《应用型本科线性代数及其应用》习题参考解答

习题一

1、利用对角线法则计算下列三阶行列式：

215

（1） 1

abc

02； （2）cab； 314bca

xyx y

yx yx

x yxy

aa2

（3）b

b2； （4）c2

215

c

解（1）： 102 1

314ab

解（2）：c

ca

ab a3 b3 c3 3abc (a b c)[(a b)2 (b c)2 (c a)2] c

b

aa2

解（3）：b

b2 (a b)(b c)(c a) c2

yx yx

x yxy

2(x3 y3)

c

x

解（4）：

yx y

2、求下列各排列的逆序数，并确定排列的奇偶性：

（1）3617254；（2）891476235；（3）（2n+1）(2n-1) …531 解（1）：逆序数为10，偶排列。 解（2）：逆序数为23，奇排列。 解（3）：逆序数为n (n 1) 2 1 当n 4k 2或n 4k 3时为奇排列．

3、写出四阶行列式D det(aij)中所有包含a23并带正号的项。 解：项的一般形式为( 1)

(i13i3i4)

n(n 1)

。当n 4k或n 4k 1时为偶排列，2

a1i1a23a3i3a4i4，其中，i1i3i4是1，2，4的全排列。

所有可能的列标序列的逆序数为

(1324) 1， (2341) 3， (4312) 5

(1342) 2， (2314) 2， (4321) 6

故包含a23且带正号的项有

a11a23a34a42，a12a23a31a44，a14a23a32a41。

4、若n阶行列式D det(aij)的元素满足aij aji（i,j 1,2, ,n），则称这样的行列式为反对称行列式，试证：当n为奇数时，D 0。 解：一方面，D D

另一方面，D ( 1)D D 于是，D D，2D 0，D 0。 5、计算下列行列式

n

2 4

（1）

12 142506

；（2）

1 4300

200

00

00

；

34

31

5 621 73

1314

（3）16

x2 1xyxz

xyy2 1yz

xzyz； z2 17；（4）

1920

（5）

x0zy

yz0x

zyx0

12 14250600

00

9199990992

；（6）4

xyz

0050

9039060070

2 4

解（1）：

341 4300

200

31

5 6

105

解（2）：

21 73

182

1314

解（3）：16

17 0

1920

x2 1

解（4）：

xyy2 1zy

xzyzz2 x2 y2 z2 1

yxzx

解（5）：

x0zy

yz0x

zyx0

x4 y4 z4 2x2y2 2y2z2 2z2x2

xyz

9199990992

解（6）：4

0050 12

9039060070

6、计算n阶行列式

111 1122 2

（1）12

1 1

20

3 n3 n0 n

（2） 1 23 3；

123 n 1 2 3 0

解（1）：第n-1行减去第n行，第n-2行减去第n-1行，...，第2行减去第3行，第1行减去第2行，有

111 1122 2

111 1011 1 1 1

20

3 n3 n

1 1

10

1 11 10 1

123 3 001 1 1 123 n

000 1

解（2）：提取各阶公因子，得 1 20 n (1 2 3 n) 1 1

1 2 3 0

第2，3，…，n-1,n行分别加上第1行，得

1 1 1 0

1 1

20

3 n3 n

111 1012 2

1 20 n (1 2 3 n)001 2 n!

000 1

1 2 3 0

7、求解下列方程

1xyzx 1

2 1（1）

2x 11 0，（2）

x100

y010 1

1

1

x 1

z

001

解（1）：原方程为(x 3)(x )(x ) 0 其根为x 3, ,

3。

1

xyz

xyz1xy1x解（2）：

x100y010

z1

00 x

1

0 z2 x

1

z

001010y01

y0 z2 y2

1

x

x1

z2 y2 1 x2

故原方程为x2

y2

z2

0，从而x y z 0。 8、设

31 12D

512 3201

1

1

3 2

1

D的(i,j)元的代数余子式记作Aij，求A31 2A32 3A33 2A34。

31

12解：A31 2A32 3A33 2A 51 334

2

12 32 64

1

3 2

1

9、用克拉默法则解下列方程组：

（1） 5x 2x1 x2 x3 4

1 7x2 3 2x （2） x 1 2x3 4

1 4x2 1 3x1

x2 3x3 2

5x1 4x3 2x4 3 5x1 6x2 1

（3） x1 x2 2x3 x4

1 x 5x 6x 1 4x （4） 1231 x2 2x3 3 x2

5x3 6x4 1

x1 x2 x3 x4 0

x3 5x4 1解（1）：x51

1 6,x2 6

y

01

291

,x3 22

315

解（3）：x1 ,x2 ,x3 ,x4 1

777 85106 3950

解（4）：x1 ,x2 ,x3 ,x4

211211211211

10、确定参数k的值，使下列方程组有惟一解，并求出该解：

解（2）：x1 5,x2 （1）

kx1 2kx2 1 6kx1 4x2 5

（2）

3x1 6kx2 4 9x1 2kx2 2

解（1）：

6k9

42k

12k2 36 12(k2 3)，故当k 时，方程组有惟一解。

6k9

5 2

54

22k

10k 8， 12k 45

x1

5k 44k 15

x ， 2

6(k2 3)4(k2 3)

k3 2k6k

6k(k 1)，故当k 0, 1时，方程组有惟一解。 k3 14

解（2）：

1 2k4

6k

2k， 4k 3

x1

14k 3

，x2

6k(k 1)3(k 1)

11、确定参数k的值，使以下齐次线性方程组有非零解

(1 k)x1 2x2 4x3 0

2x1 (3 k)x2 x3 0 x x (1 k)x 0

23 1

解：系数行列式

kD

21

23 k1

411 k

k21

k 33 2k k21 k0

2k 10

k(k 2)(k 3)

故当k 0,2,3时，齐次线性方程组有非零解。

12、求三次多项式f(x)，使满足f( 1) 0，f(1) 4，f(2) 3，f(3) 16。 解：设f(x) a1x a2x a3x a4

3

2

a1 a2 a3 a4 0 a1 2 a a a a 4 a 5 1 223432

，解得 ，故f(x) 2x 5x 7

8a1 4a2 2a3 a4 3 a3 0 a4 7 27a1 9a2 3a3 a4 16

13、在空间坐标系中，3元方程ax by cz d表示一空间平面。设有3元线性方程组

a1x b1y c1z d1

a2x b2y c2z d2 ax by cz d

333 3

其几何意义如图所示

判别向量

a1 a2 a3 b1 ， b2 ， b3

c c c 1 2 3

是否共面，并说明理由。

解：由几何意义可知，三平面无共同的交点，即非齐次线性方程组无解。根据克莱默法则，该非齐次线性方程组的系数行列式

a1a2a3

b1b2b3

c1c2 0 c3

从而 ， ， 共面。

14、证明平面上经过两不同点(x1,y1)、(x2,y2)的直线的方程可以表示成为

1xy

1x1y1

1x2 0 y2

证明：过两点(x1,y1)、(x2,y2)的直线方程为

y y1y y2

，(y y1)(x x2) (y y2)(x x1)

x x1x x2

从而

1xy

1x1y1

1y2

10

1x1 xy1 y

1x2 x y2 y

x2 0

x1 xy1 y

x2 xy2 y

(x1 x)(y2 y) (x2 x)(y1 y) 0

15、证明：顶点(x1,y1)、(x2,y2)、(x3,y3)的三角形的面积

S

1

D，D x22

x3

x1y1y2 y3

证明：记A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)

{x2 x1,y2 y1,0}，

{x3 x1,y3 y1,0}

AB AC x2 x1

x3 x1

S

y2 y1y3 y1

x2 x1x3 x1

y2 y1y3 y1

1

k

11AB AC |22x3 x1

x2 x1y2 y1y3 y1

|

1

|1x22

1x3

x1y1y2| y3

16、分别求下列给定顶点的四边形的面积，并判别其中哪几个是平行四边形。 （1）（0，0），（5，2），（6，4），（11，6） （2）（0，0），（-1，3），（4，-5），（3，1） （3）（-1，1），（0，5），（1，-4），（2，1） （4）（0，-2），（6，-1），（-3，1），（3，2） 解（1）：记A(0,0)，B(5,2)，C(6,4)，

D(11,6)

{5,2}， {5,2}， {6,4}， {6,4}

因//，// ，故该四边形构成平行四边形，且面积为

00S1 |52| 8

64解（2）：记A(0,0)，B(-1,3)，C(4,-5)，

D(3,1)

{ 1,3}， { 1,6}， {4, 5}， {4, 2}

该四边形不构成平行四边形。且面积为

11

S2 [| 131| |4 51|] (10 19) 14.5

22

311311

解（3）：记A(-1,1)，B(0,5)，C(1,-4)，

D(2,1)

001001

{1,4}， {1,5}， {2, 5}， {2, 4}

该四边形不构成平行四边形。且面积为

111 1111

S3 [|051| |1 4|] (12 15) 13.5

22

21121解（4）：记A(0,-2)，B(6,-1)，C(-3,1)，

D(3,2)

{6,1}， {6,1}， { 3,3}， { 3,3}

因//，// ，故该四边形构成平行四边形，且面积为

0 21

S4 |

6 3

11| 21 11

17、分别求下列给定点的平行六面体的体积。

（1）一个顶点在原点，相邻顶点在（1，0，-2），（1，2，4），（7，1，0）； （2）一个顶点在原点，相邻顶点在（1，4，0），（-2，-5，2），（-1，2，-1）； （3）一个顶点在（1，1，1），相邻顶点在（0，-1，-2），（1，-4，3），（-2，1，4）； （4）一个顶点在（2，1，3），相邻顶点在（1，-1，4），（2，-1，5），（-3，2，1）。 解（1）：平行六面体的三个棱向量为

{1,0, 2}， {1,2,4}， {7,1,0}

所构成的平行六面体的体积为

10 2V1 |1

2

4| 22 0

71

解（2）：平行六面体的三个棱向量为

{1,4,0}， { 2, 5,2}， { 1,2, 1}

所构成的平行六面体的体积为

1 1

42

02| 15 1

V2 | 2 5

解（3）：平行六面体的三个棱向量为

{ 1, 2, 3}， {0, 5,2}， { 3,0,3}

所构成的平行六面体的体积为

1 2 3V3 |

0 3

50

2| 72 3

解（4）：平行六面体的三个棱向量为

{ 1, 2,1}， {0, 2,2}， { 5,1, 2}

所构成的平行六面体的体积为

1 2V4 |

0 5

21

12| 8 2

18、求以(-2,-3)，(4,-3)，(6,2)，(1,6)，(-4,5)，(-6,2)为顶点的六边形的面积。

解：从（-2，-3）出发，将六边形划分为4个三角形，其面积为

1A [|

2

2 3146

31| |21

2 3161

21| |61

21 4

3151

2 31

51|] 21 6

61| | 4

1151 [30 57 42 22] 75.5 22

19、分别求单位圆的内接正6边形、正12边形、正24边形的面积，由此你能得出何种猜想。 解：

12 6 sin 3sin 2.5981 26312 S12 12 sin 6sin 3.0000

212612 S24 24 sin 12sin 3.1058

22412S6

猜想：若用Sn表示圆内接正n边形面积，则Sn (n )。事实上，有

n

，1112 ，limSn Sn n( 2sin n cos n) nsin2 n nsin

n

2

2

2

n

n

20、求如下图所示的曲边梯形面积的近似值。

解：（1）建立数学模型

在区间[0.5,4]上插入n 1个分点

h

4 0.5

，xi 0.5 hi(i 0,1, ,n) n

小区间[xi,xi 1](i 0,1, ,n 1)所对应的曲边梯形面积，用以下梯形面积来近似

12211( )h ( )h 2xixi 1xixi 1

整个曲边梯形面积A，可以用复化梯形面积An来近似，而

A An (

i 0

n 1

11

)h xixi 1

（2）给出对区间[0.5,4]的等分数n，进行具体计算

4

利用定积分，该曲边梯形面积的准确值为

A

2

dx 2(ln4 ln0.5) 6ln2 4.1598 x0.5

从近似计算的数值可以观察到，An单调下降趋近于A。

习题二

1、设

5 1 21 ab

A B C ，， 0 04 cd 2

（1）计算A B；（2）若已知C A B，求出a，b，c，d。 解：A B 0 2、设

30

，a 3，b 0，c 0，d 6。 6

12 241 131 0

A 035 ，B 205 ，C 3 13

求3A 2B C。 解：3A 2B C 7

3、已知

8

73

88

1 3 2 2 1 2

2 3X 0 0 2130 1

求矩阵X。 解：X [ 4、设

2 21 3 1 4/38/3 1 1 2

2 0 2 ] 1 0 1 14/3 13 3

2 5 4 3 1 7

A 157 ，B 519

5 3 21 4 3

且A 2X B，求矩阵X。

3 3 2

1

A 2X (B A) 2 21解：

2 1 32

5、计算下列矩阵

2 1 100 21

（1） 1 132 ； （2） 213 3 ； （3） 010 43

3 2 001 79

31 1 2

143 0 12 1 1 2

12 1（4） ； （5） 1 134 1 3 1 3 2 3 02 2 2 264

1132 132解（1） 3 396 1

解（2） 213 3 11

2

100 21 21

解（3） 010 43 43

001 79 79

31 1

21430 122 6 1

解（4） 1 134 1 3 4 13 6

02 2 2 20

1 1

解（5） 1 2 1 3 2 10

30 3

6、计算AB BA，其中

121 130 A 002 ，B 011

001 001 03 4

解：AB BA 00 1

000

7、设

11 1 1 12 A 111 ，B 13 1

1 11 212

求（1）AB 3B；（2）(A B)(A B)；（3）A B。

2

2

解（1）AB 3B 1

0 1 1 7

3

4 3 2 0 4

0 解（2）(A B)(A B) 2 14

2

5 11 5 解（3）A2 B2

4 82 3 11

5 4 10 4

8、计算下列矩阵（其中n为正整数）

n

（1） 11 n10n

a00 00 ；（2）

1 ；

（3） 0b0 00c

2

3

解（1） 11 11 11 11 11 1 00 00 ， 00 00 00 0 n

11 11

00 00 n

解（2） 100

1 1

n 1

a00 n an00

解（3） 0b0

0

bn0 00c

0

cn

9、设矩阵

0

100

1

00 A 0010

，B 0

1

0

0001

0

1

0000

00

求A4

和Bn

。

0

010 00

01

解：A2

0001

00 0

000 ，A3

00 0000 ，A4

0 0000 0000

B可分解成为 B E A，而

1

0 ‘

1223344nn

Bn ( E A)n nE n 1CnA n 2CnA n 3CnA n 4CnA n nCnA

（1）当n 3时，有

n

012233

Bn nE n 1CnA n 2CnA n 3CnA

0 0

（2）当n 2时，有

2 0

B2 2E 2 A A2

0 0

（3）当n 1时，有

0

B E A

0 0

1

01

1

n 1Cn n 2Cn2

1

n n 1Cn0 n

00

3

n 3Cn n 22

Cn

n 11 Cn n

2 12

2

00

2

0

1 2 2

00

0

0 1

1

(B E)，证明A2 A的充要条件是B2 E。 2

12122

证明：若A A，则(B 2B E) (B E)，从而B E。

42

12122

若B E，(B 2B E) (B E)，则A A。

42

10、设A、B为n阶方阵，如果A 11、设矩阵

4 1 21 A 02 ，B 34

32

求(AB)，BA和AB。 解：(AB) BA 0

T

T

T

T

TTTT

560 TT

，AB没有意义的。 85

T

12、设A、B为n阶方阵，且A为对称矩阵，证明BAB也是对称矩阵。 证明：记C BAB，则C BA(B) BAB C，故C为对称阵。 13、设A为三阶方阵，且A m，求 mA。 解： mA ( m)A mm m

3

3

4

TTTTTTT

14、设

2 1 7 1 1 5 A 3 12 ，B 523

0 720 3 1

3

（1）计算行列式(2A B) B的值；（2）求行列式A A。

T

60 2

TT

解（1）(2A B) B 4 24 ，(2A B) B 80

240 0 3

解（2）A A 30

0

20 2020

10

20 ，A3 A 0 10

15、求下列矩阵的逆矩阵

12 3 34

2 （1）A （2）A 01 25 ；

001 01 0 123

20 ；（3）A 0（4）A 221

1/3 343 00

5/7 4/7

解（1）：A 2/7 3/7

1

7 1 2

1

1 2 解（2）：A 0 001 03 0 1

解（3）：A 0 1/20

100 3 2 1 1

解（4）：A 3/2 35/2

11 1

16、解下列矩阵方程

1 1 1 1 11

25 4 6

022X 110X （1） ；（2） 13 2 1 1 1 20 14

3 010 100 1 4

0 1 （3） 100 X 001 2

001 010 1 20

25 4 6 3 5 4 6 2 23

解（1）：X 13 2 1 12 21 08

1

2/3 1 11 11 1 1 11 1/31/6

解（2）：X 022 110 1/31/6 1/3 110

1 10 214 1/31/3 1/3 214

1/2 11/6

1/6 1/2 2/31

3

1 1

1

1

1

010 1 43 100

解（3）：X 100 20 1 001

001 1 20 010

3 100 2 10 010 1 4

100 20 1 001 13 4 001 1 2 0 0 2 010 1 x1 2x2 3x3 2

17、求方程组的解 2x1 2x2 x3 1

3x 4x 3x 0

23 1 123 x1 2 x1 1

解： 221 x2 1 ， x2 0

343 x 0 x 1 3 3

101

18、设A 020 ，AB E A2 B，求矩阵B。

101

2

解：AB E A B，(A E)B A E (A E)(A E)

2

101 100 001

A E 020 010 010 ，A E 1 0，故A E可逆。

101 001 100

201

故B A E 030

102

19、已知矩阵A满足A2 A 2E，证明A，A 2E均可逆；并求A 1，(A 2E)。 证明：(

1

AEAE )A E，故A可逆，且A 1 。 2222

AE2

)。 22

A2 A 2E，故A 2E可逆，且(A 2E) 1 (A 1)2 (

k

20、设A 0，其中A为方阵，k为大于1的正整数，证明：

(E A) 1 E A A2 Ak 1

证明：(E A)(E A A A故(E A)

1

2

k 1

) E Ak E

E A A2 Ak 1。

21、若A为可逆矩阵，并且AB BA，试证：A 1B BA 1。 证明：A(AB) A(BA)，(AA)B (AB)A，B (AB)A 从而 BA

1 1

1

1

1

1

(A 1B)(AA 1) A 1B。

*

22、若三阶矩阵A的伴随矩阵为A，且A 解：(3A)

1

1 1*

，求(3A) 2A。 2

2A*

1 112

A 2AA 1 A 1 A 1 ( )A 1 333

28116

( )3A 1

327A27

23、已知

11 2

A 3 12

1 10

设f(x) x 2x 1，求f(A)。

2

2 3 2 f(A) 13 3解：

34 2

24、设AP P ，其中P 1

解：P

1

1 4 10 12

，，求。 A 1 02

1/3

1/3 4/3

1/3

12

1 4 ( 1)

A12 P 12P 1 11

00 1/34/3

12 2 1/3 1/3

1

0

25、已知A 0

0 0 1 0

解：AB 2

2 4

200100021012010200100132023221

0 1 0 00 ，B 1 1 0

31 0

0 3 1 3

01012

1412 4412

2 2

33 33

114112 212 2

33 33

000

000 102 ，求AB。

12 1 111

2

0

26、已知A

00

00 0 00 0

B ， 0 0 0 2

200

00

2

0

0

，求ABA。 0

3

0

解：ABA

0 0

2 2

00

3

00

3 2 2

0 0 0 3

AO

27、设D是一个s t阶的矩阵，按下列形式划分成4个小矩阵D CB ，其中A、B

分别是s阶和t阶可逆矩阵，求D。 解：D

1

1

A 1

B 1CA 1 O 1 B

28、设明文为DSWSIHWREQ，密钥矩阵为A

33

，试用希尔密码体系给明文加密。 03

解：字符矩阵

DW

SS

IH

WR

E 4239235 所对应的数字矩阵为 Q 191981817

5112366

245451

4239235 33 4239235 69126

A 191981817 03 191981817 5757 69126 5757

数字矩阵

5112366 1722251914

(mod26) 245451 5524225

YX

SB

N

Y

1722251914 QV

所对应的字符矩阵为 EE5524225

密文为QEVEYXSBNY。 验证：A 9，

3 3 3 3 9 9 1

3 3，A* ， 3 3 09 A 0 0

9 9 917

A 1 (mod26) 0 09 9

917 1722251914 238283633205551

09 5524225 454521618225 238283633 4545216

20518

551 4239235

(mod26) 225 191981817

IH

WR

E

Q

4239235 DW

数字矩阵 191981817 所对应的字符矩阵为 SS

即明文为DSWSIHWREQ。

29、设密文为AHRSUYREQ，密钥矩阵为A

83

，试将密文还原为明文。 73

A

解：密文所对应的字符矩阵为 H

RUS

Y

RQ

，其中，最后的Z是补充的，还原成EZ

为明文时，它所对应的字符应被去掉。 密文所对应的数字矩阵为

118211817 。 8192550

A 3，

3 3 3 3 27 27 1

9 9，A* ， 8 8 6372 A 7 7

27 27 125

A 1 (mod26) 63 72 1520

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/gnk4.html