高中数学人教A选修2-2导数的概念及其运算单元测试

导数的概念及其运算（1）

第Ⅰ卷(选择题 共60分)

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是最符合题目要求的.)

1、函数21()ln 2

f x x x =-,则()f x 的导函数'()f x 的奇偶性是 ( ) A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数

2、若0()2f x '=,则=--→k

x f k x f k 2)()(lim 000( ) A.0 B. 1 C. —1 D.2

3、若曲线4x y =的一条切线l 与直线084=-+y x 垂直,则l 的方程为( )

A.034=--y x

B.034=-+y x

C.034=+-y x

D.034=++y x

4、曲线423+-=x x y 在点)3,1(处的切线的倾斜角为( )

A.?30

B.?45

C.?60

D.?120

5、设))(()(,),()(),()(,sin )(112010N n x f x f x f x f x f x f x x f n n ∈'='='==+ ,则2010()f x =( )

A.x sin

B. x sin -

C.cos x -

D.cos x

6、曲线)12ln(-=x y 上的点到直线032=+-y x 的最短距离是( ) A.5 B.52 C.53 D.0

7、已知函数2log ,0,()2,0.x x x f x x >?=?≤?

若'()1f a =,则a =( ) A.2log e 或22log (log )e B.ln 2 C.2log e D.2或22log (log )e

8、下列结论不正确的是( )

A.若3y =,则0y '=

B.若3y x =,则1|3x y ='=

C.

若y =

则y '= D.

若y =,

则y '=

9、已知函数3()f x x =的切线的斜率等于3,则切线有( )

A.1条

B.2条

C.3条

D.不确定

10、已知点P(1,2)是曲线22y x =上一点,则P 处的瞬时变化率为 ( )

A.2

B.4

C.6

D.2

1 11、曲线n y x =在2x =处的导数为12,则n =( )

A.1

B.2

C.3

D.4

12、设a ∈R ,函数()e e x x f x a -=+?的导函数是()f x ',且()f x '是奇函数.若曲线

()y f x =的一条切线的斜率是32

,则切点的横坐标为 ( ) A.ln 2 B.ln 2- C.ln 22 D.ln 22

- 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)

二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中的横线上.)

13、已知2()2(1)f x x x f '=+?,则=')0(f ________

14、直线b x y +=2

1是曲线)0(ln >=x x y 的一条切线,则实数=b _________ 15、已知曲线12-=x y 在0x x =点处的切线与曲线31x y -=在0x x =处的切线互相

平行,则0x 的值为____________

16、已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数,0)1(=f ,

0)()(2>-'x

x f x f x (0)x >,则不等式()0f x >的解集是 . 三、解答题(本大题共6小题,共74分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.)

17、(12分)

已知函数))(2ln(2)(2R a x ax x f ∈-+=,设曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线为

l ,若l 与圆4

1:22=

+y x C 相切,求a 的值.

18、(12分)

设函数())(0)f x ??π=+<<,且()()f x f x '+为奇函数.

(1)求?的值;

(2)求()'()f x f x +的最值.

19、(12分)

如果曲线103-+=x x y 的某一切线与直线34+=x y 平行,求切点坐标与切线方程.

20、(12分)

已知函数d cx bx x x f +++=23)(的图象过点)2,0(P ,且在点))1(,1(--f M 处的切线方程为076=+-y x ,求函数)(x f y =解析式.

21、(12分) 设函数x

b ax x f -=)(,曲线)(x f y =在点))2(,2(f 处的切线方程为 01247=--y x .

(1)求)(x f y =的解析式

(2)证明:曲线)(x f y =上任一点处的切线与直线0=x 和直线x y =所围成的三角形面积为定值,并求此定值.

22、(14分)

已知关于x 的方程sin ((0,1))x k k x

=∈在(3,0)(0,3)-ππ内有且仅有4个根,从小到

大依次为1234,,,x x x x .

(1)求证:44tan x x =;

(2)是否存在常数k ,使得234,,x x x 成等差数列?若存在求出k 的值,否则说明理由.

参考答案

一．选择题

1.D ()f x 的定义域为(0,)+∞,不关于原点对称.

2.C 原式=00001[()]()1lim ()12()2

k f x k f x f x k -→+--'-=-=--. 3.A 与直线084=-+y x 垂直的直线l 为04=+-m y x ,即4x y =在某一点的导数为4,而34x y =',所以4x y =在)1,1(处导数为4,过此点的切线为034=+-y x .故选A

4.B 232-='x y ,1=∴k ,倾斜角为?45

5.D 1()cos f x x =,2()sin f x x =-,3()cos f x x =-,4()sin f x x =,201050242=?+, ∴2010()f x =1()cos f x x =.

6.A 由曲线得221y x '=-,设直线20x y c -+=与曲线切于点00(,)P x y ,则02221x =-, ∴01x =,00ln(21)0y x =-=,得(1,0)P ,

所求的最短距离为d =

=7.C 当0a >时,21'()1log ln 2

f a a e a ==?=; 当0a ≤时,'()2ln21a f a ==,而021,0ln21a <≤<<,矛盾!

8.D

9.B 33)(2=='x x f ,解得1±=x ,故有两个切点)1,1(和)1,1(--,所以有两条切线 10.B 4411=='==x x x y

11.C 3,431221212=∴?==?=?='-=-=n n x n y n x n x

12.A '()x x f x e ae -=-,()f x '是奇函数'(0)10f a =-=,∴1a =,有'()x x f x e e -=-, 设切点为00(,)x y ,则0003'()2x x f x e e

-=-=,得02x e =或012x e =-(舍去),∴0ln2x =. 二、填空题

13.—4 ()22(1)(1)22(1)f x x f f f ''''=+?=+,∴(1)2f '=-,有2()4f x x x =-, ()24f x x '=-,∴(0)4f '=-.

14.12ln - x y 1=

',令211=x 得2=x ,故切点为)2ln ,2(,代入直线方程,得b +?=22

12ln ,所以12ln -=b 15.00x =或023

x =-

212,y x y x '=-?=3213y x y x '=-?=-,∴20023x x =-, 解得00x =或023

x =-. 16.),1()0,1(+∞- 可得()'()f x f x x

>,由导数的定义得,当01x <<时, ()(1)()1f x f f x x x ->-,又0)1(=f ,()(1)()xf x x f x <-,∴()0f x <;当1x >时, 同理得()0f x <.又)(x f 是奇函数,画出它的图象得()0f x >?(1,0)

(1,)x ∈-+∞. 三、解答题

17.解:依题意有:)2(2

22)(,)1(<-+='=x x ax x f a f , l ∴的方程为02)1(2=-+--a y x a

l 与圆相切,811211)1(4|2|2=?=+--∴

a a a ∴a 的值为118

. 18.解:(1)()'()f x f x

+))??=++

5)6

π?=++, 又0?<<π,()'()f x f x +是奇函数,∴=?6

π. (2)由(1)得()'()f x f x

+)=+π=-.

∴()'()f x f x +的最大值为2,最小值为2-.

19.解: 切线与直线34+=x y 平行, 斜率为4

又切线在点0x 的斜率为00320(10)31x x y x x x ''=+-=+

∵41320=+x ,∴10±=x ,有???-==810

0y x ,或???-=-=12100y x , ∴切点为)8,1(-或)12,1(--,

切线方程为)1(48-=+x y 或)1(412-=+x y ,

即124-=x y 或84-=x y .

20.解:由f(x)的图象经过)2,0(P ,知2=d ,所以2)(23+++=cx bx x x f .23)(2c bx x x f ++='

由在))1(,1(--f M 处的切线方程是076=+-y x ,知07)1(6=+---f , 即6)1(,1)1(=-'=-f f

∴326121b c b c -+=??-+-+=?,即???=--=-0

32c b c b ,解得3-==c b , 故所求的解析式是 .233)(23+--=x x x x f

21.解:(1)方程01247=--y x 可化为34

7-=x y ,当12,2x y ==时; 又2)(x b a x f +=',于是???

????=+=-47

42122b a b a ,解得???==31b a 故x

x x f 3)(-= (2)证明:设),(00y x P 为曲线上任一点,由231x y +

='知曲线在点),(00y x P 处的切线方程为))(3

1(0200x x x y y -+=-,即))(31()3(020

00x x x x x y -+=-- 令0=x ,得06x y -=,从而得切线与直线0=x 的交点坐标为)6,0(0x -; 令x y =,得02x x y ==,从而得切线与直线x y =的交点坐标为)2,2(00x x ;

所以点),(00y x P 处的切线与直线0=x ,x y =所围成的三角形面积为6|2||6|2100

=-x x ; 故曲线)(x f y =上任一点处的切线与直线0=x ,x y =所围成的三角形面积为定值,此定值为6.

22.解:(1)由原方程得sin (0)x kx x =≠,设函数()sin f x x =,()g x kx =(0)x ≠,它们的图象如图所示:

方程得sin (0)x kx x =≠在(3,0)(0,3)-ππ内有

且仅有4个根,4x 必是函数()g x kx =与()sin f x x =在 5(2,)2

ππ内相切时切点的横坐标,即切点为44(,sin )x x ,()g x kx =是()sin f x x =的切线. 由'()cos f x x =,∴4cos k x =,又∵

44sin x kx =,于是44tan x x =. (2)由题设知23x x =-,又234,,x x x 成等差数列,得3242x x x =+,∴

3413x x =. 由33sin x kx =,得4411sin

33x kx =,即441sin 3sin 3

x x =. 由题设45(2,)2x π∈π,得425(,336x ππ∈,

∴41sin (322x ∈,

有433sin (,322x ∈,

即43sin (,22

x ∈,与4sin 1x <矛盾! 故不存在常数k 使得234,,x x x 成等差数列.

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