2016届高考备考+三角函数教案

7

1. (2013·山东)△ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋c＝6，b＝2，cos B＝. 9(1)求a，c的值； (2)求sin(A－B)的值．

a2＋c2－b2a2＋c2－4714

解 (1)由余弦定理得： cos B＝＝＝，即a2＋c2－4＝ac.

2ac2ac99

??a＋c＝6，14

∴(a＋c)－2ac－4＝ac，∴ac＝9.由?得a＝c＝3.

9?ac＝9，?

2

7

(2)在△ABC中，cos B＝，∴sin B＝1－cos2B＝

97?242a1－?＝.由正弦定理得：＝?9?9sin A

42

3×9basin B22π1

，∴sin A＝＝＝.又A＝C，∴0

393927

2. 在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且2asin A＝(2b－c)sin B＋(2c－b)sin C. (1)求角A的大小； (2)若sin B＋sin C＝3，试判断△ABC的形状．

解 (1)由2asin A＝(2b－c)sin B＋(2c－b)sin C，得2a2＝(2b－c)b＋(2c－b)c，即bc＝b2＋c2b2＋c2－a21

－a，∴cos A＝＝，∵0°

2bc2

2

(2)∵A＋B＋C＝180°，∴B＋C＝180°－60°＝120°.由sin B＋sin C＝3，得sin B＋sin(120°33

－B)＝3，∴sin B＋sin 120°cos B－cos 120°sin B＝3.∴sin B＋cos B＝3，即sin(B＋

2230°)＝1.∵0°

3. (2014·浙江)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a≠b，c＝3，cos2A－cos2B＝3sin Acos A－3sin Bcos B.

4

(1)求角C的大小； (2)若sin A＝，求△ABC的面积．

5

1＋cos 2A1＋cos 2B33313

解 (1)由题意得－＝sin 2A－sin 2B，即sin 2A－cos 2A＝sin 2222222ππ1

2A－?＝sin?2B－?.由a≠b，得A≠B.又A＋B∈(0，π)，得 2B－cos 2B， sin?6?6???2ππ2ππ

2A－＋2B－＝π，即A＋B＝，所以C＝.

6633

4ac83(2)由c＝3，sin A＝，＝，得a＝.由a

5sin Asin C554＋3383＋181

sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝，所以，△ABC的面积为S＝acsin B＝. 102254. (2013·北京)在△ABC中，a＝3，b＝26，B＝2A.

(1)求cos A的值； (2)求c的值．

ab326266

解 (1)在△ABC中，由正弦定理＝?＝＝，∴cos A＝.

sin Asin Bsin Asin 2A2sin Acos A3(2)由余弦定理，a2＝b2＋c2－2bccos A?32＝(26)2＋c2－2×26c×6

，则c2－8c＋15＝0.∴c3

π

＝5或c＝3.当c＝3时，a＝c，∴A＝C.由A＋B＋C＝π，知B＝，与a2＋c2≠b2矛盾．

2∴c＝3舍去．故c的值为5.

→→

5．(2014·辽宁)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a>c，已知BA·BC＝2，1

cos B＝，b＝3.求： (1)a和c的值； (2)cos(B－C)的值．

3

1→→

解 (1)由BA·BC＝2得c·acos B＝2.又cos B＝，所以ac＝6.由余弦定理，得a2＋c2＝b2＋

3

????ac＝6，?a＝2，?a＝3，1

2accos B.又b＝3，所以a＋c＝9＋2×6×＝13.解?22得?或?

3???a＋c＝13，c＝3c＝2.???

2

2

因为a>c，所以a＝3，c＝2.

(2)在△ABC中， sin B＝1－cos2B＝

122c21－??2＝，由正弦定理，得sin C＝sin B＝

33b3

4227

1－??＝.

99

2242

×＝.因为a＝b>c，所以C为锐角，因此cos C＝1－sin2C＝

3917224223于是cos(B－C)＝cos Bcos C＋sin Bsin C＝×＋×＝. 393927

6. 已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，角B所对的边b＝3，且函数f(x)＝23sin2x＋2sin xcos x－3在x＝A处取得最大值． (1)求f(x)的值域及周期； (2)求△ABC的面积．

解 (1)因为A，B，C成等差数列，所以2B＝A＋C，又A＋B＋C＝π，

π2π

所以B＝，即A＋C＝.因为f(x)＝23sin2x＋2sin xcos x－3＝3(2sin2x－1)＋sin 2x＝sin

33π2π

2x－?，所以T＝＝π. f(x)的值域为[－2,2]． 2x－3cos 2x＝2sin?3??2

π2ππ

2A－?＝1.因为0

故当2A－＝时，f(x)取到最大值，所以A＝π，所以C＝.由正弦定理，知＝?32124ππ

sin sin

34ππ?2＋63＋31

＋＝c＝2.又因为sin A＝sin?，所以S. △ABC＝bcsin A＝?46?4247. (2013·山东)设函数f(x)＝3

－3sin2ωx－sin ωxcos ωx(ω>0)，且y＝f(x)图象的一个对称中2

π

心到最近的对称轴的距离为.

4

3π

π，?上的最大值和最小值． (1)求ω的值； (2)求f(x)在区间?2??解 (1)f(x)＝

1－cos 2ωx1333

－3sin2ωx－sin ωxcos ωx＝－3×－sin 2ωx＝cos 2ωx－22222

π12ππ

2ωx－?.依题意知＝4×，ω>0，所以ω＝1.[6分] sin 2ωx＝－sin?3??22ω4

ππ3π5ππ8π3

2x－?.当π≤x≤时，≤2x－≤.所以－≤sin?2x－?≤1. (2)由(1)知f(x)＝－sin?3?3???23332所以－1≤f(x)≤

3π33

π，?上的最大值和最小值分别为和－1.[12分] .[10分]故f(x)在区间?2??22

1π

8. 已知函数f(x)＝2sin(x－)，x∈R.

36

5πππ106

(1)求f()的值； (2)设α，β∈[0，]，f(3α＋)＝，f(3β＋2π)＝，求cos(α＋β)的值．

4221355π5πππ10π

解 (1)由题设知： f()＝2sin(－)＝2sin＝2. (2)由题设知：＝f(3α＋)＝2sin α，

412641326π53π12

＝f(3β＋2π)＝2sin(β＋)＝2cos β，即sin α＝，cos β＝，又α，β∈[0，]，∴cos α＝，5213521341235416sin β＝，∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝.

51351356519. (2013·北京)已知函数f(x)＝(2cos2x－1)sin 2x＋cos 4x.

2

π?2

，π，且f(α)＝，求α的值． (1)求f(x)的最小正周期及最大值； (2)若α∈??2?2

1112解 (1)f(x)＝(2cos2x－1)sin 2x＋cos 4x＝cos 2xsin 2x＋cos 4x＝(sin 4x＋cos 4x)＝

2222ππ24x＋?，∴f(x)的最小正周期T＝，最大值为. sin?4??22(2)由f(α)＝ππ29ππ17ππ59

4α＋?＝1.∵α∈?，π?，则<4α＋<，4α＋＝π，故α＝π. ，得sin?4???2?24444216

π3

10．(2014·天津)已知函数f(x)＝cos xsin(x＋)－3cos2x＋，x∈R.

34ππ

(1)求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)在闭区间[－，]上的最大值和最小值．

44

133133

解 (1)由已知，有f(x)＝cos x·(sin x＋cos x)－3cos2x＋＝sin x·cos x－cos2x＋

224224133131π2π

＝sin 2x－(1＋cos 2x)＋＝sin 2x－cos 2x＝sin(2x－)． f(x)最小正周期T＝＝π. 44444232πππππ1

(2)因为f(x)在区间[－，－]上是减函数，在区间[－，]上是增函数， f(－)＝－，f(－

41212444

π1π1ππ11)＝－，f()＝，所以，函数f(x)在闭区间[－，]上的最大值为，最小值为－. 12244444211. 设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和．已知S3＝7，且a1＋3,3a2，a3＋4构成等差数列．

(1)求数列{an}的通项； (2)令bn＝ln a3n＋1，n＝1,2，…，求数列{bn}的前n项和Tn.

??a1＋a2＋a3＝7，解 (1)由已知得?解得a2＝2.设数列{an}的公比为q，由a2＝2，可

???a1＋3?＋?a3＋4?＝6a2，

221

得a1＝，a3＝2q，又S3＝7，可知＋2＋2q＝7，即2q2－5q＋2＝0.解得q1＝2，q2＝.

qq2∵q>1，∴q＝2，∴a1＝1.故数列{an}的通项为an＝2n1.

－

(2)由于bn＝ln a3n＋1，n＝1,2，…，由(1)得a3n＋1＝23n，∴bn＝ln 23n＝3nln 2.又bn＋1－bn＝3ln 2，n?b1＋bn?3n?n＋1?3n?n＋1?

∴{bn}是等差数列，∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＝·ln 2.故Tn＝ln 2.

222n＋11

12. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝，an＋1＝a.

22nnan(1)证明：数列{}是等比数列； (2)求通项an与前n项的和Sn.

n

n＋11ana11an＋1an1

(1)证明 a1＝，an＋1＝an，当n∈N*时，≠0.又＝，∶＝(n∈N*)为常数，

22nn12n＋1n2an11

所以{}是以为首项，为公比的等比数列．

n22

an11an11－1(2)解 由{}是以为首项，为公比的等比数列，得＝×()n1，所以an＝n×()n.

n22n222111111111＋

∴Sn＝1·()＋2·()2＋3·()3＋…＋n·()n， Sn＝1·()2＋2·()3＋…＋(n－1)()n＋n·()n1，

22222222211n＋1

－??

1112131n1n＋1221＋1－1∴Sn＝()＋()＋()＋…＋()－n·()＝－n·()n1，∴Sn＝2－()n1－n·()n 2222221222

1－2111

＝2－(n＋2)·()n.综上，an＝n·()n，Sn＝2－(n＋2)·()n.

222

an?an＋1?

13. 已知数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，且Sn＝，n∈N*.

21

(1)求证：数列{an}是等差数列； (2)设bn＝，Tn＝b1＋b2＋…＋bn，求Tn.

2Sn

an?an＋1?a1?a1＋1?

(1)证明 ∵Sn＝，n∈N*，∴当n＝1时，a1＝S1＝ (an>0)，∴a1＝1.

22

?2Sn＝a2?n＋an，2

当n≥2时，由?2an＝a2n＋an－an－1－an－1.即(an＋an－1)(an－an－1－1)＝0， 2

??2Sn－1＝an－1＋an－1，

∵an＋an－1>0，∴an－an－1＝1(n≥2)．∴数列{an}是以1为首项，以1为公差的等差数列．

(2)解 由(1)可得an＝n，Sn＝

n?n＋1?1111

， bn＝＝＝－.∴Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋22Snn?n＋1?nn＋1

111111n

bn＝1－＋－＋…＋－＝1－＝.

223nn＋1n＋1n＋1

14. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，n∈N*，a3＝5，S10＝100. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝2n＋2n，求数列{bn}的前n项和Tn.

a＋2d＝5，???1?a1＝1，

?解 (1)设等差数列{an}的公差为d，得? an＝2n－1. 10×9

?d＝2，???10a1＋2d＝100，

a

11a(2)因为bn＝2n＋2n＝×4n＋2n，所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝(4＋42＋…＋4n)＋2(1＋2＋…

224n1－4222

＋n)＝＋n＋n＝×4n＋n2＋n－.

633

＋

15. (2014·四川)设等差数列{an}的公差为d，点(an，bn)在函数f(x)＝2x的图象上(n∈N*)． (1)若a1＝－2，点(a8,4b7)在函数f(x)的图象上，求数列{an}的前n项和Sn； (2)若a1＝1，函数f(x)的图象在点(a2，b2)处的切线在x轴上的截距为2－前n项和Tn.

解 (1)由已知，得b7＝2a7，b8＝2a8＝4b7，有2a8＝4×2a7＝2a7＋2.解得d＝a8－a7＝2. n?n－1?

所以Sn＝na1＋d＝－2n＋n(n－1)＝n2－3n.

2

a(2)函数f(x)＝2x在(a2，b2)处的切线方程为y－22＝(22ln 2)(x－a2)，它在x轴上的截距为

a1an，求数列{}的ln 2bn

111

a2－.由题意知，a2－＝2－，解得a2＝2.所以d＝a2－a1＝1，从而an＝n，bn＝2n.

ln 2ln 2ln 2n－1n123123n11所以Tn＝＋2＋3＋…＋n－1＋n， 2Tn＝＋＋2＋…＋n－1.因此，2Tn－Tn＝1＋＋222221222222n1n2

＋…＋n－1－n＝2－n－1－n＝2222

1

n＋1

－n－22n1－n－2

.所以Tn＝. 2n2n＋

1

16. 已知首项为的等比数列{an}是递减数列，其前n项和为Sn，且S1＋a1，S2＋a2，S3＋a3

2成等差数列．

(1)求数列{an}的通项公式；

Tn＋21

(2)若bn＝an·log2an，数列{bn}的前n项和为Tn，求满足不等式≥的最大n值．

n＋2161

解 (1)设等比数列{an}的公比为q，由题意知a1＝，又∵S1＋a1，S2＋a2，S3＋a3成等差数

2列，∴2(S2＋a2)＝S1＋a1＋S3＋a3，变形得S2－S1＋2a2＝a1＋S3－S2＋a3，即得3a2＝a1＋2a3， 31111－

∴q＝＋q2，解得q＝1或q＝，又由{an}为递减数列，于是q＝，∴an＝a1qn1＝()n. 22222

1111－1

(2)由于bn＝anlog2an＝－n·()n，∴Tn＝－[1·＋2·()2＋…＋(n－1)·()n1＋n·()n]，

222221111＋1111

于是Tn＝－[1·()2＋…＋(n－1)·()n＋n·()n1]，两式相减得：Tn＝－[＋()2＋…＋()n－

2222222211

·[1－??n]22Tn＋21n11＋1＋1

n·()n1]＝－＋n·()n1，∴Tn＝(n＋2)·()n－2.∴＝()≥，解得n≤4， 2122216n＋2

1－2∴n的最大值为4.

1??S－17. 在数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，其前n项和Sn满足S2＝annn2. ??Sn(1)求Sn的表达式； (2)设bn＝，求{bn}的前n项和Tn.

2n＋1

1?1?2??解 (1)∵S2n＝anSn－2， an＝Sn－Sn－1 (n≥2)，∴Sn＝(Sn－Sn－1)Sn－2， ????

11

即2Sn－1Sn＝Sn－1－Sn，①由题意得Sn－1·Sn≠0，①式两边同除以Sn－1·Sn，得－＝2，

SnSn－1

?1?1111∴数列?S?是首项为＝＝1，公差2的等差数列．∴＝1＋2(n－1)＝2n－1，∴Sn＝.

S1a1Sn?n?2n－1

1Sn111111

(2)∵bn＝＝＝?2n－1－2n＋1?，∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝[(1－)＋(－233?2n＋1?2n－1??2n＋1?2?1?1111?n

1－)＋…＋(－)]＝＝.

52?2n＋1?2n＋12n－12n＋1

πππ18. (2014·重庆改编)已知函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)(ω>0，－≤φ<)的图象关于直线x＝对称，223且图象上相邻两个最高点的距离为π.

π

(1)求ω和φ的值； (2)当x∈[0，]时，求函数y＝f(x)的最大值和最小值．

2

2π

解 (1)f(x)图象上相邻两个最高点距离为π，所以f(x)的最小正周期T＝π，从而ω＝＝2.

Tπππππ

又因f(x)的图象关于直线x＝对称，所以2·＋φ＝kπ＋，k∈Z，由－≤φ<得k＝0

33222π2πππ

所以φ＝－＝－.综上，ω＝2，φ＝－. 2366

ππππ5πππ

(2)由(1)知f(x)＝3sin(2x－)，当x∈[0，]时，－≤2x－≤π，∴当2x－＝，即x＝时，

62666623ππ3

f(x)最大＝3；当2x－＝－，即x＝0时，f(x)最小＝－.

662思维升华 函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质

(1)奇偶性：φ＝kπ(k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)为奇函数； π

φ＝kπ＋(k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数．

2

(2) 对称性：利用y＝sin x的对称中心为(kπ，0)(k∈Z)来解，令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求得其对称中心．

ππ

利用y＝sin x的对称轴为x＝kπ＋(k∈Z)来解，令ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)得其对称轴．

22π

19.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(x∈R，ω，A>0,0<φ<)的最大值为2，最小正周期为π，直线

2π

x＝是其图象的一条对称轴． 6

ππ

(1)求函数f(x)的解析式； (2)求函数g(x)＝f(x－)－f(x＋)的单调递增区间．

1212解 (1)∵最小正周期为π.∴

2ππ

＝π.即ω＝2.又∵直线x＝是函数图象的一条对称轴， ω6

πππππ

∴2×＋φ＝kπ＋，k∈Z，即φ＝kπ＋，k∈Z.又∵φ∈(0，)，∴φ＝.又∵A＝2，

62626π∴函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin(2x＋)．

6

πππππππ

(2)g(x)＝f(x－)－f(x＋)＝2sin[2(x－)＋]－2sin[2(x＋)＋]＝2sin 2x－2sin(2x＋)＝

12121261263πππππ5

2sin(2x－)由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z可得kπ－≤x≤kπ＋π，k∈Z.

32321212π5

即函数g(x)的单调递增区间是 [kπ－，kπ＋π]，k∈Z.

1212π

20. 已知函数f(x)＝cos x·cos(x－)．

3

2π1

(1)求f()的值； (2)求使f(x)<成立的x的取值集合．

342π2ππππ11

解 (1)f()＝cos·cos＝－cos·cos＝－()2＝－. 3333324

π131313

(2)f(x)＝cos xcos(x－)＝cos x·(cos x＋sin x)＝cos2x＋sin xcos x＝(1＋cos 2x)＋sin 32222441π111π11πππ

2x＝cos(2x－)＋.f(x)<等价于cos(2x－)＋<，即cos(2x－)<0，于是2kπ＋<2x－<2kπ

234423443233π5π11π15π＋，k∈Z.解得kπ＋

＋，k∈Z}． 12

1π

21. 已知函数f(x)＝3sin ωx·cos ωx＋cos2ωx－(ω>0)，其最小正周期为. 22(1)求f(x)的表达式；

π

(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵

8π

坐标不变)，得到函数y＝g(x)的图象，若关于x的方程g(x)＋k＝0在区间[0，]上有且只有

2

一个实数解，求实数k的取值范围．

cos 2ωx＋1113π

解 (1)f(x)＝3sin ωx·cos ωx＋cos2ωx－＝sin 2ωx＋－＝sin(2ωx＋)，

22226π2ππππ

由题意知f(x)的最小正周期T＝，T＝＝＝，所以ω＝2，所以f(x)＝sin(4x＋)．

22ωω26ππ

(2)将f(x)的图象向右平移个单位长度后，得到y＝sin(4x－)的图象；再将所得图象上所有

83π

点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝sin(2x－)的图象，所以g(x)＝sin(2x

3ππππ2π3

－)，因为0≤x≤，所以－≤2x－≤，所以g(x)∈[－，1]又g(x)＋k＝0在区间[0，323332ππ

]上有且只有一个实数解，即函数y＝g(x)与y＝－k在区间[0，]上有且只有一个交点，由22正弦函数的图象可知－值范围是(－

3333

≤－k<或－k＝1，解得－

33，]∪{－1}． 22

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/gn96.html