2015中考数学真题分类汇编：二次函数（填空题）解析

2015中考数学真题分类汇编：二次函数（填空题）

一．填空题（共21小题）

2

1．（2015?常州）二次函数y=﹣x+2x﹣3图象的顶点坐标是 ．

2．（2015?漳州）已知二次函数y=（x﹣2）2+3，当x 时，y随x的增大而减小．

3．（2015?杭州）函数y=x2+2x+1，当y=0时，x= ；当1＜x＜2时，y随x的增大而 （填写“增大”或“减小”）．21教育网 4．（2015?天水）下列函数（其中n为常数，且n＞1） ①y=（x＞0）；②y=（n﹣1）x；③y=

2

（x＞0）；④y=（1﹣n）x+1；⑤y=﹣

x+2nx（x＜0）中，y的值随x的值增大而增大的函数有 个．

5．（2015?淄博）对于两个二次函数y1，y2，满足y1+y2=2x2+2x+8．当x=m时，二次函数y1的函数值为5，且二次函数y2有最小值3．请写出两个符合题意的二次函数y2的解析式 （要求：写出的解析式的对称轴不能相同）．

6．（2015?十堰）抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）经过点（﹣1，0）和（m，0），且1＜m＜2，当x＜﹣1时，y随着x的增大而减小．下列结论：①abc＞0；②a+b＞0；③若点A（﹣3，y1），点B（3，y2）都在抛物线上，则y1＜y2；④a（m﹣1）+b=0；⑤若c≤﹣1，则b2﹣4ac≤4a．其中结论错误的是 ．（只填写序号）

7．（2015?乌鲁木齐）如图，抛物线y=ax+bx+c的对称轴是x=﹣1．且过点（，0），有下列结论：①abc＞0；②a﹣2b+4c=0；③25a﹣10b+4c=0；④3b+2c＞0；⑤a﹣b≥m（am﹣b）；其中所有正确的结论是 ．（填写正确结论的序号）

2

第7题 第8题 第13题

8．（2015?长春）如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y=x2﹣2x+2上运动．过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连结BD，则对角线BD的最小值为 ．

9．（2015?河南）已知点A（4，y1），B（，y2），C（﹣2，y3）都在二次函数y=（x﹣2）2﹣1的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是 ．

10．（2015?乐山）在直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y′），给出如下定义：若y′=

，则称点Q为点P的“可控变点”．

例如：点（1，2）的“可控变点”为点（1，2），点（﹣1，3）的“可控变点”为点（﹣1，﹣3）．

（1）若点（﹣1，﹣2）是一次函数y=x+3图象上点M的“可控变点”，则点M的坐标为 ．

（2）若点P在函数y=﹣x2+16（﹣5≤x≤a）的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标y′的取值范围是﹣16≤y′≤16，则实数a的取值范围是 ．

11．（2015?宿迁）当x=m或x=n（m≠n）时，代数式x2﹣2x+3的值相等，则x=m+n时，代数式x2﹣2x+3的值为 ．

12．（2015?龙岩）抛物线y=2x2﹣4x+3绕坐标原点旋转180°所得的抛物线的解析式是 ．

13．（2015?湖州）如图，已知抛物线C1：y=a1x2+b1x+c1和C2：y=a2x2+b2x+c2都经过原点，顶点分别为A，B，与x轴的另一交点分别为M，N，如果点A与点B，点M与点N都关于原点O成中心对称，则称抛物线C1和C2为姐妹抛物线，请你写出一对姐妹抛物线C1和C2，使四边形ANBM恰好是矩形，你所写的一对抛物线解析式是 和 ． 14．（2015?绥化）把二次函数y=2x2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为 ．

15．（2015?岳阳）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，顶点C的纵坐标为﹣2，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线y=a1x2+b1x+c1，则下列结论正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）

①b＞0 ②a﹣b+c＜0 ③阴影部分的面积为4 ④若c=﹣1，则b2=4a．

第15题 第19题 16．（2015?莆田）用一根长为32cm的铁丝围成一个矩形，则围成矩形面积的最大值是 2

cm．2-1-c-n-j-y 17．（2015?资阳）已知抛物线p：y=ax2+bx+c的顶点为C，与x轴相交于A、B两点（点A在点B左侧），点C关于x轴的对称点为C′，我们称以A为顶点且过点C′，对称轴与y轴平行的抛物线为抛物线p的“梦之星”抛物线，直线AC′为抛物线p的“梦之星”直线．若一条抛物线的“梦之星”抛物线和“梦之星”直线分别是y=x2+2x+1和y=2x+2，则这条抛物线的解析式为 ．

18．（2015?营口）某服装店购进单价为15元童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4件，当每件的定价为 元时，该服装店平均每天的销售利润最大．

19．（2015?温州）某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1m宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为27m，则能建成的饲养室面积最大为 m2．

20．（2015?湖州）已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，线段AB的两个端点A（0，2），B（1，0）分别在y轴和x轴的正半轴上，点C为线段AB的中点，现将线段BA绕点B按顺时针方向旋转90°得到线段BD，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点D．

（1）如图1，若该抛物线经过原点O，且a=﹣．

①求点D的坐标及该抛物线的解析式；

②连结CD，问：在抛物线上是否存在点P，使得∠POB与∠BCD互余？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由；

（2）如图2，若该抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点E（1，1），点Q在抛物线上，且满足∠QOB与∠BCD互余．若符合条件的Q点的个数是4个，请直接写出a的取值范围．

21．（2015?衢州）如图，已知直线y=﹣x+3分别交x轴、y轴于点A、B，P是抛物线y=﹣x+2x+5的一个动点，其横坐标为a，过点P且平行于y轴的直线交直线y=﹣x+3于点Q，则当PQ=BQ时，a的值是 ．

2

2015中考数学真题分类汇编：二次函数（填空题）

参考答案与试题解析

一．填空题（共21小题）

2

1．（2015?常州）二次函数y=﹣x+2x﹣3图象的顶点坐标是 （1，﹣2） ． 考点： 二次函数的性质．

分析： 此题既可以利用y=ax2+bx+c的顶点坐标公式求得顶点坐标，也可以利用配方法求出其顶点的坐标．21·世纪*教育网 解答： 解：∵y=﹣x2+2x﹣3

2

=﹣（x﹣2x+1）﹣2 =﹣（x﹣1）2﹣2，

故顶点的坐标是（1，﹣2）． 故答案为（1，﹣2）．

点评： 本题考查了二次函数的性质，求抛物线的顶点坐标有两种方法①公式法，②配方法．

2．（2015?漳州）已知二次函数y=（x﹣2）2+3，当x ＜2 时，y随x的增大而减小． 考点： 二次函数的性质．

分析： 根据二次函数的性质，找到解析式中的a为1和对称轴；由a的值可判断出开口方向，在对称轴的两侧可以讨论函数的增减性．21教育名师原创作品 解答： 解：在y=（x﹣2）2+3中，a=1， ∵a＞0， ∴开口向上，

由于函数的对称轴为x=2，

当x＜2时，y的值随着x的值增大而减小； 当x＞2时，y的值随着x的值增大而增大． 故答案为：＜2．

点评： 本题考查了二次函数的性质，找到的a的值和对称轴，对称轴方程是解题的关键．

2

3．（2015?杭州）函数y=x+2x+1，当y=0时，x= ﹣1 ；当1＜x＜2时，y随x的增大而 增大 （填写“增大”或“减小”）． 考点： 二次函数的性质．

2

分析： 将y=0代入y=x+2x+1，求得x的值即可，根据函数开口向上，当x＞﹣1时，y随x的增大而增大．

2

解答： 解：把y=0代入y=x+2x+1， 得x2+2x+1=0， 解得x=﹣1，

当x＞﹣1时，y随x的增大而增大， ∴当1＜x＜2时，y随x的增大而增大； 故答案为﹣1，增大．

点评： 本题考查了二次函数的性质，重点掌握对称轴两侧的增减性问题，解此题的关键是利用数形结合的思想．

4．（2015?天水）下列函数（其中n为常数，且n＞1） ①y=（x＞0）；②y=（n﹣1）x；③y=

（x＞0）；④y=（1﹣n）x+1；⑤y=﹣

x2+2nx（x＜0）中，y的值随x的值增大而增大的函数有 3 个．

考点： 二次函数的性质；一次函数的性质；正比例函数的性质；反比例函数的性质． 分析： 分别根据正比例函数、一次函数、反比例函数和二次函数的性质进行分析即可． 解答： 解：①y=（x＞0），n＞1，y的值随x的值增大而减小； ②y=（n﹣1）x，n＞1，y的值随x的值增大而增大； ③y=

（x＞0）n＞1，y的值随x的值增大而增大；

④y=（1﹣n）x+1，n＞1，y的值随x的值增大而减小；

⑤y=﹣x2+2nx（x＜0）中，n＞1，y的值随x的值增大而增大； y的值随x的值增大而增大的函数有3个， 故答案为：3．

点评： 此题主要考查了正比例函数、一次函数、反比例函数和二次函数的性质，关键是掌握正比例函数y=kx（k≠0），k＞0时，y的值随x的值增大而增大；一次函数的性质：

k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降；二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣

时，y随x的增大而增大；反比例函数的性质，当k＜0，双曲线的两支

分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．

5．（2015?淄博）对于两个二次函数y1，y2，满足y1+y2=2x2+2x+8．当x=m时，二次函数y1的函数值为5，且二次函数y2有最小值3．请写出两个符合题意的二次函数y2的解析式 y2=x2+3，y2=（x+）2+3 （要求：写出的解析式的对称轴不能相同）． 考点： 二次函数的性质． 专题： 开放型．

分析： 已知当x=m时，二次函数y1的函数值为5，且二次函数y2有最小值3，故抛物线的顶点坐标为（m，3），设出顶点式求解即可． 解答： 解：答案不唯一， 例如：y2=x2+3，

2

y2=（x+）+3．

故答案为：y2=x2+3，y2=（x+）2+3．

点评： 考查了二次函数的性质，二次函数y=ax+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣

）．

6．（2015?十堰）抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）经过点（﹣1，0）和（m，0），且1＜m＜2，当x＜﹣1时，y随着x的增大而减小．下列结论：①abc＞0；②a+b＞0；③若点A（﹣3，y1），点B（3，y2）都在抛物线上，则y1＜y2；④a（m﹣1）+b=0；⑤若c≤﹣1，则b2﹣4ac≤4a．其中结论错误的是 ③⑤ ．（只填写序号）

考点： 二次函数图象与系数的关系． 专题： 数形结合．

分析： 根据题意画出抛物线的大致图象，利用函数图象，由抛物线开口方向得a＞0，由抛物线的对称轴位置得b＜0，由抛物线与y轴的交点位置得c＜0，于是可对①进行判断；由于抛物线过点（﹣1，0）和（m，0），且1＜m＜2，根据抛物线的对称性和对称轴方程得到0＜﹣

＜，变形可得a+b＞0，则可对②进行判断；利用点A（﹣3，

2

，

y1）和点B（3，y2）到对称轴的距离的大小可对③进行判断；根据抛物线上点的坐标特征得a﹣b+c=0，am2+bm+c=0，两式相减得am2﹣a+bm+b=0，然后把等式左边分解后即可得到a（m﹣1）+b=0，则可对④进行判断；根据顶点的纵坐标公式和抛物线对称轴的位置得到

＜c≤﹣1，变形得到b2﹣4ac＞4a，则可对⑤进行判断．

点评： 此题考查了二次函数的图象与几何变换，用到的知识点是姐妹抛物线的定义、二次函数的图象与性质、矩形的判定，关键是根据姐妹抛物线的定义得出姐妹抛物线的二次项的系数、一次项系数、常数项之间的关系．2·1·c·n·j·y

2

14．（2015?绥化）把二次函数y=2x的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为 y=2（x+1）2﹣2 ．21cnjy.com 考点： 二次函数图象与几何变换．

分析： 直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答．

解答： 解：由“左加右减”的原则可知，将二次函数y=2x2的图象向左平移1个单位长

22

度所得抛物线的解析式为：y=2（x+1），即y=2（x+1）；由“上加下减”的原则可知，将抛物线y=2（x+1）2向下平移2个单位长度所得抛物线的解析式为：y=2（x+1）2﹣2，即y=2（x+1）2﹣2．

2

故答案为：y=2（x+1）﹣2．

点评： 本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．

15．（2015?岳阳）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，顶点C的纵坐标为﹣2，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线y=a1x2+b1x+c1，则下列结论正确的是 ③④ ．（写出所有正确结论的序号） ①b＞0

②a﹣b+c＜0

③阴影部分的面积为4 ④若c=﹣1，则b2=4a．

考点： 二次函数图象与几何变换；二次函数图象与系数的关系． 分析： ①首先根据抛物线开口向上，可得a＞0；然后根据对称轴为x=﹣

＞0，可

得b＜0，据此判断即可．

②根据抛物线y=ax2+bx+c的图象，可得x=﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0，据此判断即可． ③首先判断出阴影部分是一个平行四边形，然后根据平行四边形的面积=底×高，求出阴影部分的面积是多少即可．

④根据函数的最小值是

解答： 解：∵抛物线开口向上， ∴a＞0， 又∵对称轴为x=﹣

＞0，

，判断出c=﹣1时，a、b的关系即可．

∴b＜0，

∴结论①不正确； ∵x=﹣1时，y＞0， ∴a﹣b+c＞0， ∴结论②不正确；

∵抛物线向右平移了2个单位， ∴平行四边形的底是2，

∵函数y=ax2+bx+c的最小值是y=﹣2， ∴平行四边形的高是2，

∴阴影部分的面积是：2×2=4， ∴结论③正确； ∵

，c=﹣1，

∴b2=4a，

∴结论④正确．

综上，结论正确的是：③④． 故答案为：③④．

点评： （1）此题主要考查了二次函数的图象与几何变换，要熟练掌握，解答此类问题的关键是要明确：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．

（2）此题还考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．21世纪教育网版权所有 16．（2015?莆田）用一根长为32cm的铁丝围成一个矩形，则围成矩形面积的最大值是 64 cm2．www.21-cn-jy.com

考点： 二次函数的最值．

分析： 设矩形的一边长是xcm，则邻边的长是（16﹣x）cm，则矩形的面积S即可表示成x的函数，根据函数的性质即可求解．www-2-1-cnjy-com

解答： 解：设矩形的一边长是xcm，则邻边的长是（16﹣x）cm． 则矩形的面积S=x（16﹣x），即S=﹣x2+16x， 当x=﹣

=﹣

=8时，S有最大值是：64．

故答案是：64．

点评： 本题考查了二次函数的性质，求最值得问题常用的思路是转化为函数问题，利用函数的性质求解．

2

17．（2015?资阳）已知抛物线p：y=ax+bx+c的顶点为C，与x轴相交于A、B两点（点A在点B左侧），点C关于x轴的对称点为C′，我们称以A为顶点且过点C′，对称轴与y轴平行的抛物线为抛物线p的“梦之星”抛物线，直线AC′为抛物线p的“梦之星”直线．若一条抛物线的“梦之星”抛物线和“梦之星”直线分别是y=x2+2x+1和y=2x+2，则这条抛物线的解析式为 y=x2﹣2x﹣3 ． 21*cnjy*com 考点： 抛物线与x轴的交点；二次函数的性质． 专题： 新定义．

分析： 先求出y=x2+2x+1和y=2x+2的交点C′的坐标为（1，4），再求出“梦之星”抛物线y=x2+2x+1的顶点A坐标（﹣1，0），接着利用点C和点C′关于x轴对称得到C（1，

2

﹣4），则可设顶点式y=a（x﹣1）﹣4，

然后把A点坐标代入求出a的值即可得到原抛物线解析式． 解答： 解：∵y=x2+2x+1=（x+1）2， ∴A点坐标为（﹣1，0）， 解方程组

得

或

，

∴点C′的坐标为（1，4）， ∵点C和点C′关于x轴对称， ∴C（1，﹣4），

2

设原抛物线解析式为y=a（x﹣1）﹣4， 把A（﹣1，0）代入得4a﹣4=0，解得a=1，

∴原抛物线解析式为y=（x﹣1）2﹣4=x2﹣2x﹣3． 故答案为y=x2﹣2x﹣3．

点评： 本题考查了二次函数与x轴的交点：求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax2+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．△=b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数，△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．21*cnjy*com

18．（2015?营口）某服装店购进单价为15元童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4件，当每件的定价为 22 元时，该服装店平均每天的销售利润最大． 考点： 二次函数的应用．

分析： 根据“利润=（售价﹣成本）×销售量”列出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；把二次函数解析式转化为顶点式方程，利用二次函数图象的性质进行解答．

解答： 解：设定价为x元，

根据题意得：y=（x﹣15）[8+2（25﹣x）] =﹣2x2+88x﹣870

∴y=﹣2x2+88x﹣870，

2

=﹣2（x﹣22）+98 ∵a=﹣2＜0，

∴抛物线开口向下，

∴当x=22时，y最大值=98． 故答案为：22．

点评： 此题题考查二次函数的实际应用，为数学建模题，借助二次函数解决实际问题，解决本题的关键是二次函数图象的性质．【来源：21cnj*y.co*m】

19．（2015?温州）某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1m宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为27m，则能建成的饲养室面积最大为 75 m2．

考点： 二次函数的应用．

分析： 设垂直于墙的材料长为x米，则平行于墙的材料长为27+3﹣3x=30﹣3x，表示出总面积S=x（30﹣3x）=﹣3x2+30x=﹣3（x﹣5）2+75即可求得面积的最值． 解答： 解：设垂直于墙的材料长为x米， 则平行于墙的材料长为27+3﹣3x=30﹣3x，

则总面积S=x（30﹣3x）=﹣3x2+30x=﹣3（x﹣5）2+75， 故饲养室的最大面积为75平方米， 故答案为：75．

点评： 本题考查了二次函数的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出函数模型，难度不大．

20．（2015?湖州）已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，线段AB的两个端点A（0，2），B（1，0）分别在y轴和x轴的正半轴上，点C为线段AB的中点，现将线段BA绕点B按顺时针方向旋转90°得到线段BD，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点D．

（1）如图1，若该抛物线经过原点O，且a=﹣．

①求点D的坐标及该抛物线的解析式；

②连结CD，问：在抛物线上是否存在点P，使得∠POB与∠BCD互余？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由；

（2）如图2，若该抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点E（1，1），点Q在抛物线上，且满足∠QOB与∠BCD互余．若符合条件的Q点的个数是4个，请直接写出a的取值范围．

考点： 二次函数综合题．

分析： （1）①过点D作DF⊥x轴于点F，先通过三角形全等求得D的坐标，把D的坐标和a=﹣，c=0代入y=ax2+bx+c即可求得抛物线的解析式；

②先证得CD∥x轴，进而求得要使得∠POB与∠BCD互余，则必须∠POB=∠BAO，设P的坐标为（x，﹣x2+x），分两种情况讨论即可求得；

（2）若符合条件的Q点的个数是4个，则当a＜0时，抛物线交于y轴的负半轴，当a＞0时，最小值得＜﹣1，解不等式即可求得．

解答： 解：（1）①过点D作DF⊥x轴于点F，如图1， ∵∠DBF+∠ABO=90°，∠BAO+∠ABO=90°， ∴∠DBF=∠BAO，

又∵∠AOB=∠BFD=90°，AB=BD， 在△AOB和△BFD中，

，

∴△AOB≌△BFD（AAS） ∴DF=BO=1，BF=AO=2， ∴D的坐标是（3，1），

根据题意，得a=﹣，c=0，且a×3+b×3+c=1， ∴b=，

∴该抛物线的解析式为y=﹣x+x；

②∵点A（0，2），B（1，0），点C为线段AB的中点， ∴C（，1），

∵C、D两点的纵坐标都为1， ∴CD∥x轴，

∴∠BCD=∠ABO，

∴∠BAO与∠BCD互余，

要使得∠POB与∠BCD互余，则必须∠POB=∠BAO， 设P的坐标为（x，﹣x2+x），

（Ⅰ）当P在x轴的上方时，过P作PG⊥x轴于点G，如图2， 则tan∠POB=tan∠BAO，即

=

，

2

2

∴

=，解得x1=0（舍去），x2=，

∴﹣x2+x=，

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/gn5v.html