上）期末数学试卷（理科）

参考答案

一、选择题

1-5：AACDC 6-8：CBA 二、填空题 9．乙． 10．24． 11．17． 12．[﹣13．4 14．1．

三、解答题

15．解：（1）∵函数f（x）=2sin2x+2=2?

+

sin2x=2sin（2x﹣

=π．

个单位，

﹣

）+2+1=2sin（2x+

）+3的图象，

sinx?sin（x+

）

，

]．

）+1，

故f（x）的最小正周期为

（2）把函数y=f（x）的图象向左平移

再向上平移2个单位，可得函数g（x）=2sin（2x+在区间[0，故当2x+当2x+

16．解：（1）由cos2A=3cos（B+C）+1得， 2cos2A+3cosA﹣2=0，

即（2cosA﹣1）（cosA+2）=0， 解得cosA=或cosA=﹣2（舍去），

==

]上，2x+

∈[

，

]，

时，f（x）取得最小值为2?（﹣时，f（x）取得最大值为2+3=5．

）+3=3﹣；

因为A为三角形的内角，所以A=（2）由（1）知cosA=， 又sinC=2sinB，∴c=2b； 由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA， ∴9=b2+4b2﹣2b?2b?， 解得b=； ∴c=2．

；

17．（Ⅰ）证明：可设AB=BC=2BB1=2，以B为坐标原点，BA所在直线为x轴，BC所在直线为y轴，BB1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系， A1（2，0，1），B（0，0，0），A（2，0，0）， D（0，1，0），C1（0，2，1）， 则有

=（﹣2，0，﹣1），

=（﹣2，1，0），

=（﹣2，2，1），

??设平面ADC1的法向量为m=（x1，y1，z1）， 由∵∴

??，取x1=1，得m=（1，2，﹣2），

???m=﹣2+0+2=0， ??⊥m，

则A1B∥平面ADC1； （Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得

=（﹣2，1，0），

=（﹣2，2，1），=（0，0，1），

=（0，﹣1，0），

由C1C⊥平面ABC，可知平面ABC的法向量为

??由（Ⅰ）可得平面ADC1的法向量为m=（1，2，﹣2）， 由cos＜

＞=

=

．

故二面角C﹣AD﹣C1的余弦值为； （Ⅲ）解：E为A1B1的中点， 则E（1，0，1），cos＜

＞=

=（﹣1，0，1），

=

=（0，1，1），

，

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