高一物理圆周运动临界问题学科导学教案

龙文教育学科导学案

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龙文教育让您的孩子学会学习 当 v= 当 v>

gr 时，杆对小球 gr 时，杆对小球的力为其大小为____________

讨论：绳与杆对小球的作用力有什么不同？ 例 2.长度为 L=0.50m 的轻质细杆 OA,A 端有一质量为 m=3.0kg 的小球，如图 8—4 所示，小球以 O 点为 圆心在竖直平面内做圆周运动， 通过最高点时小球的速率是 2.0m/s, (g=10m/s 2 ) 则此时细杆 OA 受的 ( A. 6.0N 的拉力 B. 6.0N 的压力 C.24N 的压力 D. 24N 的拉力 )

图 8—4

三

动力学特征及应用 物体做匀速圆周运动时，由合力提供圆周运动的向心力 且有 F合 F向 ma向 m

v2 2 mr 2 mr ( ) 2 r T

方向始终指向圆心

1. 基本概念及规律的应用 [例 1] 如图 3 所示，质量相等的小球 A、B 分别固定在轻杆的中点和端点，当杆在光滑水平面上绕 O 点匀速 转动时求杆 OA 和 AB 段对球 A 的拉力之比。 例 1 解析：隔离 A、B 球进行受力分析，如图 3 所示。因 A、B 两球角速度相同，设为

,选用公式

F向 m 2 r ,并取指向圆心方向为正方向，则对 A 球： F1 F2 m LOA2

① ②

对 B 球： F2 m LOB2

F1 O

A F2 F2

B

①②两式联立解得

F1 3 F2 2图3

点评：向心力 F向 是指做匀速圆周运动物体受到的合力，而不一定是某一个力，要对物体进行正确的受力分

龙文教育让您的孩子学会学习 析。

2. 轨迹圆(圆心、半径)的确定[例 2] 甲、 乙两名滑冰运动员，M 甲 80 kg ,M 乙 40 kg , 面对面拉着弹簧秤做匀速圆周运动的滑冰表演， 如图 5 所示，两人相距 0.9m,弹簧秤的示数为 9.2N,下列判断中正确的是( ) A. 两人的线速度相同，约为 40m/s B. 两人的角速度相同，为 6rad/s C. 两人的运动半径相同，都是 0.45m D. 两人的运动半径不同，甲为 0.3m,乙为 0.6m甲 乙

图5

解析：甲、乙两人做圆周运动的角速度相同，向心力大小都是弹簧的弹力，则有 M 甲 r甲 M 乙 r乙2 2

即 M 甲r甲 M 乙 r乙 且 r甲 r乙 0.9m , M 甲 80 kg , M 乙 40 kg 解得 r甲 0.3m , r乙 0.6m 由于 F M 甲 r甲2

所以

F M 甲 r甲

9.2 0.62 (rad / s ) 80 0.3

而 v r ,r 不同，v 不同。所以答案选 D。 点评：有些匀速圆周运动的轨迹圆是比较“隐蔽”的，一旦理解错误，就会给解题带来麻烦，如本题中 两人做匀速圆周运动的半径并不是两人的间距，例 2 中 A、B 做圆周运动的圆心并不是圆环的中心 O 等。 3. 联系实际问题 [例 3] 司机开着汽车在一宽阔的马路上匀速行驶突然发现前方有一堵墙，他是刹车好还是转弯好？(设转弯 时汽车做匀速圆周运动，最大静摩擦力与滑动摩擦力相等。 ) 解析：设汽车质量为 m,车轮与地面的动摩擦因数为 ,刹车时车速为 v 0 ,此时车离墙距离为 s 0 ,为 方便起见，设车是沿墙底线的中垂线运动。若司机采用刹车，车向前滑行的距离设为 s,则 s 2 v2 v0 (R 是最小转弯半径) R 0 2 s 。 , g R2 v0 常数， 2 g

若司采取急转弯法，则 mg m 讨论：

(1)若 s0 R ,则急刹车或急转弯均可以； (2)若 R s 0 s ,则急刹车会平安无事，汽车能否急转弯与墙的长度和位置有关，如图 6 所示，质

龙文教育让您的孩子学会学习 点 P 表示汽车，AB 表示墙，若墙长度 l 2R ,如图 6, l 2( R R cos ) ,则墙在 AB 和 CD 之间任一位 置上，汽车转弯同样平安无事； (3)若 s 0 s ,则不能急刹车，但由(2)知若墙长和位置符合一定条件，汽车照样可以转弯。 点评：利用基本知识解决实际问题的关键是看能否将实际问题转化为合理的物理模型。Cθ

R P B A

D

图6 四. 匀速圆周运动的

实例变形 课文中的圆周运动只有汽车过桥和火车转弯两个实例，而从这两个实例可以变化出很多模型。试分析如 下： (一)汽车过桥 原型：汽车过凸桥 如图 1 所示，汽车受到重力 G 和支持力 FN,合力提供汽车过桥所需的向心力。 假设汽车过桥的速度为 v,质量为 m,桥的半径为 r, G FN

mv 2 。 r

FN

G

图12 mv 0 分析：当支持力为零时，只有重力提供汽车所需的向心力，即 G , v0 gr r

1. 当汽车的速度 v v0 ,汽车所受的重力 G 小于过桥所需的向心力，汽车过桥时就会离开桥面飞起来。 2. 当汽车的速度 v v0 ,汽车所受的重力 G 恰好等于过桥需要的向心力，汽车恰好通过桥面的最高点。

(G

2 mv 0 , v0 gr ) r

3. 当汽车的速度 v v0 ,汽车所受的重力 G 大于所需的向心力，此时需要的向心力要由重力和支持力的

龙文教育让您的孩子学会学习 合力共同来提供。 (G FN

mv 2 ) r

因此，汽车过凸桥的最大速度为 gr 。 模型一：绳拉小球在竖直平面内过最高点的运动。 如图 2 所示，小球所受的重力和绳的拉力的合力提供小球所需的向心力，即 mg FT mv G FT

v2 。 r

图2 分析：当绳的拉力为零时，只有重力提供小球所需的向心力，即 G 2 mv 0 , v0 gr r

1. 当小球的速度 v v0 ,物体所受的重力 G 已不足以提供物体所需的向心力。不足的部分将由小球所受 的绳的拉力来提供，只要不超过绳的承受力，已知物体的速度，就可求出对应的拉力。 (mg FT m2 mv 0 , v0 gr ) 2. 当小球的速度 v v0 ,物体所受的重力 G 刚好提供物体所需的向心力。 (G r

v2 ) r

3. 当小球的速度 v v0 ,物体所受的重力 G 大于所需的向心力，此时小球将上不到最高点。 因此，绳拉小球在竖直平面内过最高点时的最小速度为 v0

gr 。

实例：翻转过山车 如图 3 所示：由于过山车在轨道最高点所受的力为重力和轨道的支持力，故分析方法与模型一类似。请 同学们自己分析一下。

G FN

图3 模型二：一轻杆固定一小球在竖直平面内过最高点的运动。

龙文教育让您的孩子学会学习 如图 4 所示，物体所受的重力和杆对球的弹力的合力提供物体所需的向心力，即 mg FT m

v2 r

FT v

G

图4 分析：当杆对球的弹力为零时，只有重力提供小球所需的向心力，即2 mv 0 G , v0 gr r

1. 当小球的速度 v v0 ,物体所受的重力 G 已不足以提供物体所需的向心力。不足的部分将由小球所受 的杆的拉力来提供。 (此时杆对小球的弹力为向下的拉力，参考图 3) 。已知物体的速度，就可求出对应的拉 力。 (mg FT m

v2 ) r

2 mv 0 , v0 gr ) 2. 当小球的速

度 v v0 ,物体所受的重力 G 刚好提供物体所需的向心力。 (G r

3. 当小球的速度 v v0 ,物体所受的重力 G 大于所需的向心力，多余的部分将由杆对小球的支持力来抵 消。 (此时杆对小球的弹力为向上的支持力) (mg FT m 。

v2 ) r

4. 当小球的速度 v 0 ,物体所受的重力 G 等于杆对小球的支持力。 (mg FT ) 因此，一轻杆固定一小球在竖直平面内过最高点的最小速度为 0。 (二)火车转弯 原型：火车转弯 如图 5 所示， 火车在平直的轨道上转弯， 将挤压外轨， 由外轨给火车的弹力提供火车转弯所需的向心力， 这样久而久之，将损坏外轨。

图56

龙文教育让您的孩子学会学习 故火车转弯处使外轨略高于内轨，火车驶过转弯处时，铁轨对火车的支持力 FN 的方向不再是竖直的， 而是斜向弯道的内侧，它与重力的合力指向圆心，提供火车转弯所需的向心力(如图 6 所示) 。这就减轻了 轮缘与外轨的挤压。FN Fθ

G

图6 分析：当火车的速度为 v 0 时，火车所需的向心力全部由重力和支持力的合力来提供，即2 v0 mg tan m , v0 gr tan 。 r

1. 若火车的速度 v v0 ,将挤压外轨； 2. 若火车的速度 v v0 ,将挤压内轨。 模型一：圆锥摆 小球所需的向心力由重力和绳的拉力的合力来提供(如图 7 所示)θ

FT F G

图7 模型二：小球在漏斗中的转动 小球所需的向心力由重力和漏斗的支持力的合力来提供(如图 8 所示)

FN

Fθ

G

图8

龙文教育让您的孩子学会学习 五. 匀速圆周运动的多解问题 匀速圆周运动的多解问题常涉及两个物体的两种不同的运动，其中一个做匀速圆周运动，另一个做其他 形式的运动。由于这两种运动是同时进行的，因此，依据等时性建立等式来解待求量是解答此类问题的基本 思路。特别需要提醒同学们注意的是，因匀速圆周运动具有周期性，使得前一个周期中发生的事件在后一个 周期中同样可能发生， 这就要求我们在表达做匀速圆周运动物体的运动时间时， 必须把各种可能都考虑进去， 以下几例运算结果中的自然数“n”正是这一考虑的数学化。 [例 5] 质点 P 以 O 为圆心做半径为 R 的匀速圆周运动，如图 2 所示，周期为 T。当 P 经过图中 D 点时，有 一质量为 m 的另一质点 Q 受到力 F 的作用从静止开始做匀加速直线运动。为使 P、Q 两质点在某时刻的速 度相同，则 F 的大小应满足什么条件？Cω

B

O

D

Q F

A

图2

解析：速度相同包括大小相等和方向相同，由质点 P 的旋转情况可知，只有当 P 运动到圆周上的 C 点时 P、Q 速度方向才相同，即质点 P 转过 ( n

3 ) 周 (n 0 , 1 , 2 , 3 ) 经历的时间 4

3 t (n

) T (n 0 , 1 , 2 , 3 ) ① 4 2 R 质点 P 的速率 v ② T在同样的时间内， 质点 Q 做匀加速直线运动， 速度应达到 v, 由牛顿第二定律及速度公式得 v 联立以上三式，解得 F

F t m

③

8 mR (n 0 ,1 , 2 , 3 ) (4n 3)T 2

[例 6] 如图 3 所示，在同一竖直平面内，A 物体从 a 点开始做匀速圆周运动，同时 B 物体从圆心 O 处自由落 下，要使两物体在 b 点相遇，求 A 的角速度。ω

A

a

O B

b

图3

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解析：A、B 两物体在 b 点相遇，则要求 A 从 a 匀速转到 b 和 B 从 O 自由下落到 b 用的时间相等。 A 从 a 匀速转到 b 的时间 t1 (n )T (n ) B 从 O 自由下落到 b 点的时间 t 2

3 4

3 2 (n 0 , 1 , 2 , 3 ) 4

2R g

由 t1 t 2 ,解得 2 (n

3 g ) (n 0 , 1 , 2 , 3 ) 4 2R

课内练习与训练【模拟试题】一. 选择题(在每小题给出的四个选项中，有的小题只有一个选项正确，有的小题有多个选项正确) 1. 下列说法正确的是( ) A. 做匀速圆周运动的物体的加速度恒定 B. 做匀速圆周运动的物体所受合外力为零 C. 做匀速圆周运动的物体的速度大小是不变的 D. 做匀速圆周运动的物体处于平衡状态 2. 如图 1 所示，把一个长为 20cm,系数为 360N/m 的弹簧一端固定，作为圆心，弹簧的另一端连接一个 质量为 0.50kg 的小球，当小球以 ( ) A. 5.2cm

360

r / min 的转速在光滑水平面上做匀速圆周运动时，弹簧的伸长应为D. 5.4cmM m

B. 5.3cm

C. 5.0cm

m Oω

图1

图2

3. 一圆盘可以绕其竖直轴在图 2 所示水平面内转动， 圆盘半径为 R。 乙物体质量分别是 M 和 m 甲、 (M>m) , 它们与圆盘之间的最大静摩擦力均为正压力的 倍，两物体用一根长为 L( L R) 的轻绳连在一起。若将甲 物体放在转轴位置上，甲、乙之间连线刚好沿半径方向被拉直，要使两物体与圆盘间不发生相对滑动，则转 盘旋转角速度的最大值不得超过(两物体均看作质点) ( ) A.

( M m) gmL

B.

( M m) gML

C.

( M m) gML

D.

( M m) gmL

龙文教育让您的孩子学会学习 4. 如图 3 所示，一个球绕中心线 OO 以 角速度转动，则( ) A. A、B 两点的角速度相等 B. A、B 两点的线速度相等 C. 若 30 ,则 v A : v B O′ ω A BθO A

3:2

D. 以上答案都不对

O

图3

图4

5. 一圆盘可绕圆盘中心 O 且垂直于盘面的竖直轴转动， 在圆盘上放置一小木块 A, 它随圆盘一起运动 (做 匀速圆周运动) ,如图 4 所示，则关于木块 A 的受力，下列说法正确的是( ) A. 木块 A 受重力、支持力和向心力 B. 木块 A 受重力、支持力和静摩擦力，摩擦力的方向与木块运

动方向相反 C. 木块 A 受重力、支持力和静摩擦力，摩擦力的方向指向圆心 D. 木块 A 受重力、支持力和静摩擦力，摩擦力的方向与木块运动方向相同

6. 如图 5 所示，质量为 m 的小球在竖直平面内的光滑圆轨道上做圆周运动。圆半径为 R,小球经过圆环 最高点时刚好不脱离圆环，则其通过最高点时( ) A. 小球对圆环的压力大小等于 mg B. 小球受到的向心力等于重力 mg C. 小球的线速度大小等于 gR D. 小球的向心加速度大小等于 g

O

R

图5

二. 填空题 7. 一辆质量为 4t 的汽车驶过半径为 50m 的凸形桥面时， 始终保持 5m/s 的速率。 汽车所受的阻力为车对桥 2 面压力的 0.05 倍。通过桥的最高点时汽车牵引力是 N。 (g=10m/s )

龙文教育让您的孩子学会学习 三. 解答题(解答应写出必要的文字说明、方程式和演算步骤) 8. m1、m2 是质量分别为 50g 和 100g 的小球，套在水平光滑杆上，如图 6 所示。两球相距 21cm,并用细 线相连接，欲使小球绕轴以 600r/min 的转速在水平面内转动而不滑动，两球离转动中心多远？线上拉力是多 大？

m1

m2

图6

9. 如图 7 所示，在水平转台上放有 A、B 两个小物块，它们距离轴心 O 分别为 rA 0.2m , rB 0.3m , 它们与台面间相互作用的静摩擦力的最大值为其重力的 0.4 倍，取 g 10 m / s 。2

(1)当转台转动时，要使两物块都不发生相对于台面的滑动，求转台转动的角速度的范围； (2)要使两物块都对台面发生滑动，求转台转动角度速度应满足的条件。

O

A

B

图7

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【试题答案】1. C 2. C 3. D 4. AC 5. C 6. BCD 7. 1.9 10 3

8. r1 14cm 9.

r2 7cm

FT1 FT2 28 N

(1) 0 2

10 rad / s 3

(2) 2 5rad / s

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/gn14.html