机械振动--盘轴扭振系统固有频率和主振型的计算

机械振动大作业

（盘轴扭振系统固有频率和主振型的计算）

学院：航空航天工程学部 班级：04040203班 姓名：李根

学号：2010040402093

2013年 5 月 12号

盘轴扭振系统 固有频率和主振型的计算

一：简化分析

该系统为非约束性盘轴扭振系统，并简化分析：

1．忽略轴的质量;

2．轴的刚度对盘的影响不做考虑;

3．将圆盘的质量集中于圆盘中心，不考虑圆盘厚度对系统的影响; 4．系统为线弹性系统，盘为刚体。

对于非约束系统，其只存在刚度矩阵，不存在柔度矩阵，即不能对刚度矩阵求逆。

二：条件

圆盘：

1. 几何尺寸：直径d1?0.4m，厚度h?0.02m；

2. 材料：杨氏模量E?2?1011(N/m2)，剪切模量G?7.69?1010(N/m2)

) 密度??7800(kg/m3轴：

1. 几何尺寸：直径d2?0.04m，a?0.1m

2. 材料：杨氏模量E?2?1011(N/m2)，剪切模量G?7.69?1010(N/m2)

) 密度??7800(kg/m3

三（1）：矩阵迭代法

1.概述

?1?1???（1）：系统主振型方程为?2?A???，引入动力矩阵D?MMKA?????????K?。任??- 2 -

取一个经过归一化的假设阵型?A?0,用动力矩阵[D]前乘它，并对通过乘法运算新得到的阵型矢量进行归一化，则得：[D]?A?0?a1{A}1， 式中a1为新振型矢量归一化后的系数。

（2）若{A}1??A?0，从{A}1开始，重复上述步骤得：[D]?A?1?a1{A}2， 式中a2为新振型矢量归一化后的系数。

（3）：若{A}2??A?1，继续重复上述步骤，进过K次矩阵乘法运算后，得到

[D]?A?k?1?ak{A}k，在规定的有效位数内，{A}k??A?k?1时停止运算，此时的?A?k?1即

为系统第一阶主振型{A(1)}的近似值，即：{A(1)}??A?k?1，而这时的系数ak即是系统第一阶固有频率平方倒数的近似值，即：?12?1/ak。

该方法的精确度不依赖于假设阵型，假设阵型的好坏只影响迭代的次数。即使假设的固有频率域一阶主振型相差很远，经过充分的迭代运算，仍可求得足够精确的基频值。

求得第一阶主振型以后，利用主振型的正交性来清除掉假设阵型中的分量，然后再进行迭代求解可以是结果收敛于第二阶主振型。同理，如果我们在假设阵型中清除掉所有前s阶这阵型分量，那么迭代的结果将得到第s+1阶固有频率及主振型。

(j)（j）Ts引进清型矩阵：[Q]?[I]??{A}{A}?M?。由于实际计算中舍入误差的存在，每次迭

j?1Mj代后，所得的主振型中还包含前面几阶的主振型分量，因此每次计算前都要进行清型才能保证最后收敛的主振型。

2.计算程序

clc clear n=8;

d1=0.4; %圆盘直径 d1=0.4 d2=0.04; %轴直径 d2=0.04 a=0.1; %轴几何尺寸

den=7800; %密度 （轴和圆盘） G=7.69e+10; %剪切模量 h=0.02; %圆盘厚度

J1=0.5*pi*den*h*(d1/2)^4; %转动惯量

- 3 -

Ip=pi*d2^4/32; %质心 k=G*Ip/a; %刚度 %假设阵型中刚度 k1=k; k2=k; k3=k; k4=k; k5=k; k6=k; k7=k/5; k8=k; J2=J1; J3=J1; J4=J1; J5=J1; J6=J1; J7=J1; J8=J1;

J=diag([J1,J2,J3,J4,J5,J6,J7,J8]) %刚度矩阵

K=[k2,-k2,0,0,0,0,0,0; -k2,k2+k3,-k3,0,0,0,0,0; 0,-k3,k3+k4,-k4,0,0,0,0; 0,0,-k4,k4+k5,-k5,0,0,0; 0,0,0,-k5,k5+k6,-k6,0,0; 0,0,0,0,-k6,k6+k7,-k7,0; 0,0,0,0,0,-k7,k7+k8,-k8; 0,0,0,0,0,0,-k8,k8;]

D=inv(J)*K;%动力矩阵D

%a为新振型矢量归一化后的系数。

%ai是系统第一阶固有频率平方倒数的近似值 %在假设阵型中清除掉所有前s阶这阵型分量， %那么迭代的结果将得到第s+1阶固有频率及主振型 for j=1:n

A=[0 1 1 0 0 1 0 1]'; if j>1

D=D*(eye(n)-(B*B'*J)/(B'*J*B)); end

for i=1:1000 B=D*A; a=B(n);

- 4 -

B=B/a;

if max(abs(B-A))<0.000001 break end A=B; end om1=sqrt(a) i; NM(:,j)=B; om(:,j)=om1;

x=[0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 1.1 1.2 1.3]'; y=[0;B;0]; %%绘制图形

plot(x,y,'k-','linewidth',1.3,'Markersize',15) hold on end grid on NM om

3.结论及图像

固有频率（单位rad/s）：

?

= 1000* [1.3573，1.2204，1.0297，0.9929， 0.7204，0.4139，0.2106，0 + 0.0000i ] 各阶主振型：

11.8958 -0.3437 1.0000 -4.6163 2.1446 -0.5827 -0.9737??-26.4976 ? 72.5356 -24.0443? 0.3956 -1.0000 0.2442 1.3992 -0.5303 -0.7870???-99.5286 12.6595 0.2841 -1.0000 4.8476 0.1675 -0.4301 -0.4820???100.3893 11.1157 -0.4384 1.0000 4.3469 -1.1224 -0.2912 -0.1533? NM =??-74.8917 -24.0115 -0.2179 1.0000 -0.7306 -2.0222 -0.1261 0.1271??? 29.7304 13.4060 0.4713 -1.0000 -5.0389 -2.2192 0.0504 0.3294??? -2.7374 -2.0213 -1.1508 -1.0000 -0.0529 0.6524 0.9100 0.9395??? 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000????- 5 -

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