第4章空间力系 -

第4章 空间力系

4.1〖学习基本要求〗

本章介绍了空间汇交力系、空间力偶系、空间任意力系的简化与平衡问题。

1、在理解空间力在直角坐标系上的投影与分力的基础上，掌握空间汇交力系的简化结果及平衡方程；

2、在理解空间力矩和力偶的基础上，掌握空间力偶系的合成结果及平衡条件；

3、在理解空间问题中力的平移定理的基础上，掌握空间任意力系向一点的简化结果计算。

4、掌握空间任意力系的平衡方程，能解决比较简单的空间任意力系平衡问题。 4.2〖要点分析〗

1、空间汇交力系的合成

根据力的合成的平行四边形法则，空间汇交力系也一定可以合成为一个合力，合力作用点在汇交点，并且等于力系中各分力的矢量和，即

FR?F1?F2???Fn??Fi (4.1)

i?1n合力在x、y、z轴的投影为

X?X1?X2?????Xn??Xi??? (4.2)

Y?Y1?Y2?????Yn??Yi??Z?Z1?Z2?????Zn??Xi??合力矢FR的大小和方向的计算

FR?FRx?FRy?FRz　?(?Xi)2?(?Yi)2?(?Zi)2 (4.3)

222cos??XYZ,　　cos??,　　cos?? (4.4) FRFRFR2、空间汇交力系的平衡

空间汇交力系平衡的必要与充分条件为：该合力等于零，平衡方程通常可写成

?Xi?0，　　　　?Yi?0，?Zi?0 (4.5)

【说明】①空间汇交力系的合成也可以用几何法，但画空间的力多边形很不方便，在

实用上均采用解析法。②解析法的基础是力在坐标轴上的投影。③投影轴可任意选取，只要三轴不共面且任何两根不平行。④空间汇交力系独立的平衡方程有三个，最多可求解三个未知量。⑤当空间汇交力系平衡时，它与任何平面上的投影力系也平衡。

3、空间力偶系的合成

任意个空间力偶可以合成为一个合力偶，合力偶矩矢等于各分力偶矩矢的矢量和。

M?M1?M2???Mn??Mi (4.6)

i?1n合力偶矩矢的大小和方向的计算

22M?Mx?My?Mz2?(?Mxi)2?(?Myi)2?(?Mzi)2 (4.7)

cos?'?MyMxM , cos?'? , cos?'?z (4.8) MMM4、空间力偶系的平衡

空间力偶系平衡的必要与充分条件是合力矩偶矢为零，平衡方程通常可写成

?Mxi?0，　　　　?Myi?0，?Mzi?0 (4.9)

【说明】①空间力偶系的平衡方程可以看作是力偶矩矢在轴上的投影的代数和，也可

以理解为各力偶矩矢对轴的投影的代数和。②空间汇交力系独立的平衡方程有三个，最多可求解三个未知量。③在理论上存在纯粹的力偶系，但在实际问题中却极少这样的情形。有的问题若按力偶系不易求解时，也可以把力偶系看作空间任意力系来处理。

5、空间任意力系的简化

空间任意力系向任一点简化的结果一般是一个力和一个力偶；该力作用于简化中心，其力矢等于力系的主矢，该力偶的力偶矩矢等于力系对于简化中心的主矩。

空间任意力系向一点的简化结果讨论：

?'⑴FR?0,?'⑵FR?0,?'⑶FR?0,?'⑷FR?0,??MO?0，力系平衡； ?MO?0，最后结果为一个合力偶，此时与简化中心无关； ?MO?0，过简化中心的一个合力； ???M一个合力，其作用线距简化中心为d?O，如图4-1MO?0,FR'?MO，'FR???所示；

'⑸FR?0,MO?0,FR'//MO，力螺旋，其中心过简化中心，如图4-2所示；

?'??'?Msin?⑹FR?0,MO?0,FR、MO成?角，力螺旋，中心距简化中心为d?O'，如

FR图4-3所示。

图4-1

图4-2

图4-3

【说明】①通常认为主矢不是力，主矩不是力偶。②一般该力不是原力系的合力，该力偶不是原力系的合力偶，只有把该力和该力偶共同作用才能与原力系等效。③主矢与简化中心无关，主矩一般与简化中心有关。④空间任意力系向一点的简化的最终结果有四种情况，平衡、合力偶、合力和力螺旋。

6、空间任意力系的平衡

空间任意力系平衡的必要与充分条件是：该力系的主矢和对任意点的主矩都为零。

??0, MO?0 (4.10) FR空间任意力系基本形式的平衡方程为

X?0,Y?0,Z?0,

????Mx?0,?My?0,?Mz?0 (4.11)

【说明】①除基本形式的平衡方程外，还可以有四力矩形式、五力矩形式和六力矩形式三组平衡方程，并且也有相应的限制条件，但是限制条件太多，一般书中均未列出，对于初学者来讲，也不常遇到这样的情况，可不必掌握。②空间任意力系独立的平衡方程只有六个，最多可以求解六个未知量。③如果把其它力系都看作是空间任意力系的特殊情况，则其独立的平衡方程数要作相应的减少。 4.3〖范例解答〗

? 例4-1如图4-4(a)所示，有一空间支架固定在相互垂直的墙上。支架由垂直于两墙的铰接二力杆OA、OB和钢绳OC组成。已知θ = 30°，φ=60°，O点吊一重量G =1.2 kN的重物。试求两杆和钢绳所受的力。图中O、A、B、D四点都在同一水平面上，杆和绳的重量都忽略不计。

【解】 1）选研究对象，画受力图。取铰链O为研究对象，设

(a) 坐标系为Dxyz，受力如图4-4(b)所示。

2）列平衡方程式，求未知量，即 ∑Xi = 0， FB – Fcosθ sinφ = 0 ∑Yi = 0， FA – Fcosθ cosφ = 0

∑Zi = 0， Fsinθ–G = 0 解上述方程得

G1.2 F???2.4 kN

sin?sin30? (b) FA = Fcosθ cosφ = 2.4 cos30ocos60o =1.04 kN

图4-4

FB = Fcosθ sinφ = 2.4 cos30os in60° =1.8 kN

? 例4-2如图4-5(a)所示，空间构架由三根无重直杆组成，在D端用球铰链连接，如图所示。A、B和C端则用球铰链固定在水平地板上。如果挂在D端的物P重10 kN，试求铰链A、B和C的反力。

(a) (b) 图4-5

【解】取节点D为研究对象，假设各杆都为拉力、受力如图4-5(b)。平衡方程为： ?Xi?0，FBcos45??FAcos45??0

?Yi?0，?FAsin45?cos30??FBsin45?cos30??FCcos15??0

?Zi?0，?FAsin45?sin30??FBsin45?sin30??FCsin15??F?0

把F=10 kN代入以上三式解出：FA?FB??26.4 kN（压），FC?33.5 kN（拉）。 ? 例4-3图4-6(a)所示的三角柱刚体是正方体的一半。在其中三个侧面各自作用着一个力偶。已知力偶（F1，F'1）的矩M1=20 N·m；力偶（F2，F'2）的矩M2=20 N·m；力偶（F3，F'3）的矩M3=20 N·m。试求合力偶矩矢M。 【解】1）画出各力偶矩矢，如图4-6(b)所示。

2）计算合力偶矩矢M 的投影。 Mx?M1x?M2x?M3x?0

My?M1y?M2y?M3y??5.86 N?m

Mz?M1z?M2z?M3z?34.14 N?m

3）计算合力偶矩矢M 的大小和方向。

22M?Mx?My?Mz2?34.64 N?m

cos???0，cos????0.169，cos???0.986。

(a) (b)

图4-6

? 例4-4图4-7(a)所示支架由三根互相垂直杆刚结而成，两圆盘直径均为d，分别固定于两水平杆杆端上，盘面与杆垂直。竖直杆AB长为l，在图示载荷下试确定轴承A，B的约束力。 【解】研究整体，主动力是两个力偶矩大小为的力偶，A，B两处约束力必构成一力偶与主动合力偶相平衡。由力偶矢三角形，如图4-7(b)所示，约束力偶矩MAB的大小为M＝Fd，所以

(a) MAB?2Fd (b)

图4-7 MAB2FdFA?FB??ll

? 例4-5图4-8所示力系的三力分别为F1=350kN，F2=400kN，F3=600kN，其作用线的位置如图所示。试将此力系向原点O简化。

【解】由题意得

X??Xi?350?601?600???144 N

218100Y??Yi?350?8023?400??600??1010 N

2218100Z??Zi?350??902?400???517 N

218100图4-8

主矢 FR'?(?144i?1011j?517k) N。

Mx??350?My?350?902?0.06?400??0.12??48 N?m

21810090?0.09?21.07 N?m 18100806031?0.09?350??60?600??0.09?600??0.06??19.4 N?m

221810018100主矩 MO?(?48i?21.1j?19.4k) N?m。 Mz?350?? 例4-6如图4-9所示，长方体沿三个不相交又不平行的棱作用三力 F1、F2、F3，棱长为a、b、c。若F1=F2=F3=F，如何选择棱长，简化为一个力。

【解】建立图示坐标向O点简化： ΣXi=F，ΣYi=F，ΣZi=F，

ΣMx=Fa-Fc，ΣMy= -Fb，ΣMz=0

令FR?MO=0，即F(Fa-Fc)+ F(-Fb)=0

图4-9

所以当a-c-b=0时，可以简化为一个力。

? 例4-7沿图4-10所示长方体棱边作用的三力F1、F2、F3等效于过O点的一个力螺旋。已知F2=F3=150kN，求F1，a及力螺旋中力偶矩大小。 【解】向O简化

FR?F1i?150j?150k Mo?600i?(F1?3?600)j?F1ak

FR//Mo 6003F1?600F1a? ??

F1150150

2 ? 3F1?600F1?90000?0? F1??100或F1?300图4-10

故 a?1(m) 而 Mo?600i?300j?300k

Mo?3006(Nm)

? 例4-8三轮小车自重W=8kN，作用于点C，荷载F=10kN，作用于点E，如图4-11所示。求小车静止时地面对车轮的反力。

【解】1）选小车为研究对象，画受力图如图4-11所示。其中W和F为主动力，FA、FB、FD为地面的约束反力，此五个力相互平行，组成空间平行力系。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/gmw2.html