浙江省嘉兴市第一中学2016届高三上学期能力测试数学(理)试题 Word版含答案

2015年高三测试卷

数 学(理科)

姓名______________ 准考证号______________ 本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共4页, 选择题部分1至2页, 非选择题部分3至4页。满分150分, 考试时间120分钟。

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

选择题部分 (共40分)

注意事项:

1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上。

2.每小题选出答案后,用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。

参考公式： 球的表面积公式

锥体的体积公式 V=

S 4πR2

球的体积公式

1

Sh 3

4

V R3

3

其中R表示球的半径 柱体的体积公式 V=Sh

其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高

其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高 台体的体积公式

1

V hS1S2

3

其中S1, S2分别表示台体的上、下底面积， h表示台体的高

一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是

符合题目要求的。 1

．直线y 1的倾斜角是 A.

π 6

B. D.

π 35π 6

2πC.

3

2．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的 体积等于

A．10 cm B．20 cm C．30 cm D．40 cm 3．已知a,b为异面直线．对空间中任意一点P，存在过点P的 直线

A. 与a,b都相交

B. 与a,b都垂直

俯视图

(第2题图)

3

3

3

3

C. 与a平行，与b垂直 D. 与a,b都平行

π

4．为得到函数y 2sin(2x )的图象，只需将函数y 2cos2x的图象

4

π

A. 向左平移单位

4

π

B. 向右平移单位

4

（第2题

ππ

C. 向左平移单位 D. 向右平移单位

88

5．已知f(x),g(x),h(x)为R上的函数，其中函数f(x)为奇函数，函数g(x)为偶函数，则

A. 函数h(g(x))为偶函数 C. 函数g(h(x))为偶函数

B. 函数h(f(x))为奇函数 D. 函数f(h(x))为奇函数

2

6．命题“ x0 R，x0 1 0或x0 x0 0”的否定形式是

2

A. x0 R，x0 1 0或x0 x0 0

B. x R，x 1 0或x2 x 0 D. x R，x 1

022

2C. x0 R，x0 1 0且x0 x0 0

xy

7．如图，A，F分别是双曲线C2 2 1 (a，b＞0)的左

ab

顶点、右焦点，过F的直线l与C的一条渐近线垂直且与另一条渐近线和y轴分别交于P，Q两点．若AP⊥AQ，则C的离心率是

2

A B C． D．

8．已知函数f(x) 2

a x

k

(a R)，且f(1) f(3)，f(2) f(3)．

B. 若k 1，则a 1 a 2 D. 若k 2，则a 1 a 2

A. 若k 1，则a 1 a 2 C. 若k 2，则a 1 a 2

非选择题部分 (共110分)

注意事项:

1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上, 不能答在试题卷上。

2.在答题纸上作图, 可先使用2B铅笔, 确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑。

二、填空题:本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

9． 若集合A x|x2 x 6 0，B x|x 1 ，则A B _______，(ðRA) B _______．

10．已知单位向量e1,e2满足e1 e2

e1 ke2 _______．

1

．若(5e1 4e2) (e1 ke2)(k R)，则k _______， 2

11．已知等比数列 an 的公比q 0，前n项和为Sn．若2a3,a5,3a4成等差数列，a2a4a6 64，

则q _______，Sn _______．

x 2,

12．设z 2x y，实数x,y满足 x y 1,若z的最大值是0，则实数k=_______，z的

2x y k.

最小值是_______．

13．若实数a,b满足4a 3b 6，则

12

_______． ab

14．设A(1，0)，B(0，1)，直线l：y＝ax，圆C：(x－a)2＋y2＝1．若圆C既与线段AB又与

直线l有公共点，则实数a的取值范围是________． 15．已知函数f(x) ax2 bx c，a,b,c R，且a 0．记M(a,b,c)为f(x)在 0,1 上的最

大值，则

a b 2c

的最大值是_______．

M(a,b,c)

三、 解答题: 本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（本题满分14分）在 ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c．已知acosB bcosA，

边BC上的中线长为4． π

，求c； 6

(Ⅱ) 求 ABC面积的最大值．

(Ⅰ) 若A

17．(本题满分15分) 在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD

，

AD∥BC，BC＝2AD＝4，AB＝CD (Ⅰ) 证明：BD⊥平面PAC；

(Ⅱ) 若二面角A－PC－D的大小为60°，求AP的值．

2

2

D

(第17题图)

18．（本题满分15分）已知函数f(x)

x ax b

b R．(x 0, )，(,)其中a 0，记Mab

x a

为f(x)的最小值．

(Ⅰ) 求f(x)的单调递增区间；

(Ⅱ) 求a的取值范围，使得存在b，满足M(a,b) 1．

x2

19．（本题满分15分）已知A,B为椭圆C: y2 1上两个不同的点，O为坐标原点．设直

2

线OA,OB,AB的斜率分别为k1,k2,k．

(Ⅰ) 当k1 2时，求OA；

(Ⅱ) 当k1k2 1 k1 k2时，求k的取值范围．

20．（本题满分15分）已知数列 an 满足a1 1，an 1

12an 1

(n N*)．

（第19题图）

1

(Ⅰ) 证明：数列 an 为单调递减数列；

2

(Ⅱ) 记Sn为数列 an 1 an的前n项和，证明：Sn

5

(n N*)． 3

测试卷 数学试题(理科)参考答案

一、选择题:本题考查基本知识和基本运算。每小题5分,满分40分。 1．C 2．B 3．B 4．D 5．A 6．D 7．D 8．D

二、填空题:本题考查基本知识和基本运算。多空题每题6分，单空题每题4分，满分36分。 9．{x|x 2}，{x|x 3}

10．2

12．4， 4

14．[1 2，

1

11．2，(2n 1)

2

13．2

1 5

] 2

15．2

三、解答题：本大题共5小题，共74分。 16．本题主要考查三角函数及其变换、正弦和余弦定理等基础知识，同时考查运算求解能力。满分14分。

(Ⅰ) 由acosB bcosA及正弦定理得

sinAcosB sinBcosA， .........1分

所以

sin(A B) 0， 故

B A

π

， .........3分

6

所以c ，由余弦定理得

aaπ

16 c2 ()2 2c cos，

226

解得

c

.........6分 aa

(Ⅱ) 由A B知c 2acosA，及16 c2 ()2 2c cosA，解得

22

a2

64

． .........8分 2

1 8cosA

所以 ABC的面积

164sinAcosA

． .........10分 S acsinA 2

2sinA 9cos2A

由基本不等式得

S

32

，.........13分 3

当且仅当sinA 3cosA时，等号成立．

所以 ABC面积的最大值为

32

． .........14分 3

17．本题主要考查空间线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同时考查空间想象能力和运算求解能力。满分15分。

(Ⅰ) 设O为AC与BD的交点，作DE⊥BC于点E．由四边形ABCD是等腰梯形得

BC ADCE＝＝1， DE

3，.........3

分

2

所以BE＝DE，从而得

∠DBC＝∠BCA＝45°，.........5分

所以∠BOC＝90°，即

AC⊥

BD． .........6分

由PA⊥平面ABCD得PA⊥BD，所以BD⊥平面PAC． .........7分 方法一：

(Ⅱ) 作OH⊥PC于点H，连接DH．

由(Ⅰ)知DO⊥平面PAC，故DO⊥PC． 所以PC⊥平面DOH，从而得PC⊥OH，PC⊥DH．

D

(第17题图)

故∠DHO是二面角A－PC－D的平面角，所以∠DHO＝60°． .........11分 在Rt△DOH中，由DOOH .........12分 在Rt△PAC中，

PAOH

＝．设PA＝x.........14分

PCOC，即 AP． .........15分 解得x 方法二：

(Ⅱ) 由(Ⅰ)知AC⊥BD．以O为原点，OB，OC所在直线为x，y轴，建立空间直角坐标系

O－xyz，如图所示．.........8分

由题意知各点坐标如下：

A(0，，1)， B(0， 0)，

C(0，0)， D(0， 0)．.........9分

由PA⊥平面ABCD，得PA∥z轴，故设点P(0，t) (t＞ 设m＝(x，y，z)为平面PDC的法向量，

由CD＝(－0)，PD＝(，－t) 知

(第17题图)

0,

tz 0.

取y＝1，得

． .........12分 又平面PAC的法向量为n＝(1，0，0)，于是 .........13分

|m n|1

|cos< m，n>|＝＝＝．

|m| |n

|2解得t

，即 AP

． .........15分

18．本题主要考查函数的单调性与最值、分段函数、不等式性质等基础知识，同时考查推理

论证能力，分析问题和解决问题的能力。满分15分。

(Ⅰ) 由题意得

m＝(－2，1，

2a2 b2

f(x) x a 3a,x 0, ．.........2分

x a

所以，当2a2 b2 a2时，即当a2 b2时，函数f(x)的单调递增区间为 0, ；.........5分

当a2 b2时，函数f(x

)的单调递增区间为a, ． .........7分

(Ⅱ)由f(x)的单调性得

b2

a2 b2, ,

M(a,b) a

3a,a2 b2.

b2

由 1与a2 b2得

a

.........10分

0 a 1， .........12分

由3a 1与a2 b2得

1 a 3 .........14分

综上，a

的取值范围为0,3 ． .........15分

19．本题主要考查椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。满分15分。 (Ⅰ)由直线OA斜率k1 2，得直线OA的方程为

y 2x， .........2分 代入椭圆方程得

x2

2， 9

.........5分

所以

OA (Ⅱ) 设点A(x1,y1)，B(x2,y2)，直线AB的方程为y kx b．

x22

y 1,

由 2 消去y得

y kx b,

(1 2k2)x2 4kbx 2b2 2 0． .........7分

故 16k2 8b2 8 0，且

4kb

x x ,12 2k2 1 2

xx 2b 2.12 2k2 1

① .........9分

由k1 k2 k1k2 1得

x2y1 x1y2 y1y2 x1x2，

将y1 kx1 b，y2 kx2 b代入得

(k2 2k 1)x1x2 b(k 1)(x1 x2) b2 0，

b2 2k2 4k 2． .........12分

②

将①代入②得

联立 0与b2 0得

2 4k 4k 1 0,

.........13分 2

2k 4k 2 0,

解得k的取值范围为

1 ．.........15分 20．本题主要考查数列的递推公式与单调性、不等式性质等基础知识，同时考查推理论证能

力、分析问题和解决问题的能力。满分15分。 (Ⅰ)由题意知an 0，故

an 1

1

12 1， .........6分 12an 1an

2

所以数列 an

1

为单调递减数列． 2

1

(Ⅱ) 因为a1 1，a2 ，所以，当n 3时

3

an

得

11 ， 26

12

an ， 33

故

a

1

(n N*)． .........8分 因为故

所以

n3

an 2 an 1a

22a 6

， .........11分

n 1 an

n 311

aa6

1n 1 n a2 a1 (11)n ．.........13分

1 (6)n

Sn a2 a1

22 5(n N*)． .........15分1 615311

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